數(shù)列專題-數(shù)列與不等式(本人)

aaa*a22aaan1112142111111n22a2n2nn2n2112aaa*a22aaan1112142111111n22a2n2nn2n2112*nnnnnn1n1

數(shù)列專題——數(shù)列與不等式數(shù)與等數(shù)列與不等式的綜合問題是近年來的高考熱門問題，與不等式相關(guān)的大多是數(shù)列的前n項(xiàng)和問題對(duì)于這種問題在解答時(shí)需要利用化歸的思想將問題轉(zhuǎn)化為我們較熟悉的問題來解決，要掌握常見的解決不等式的方法，以便更好地解決問題．主要考查考生的推理論證能力和分析、解決問題的能力、以及轉(zhuǎn)化化歸的思想和數(shù)學(xué)素養(yǎng)．1【示例】浙江)知公差不為0的等差數(shù)列{}首項(xiàng)a為aaR)，且，，成n124等比數(shù)列．Foruseinstudyandnotforcommercialuse11(1)求數(shù)列{a}通項(xiàng)公式；(2)對(duì)n∈N，試比較＋＋＋…＋與的大?。畁223解

1設(shè)等差數(shù)列{}公差為d題意可知·即a＋)＝a(a＋d)從而a＝d.因?yàn)閐≠0，所以d＝a＝a.故通項(xiàng)公式a＝na.1n(2)記T＝＋＋…＋，因?yàn)閍＝a，所以T＝＋＋…＋n2n111＝·＝當(dāng)a＞0時(shí)，＜；當(dāng)＜時(shí)，T＞.a1－本題主要考查等差、等比數(shù)列的概念以及通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的求和等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力及推理論證能力．【訓(xùn)練】知數(shù)列{}各項(xiàng)均為正數(shù)S為其前n項(xiàng)和對(duì)于任意的n∈N滿足關(guān)系式Snn

n＝3a－3.n1(1)求數(shù)列{a}通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列{}通項(xiàng)公式是b＝，前n和為T，a33＋求證：對(duì)于任意的正數(shù)n，總有＜1.n(1)解

＝3a－3由已知得＝－－－

n≥．故2(－S＝2a＝－，即＝3a(n≥．nnnnn不得用于商業(yè)用途

nn111nn＋1223n12nn－n2**2n112n*－aannan*2nn2*nnn111nn＋1223n12nn－n2**2n112n*－aannan*2nn2*nnn＋c*35k－21*2*2故數(shù)列{}等比數(shù)列，且公比q＝3.n又當(dāng)n＝1時(shí)，2a＝3a－，∴＝，∴＝11n

.(2)證明∵b＝n

111＝－.nn＋1∴T＝b＋＋…＋＝＜1.＋數(shù)綜以等差數(shù)列、等比數(shù)列為載體，考查函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化和分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，是新課標(biāo)高考數(shù)列題的一個(gè)重要特點(diǎn)，因試題較為綜合，故難度一般較大．3＋【示例】(2011·天津知數(shù)列{}{}足b＋b＝(－2)＋，b＝，nnn∈N，a＝2.1(1)求a，a的值；(2)設(shè)c＝a－232＋1n1

，∈N，證明{}等比數(shù)列；nSS1(3)設(shè)為{}前n項(xiàng)和，證明＋＋…＋＋≤－(n∈N)．1n(1)解

由b＝n

3＋n為奇數(shù)，，n∈N，可得＝n偶數(shù).又b＋b＝(－2)nnn1

＋1，3當(dāng)n＝1時(shí)a＋2a＝－1由a＝2，可得a＝－；112當(dāng)n＝2時(shí)2a＋a＝，可得＝23(2)證明對(duì)任意n∈N

