彈塑性力學第七章課件

§7-1平面極坐標下的基本公式第七章彈性力學平面問題的極坐標系解答§7-2軸對稱問題

§7-3軸對稱應力問題——曲梁的純彎曲

§7-4圓孔的孔邊應力集中問題

§7-5曲梁的一般彎曲

§7-6楔形體在楔頂或楔面受力

3/27/20231在平面問題中，有些物體的截面幾何形狀（邊界）為圓形、扇形，對于這類形狀的物體采用極坐標

(r,)

來解，因為此時邊界條件用極坐標易描述、簡便。本章將討論采用極坐標求解平面問題一些基本方程和解法以及算例。3/27/20232§7-1平面極坐標下的基本公式采用極坐標系則平面內(nèi)任一點的物理量為r,

函數(shù)。

x

yoPr

體力：fr=Kr,f=K面力：

應力：r,

,r=r應變：r,

,r=r

位移：ur,u

3/27/20233§7-1平面極坐標下的基本公式

1.1

平衡微分方程3/27/20235§7-1平面極坐標下的基本公式

1.2幾何方程

1.3變形協(xié)調(diào)方程

3/27/20236§7-1平面極坐標下的基本公式1.4物理方程

平面應力問題：

平面應變問題將上式中，，即得。

3/27/20237§7-1平面極坐標下的基本公式1.5邊界條件

環(huán)向邊界

（r=r0）

徑向邊界

（=0）（在

s

上）3/27/20239§7-1平面極坐標下的基本公式1.6按位移法求解

基本未知函數(shù)為位移ur,u

，應變、應力均由位移導出。平面應力問題時的應力由位移表示：

3/27/202310§7-1平面極坐標下的基本公式1.6按位移法求解

3/27/202311§7-1平面極坐標下的基本公式1.7按應力法求解

在直角坐標系中按應力求解的基本方程為(平面應力問題）

其中

3/27/202313§7-1平面極坐標下的基本公式在極坐標按應力求解的基本方程為（平面應力問題）其中

力的邊界條件如前所列。

3/27/202314§7-1平面極坐標下的基本公式1.8應力函數(shù)解法

當體力為零

fr=f=0時,應力法基本方程中的應力分量可以轉(zhuǎn)為一個待求的未知函數(shù)

(r,)

表示,而應力函數(shù)

(r,)

所滿足方程為

4(r,)=0

或

3/27/202315§7-2軸對稱問題

2.1軸對稱問題的特點

1.截面的幾何形狀為圓環(huán)、圓盤。

2.受力和約束對稱于中心軸,因此，可知體積力分量

f=0

；

在邊界上

r=r0：，（沿環(huán)向的受力和約束為零）。

3.導致物體應力、應變和位移分布也是軸對稱的：

3/27/202317§7-2軸對稱問題在V內(nèi)

u=0，r=0，r=0,

ur=ur(r)，r=r(r),=

(r),

r=r(r),=

(r)

。

各待求函數(shù)為r的函數(shù)（單變量的）3/27/202318§7-2軸對稱問題2.2

軸對稱平面問題的基本公式1.平面微分方程（僅一個）：

2.幾何方程（二個）：

3/27/202319§7-2軸對稱問題

3.變形協(xié)調(diào)方程（一個）：——變形協(xié)調(diào)方程

由幾何方程：

或

3/27/202321§7-2軸對稱問題

4.物理方程(兩個)平面應力問題

或

平面應變問題時彈性系數(shù)替換。

3/27/202322§7-2軸對稱問題5.按位移法求解將

r、

用ur表示，并代入平衡微分方程，

對于平面應力問題

3/27/202323§7-2軸對稱問題相應邊界條件：軸對稱問題邊界r=r0（常數(shù)）

位移邊界條件：（在

su上）

力的邊界條件：（在

s

上）

平面應力問題的力邊界條件用位移表示：

3/27/202325§7-2軸對稱問題6.按應力法解當ur

由基本方程和相應邊界條件求出后，則相應應變、應力均可求出。

（在

s

上）3/27/202326§7-2軸對稱問題7.按應力函數(shù)求解

當無體力時應力法基本方程為：

選取應力函數(shù)

