考研數(shù)學(xué)一(概率論與數(shù)理統(tǒng)計)歷年真題試卷匯編10(題后含答案及解析)_第1頁
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考研數(shù)學(xué)一(概率論與數(shù)理統(tǒng)計)歷年真題試卷匯編10(題后含答案及解析)題型有:1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個選項中,只有一個選項符合題目要求。1.設(shè)兩個相互獨立的隨機(jī)變量X和Y的方差分別為4和2,則隨機(jī)變量3X-2Y的方差是A.8B.16C.28D.44正確答案:D解析:由DX=4,DY=2,且X與Y獨立,故D(3X-2Y)=9DX+4DY=9×4+4×2=44.知識模塊:概率論與數(shù)理統(tǒng)計2.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)服從二維正態(tài)分布,則隨機(jī)變量ξ=X+Y與η=X-Y不相關(guān)的充分必要條件為A.E(X)=E(Y)B.E(X2)=[E(X)]2=E(Y2)=[E(Y)]2C.E(X2)=E(Y2)D.E(X2)+EE(X)]2=E(Y2)+EE(Y)]2正確答案:B解析:∵cov(ξ,η)=cov(X+Y,X-Y)=DX-DY=[EX2-(EX)2]-[EY2-(EY)2]而“cov(ξ,η)=0”等價于“ξ與η不相關(guān)”,故選B.知識模塊:概率論與數(shù)理統(tǒng)計3.將一枚硬幣重復(fù)擲n次,以X和Y分別表示正面向上和反面向上的次數(shù),則X和Y的相關(guān)系數(shù)等于A.-1B.0C.D.1正確答案:A解析:∵X+Y=n,∴Y=n-X.故DY=D(n-X)=DX,cov(X,Y)=cov(X,n-X)=-cov(X,X)=-DX∴X和Y的相關(guān)系數(shù)ρXY==-1.知識模塊:概率論與數(shù)理統(tǒng)計4.設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn(n>1)獨立同分布,且其方差σ2>0,令Y=,則A.cov(X1,Y)=B.cov(X1,Y)=σ2C.D(X1+Y)=σ2D.D(X1-Y)=σ2正確答案:A涉及知識點:概率論與數(shù)理統(tǒng)計5.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)服從二維正態(tài)分布,且X與Y不相關(guān),fX(χ),fY(y)分別表示X,Y的概率密度,則在Y=y(tǒng)的條件下,X的條件概率密度fX|Y(χ|y)為A.fX(χ).B.fY(y).C.fX(χ)fY(y).D.正確答案:A解析:由(X,Y)服從二維正態(tài)分布,且X與Y不相關(guān),故X與Y獨立,∴(X,Y)的概率密度f(χ,y)=fX(χ).fY(y),(χ,y)∈R2.得fX|Y(χ|y)==fX(χ)故選A.知識模塊:概率論與數(shù)理統(tǒng)計6.設(shè)隨機(jī)變量X~N(0,1),Y~N(1,4),且相關(guān)系數(shù).ρXY=1,則A.P{Y=-2X-1}=1B.P{Y=2X-1}=1C.P{Y=-2X+1}=1D.P{Y=2X+1}=1正確答案:D解析:如果選項A或C成立,則應(yīng)ρXY=1,矛盾;如果選項B成立,那么EY=2EX-1=-1,與本題中中EY=1矛盾.只有選項D成立時,ρXY=1,EY=2EX+1=1,DY=4DX=4,符合題意,故選D.知識模塊:概率論與數(shù)理統(tǒng)計7.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(χ)=0.3Ф(χ)+0.7Ф(),其中Ф(χ)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù),則EX=A.0.B.0.3.C.0.7.D.1.正確答案:C涉及知識點:概率論與數(shù)理統(tǒng)計填空題8.已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(χ)=則EX=_______,DX=_______.正確答案:1;.解析:f(χ)=,χ∈R1可見X~N(1,),故EX=1,DX=.知識模塊:概率論與數(shù)理統(tǒng)計9.已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的泊松分布,且隨機(jī)變量Z=3X-2,則EZ_______.正確答案:4解析:∵EX=2,∴EZ=E(3X-2)=3EX-2=3×2-2=4.知識模塊:概率論與數(shù)理統(tǒng)計10.設(shè)隨機(jī)變量X服從均值為2、方差為σ2的正態(tài)分布.且P{2<X<4}=0.3,則,P{X<0}=_______.正確答案:0.2解析:∵X~N(2,σ2),∴~N(0,1)∴0.3=P(2<X<4)==0.5∴Ф()=0.8故P(X<0)==1-0.8=0.2知識模塊:概率論與數(shù)理統(tǒng)計11.