彈塑性力學(xué)第七章課件

§7-1平面極坐標(biāo)下的基本公式第七章彈性力學(xué)平面問(wèn)題的極坐標(biāo)系解答§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題

§7-3軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題——曲梁的純彎曲

§7-4圓孔的孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題

§7-5曲梁的一般彎曲

§7-6楔形體在楔頂或楔面受力

3/27/20231在平面問(wèn)題中，有些物體的截面幾何形狀（邊界）為圓形、扇形，對(duì)于這類形狀的物體采用極坐標(biāo)

(r,)

來(lái)解，因?yàn)榇藭r(shí)邊界條件用極坐標(biāo)易描述、簡(jiǎn)便。本章將討論采用極坐標(biāo)求解平面問(wèn)題一些基本方程和解法以及算例。3/27/20232§7-1平面極坐標(biāo)下的基本公式采用極坐標(biāo)系則平面內(nèi)任一點(diǎn)的物理量為r,

函數(shù)。

x

yoPr

體力：fr=Kr,f=K面力：

應(yīng)力：r,

,r=r應(yīng)變：r,

,r=r

位移：ur,u

3/27/20233§7-1平面極坐標(biāo)下的基本公式

1.1

平衡微分方程3/27/20235§7-1平面極坐標(biāo)下的基本公式

1.2幾何方程

1.3變形協(xié)調(diào)方程

3/27/20236§7-1平面極坐標(biāo)下的基本公式1.4物理方程

平面應(yīng)力問(wèn)題：

平面應(yīng)變問(wèn)題將上式中，，即得。

3/27/20237§7-1平面極坐標(biāo)下的基本公式1.5邊界條件

環(huán)向邊界

（r=r0）

徑向邊界

（=0）（在

s

上）3/27/20239§7-1平面極坐標(biāo)下的基本公式1.6按位移法求解

基本未知函數(shù)為位移ur,u

，應(yīng)變、應(yīng)力均由位移導(dǎo)出。平面應(yīng)力問(wèn)題時(shí)的應(yīng)力由位移表示：

3/27/202310§7-1平面極坐標(biāo)下的基本公式1.6按位移法求解

3/27/202311§7-1平面極坐標(biāo)下的基本公式1.7按應(yīng)力法求解

在直角坐標(biāo)系中按應(yīng)力求解的基本方程為(平面應(yīng)力問(wèn)題）

其中

3/27/202313§7-1平面極坐標(biāo)下的基本公式在極坐標(biāo)按應(yīng)力求解的基本方程為（平面應(yīng)力問(wèn)題）其中

力的邊界條件如前所列。

3/27/202314§7-1平面極坐標(biāo)下的基本公式1.8應(yīng)力函數(shù)解法

當(dāng)體力為零

fr=f=0時(shí),應(yīng)力法基本方程中的應(yīng)力分量可以轉(zhuǎn)為一個(gè)待求的未知函數(shù)

(r,)

表示,而應(yīng)力函數(shù)

(r,)

所滿足方程為

4(r,)=0

或

3/27/202315§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題

2.1軸對(duì)稱問(wèn)題的特點(diǎn)

1.截面的幾何形狀為圓環(huán)、圓盤(pán)。

2.受力和約束對(duì)稱于中心軸,因此，可知體積力分量

f=0

；

在邊界上

r=r0：，（沿環(huán)向的受力和約束為零）。

3.導(dǎo)致物體應(yīng)力、應(yīng)變和位移分布也是軸對(duì)稱的：

3/27/202317§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題在V內(nèi)

u=0，r=0，r=0,

ur=ur(r)，r=r(r),=

(r),

r=r(r),=

(r)

。

各待求函數(shù)為r的函數(shù)（單變量的）3/27/202318§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題2.2

軸對(duì)稱平面問(wèn)題的基本公式1.平面微分方程（僅一個(gè)）：

2.幾何方程（二個(gè)）：

3/27/202319§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題

3.變形協(xié)調(diào)方程（一個(gè)）：——變形協(xié)調(diào)方程

由幾何方程：

或

3/27/202321§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題

4.物理方程(兩個(gè))平面應(yīng)力問(wèn)題

或

平面應(yīng)變問(wèn)題時(shí)彈性系數(shù)替換。

3/27/202322§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題5.按位移法求解將

r、

用ur表示，并代入平衡微分方程，

對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題

3/27/202323§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題相應(yīng)邊界條件：軸對(duì)稱問(wèn)題邊界r=r0（常數(shù)）