=(r)——單變量的函數(shù)3/27/202329§7-2軸對稱問題應力分量與(r)的關(guān)系：

自然滿足平衡微分方程，則應力函數(shù)(r)應滿足的基本方程為相容方程，即3/27/202330§7-2軸對稱問題或

——四階變系數(shù)的微分方程（尤拉方程）

3/27/202331§7-2軸對稱問題而

則

3/27/202332§7-2軸對稱問題逐次積分（四次）可將軸對稱問題的(r)基本形式得到：

(r)=Alnr+Br2lnr+Cr2+D3/27/202333§7-2軸對稱問題

其中A、B、C、D為任意常數(shù)，D可去掉。

將

(r)代入應力分量與應力函數(shù)的關(guān)系式，可得平面應力、平面應變問題應力表達式：3/27/202334§7-2軸對稱問題對于圓環(huán)或圓筒，邊界條件僅兩個，不能確定三個系數(shù)。但圓環(huán)或圓筒為復連域，除了邊界條件滿足外還要考慮位移單值條件。

x

y下面將ur

表達式導出（平面應力問題為例）

3/27/202335§7-2軸對稱問題將物理方程代入幾何方程：

將應力分量表達代入幾何方程的第二式，得

x

y3/27/202336§7-2軸對稱問題應力分量表達代入幾何方程的第一式并積分，得

——(b)

——(a)

3/27/202337§7-2軸對稱問題考慮位移單值性比較（a）和（b）式：

4Br-F=0

B=F=0軸對稱問題的應力和位移解為：

A、C

由兩個條件確定。

3/27/202338§7-2軸對稱問題q對于無體力圓盤（或圓柱）的軸對稱問題，則根據(jù)圓盤（或圓柱）中心應力和位移有限值,得A=0

圖示圓盤受力情況，得應力為

r==2C=-q

3/27/202339§7-2軸對稱問題2.3軸對稱問題舉例

例題1

等厚圓盤在勻速

轉(zhuǎn)動中計算（按位移法解）xyaPr已知：等厚圓盤繞盤心勻速轉(zhuǎn)動（單位厚）角速度為

（常數(shù)）、圓盤密度為

，

3/27/202340§7-2軸對稱問題2.3軸對稱問題舉例

圓盤勻速轉(zhuǎn)動時受體力（離心力）作用：

fr=Kr=2r，f=K=0

在r=a邊界上（或）

符合軸對稱問題（平面應力問題）。

xyaPr3/27/202341§7-2軸對稱問題位移法的基本方程：

積分兩次：

確定C1和C2：當r=０時，ur為有限值，須C2=0xyaPr3/27/202342§7-2軸對稱問題利用r=a

時，

，得

代回位移表達式并求應力

xyaPr3/27/202343§7-2軸對稱問題xyaPr3/27/202344§7-2軸對稱問題xybra如果圓環(huán)勻速（）轉(zhuǎn)動，則ur