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,則E(X+e2X)=_______.正確答案:解析:由題意,X的密度為:且知EX=1.∴Ee-2X=∫∞∞e-2χf(χ)dχ=∫0+∞e-2χ.e-χdχ=故E(X+e-2X)=EX+Ee-2X=1+知識模塊:概率論與數(shù)理統(tǒng)計12.設(shè)X表示10次獨立重復(fù)射擊命中日標(biāo)的次數(shù)。每次射中日標(biāo)的概率為0.4.則E(X2)=_______.正確答案:18.4解析:由題意得:X~B(10,0.4),∴EX=,10×0.4=4DX=10×0.4×(1-0.4)=2.4所以EX2=DX+(EX)2=2.4+42=18.4知識模塊:概率論與數(shù)理統(tǒng)計13.設(shè)ξ和η是兩個相互獨立且均服從正態(tài)分布N(0,)的隨機(jī)變量,則F(|ξ-η|)=_______.正確答案:涉及知識點:概率論與數(shù)理統(tǒng)計14.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布,則P{X>}=_______.正確答案:涉及知識點:概率論與數(shù)理統(tǒng)計15.設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為1的泊松分布,則P{X=EX2}=_______.正確答案:解析:由EX2=DX+(EX)2=1+12=2,故P{X=EX2)=P{X=2}=.知識模塊:概率論與數(shù)理統(tǒng)計16.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為P{X=k}=,k=0.1,2,…,則EX2=_______.正確答案:2解析:由eχ=,χ∈(-∞,+∞)得=e(取χ=1即得)知識模塊:概率論與數(shù)理統(tǒng)計解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨立.HX~N(1.2),Y~N(0,1),試求隨機(jī)變量Z=2X-Y+3的概率密度函數(shù).正確答案:∵EX=1,DX=2,EY=0,DY=1∴EZ=E(2X-Y+3)=2EX-EY+3=2×1-0+3=5DZ=D(2X-Y+3)=4DX+DY=4×2+1=9由正態(tài)分布的性質(zhì)知:Z~N(5,9)故Z的概率密度為:f(z)=,z∈R1涉及知識點:概率論與數(shù)理統(tǒng)計18.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域D:0<χ<1,|y|<χ內(nèi)服從均勻分布,求笑于X的邊緣概率密度函數(shù)及隨機(jī)變量Z=2X+1的方差DZ.正確答案:D的面積(見圖4.6)為2××12=1∴(X,Y)的概率密度為:關(guān)于X的邊緣概率密度fX(χ)=∫-∞+∞(χ,y)dy.當(dāng)χ≤0或χ≥1時,fX(χ)=0;當(dāng)0<χ<1時,fX(χ)=∫-χχ1dy=2χ故fX(χ)=∴EX=∫-∞+∞χf(χ)dχ=∫01χ.2χdχ=故EX2=∫-∞+∞χ2f(χ)dχ=∫01χ2.2χdχ=∴DX=EX2-(EX)2=故DZ=D(2X+1)=4DX=4×涉及知識點:概率論與數(shù)理統(tǒng)計19.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(χ)=e-χ,-∞<χ<+∞(1)求EX和DX;(2)求X與|X|的協(xié)方差,并問X與|X|是否不相關(guān)?(3)問X與|X|是否相互獨立?為什么?正確答案:本題出現(xiàn)的積分,可驗證均收斂.(1)EX=∫-∞+∞χf(χ)dχ=∫-∞+∞χ.e-|χ|dχ=0而EX2=∫-∞+∞χ2f(χ)dχ=∫-∞+∞χ2.e-|χ|dχ=∫0-∞χ2e-χdχ=-χ2e-χ|0+∞+2∫0+∞χeχdχ=2[-χe-χ|0+∞+∫0+∞eχdχ]=2.(-e-χ|0+∞)=2∴DX=EX2-(EX)2=2-02=2(2)∵EX=0,E|X|存在,故cov(X,|X|)=E(X|X|)-EX.E|X|=E(X|X|)=∫-∞+∞χ|χ|f(χ)dχ=∫-∞+∞|χ|.e-|χ|dχ=0故可見X與|X|不相關(guān).(3)∵P(X≤1)=∫-∞1f(χ)dχ=∫-∞1e-|χ|dχ=1-∫1+∞eχdχ<1又P(|X|≤1)=∫-11f(χ)dχ=∫-11e-|χ|dχ=∫01eχdχ>0故P(X≤1,|X|≤1)=P(|X|≤1)≠P(|X|≤1)P(X≤1)可見X與|X|不獨立.涉及知識點:概率論與數(shù)理統(tǒng)計20.已知隨機(jī)變量X~N(1,32).Y~N(0,42).而(X,Y)服從二維正態(tài)分布且X與Y的相關(guān)系數(shù)ρXY=-,設(shè)Z=.(1)求EZ和DZ;(2)求X與Z的相關(guān)系數(shù)ρXZ;(3)間X與Z是否相互獨立?為什么?正確答案:(1)顯然EX=1,DX=9,EY=0,DY=16而cov(X,Y)=ρXY.=-6故PXZ=(3)由ρXZ=0,知X與Z不相關(guān).