位移邊界條件：（在

su上）

力的邊界條件：（在

s

上）

平面應(yīng)力問(wèn)題的力邊界條件用位移表示：

3/27/202325§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題6.按應(yīng)力法解當(dāng)ur

由基本方程和相應(yīng)邊界條件求出后，則相應(yīng)應(yīng)變、應(yīng)力均可求出。

（在

s

上）3/27/202326§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題7.按應(yīng)力函數(shù)求解

當(dāng)無(wú)體力時(shí)應(yīng)力法基本方程為：

選取應(yīng)力函數(shù)

=(r)——單變量的函數(shù)3/27/202329§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題應(yīng)力分量與(r)的關(guān)系：

自然滿足平衡微分方程，則應(yīng)力函數(shù)(r)應(yīng)滿足的基本方程為相容方程，即3/27/202330§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題或

——四階變系數(shù)的微分方程（尤拉方程）

3/27/202331§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題而

則

3/27/202332§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題逐次積分（四次）可將軸對(duì)稱問(wèn)題的(r)基本形式得到：

(r)=Alnr+Br2lnr+Cr2+D3/27/202333§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題

其中A、B、C、D為任意常數(shù)，D可去掉。

將

(r)代入應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系式，可得平面應(yīng)力、平面應(yīng)變問(wèn)題應(yīng)力表達(dá)式：3/27/202334§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題對(duì)于圓環(huán)或圓筒，邊界條件僅兩個(gè)，不能確定三個(gè)系數(shù)。但圓環(huán)或圓筒為復(fù)連域，除了邊界條件滿足外還要考慮位移單值條件。

x

y下面將ur

表達(dá)式導(dǎo)出（平面應(yīng)力問(wèn)題為例）

3/27/202335§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題將物理方程代入幾何方程：

將應(yīng)力分量表達(dá)代入幾何方程的第二式，得

x

y3/27/202336§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題應(yīng)力分量表達(dá)代入幾何方程的第一式并積分，得

——(b)

——(a)

3/27/202337§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題考慮位移單值性比較（a）和（b）式：

4Br-F=0

B=F=0軸對(duì)稱問(wèn)題的應(yīng)力和位移解為：

A、C

由兩個(gè)條件確定。

3/27/202338§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題q對(duì)于無(wú)體力圓盤(pán)（或圓柱）的軸對(duì)稱問(wèn)題，則根據(jù)圓盤(pán)（或圓柱）中心應(yīng)力和位移有限值,得A=0

圖示圓盤(pán)受力情況，得應(yīng)力為

r==2C=-q

3/27/202339§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題2.3軸對(duì)稱問(wèn)題舉例

例題1

等厚圓盤(pán)在勻速

轉(zhuǎn)動(dòng)中計(jì)算（按位移法解）xyaPr已知：等厚圓盤(pán)繞盤(pán)心勻速轉(zhuǎn)動(dòng)（單位厚）角速度為

（常數(shù)）、圓盤(pán)密度為

，

3/27/202340§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題2.3軸對(duì)稱問(wèn)題舉例

圓盤(pán)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)受體力（離心力）作用：

fr=Kr=2r，f=K=0

在r=a邊界上（或）

符合軸對(duì)稱問(wèn)題（平面應(yīng)力問(wèn)題）。

xyaPr3/27/202341§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題位移法的基本方程：

積分兩次：

確定C1和C2：當(dāng)r=０時(shí)，ur為有限值，須C2=0xyaPr3/27/202342§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題利用r=a

時(shí)，

，得

代回位移表達(dá)式并求應(yīng)力

xyaPr3/27/202343§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題xyaPr3/27/202344§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題xybra如果圓環(huán)勻速（）轉(zhuǎn)動(dòng)，則ur

表達(dá)公式中的C20

，

C1和C2由力的邊界條件定：

(r）r=a=0,(r）r=b=0

3/27/202345§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題例題２圓環(huán)（或圓筒）受內(nèi)外壓力作用。

已知：體力fr=f=0

（或

Kr=K=0），

abqaqb力的邊界條件：

在r=a邊界（內(nèi)徑）：

r=-qa，r=0

在r=b邊界（外徑）：

r=-qb，r=0

3/27/202346§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題本問(wèn)題仍為軸對(duì)稱問(wèn)題，且體力為零，

