2019屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第六章不等式推理與證明第4節(jié)基本不等式練習(xí)新人教A版

第六章第4節(jié)基本不等式[基礎(chǔ)訓(xùn)練組]1．(導(dǎo)學(xué)號14577548)設(shè)0<<，則以下不等式中正確的選項(xiàng)是()abA．<<a＋bB．<a＋b<<<22a＋ba＋bC．a(chǎn)<ab<b<2D.ab<a<2<b分析：Ba＋b－＝a(b－a)>0，即>，[∵0<<，∴<<，A、C錯誤；aba2babaabaD錯誤，應(yīng)選B.]2．(導(dǎo)學(xué)號14577549)已知0<x<1，則x(3－3)獲得最大值時x的值為( )x1B.1A.2332C.4D.3分析：B[∵0<x<1，∴1－x>0.x＋1－x23∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝4.1當(dāng)x＝1－x，即x＝時取等號．]2x2＋23．(導(dǎo)學(xué)號14577550)函數(shù)y＝x－1(x>1)的最小值是( )A．23＋2B．23－2C．23D．2分析：A[∵x>1，∴x－1>0.x2＋2x2－2x＋2x＋2∴y＝x－1＝x－1x2－2＋1＋x－＋3＝x－1＝x－2＋x－＋33x－1＝x－1＋＋2x－1≥2x－3x－1＋2＝23＋2.當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝3，即x＝1＋3時，取等號．]x－14．(導(dǎo)學(xué)號14577551)(2018·長春市質(zhì)檢)設(shè)正實(shí)數(shù)a，b知足a＋b＝1，則()111A.a＋b有最大值4B.ab有最小值2222C.a＋b有最大值2D．a(chǎn)＋b有最小值2分析：C[因?yàn)閍>0，b>0，由基本不等式得1＝a＋b≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號1111a＋b111222建立，∴ab≤2，∴ab≤4，a＋b＝ab＝ab≥4，所以a＋b的最小值為4，a＋b＝(a＋b)112－2ab＝1－2ab≥1－2＝2，(a＋b)＝a＋b＋2ab＝1＋2ab≤1＋1＝2，所以a＋b有最大值2，應(yīng)選C.]5．(導(dǎo)學(xué)號14577552)要制作一個容積為4m3，高為1m的無蓋長方體容器．已知該容器的底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是()A．80元B．120元C．160元D．240元分析：C[設(shè)該容器的總造價為y元，長方體的底面矩形的長為xm，因?yàn)闊o蓋長方體34y＝20×4＋的容積為4m，高為1m，所以長方體的底面矩形的寬為xm，依題意，得2×444102x＋x＝80＋20x＋x≥80＋20×2x×x＝4160當(dāng)且僅當(dāng)x＝x，即x＝2時取等號，所以該容器的最低總造價為160元．]6．(導(dǎo)學(xué)號14577553)當(dāng)x＞1時，不等式x＋1≥a恒建立，則實(shí)數(shù)a的最大值為x－1________.11分析：因?yàn)閤＞1，所以x－1＞0.又x＋x－1＝x－1＋x－1＋1≥2＋1＝3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時等號建立，所以a的最大值為3.答案：37．(導(dǎo)學(xué)號→→→14577554)(文科)設(shè)OA＝(1，－2)，OB＝(a，－1)，OC＝(－b,0)，a＞0，b12＞0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則a＋b的最小值是________.分析：→＝→－→＝(－1,1)，→＝→－→ABOBOAaACOCOA→→＝(－b－1,2)，∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴AB與AC共線，∴2(a－1)＋b＋1＝0，即2a＋b＝1.1212b4b4a∵a＞0，b＞0，∴a＋b＝a＋b(2a＋b)＝4＋a＋b≥4＋4＝8，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b，即b＝2a時等號建立．答案：87．(導(dǎo)學(xué)號14577555)(理科)(2018·濟(jì)寧市一模)已知圓x2＋y2－2x－4y＋3＝0對于直線ax＋－3＝0(＞0，＞0)對稱，則12_________.＋的最小值為byabab分析：∵圓x2＋y2－2x－4y＋3＝0?(x－1)2＋(y－2)2＝2，圓x2＋y2－2x－4y＋3＝0關(guān)于直線ax＋by－3＝0(a＞0，b＞0)對稱，∴該直線經(jīng)過圓心(1,2)．把圓心(1,2)代入直線ax＋by－3＝0(a＞0，b＞0)，得2a＋2b－3＝0，3a＋b＝，a＞0，b＞0，21221＋2(＋)∴＋＝×abab3ab2b22b2a42＝31＋2＋a＋b≥33＋2a·b＝2＋3，2ab42當(dāng)且僅當(dāng)b＝a，即b＝2a時獲得最小值2＋3.2答案：2＋38．(導(dǎo)學(xué)號14577556)(2018·天津河北區(qū)三模)已知＞0，＞0知足a＋＝－3，那abbab么a＋2b的最小值為____.分析：因?yàn)閍＋b＝ab－3，所以ab－a＝b＋3.＋3又因?yàn)閍＞0，b＞0，所以a＝b－1，所以a＋2＝b＋3＋2＝b－1＋4＋2(b－1)＋2＝4＋2(b－1)＋b－1b－1b－13≥24－＋3＝42＋3，當(dāng)且僅當(dāng)4＝2(－1)即＝2＋1時取“＝”．b－1bb－1bb答案：42＋3bccaab9．(導(dǎo)學(xué)號14577557)已知a＞0，b＞0，c＞0，求證：a＋b＋c≥a＋b＋c.證明：∵a＞0，b＞0，c＞0，∴bc＋ca≥2bcca＝2c，aba·bbcaba＋c≥2caabb＋c≥2