表達公式中的C20

，

C1和C2由力的邊界條件定：

(r）r=a=0,(r）r=b=0

3/27/202345§7-2軸對稱問題例題２圓環(huán)（或圓筒）受內(nèi)外壓力作用。

已知：體力fr=f=0

（或

Kr=K=0），

abqaqb力的邊界條件：

在r=a邊界（內(nèi)徑）：

r=-qa，r=0

在r=b邊界（外徑）：

r=-qb，r=0

3/27/202346§7-2軸對稱問題本問題仍為軸對稱問題，且體力為零，

可采用前述的應力函數(shù)求解方程，也可按位移法求解。

１．按應力函數(shù)法求解

按應力函數(shù)求解前面已導出位移分量和應力分量表達式：

abqaqb3/27/202347§7-2軸對稱問題平面應力問題的應力：

利用力的邊界條件，得：

abqaqb3/27/202348§7-2軸對稱問題代回應力表達式：

得

abqaqb3/27/202349§7-2軸對稱問題得

abqaqb3/27/202350§7-2軸對稱問題２．按位移法求解：

由基本方程

得

代入應力與位移之間關(guān)系式(平面應力問題)，有

abqaqb3/27/202351§7-2軸對稱問題討論：(1）當qa0，qb=0僅受內(nèi)壓，以及qb=0、

b

時。利用力的邊界條件導出同樣結(jié)果。

3/27/202352§7-2軸對稱問題qa<0(壓)>0（拉）r3/27/202353§7-2軸對稱問題<0(壓)>0（拉）當b:+-當r，應力03/27/202354§7-2軸對稱問題（2）當qa=0，qb0

僅受外壓；

qb<0(壓)<0（壓）r3/27/202355§7-2軸對稱問題例題3.組合圓筒。

yxbca內(nèi)筒：內(nèi)徑a，外徑b，彈性系數(shù)E、，

外筒：內(nèi)徑b，外徑c，彈性系數(shù)E’、’。

內(nèi)筒應力和位移：

3/27/202356§7-2軸對稱問題平面應變問題

yxbca3/27/202357§7-2軸對稱問題外筒應力和位移：

yxbca3/27/202358§7-2軸對稱問題組合圓筒應力和位移表達式中,共有四個待定系數(shù)A、C、A’、C’，利用四個條件定。如果內(nèi)筒受內(nèi)壓

qa外筒外徑無面力，則確定系數(shù)的四個條件為：

(r）r=a=-qa,(r’）r=c=0,(r）r=b=(r’）r=b

，(ur）r=b=(ur’）r=byxbca3/27/202359§7-2軸對稱問題又如：內(nèi)筒無內(nèi)壓qa=0，外筒無外壓qc=0，但內(nèi)筒外徑大一點，內(nèi)筒外徑為b+

，外筒內(nèi)徑仍為b，過盈配合問題，邊界條件如何寫：

(r）r=a=0

,(r’）r=c=0,(r）r=b=(r’）r=b

，

(ur’）r=b=(ur）r=b+yxbca3/27/202360MMar

yxb§7-3軸對稱應力問題——曲梁的純彎曲

曲梁為單連域，當無體力作用，且受純彎曲作用時，從受力分析知曲梁

=c的截面上內(nèi)力為M，各截面上的應力分布也相同與

無關(guān)的，因此屬于軸對稱應力問題。3/27/202361§7-3軸對稱應力問題——曲梁的純彎曲

但位移不是軸對稱的，即u

0

，所以不能按軸對稱問題的位移法求解，但可按軸對稱應力（應力函數(shù)）解法求應力并由應力導出位移。MMar

yxb3/27/202362§7-3軸對稱應力問題——曲梁的純彎曲按軸對稱應力函數(shù)解：應力函數(shù)=(r)

(r)=Alnr+Br2lnr+Cr2

(已導出)

arb,0

,

MMar

yxb3/27/202363§7-3軸對稱應力問題——曲梁的純彎曲

在主要邊界上

r=a：(r）r=a=0，(r）r=a=0,（1）

MMar

yxb

利用力的邊界條件確定

A、B、C：

3/27/202364§7-3軸對稱應力問題——曲梁的純彎曲

r=b：(r）r=b=0，(r）r=b=0

，

（1）

（2）

MMar

yxb

利用力的邊界條件確定

A、B、C：

3/27/202365§7-3軸對稱應力問題——曲梁的純彎曲在次要邊界上不清楚垂直邊界的面力具體分布，利用圣維南原理：

在

=0:

MMar

yxb由于主要邊界滿足，則此式自然滿足；

3/27/202366§7-3軸對稱應力問題——曲梁的純彎曲在

=0:

(3)

MMar

yxb3/27/202367§7-3軸對稱應力問題——曲梁的純彎曲由（1）、（2）、(3)求出A、B、C。

(3)

（1）

（2）

(r)=Alnr+Br2lnr+Cr2

3/27/202368§7-3軸對稱應力問題——曲梁的純彎曲解出A、B、C

3/27/202369§7-3軸對稱應力問題——曲梁的純彎曲應力分量3/27/202370§7-3軸對稱應力問題——曲梁的純彎曲應力求出后，依次可求出應變和位移。在徐芝綸(4-12)中I、K、H為剛體位移，

I=u0、K=v0,H=?？衫眉s束確定，如令

r0=(a+b)/2，=0

處3/27/202371§7-3軸對稱應力問題——曲梁的純彎曲可利用約束確定，如令

r0=(a+b)/2，=0

處得

H=K=0,

3/27/202372§7-4圓孔的孔邊應力集中問題

從本節(jié)和后面兩節(jié)討論一些工程中經(jīng)常用到的一些解，仍采用應力函數(shù)解法。本節(jié)討論一個無體力的矩形薄板，薄板內(nèi)有一個小圓孔（圓孔半徑a很?。?，薄板兩個對邊分別受均勻拉力q1和q2作用，由于板內(nèi)有微小圓孔，孔邊應力將遠大于距孔稍遠處的應力——稱應力集中問題。

q2q1q1q2x

y圖（a）3/27/202373§7-4圓孔的孔邊應力集中問題q2q1q1q2x

y圖（a）=

+q=(q1+q2)/2x

yq=(q1+q2)/2圖（b）圖（c）q’=(q1-q2)/2xyq’=(q1-q2)/23/27/202374§7-4圓孔的孔邊應力集中問題

圖(a)受力情況，依照線彈性力學疊加原理：

圖(a)的解＝圖(b)的解＋圖(c)的解。

3/27/202375§7-4圓孔的孔邊應力集中問題下面分別討論圖(b)和圖(c)的解：

圖(b)情況,遠離孔的位置應力為

q=(q1+q2)/2x

yq=(q1+q2)/2圖（b）3/27/202376§7-4圓孔的孔邊應力集中問題其中

q=(q1+q2)/2，圖(b)解相當圓環(huán)內(nèi)徑無內(nèi)壓qa=0,外徑受外壓qb=-q作用情況,已有解，只須將a/b0代入,得q=(q1+q2)/2x

yq=(q1+q2)/2圖（b）3/27/202377§7-4圓孔的孔邊應力集中問題圖(c)情況，遠離孔的位置應力為

x=-y=q’

,xy=0

,其中

q’=(q1-q2)/2，圖（c）q’=(q1-q2)/2xyq’=(q1-q2)/2通過應力轉(zhuǎn)換式可得

r=q’cos2

,

=-q’cos2

,

r

=-q’sin2

。3/27/202378§7-4圓孔的孔邊應力集中問題r=q’cos2

,

=-q’cos2

,

r

=-q’sin2

。可見,圖(c)的應力不是軸對稱的（結(jié)構(gòu)為軸對稱），

關(guān)鍵是要設應力函數(shù)

(r,)圖（c）q’=(q1-q2)/2xyq’=(q1-q2)/2采用半逆解法：3/27/202379§7-4圓孔的孔邊應力集中問題（1）根據(jù)應力函數(shù)與應力分量的關(guān)系式判斷(r,)應有cos2

項（因子）。在較遠處

q’cos2

在較遠處

-q’cos2

圖（c）q’=(q1-q2)/2xyq’=(q1-q2)/23/27/202380§7-4圓孔的孔邊應力集中問題在較遠處

-q’sin2

（2）假設應力函數(shù)

(r,)