可采用前述的應(yīng)力函數(shù)求解方程，也可按位移法求解。

１．按應(yīng)力函數(shù)法求解

按應(yīng)力函數(shù)求解前面已導(dǎo)出位移分量和應(yīng)力分量表達(dá)式：

abqaqb3/27/202347§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題的應(yīng)力：

利用力的邊界條件，得：

abqaqb3/27/202348§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題代回應(yīng)力表達(dá)式：

得

abqaqb3/27/202349§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題得

abqaqb3/27/202350§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題２．按位移法求解：

由基本方程

得

代入應(yīng)力與位移之間關(guān)系式(平面應(yīng)力問(wèn)題)，有

abqaqb3/27/202351§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題討論：(1）當(dāng)qa0，qb=0僅受內(nèi)壓，以及qb=0、

b

時(shí)。利用力的邊界條件導(dǎo)出同樣結(jié)果。

3/27/202352§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題qa<0(壓)>0（拉）r3/27/202353§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題<0(壓)>0（拉）當(dāng)b:+-當(dāng)r，應(yīng)力03/27/202354§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題（2）當(dāng)qa=0，qb0

僅受外壓；

qb<0(壓)<0（壓）r3/27/202355§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題例題3.組合圓筒。

yxbca內(nèi)筒：內(nèi)徑a，外徑b，彈性系數(shù)E、，

外筒：內(nèi)徑b，外徑c，彈性系數(shù)E’、’。

內(nèi)筒應(yīng)力和位移：

3/27/202356§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題

yxbca3/27/202357§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題外筒應(yīng)力和位移：

yxbca3/27/202358§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題組合圓筒應(yīng)力和位移表達(dá)式中,共有四個(gè)待定系數(shù)A、C、A’、C’，利用四個(gè)條件定。如果內(nèi)筒受內(nèi)壓

qa外筒外徑無(wú)面力，則確定系數(shù)的四個(gè)條件為：

(r）r=a=-qa,(r’）r=c=0,(r）r=b=(r’）r=b

，(ur）r=b=(ur’）r=byxbca3/27/202359§7-2軸對(duì)稱問(wèn)題又如：內(nèi)筒無(wú)內(nèi)壓qa=0，外筒無(wú)外壓qc=0，但內(nèi)筒外徑大一點(diǎn)，內(nèi)筒外徑為b+

，外筒內(nèi)徑仍為b，過(guò)盈配合問(wèn)題，邊界條件如何寫(xiě)：

(r）r=a=0

,(r’）r=c=0,(r）r=b=(r’）r=b

，

(ur’）r=b=(ur）r=b+yxbca3/27/202360MMar

yxb§7-3軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題——曲梁的純彎曲

曲梁為單連域，當(dāng)無(wú)體力作用，且受純彎曲作用時(shí)，從受力分析知曲梁

=c的截面上內(nèi)力為M，各截面上的應(yīng)力分布也相同與

無(wú)關(guān)的，因此屬于軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題。3/27/202361§7-3軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題——曲梁的純彎曲

但位移不是軸對(duì)稱的，即u

0

，所以不能按軸對(duì)稱問(wèn)題的位移法求解，但可按軸對(duì)稱應(yīng)力（應(yīng)力函數(shù)）解法求應(yīng)力并由應(yīng)力導(dǎo)出位移。MMar

yxb3/27/202362§7-3軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題——曲梁的純彎曲按軸對(duì)稱應(yīng)力函數(shù)解：應(yīng)力函數(shù)=(r)

(r)=Alnr+Br2lnr+Cr2

(已導(dǎo)出)

arb,0

,

MMar

yxb3/27/202363§7-3軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題——曲梁的純彎曲

在主要邊界上

r=a：(r）r=a=0，(r）r=a=0,（1）

MMar

yxb

利用力的邊界條件確定

A、B、C：

3/27/202364§7-3軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題——曲梁的純彎曲

r=b：(r）r=b=0，(r）r=b=0

，

（1）

（2）

MMar

yxb

利用力的邊界條件確定

A、B、C：

3/27/202365§7-3軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題——曲梁的純彎曲在次要邊界上不清楚垂直邊界的面力具體分布，利用圣維南原理：

在

=0:

MMar

yxb由于主要邊界滿足，則此式自然滿足；

3/27/202366§7-3軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題——曲梁的純彎曲在

=0:

(3)

MMar

yxb3/27/202367§7-3軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題——曲梁的純彎曲由（1）、（2）、(3)求出A、B、C。

(3)

（1）

（2）

(r)=Alnr+Br2lnr+Cr2

3/27/202368§7-3軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題——曲梁的純彎曲解出A、B、C

3/27/202369§7-3軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題——曲梁的純彎曲應(yīng)力分量3/27/202370§7-3軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題——曲梁的純彎曲應(yīng)力求出后，依次可求出應(yīng)變和位移。在徐芝綸(4-12)中I、K、H為剛體位移，

I=u0、K=v0,H=?？衫眉s束確定，如令

r0=(a+b)/2，=0

處3/27/202371§7-3軸對(duì)稱應(yīng)力問(wèn)題——曲梁的純彎曲可利用約束確定，如令

r0=(a+b)/2，=0

處得

H=K=0,

3/27/202372§7-4圓孔的孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題

從本節(jié)和后面兩節(jié)討論一些工程中經(jīng)常用到的一些解，仍采用應(yīng)力函數(shù)解法。本節(jié)討論一個(gè)無(wú)體力的矩形薄板，薄板內(nèi)有一個(gè)小圓孔（圓孔半徑a很小），薄板兩個(gè)對(duì)邊分別受均勻拉力q1和q2作用，由于板內(nèi)有微小圓孔，孔邊應(yīng)力將遠(yuǎn)大于距孔稍遠(yuǎn)處的應(yīng)力——稱應(yīng)力集中問(wèn)題。

q2q1q1q2x

y圖（a）3/27/202373§7-4圓孔的孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題q2q1q1q2x

y圖（a）=

+q=(q1+q2)/2x

yq=(q1+q2)/2圖（b）圖（c）q’=(q1-q2)/2xyq’=(q1-q2)/23/27/202374§7-4圓孔的孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題

圖(a)受力情況，依照線彈性力學(xué)疊加原理：

圖(a)的解＝圖(b)的解＋圖(c)的解。

3/27/202375§7-4圓孔的孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題下面分別討論圖(b)和圖(c)的解：

圖(b)情況,遠(yuǎn)離孔的位置應(yīng)力為

q=(q1+q2)/2x

yq=(q1+q2)/2圖（b）3/27/202376§7-4圓孔的孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題其中

q=(q1+q2)/2，圖(b)解相當(dāng)圓環(huán)內(nèi)徑無(wú)內(nèi)壓qa=0,外徑受外壓qb=-q作用情況,已有解，只須將a/b0代入,得q=(q1+q2)/2x

yq=(q1+q2)/2圖（b）3/27/202377§7-4圓孔的孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題圖(c)情況，遠(yuǎn)離孔的位置應(yīng)力為

x=-y=q’

,xy=0

,其中

q’=(q1-q2)/2，圖（c）q’=(q1-q2)/2xyq’=(q1-q2)/2通過(guò)應(yīng)力轉(zhuǎn)換式可得

r=q’cos2

,

=-q’cos2

,

r

=-q’sin2

。3/27/202378§7-4圓孔的孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題r=q’cos2

,

=-q’cos2

,

r

=-q’sin2

?？梢?jiàn),圖(c)的應(yīng)力不是軸對(duì)稱的（結(jié)構(gòu)為軸對(duì)稱），

關(guān)鍵是要設(shè)應(yīng)力函數(shù)

(r,)圖（c）q’=(q1-q2)/2xyq’=(q1-q2)/2采用半逆解法：3/27/202379§7-4圓孔的孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題（1）根據(jù)應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量的關(guān)系式判斷(r,)應(yīng)有cos2

項(xiàng)（因子）。在較遠(yuǎn)處

q’cos2

在較遠(yuǎn)處

-q’cos2

圖（c）q’=(q1-q2)/2xyq’=(q1-q2)/23/27/202380§7-4圓孔的孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題在較遠(yuǎn)處

-q’sin2

（2）假設(shè)應(yīng)力函數(shù)

(r,)

可以分離變量圖（c）q’=(q1-q2)/2xyq’=(q1-q2)/2(r,)=f(r)g()=f(r)cos23/27/202381§7-4圓孔的孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題將所設(shè)(r,)的形式,