，a

＋2a＝－2－2n

＋，①2a＋2n1

＝2＋②②－①，得a

2

1

－a2

1

＝3×2

n1

，即c＝×n

2

c，于是＝n所以{}等比數(shù)列．n(3)證明a＝2，由2)知，當(dāng)∈N且≥2，1a

＝＋(a－)＋(－a)(a－)…＋(a2113

－2－2k3

)2＋＋2＋…＋

2

－

3

)＋3×

21－4

1

＝2－，故對(duì)任意k∈N，a

2－

＝2

－

1

由①得

2

1

＋2a＝－22k

2

1

＋1，1所以a＝－22

2

，k∈N，因此，S＝(＋＋(＋＋…＋(a234

2

k＋a)＝12k不得用于商業(yè)用途

22＋2－222－a122k22k－2*＋＋…＋＋＝＋＋＋…＋＋1112－a4121－－122＋2－222－a122k22k－2*＋＋…＋＋＝＋＋＋…＋＋1112－a4121－－1－－＋－＋4444－14－14－1412＋＋.nn于是，S

k－1＝S－a＝＋2222k

21

.k－1SS2－1＋2k故＋＝＋＝－＝1－－.a－2－44－12222所以，對(duì)任意n∈.SSSS24a2n1a

Sa

22

＋12n222＋…＋nn222－…－n114－112本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析能力和解決問題的能力及分類討論的思想方法，難度較大．在數(shù)列

n

a

，

，

nN

*

．（Ⅰ）證明數(shù)列

列（Ⅱ）求數(shù)列

n

n和

；（Ⅲ）證明不等式

，對(duì)任意nN*皆立．（Ⅰ）證明：由題設(shè)

得n

4()，nNn

*

．

所以數(shù)列

，且公比為

的等比數(shù)列．n（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知a．n

a4n

n

，于是數(shù)列

n

式所以數(shù)列

n

n和Sn

4nn(n3

．不得用于商業(yè)用途

22n132a僅供個(gè)人參考22n132a（Ⅲ）證明：對(duì)任意的

nN

*

，S

4n(n3

(n3

1(3n4)02

．所以不等式

，對(duì)任意nN*皆立．設(shè)列

{}前n項(xiàng)和為，1,n1n

Sn

2(

。（1）求證：數(shù)列{}等差數(shù)列，并分別求出、S的表達(dá)式；nn11（2）設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)為T，求證：T；annS（3）是否存在自然數(shù)使(n20093在,請(qǐng)說明理由。

？若存在，求出n的；若不存又易知

T

單調(diào)遞增，故

T

11，得554(3)由

S2n(1)n

得

n

S1

SSn

(n

2

15

(2(1)

2=

n1

……分由

22009

，得即存在滿足條件的自然數(shù)n=1005.三、數(shù)列與不等式綜合問題例3已知數(shù)列，，12其前項(xiàng)和為S，且當(dāng)時(shí)，nn不得用于商業(yè)用途

，記數(shù)列為n，證明對(duì)于任意的正整數(shù)，都有成立．8

nn1nnn僅供個(gè)人參考nn1nnn解析Snnnnnn

，所以(．n又由S，，可推知對(duì)切正整數(shù)2n均有，所以數(shù)列列．n所以S

.當(dāng)n時(shí)，

又a，1所以a3

.時(shí)，aa此時(shí)ba又b，37所以b，，88

n當(dāng)，bn41T)247)4n8意數(shù)n都b，n以T增即n1數(shù)，列，

b，若數(shù)列

11(nnNbb2nbb34n

*

)b：nn(n*10)(1))(nNa32n不得用于商業(yè)用途

*

n僅供個(gè)人參考n解析，b4由bbnnnbn

112證明：因?yàn)?)(n且nN*，bbba11所以，n，bbbbbbbb2n12aa所以nnnbbbbnnann(且n*．a(chǎn)b113證明：由2知(1))aaaa12aaa212bb1223aabb23n2122(，31211而)，bbb32n1)(1)(1)2(．a(chǎn)12n

12k當(dāng)k時(shí)，2

2k),k不得用于商業(yè)用途

1所321112[()))]223222n1)，32n3110所以(1)(1)(1)aaa

僅供個(gè)人參考僅供個(gè)用學(xué)習(xí)、究不得用商業(yè)用。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.Nurfürdenpers?nlichenfürStudien,Forschung,zukommerziellenZweck