可以分離變量圖（c）q’=(q1-q2)/2xyq’=(q1-q2)/2(r,)=f(r)g()=f(r)cos23/27/202381§7-4圓孔的孔邊應力集中問題將所設(r,)的形式,

代入

4=0

，得(r,)=f(r)g()=f(r)cos23/27/202382§7-4圓孔的孔邊應力集中問題解出

代回應力函數(shù)

(r,),得

可求得應力分量表達式為3/27/202383§7-4圓孔的孔邊應力集中問題可求得應力分量表達式為應力分量中的四個系數(shù)由四個力邊界條件確定圖（c）q’=(q1-q2)/2xyq’=(q1-q2)/23/27/202384§7-4圓孔的孔邊應力集中問題四個力邊界條件,即

(r）r=a=0

,(r）r=a=0

,(r）r=b=q’cos2

,

(r）r=b=-q’sin2

；

由此四各方程解得A、B、C、D。圖（c）q’=(q1-q2)/2xyq’=(q1-q2)/23/27/202385§7-4圓孔的孔邊應力集中問題其中

3/27/202386§7-4圓孔的孔邊應力集中問題當

a/b0（無限大板中有小孔）代入上述各系數(shù)表達式，得

N=1,A=0,B=-q’/2,C=q’a2,D=-q’a4/2

再代入上面圖(c)應力表達式，可得應力最后表達式：圖（c）q’=(q1-q2)/2xyq’=(q1-q2)/23/27/202387§7-4圓孔的孔邊應力集中問題圖（c）q’=(q1-q2)/2xyq’=(q1-q2)/23/27/202388§7-4圓孔的孔邊應力集中問題最后圖(a)應力由圖(b)應力解和圖(c)應力解相加而得。

3/27/202389§7-4圓孔的孔邊應力集中問題當q1=q，q2=0代入上式，可得齊爾西解qqx3q-qyqxy3qq-q=0oq=90o3/27/202390§7-5曲梁的一般彎曲

Par

yxb曲梁無體力作用，曲梁頂部受集中力P作用。

仍采用半逆解法：考慮曲梁截面上內(nèi)力表達式，推出應力函數(shù)的函數(shù)變化。在

截面內(nèi)力：

3/27/202391§7-5曲梁的一般彎曲根據(jù)應力函數(shù)與應力分量的關(guān)系式判斷

(r,)應有sin

項（因子）。假設應力函數(shù)

(r,)

可以分離變量,設為

(r,)=f(r)g()=f(r)sin

代入

4=0,

得

Par

yxb3/27/202392§7-5曲梁的一般彎曲

解得

f(r)=Ar3+Br+Crlnr+D/r

則

(r,)=(Ar3+Br+Crlnr+D/r）sin其中

Brsin

=By

可略去。

將

(r,)

代入應力分量表達式3/27/202393§7-5曲梁的一般彎曲A、C、D由力的邊界條件來定。力的邊界條件：在主要邊界上在r=a：

r=0

,r

=0,

2Aa+C/a-2D/a3=0

在r=b:

r=0

,

r

=0,2Ab+C/b-2D/b3=0

Par

yxb3/27/202394§7-5曲梁的一般彎曲

在次要邊界上：在

=0

，環(huán)向方向的面力為零徑向方向的面力的分布未給出，但給出面力的合力

滿足

Par

yxb3/27/202395§7-5曲梁的一般彎曲利用圣維南原理

或

由上述方程解出

2Aa+C/a-2D/a3=0

2Ab+C/b-2D/b3=0

3/27/202396§7-5曲梁的一般彎曲代回應力分量表達式

3/27/202397§7-5曲梁的一般彎曲注意：這個應力解在曲梁兩端是不能用的。應變和位移可由物理和幾何方程導出。3/27/202398§7-6楔形體在楔頂或楔面受力楔形體分別受三種不同荷載作用時，應力函數(shù)(r,)的選取考慮：