代入

4=0

，得(r,)=f(r)g()=f(r)cos23/27/202382§7-4圓孔的孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題解出

代回應(yīng)力函數(shù)

(r,),得

可求得應(yīng)力分量表達(dá)式為3/27/202383§7-4圓孔的孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題可求得應(yīng)力分量表達(dá)式為應(yīng)力分量中的四個(gè)系數(shù)由四個(gè)力邊界條件確定圖（c）q’=(q1-q2)/2xyq’=(q1-q2)/23/27/202384§7-4圓孔的孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題四個(gè)力邊界條件,即

(r）r=a=0

,(r）r=a=0

,(r）r=b=q’cos2

,

(r）r=b=-q’sin2

；

由此四各方程解得A、B、C、D。圖（c）q’=(q1-q2)/2xyq’=(q1-q2)/23/27/202385§7-4圓孔的孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題其中

3/27/202386§7-4圓孔的孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題當(dāng)

a/b0（無(wú)限大板中有小孔）代入上述各系數(shù)表達(dá)式，得

N=1,A=0,B=-q’/2,C=q’a2,D=-q’a4/2

再代入上面圖(c)應(yīng)力表達(dá)式，可得應(yīng)力最后表達(dá)式：圖（c）q’=(q1-q2)/2xyq’=(q1-q2)/23/27/202387§7-4圓孔的孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題圖（c）q’=(q1-q2)/2xyq’=(q1-q2)/23/27/202388§7-4圓孔的孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題最后圖(a)應(yīng)力由圖(b)應(yīng)力解和圖(c)應(yīng)力解相加而得。

3/27/202389§7-4圓孔的孔邊應(yīng)力集中問(wèn)題當(dāng)q1=q，q2=0代入上式，可得齊爾西解qqx3q-qyqxy3qq-q=0oq=90o3/27/202390§7-5曲梁的一般彎曲

Par

yxb曲梁無(wú)體力作用，曲梁頂部受集中力P作用。

仍采用半逆解法：考慮曲梁截面上內(nèi)力表達(dá)式，推出應(yīng)力函數(shù)的函數(shù)變化。在

截面內(nèi)力：

3/27/202391§7-5曲梁的一般彎曲根據(jù)應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量的關(guān)系式判斷

(r,)應(yīng)有sin

項(xiàng)（因子）。假設(shè)應(yīng)力函數(shù)

(r,)

可以分離變量,設(shè)為

(r,)=f(r)g()=f(r)sin

代入

4=0,

得

Par

yxb3/27/202392§7-5曲梁的一般彎曲

解得

f(r)=Ar3+Br+Crlnr+D/r

則

(r,)=(Ar3+Br+Crlnr+D/r）sin其中

Brsin

=By

可略去。

將

(r,)

代入應(yīng)力分量表達(dá)式3/27/202393§7-5曲梁的一般彎曲A、C、D由力的邊界條件來(lái)定。力的邊界條件：在主要邊界上在r=a：

r=0

,r

=0,

2Aa+C/a-2D/a3=0

在r=b:

r=0

,

r

=0,2Ab+C/b-2D/b3=0

Par

yxb3/27/202394§7-5曲梁的一般彎曲

在次要邊界上：在

=0

，環(huán)向方向的面力為零徑向方向的面力的分布未給出，但給出面力的合力

滿足

Par

yxb3/27/202395§7-5曲梁的一般彎曲利用圣維南原理

或

由上述方程解出

2Aa+C/a-2D/a3=0

2Ab+C/b-2D/b3=0

3/27/202396§7-5曲梁的一般彎曲代回應(yīng)力分量表達(dá)式

3/27/202397§7-5曲梁的一般彎曲注意：這個(gè)應(yīng)力解在曲梁兩端是不能用的。應(yīng)變和位移可由物理和幾何方程導(dǎo)出。3/27/202398§7-6楔形體在楔頂或楔面受力楔形體分別受三種不同荷載作用時(shí)，應(yīng)力函數(shù)(r,)的選取考慮：

（1）采用分離變量法

(r,)=g(r)f()；

ox

y/2/2（2）

考慮應(yīng)力函數(shù)在楔形體邊界上的變化規(guī)律，將(r,)中的g(r)的形式假設(shè)出來(lái);3/27/202399§7-6楔形體在楔頂或楔面受力（3）