bc·ca·

ab＝2b，ab＝2a.以上三式相加得：bccaaba＋b＋c≥2(a＋b＋c)，bccaab即a＋b＋c≥a＋b＋c.10．(導(dǎo)學(xué)號14577558)已知lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)．求xy的最小值；求x＋y的最小值．解：由lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)x＞0，得y＞0，3xy＝x＋y＋1.∵x＞0，y＞0，3xy＝x＋y＋1≥2xy＋1，3xy－2xy－1≥0，即3(xy)2－2xy－1≥0，∴(3xy＋1)(xy－1)≥0，∴xy≥1，∴xy≥1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時，等號建立．xy的最小值為1.(2)∵x＞0，y＞0，x＋y＋1＝3xy≤3·x＋y2，23(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0，x＋y≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時取等號，∴x＋y的最小值為2.[能力提高組]2x2－a11．(導(dǎo)學(xué)號14577559)(2018·金麗衢市聯(lián)考)若函數(shù)f(x)＝x－1(a<2)在區(qū)間(1，＋∞)上的最小值為6，則實(shí)數(shù)a的值為()3A．0B.2C．11D.222－a分析：B[由題意得f(x)＝x－1x－2＋x－＋2－a2－a2－a＝x－1＝2(x－1)＋x－1＋4≥2x－x－1＋4＝2－a2－a24－2a＋4，當(dāng)且僅當(dāng)2(x－1)＝x－1，即x＝1＋2時，等號建立，所以24－2a＋34＝6，即a＝2，應(yīng)選B.]12．(導(dǎo)學(xué)號14577560)(理科)(2018·平頂山市一模)若對于隨意的x＞0，不等式xx2＋3x＋1≤a恒建立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()11A．a(chǎn)≥5B．a(chǎn)＞511C．a(chǎn)＜5D．a(chǎn)≤5x111分析：A[由x＞0，x2＋3x＋1＝1，令t＝x＋x，則t≥2x·x＝2，x＋x＋3當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時，t獲得最小值2，2x＋1獲得最大值1x＞0，不＋35，所以對于隨意的xxx1等式x2＋3x＋1≤a恒建立，則a≥5，應(yīng)選A.]11412．(導(dǎo)學(xué)號14577561)(文科)(2018·邯鄲市調(diào)研)若正數(shù)a，b知足a＋b＝1，則a－1＋16b－1的最小值為()A．16B．25C．36D．4911416分析：A[因?yàn)閍，b>0，a＋b＝1，所以a＋b＝ab，所以a－1＋b－1＝b－＋a－4b＋16a－20－b－＝－a＋b＋1＝4b＋16a－20.又4b＋16a＝4(b＋4a)＝4(b＋aab4a)11＝20＋4b4a≥20＋4×2b4a＝36，當(dāng)且僅當(dāng)b4a113＋＋·＝且＋＝1，即a＝，ababababab2b＝3時取等號．所以4＋16≥36－20＝16.]－1b－1a13．(導(dǎo)學(xué)號14577562)規(guī)定記號“?”表示一種運(yùn)算，即a?b＝ab＋a＋b(a，b為正實(shí)數(shù))．若1?k＝3，則k的值為____________，此時函數(shù)f(x)＝k?x的最小值為x________.分析：1?k＝k＋1＋k＝3，即k＋k－2＝0，∴k＝1或k＝－2(舍去)，k＝1.1?xx＋x＋11f(x)＝＝＝1＋x＋≥1＋2＝3，xxx當(dāng)且僅當(dāng)x＝1即x＝1時等號建立．x答案：1314．(導(dǎo)學(xué)號14577563)(2018·安徽皖北片第一次聯(lián)考)某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本為C(x)，當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時，C(x)＝31x2＋10x(萬元)．當(dāng)年產(chǎn)量不小于10000－1450(萬元)．每件商品售80千件時，C(x)＝51x＋x價為0.05萬元．經(jīng)過市場分析，該廠生產(chǎn)的商品能所有售完．寫出年收益L(x)(萬元)對于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)分析式；年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲收益最大？解：(1)∵每件商品售價為0.05萬元，∴x千件商品銷售額為0.05×1000x萬元，①當(dāng)0＜x＜80時，依據(jù)年收益＝銷售收入－成本，L(x)＝(0.05×1000x)－13x2－10x－250＝－13x2＋40x－250；②當(dāng)x≥80時，依據(jù)年收益＝銷售收入－成本，∴L(x)＝(0.05×1000x)－51x－10000＋1450－250＝1200－x＋10000.xx1x2＋40x－250，0<x<80，3綜合①②可得，L(x)＝100001200－x＋，x≥80.12－3x＋40x－250，0<x<80，由(1)可知，100001200－x＋，x≥80，1212①當(dāng)0＜x＜80時，L(x)＝－3x＋40x－