又∵且~N,故~N(.)故知X與Z相互互獨立.涉及知識點:概率論與數(shù)理統(tǒng)計21.設(shè)ξ和η是相互獨立且服從同一分布的兩個隨機(jī)變量,已知ξ的分布律為,P(ξ=i)=,i=1,2,3,又設(shè)X=max(ξ,η),Y=min(ξ,η).(1)寫出二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律;(2)求EX.正確答案:(1)(X,Y)的分布律見下表.(2)由(X.Y)的分布律可得關(guān)X的邊緣分布律為:X:故EX=1×.涉及知識點:概率論與數(shù)理統(tǒng)計22.從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有3個交通崗,假設(shè)在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的,并且概率都是,設(shè)X為途巾遇到紅燈的次數(shù),求隨機(jī)變量X的分布律、分布函數(shù)和數(shù)學(xué)期望.正確答案:由題意,X~B(3,)故EX=3×及P(X=k)=C3k.,k=0,1,2,3可寫成:分布函數(shù)F(χ)=P(X≤χ).當(dāng)χ<0時,F(xiàn)(χ)=0當(dāng)0≤χ<1時,F(xiàn)(χ)=P{X=0}=當(dāng)1≤χ<2時,F(xiàn)(χ)=P(X=0)+P(X=1)=當(dāng)2≤χ<3時,F(xiàn)(χ)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=當(dāng)χ≥3時,F(xiàn)(χ)=1,故涉及知識點:概率論與數(shù)理統(tǒng)計23.設(shè)兩個隨機(jī)變量X、Y相互獨立,且都服從均值為0、方差為的正態(tài)分布,求|X-Y|的方差.正確答案:記ξ=X-Y.由X~N(0,),Y~N(0,),及Eξ=0,Dξ=DX+DY=1知ξ~N(0,1)∴E|X-Y|=E|ξ|E(|ξ|)2=Eξ2=Dξ+(Eξ)2=1+02=1故D(|X-Y|)=D|ξ|=E(|ξ|)2-[E|ξ|]2=1-.涉及知識點:概率論與數(shù)理統(tǒng)計24.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為對X獨立地重復(fù)觀察4次,用Y表示觀察值大于的次數(shù),求Y2的數(shù)學(xué)期望.正確答案:因為故Y~B(4,),得EY=4×=2,DY=4××(1-)=1所以EY2=DY+(EY)2=1+22=5涉及知識點:概率論與數(shù)理統(tǒng)計25.已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品,其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品,乙箱中僅裝有3件合格品.從甲箱中任取3件產(chǎn)品放人乙箱后,求:(1)乙箱中次品件數(shù)X的數(shù)學(xué)期望;(2)從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率.正確答案:(1)X可能取的值為0,1,2,3可算得:P{X=k}=,k=0,1,2,3.或?qū)懗晒蔈(X)=0×(2)記A={從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品},由全概率公式得:P(A)=P(A|X=k)P(X=k)=0×.涉及知識點:概率論與數(shù)理統(tǒng)計26.設(shè)A,B為隨機(jī)事件,且P(A)=,P(B|A)=,P(A|B)=,令求(Ⅰ)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布;(Ⅱ)X與Y的相關(guān)系數(shù)ρ(X,Y).正確答案:∵,∴P(AB)=,又∵,∴P(B)=2P(AB)=2×(Ⅰ)P(X=1,Y=1)=P(AB)=,P(X=0,Y=1)=P(B)=P(B)P(AB)=,P(X=1,Y=0)=P(A)=P(A)-P(AB)=,P(X=0,Y=0)=P()=1-P(A∪B)=1-[P(A)+P(B)-P(AB)]=1-故(X,Y)的概率分布為:(Ⅱ)由(Ⅰ)易得關(guān)于X、Y的概率分布(列)分別為:故:EX=,E(X2)=,DX=E(X2)-(EX)2=,EY=,DY=E(Y2)-(EY)2=而由(X,Y)的概率分布可得:涉及知識點:概率論與數(shù)理統(tǒng)計27.設(shè)隨機(jī)變量X與Y的概率分布分別為且P{X2=Y(jié)2}=1.(Ⅰ)求二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布;(Ⅱ)求Z=XY的概率分布;(Ⅲ)求X與Y的相關(guān)系數(shù)ρXY.正確答案:(Ⅰ)由P(X2=Y(jié)2)=1,可得:P(X=0,Y=-1)=P(X=1,Y=

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