（1）采用分離變量法

(r,)=g(r)f()；

ox

y/2/2（2）

考慮應力函數(shù)在楔形體邊界上的變化規(guī)律，將(r,)中的g(r)的形式假設出來;3/27/202399§7-6楔形體在楔頂或楔面受力（3）

然后利用

4

=0

求f()的形式；（4）利用邊界條件確定f()的表達式的待定系數(shù)。

情況1楔形體不考慮體力，楔形體頂部受集中力P作用。

ox

yP/2/23/27/2023100§7-6楔形體在楔頂或楔面受力ox

yP/2/2設應力函數(shù)

(r,)=g(r)f()且利用無體力時，應力函數(shù)

(r,)

在邊界上的值及偏微分與邊界上面力的關(guān)系式來確定

g(r)

的形式。3/27/2023101§7-6楔形體在楔頂或楔面受力首先可設邊界上始點A的A=0ox

yP/2/2A

則邊界上在OA段任意點B的

值為

B=0

任意點經(jīng)過O點,在楔形體左側(cè)的

值為

=Prsin(-/2)與r一次式有關(guān)。3/27/2023102§7-6楔形體在楔頂或楔面受力可設

(r,)=g(r)f()=rf()(r,)的假設也可以由

(r,)與應力分量的關(guān)系及應力分量與集中力P

之間量綱關(guān)系來設。

ox

yP/2/2A3/27/2023103§7-6楔形體在楔頂或楔面受力由

(r,)=rf(

)

代入

4=0

，

得：

要求

解得

f()=Acos+Bsin+(Ccos+Dsin)

(r,)=Arcos+Brsin+r(Ccos+Dsin)3/27/2023104§7-6楔形體在楔頂或楔面受力由

(r,)可得應力分量表達式系數(shù)C、D的確定：

3/27/2023105§7-6楔形體在楔頂或楔面受力可見僅靠力的邊界條件不能確定所有待定系數(shù)，這是由于本問題的載荷是作用于一點的集中力，在頂點有奇點，待定系數(shù)需靠部分楔形體的平衡而確定。首先應考慮邊界條件來定，即

=

/2

時，=0,r=0,自然滿足。ox

yP/2/2A3/27/2023106§7-6楔形體在楔頂或楔面受力Fx=0:

Fy=0:

ox

yP/2/2Ar3/27/2023107§7-6楔形體在楔頂或楔面受力代回應力分量表達式

討論：

1.當

=0

，

2.當

=/2，

ox

yP/2/2Ar3/27/2023108§7-6楔形體在楔頂或楔面受力

3．當

=

時楔形體變?yōu)榘霟o限體，受集中力作用：

ox

yP當=

,

=/2:ox

yP3/27/2023109§7-6楔形體在楔頂或楔面受力當=

,

=0:利用應力轉(zhuǎn)換公式，可得到直角坐標中的應力分量：

ox

yP3/27/2023110§7-6楔形體在楔頂或楔面受力ox

yP3/27/2023111§7-6楔形體在楔頂或楔面受力將上式代入物理方程和幾何方程并積分求得位移：

（H、I、K任意數(shù)）

ox

yP3/27/2023112§7-6楔形體在楔頂或楔面受力由對稱性，得

(u

)=0=Hr+K=0

則

H=K=0。

ox

yPsrMB

半無限體邊界上任意點沉陷（=

/2）：

3/27/2023113§7-6楔形體在楔頂或楔面受力M點：

B點：

B點相對M點沉陷：

ox

yPsrMB3/27/2023114§7-6楔形體在楔頂或楔面受力ox

yM/2/2

情況2楔形體不考慮體力，楔形體頂部受集中力偶M作用。

與情況1類似步驟，可設

(r,)=g(r)f()=f()

代入

4=0

，

解得：

(r,)=Acos2+Bsin2+C+D

(D

可略去)3/27/2023115§7-6楔形體在楔頂或楔面受力由

(r,)

可得應力分量表達式系數(shù)A、B、C仍