矩陣變換的特征值與特征向量

矩陣變換的特征值與特征向量第一頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日矩陣變換的特征值與特征向量第二頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日復(fù)習(xí)若向量=,利用逆矩陣解二元一次方程組則與共線,即與平行,即∥.第三頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日表示一個(gè)壓縮變換BCAxyO11MB’C’AxyO1121第四頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日ABCxy11-1OABCB’A’xy11-1ON關(guān)于y軸的反射變換第五頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日一般地,給定矩陣M,若存在一個(gè)非零向量和實(shí)數(shù),滿足M=則稱為矩陣M的特征值,為矩陣M的屬于特征值的特征向量.特征向量變換后的像與原向量是共線的特征向量的不變換性第六頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日還有沒(méi)有其他的特征值和特征向量?如何確定矩陣的特征值和特征向量呢?第七頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日實(shí)例分析由定義知第八頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日特征向量是非零向量,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:二元一次方程組何時(shí)有非零解.存在逆矩陣N-1M無(wú)特征向量第九頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)2-5-24=0時(shí),才可能是M的特征值解方程得1=82=-3第十頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日將1=8代入(5.2)1=8是M的特征值都是屬于特征值1=8的特征向量.第十一頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日將2=-3代入(5.2)x+y=0對(duì)每一個(gè)x≠0的值,都是屬于2=-3的特征向量2=-3是M的特征值第十二頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于矩陣M,若有特征值及相應(yīng)的特征向量,即M=,則對(duì)任意實(shí)數(shù)t(t≠0),t也必是矩陣M對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量.由于它們是共線的第十三頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日堂上練習(xí)1.求下列矩陣的特征值和特征向量第十四頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日堂上練習(xí)2.利用特征向量的定義證明,若是矩陣M對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量,則t(實(shí)數(shù)t≠0)也必是矩陣M對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量.第十五頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日抽象概括若矩陣M存在特征值,及其對(duì)應(yīng)的特征向量第十六頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日因此,矩陣M的特征值必須滿足方程方程的根即為矩陣M的特征值一個(gè)二階方陣最多可以有兩個(gè)特征值方程最多有兩根解得特征值代入第十七頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日第十八頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)b≠0時(shí),由(-a)x–by=0當(dāng)x≠0時(shí)第十九頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日例1解矩陣M的特征值滿足方程解得M的兩個(gè)特征值1=2,2=3設(shè)屬于特征值1=2的特征向量為滿足方程組第二十頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日這樣的向量有無(wú)窮多個(gè),可表示為為屬于特征值1=2的一個(gè)特征向量設(shè)屬于特征值2=3的特征向量為滿足方程組這樣的向量有無(wú)窮多個(gè),可表示為為屬于特征值2=3的一個(gè)特征向量第二十一頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日綜上所述,有兩個(gè)特征值1=2,2=3第二十二頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)上例中連續(xù)實(shí)施n次矩陣M的變換,則第二十三頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日一般地,當(dāng)矩陣M有特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量,即M=則有Mn=給定兩個(gè)不同線向量1,2及任意向量,總存在實(shí)數(shù)s,t,

使得=s1+t2如果矩陣M有兩個(gè)不同線的特征向量1,2,及其相應(yīng)的特征值1,2,有M1=

11,M2=

22

對(duì)任意向量有M=M(s1+t2)=s(M1)+t(M2)=s(

11)+

t(22)

第二十四頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日變換結(jié)果,任意向量在矩陣M作用下的變換結(jié)果均可以用它們表示.對(duì)一般向量連續(xù)實(shí)施矩陣M所表示的變換時(shí),M2=M2(s1+t2)=s(

M21)

+t(M2

2)第二十五頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日一般地第二十六頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日例2解利用例1結(jié)果是矩陣M分別對(duì)