然后利用

4

=0

求f()的形式；（4）利用邊界條件確定f()的表達(dá)式的待定系數(shù)。

情況1楔形體不考慮體力，楔形體頂部受集中力P作用。

ox

yP/2/23/27/2023100§7-6楔形體在楔頂或楔面受力ox

yP/2/2設(shè)應(yīng)力函數(shù)

(r,)=g(r)f()且利用無(wú)體力時(shí)，應(yīng)力函數(shù)

(r,)

在邊界上的值及偏微分與邊界上面力的關(guān)系式來(lái)確定

g(r)

的形式。3/27/2023101§7-6楔形體在楔頂或楔面受力首先可設(shè)邊界上始點(diǎn)A的A=0ox

yP/2/2A

則邊界上在OA段任意點(diǎn)B的

值為

B=0

任意點(diǎn)經(jīng)過(guò)O點(diǎn),在楔形體左側(cè)的

值為

=Prsin(-/2)與r一次式有關(guān)。3/27/2023102§7-6楔形體在楔頂或楔面受力可設(shè)

(r,)=g(r)f()=rf()(r,)的假設(shè)也可以由

(r,)與應(yīng)力分量的關(guān)系及應(yīng)力分量與集中力P

之間量綱關(guān)系來(lái)設(shè)。

ox

yP/2/2A3/27/2023103§7-6楔形體在楔頂或楔面受力由

(r,)=rf(

)

代入

4=0

，

得：

要求

解得

f()=Acos+Bsin+(Ccos+Dsin)

(r,)=Arcos+Brsin+r(Ccos+Dsin)3/27/2023104§7-6楔形體在楔頂或楔面受力由

(r,)可得應(yīng)力分量表達(dá)式系數(shù)C、D的確定：

3/27/2023105§7-6楔形體在楔頂或楔面受力可見(jiàn)僅靠力的邊界條件不能確定所有待定系數(shù)，這是由于本問(wèn)題的載荷是作用于一點(diǎn)的集中力，在頂點(diǎn)有奇點(diǎn)，待定系數(shù)需靠部分楔形體的平衡而確定。首先應(yīng)考慮邊界條件來(lái)定，即

=

/2

時(shí)，=0,r=0,自然滿足。ox

yP/2/2A3/27/2023106§7-6楔形體在楔頂或楔面受力Fx=0:

Fy=0:

ox

yP/2/2Ar3/27/2023107§7-6楔形體在楔頂或楔面受力代回應(yīng)力分量表達(dá)式

討論：

1.當(dāng)

=0

，

2.當(dāng)

=/2，

ox

yP/2/2Ar3/27/2023108§7-6楔形體在楔頂或楔面受力

3．當(dāng)

=

時(shí)楔形體變?yōu)榘霟o(wú)限體，受集中力作用：

ox

yP當(dāng)=

,

=/2:ox

yP3/27/2023109§7-6楔形體在楔頂或楔面受力當(dāng)=

,

=0:利用應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式，可得到直角坐標(biāo)中的應(yīng)力分量：

ox

yP3/27/2023110§7-6楔形體在楔頂或楔面受力ox

yP3/27/2023111§7-6楔形體在楔頂或楔面受力將上式代入物理方程和幾何方程并積分求得位移：

（H、I、K任意數(shù)）

ox

yP3/27/2023112§7-6楔形體在楔頂或楔面受力由對(duì)稱性，得

(u

)=0=Hr+K=0

則

H=K=0。

ox

yPsrMB

半無(wú)限體邊界上任意點(diǎn)沉陷（=

/2）：

3/27/2023113§7-6楔形體在楔頂或楔面受力M點(diǎn)：

B點(diǎn)：

B點(diǎn)相對(duì)M點(diǎn)沉陷：

ox

yPsrMB3/27/2023114§7-6楔形體在楔頂或楔面受力ox

yM/2/2

情況2楔形體不考慮體力，楔形體頂部受集中力偶M作用。

與情況1類似步驟，可設(shè)

(r,)=g(r)f()=f()

代入

4=0

，

解得：

(r,)=Acos2+Bsin2+C+D

(D

可略去)3/27/2023115§7-6楔形體在楔頂或楔面受力由

(r,)

可得應(yīng)力分量表達(dá)式系數(shù)A、B、C仍