中考專題復(fù)習(xí)(七)　幾何最值問題

專題復(fù)習(xí)(七)幾何最值問題解題策略：解決幾何最值問題的通常思路有：①兩點之間線段最短；②垂線段最短；③三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊(重合時取到最值，這種情況其實可以轉(zhuǎn)化為①來解決)，這些是幾何最值問題的理論依據(jù)，根據(jù)不同特征轉(zhuǎn)化是解決最值問題的關(guān)鍵．通過轉(zhuǎn)化減少變量，向三個定理靠攏進而解決問題；直接調(diào)用基本模型也是解決幾何最值問題的高效手段．幾何最值問題中的基本模型舉例：圖形特征A，B為定點，l為定直線，P為直線l上的一個動點，求AP＋BP的最小值.A，B為定點，l為定直線，MN為直線l上的一條動線段(定長)，求AM＋BN的最小值.A，B為定點，l為定直線，P為直線l上的一個動點，求|AP－BP|的最大值.在△ABC中，AC＞BC，M，N兩點分別是邊AB，BC上的動點，將△BMN沿MN翻折，B點的對應(yīng)點為B′，連接AB′，求AB′的最小值.直線l外有一定點A，點B是直線l上的一個動點，求AB的最小值.原理兩點之間線段最短.兩點之間線段最短.三角形三邊關(guān)系.兩點之間線段最短.垂線段最短.轉(zhuǎn)化作其中一個定點關(guān)于定直線l的對稱點.先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一個定點關(guān)于定直線l的對稱點.作其中一個定點關(guān)于定直線l的對稱點.轉(zhuǎn)化成求AB′＋B′N＋NC的最小值，即當(dāng)點N與C重合，點B′在AC上時(MN是∠ACB的平分線)，AB′最小，最小值為AC－BC.求點A到直線l的距離.(2022·宿遷)如圖，正方形ABCD的邊長為3，點E在邊AB上，且BE＝1.若點P在對角線BD上移動，則PA＋PE的最小值是eq\r(10)．【思路點撥】由正方形的性質(zhì)可知，點A，C關(guān)于BD對稱，則PA＋PE的最小值就是CE的長度．如圖，點P是∠AOB內(nèi)一定點，點M，N分別在邊OA，OB上運動，若∠AOB＝45°，OP＝3eq\r(2)，則△PMN的周長的最小值為6．【思路點撥】分別作點P關(guān)于OA，OB的對稱點C，D，連接OC，OD，CD，則當(dāng)M，N分別是CD與OA，OB的交點時，△PMN的周長最小，最小的值是CD的長．根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可以證得△COD是等腰直角三角形，據(jù)此即可求解．如圖，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，⊙C的半徑為1，點P在斜邊AB上，PQ切⊙O于點Q，則切線長PQ長度的最小值為eq\r(7)．【思路點撥】連接CQ，CP，根據(jù)切線的性質(zhì)可知，QC⊥PQ，根據(jù)勾股定理可知PQ＝eq\r(CP2－CQ2)，CQ＝1是定值，要使PQ最小，則要使CP最小，由垂線段最短可知，當(dāng)CP⊥AB時，CP最小，此時可計算得出PQ的最小值．如圖，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，點P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點，則PK＋QK的最小值為eq\r(3)．【思路點撥】根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，作點P關(guān)于BD的對稱點P′，連接P′Q與BD的交點即為所求的點K，然后根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)可知P′Q⊥CD時，PK＋QK的值最小，然后求解即可．1．(2022·天津)如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的兩條中線，P是AD上一個動點，則下列線段的長度等于BP＋EP最小值的是(B)A．BC B．CE C．AD D．AC第1題圖第2題圖2．(2022·棗莊)如圖，直線y＝eq\f(2,3)x＋4與x軸，y軸分別交于點A和點B，點C，D分別為線段AB，OB的中點，點P為OA上一動點，當(dāng)PC＋PD最小時，點P的坐標(biāo)為(C)A．(－3，0) B．(－6，0)C．(－eq\f(3,2)，0) D．(－eq\f(5,2)，0)3．(2022·十堰)如圖，已知圓柱的底面直徑BC＝eq\f(6,π)，高AB＝3，小蟲在圓柱表面爬行，從C點爬到A點，然后再沿另一面爬回C點，則小蟲爬行的最短路程為(D)A．3eq\r(2) B．3eq\r(5) C．6eq\r(5) D．6eq\r(2)第3題圖第4題圖4．(2022·貴港)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，M是BC的中點，P是A′B′的中點，連接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，則線段PM的最大值是(B)A．4 B．3 C．2 D．15．(2022·瀘州)已知拋物線y＝eq\f(1,4)x2＋1具有如下性質(zhì)：該拋物線上任意一點到定點F(0，2)的距離與到x軸的距離相等，如圖，點M的坐標(biāo)為(eq\r(3)，3)，P是拋物線y＝eq\f(1,4)x2＋1上一動點，則△PMF周長的最小值是(C)A．3 B．4 C．5 D．6第5題圖第6題圖6．(2022·安徽)如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，動點P滿足S△PAB＝eq\f(1,3)S矩形ABCD，則點P到A，B兩點距離之和PA＋PB的最小值為(D)A.eq\r(29) B.eq\r(34) C．5eq\r(2) D.eq\r(41)7．(2022·衢州)如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙A的圓心A的坐標(biāo)為(－1，0)，半徑為1，點P為直線y＝－eq\f(3,4)x＋3上的動點，過點P作⊙A的切線，切點為Q，則切線長PQ的最小值是2eq\r(2)．第7題圖第8題圖8．(2022·天水)如圖所示，正方形ABCD的邊長為4，E是邊BC上的一點，且BE＝1，P是對角線AC上的一動點，連接PB，PE，當(dāng)點P在AC上運動時，△PBE周長的最小值是6．9．(2022·泰安)如圖，∠BAC＝30°，M為AC上一點，AM＝2，點P是AB上的一動點，PQ⊥AC，垂足為點Q，則PM＋PQ的最小值為eq\r(3)．第9題圖第10題圖10．(2022·孝感)如圖，將直線y＝－x沿y軸向下平移后的直線恰好經(jīng)過點A(2，－4)，且與y軸交于點B，在x軸上存在一點P使得PA＋PB的值最小，則點P的坐標(biāo)為(eq\f(2,3)，0)．11．(2022·威海)如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝2，若P為△ABC內(nèi)一動點，且滿足∠PAB＝∠ACP，則線段PB長度的最小值為eq\f(2\r(3),3)．第11題圖第12題圖12．(2022·綿陽)將形狀、大小完全相同的兩個等腰三角形如圖所示放置，點D在AB邊上，△DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，腰DF和底邊DE分別交△CAB的兩腰CA，CB于M，N兩點，若CA＝5，AB＝6，AD∶AB＝1∶3，則MD＋eq\f(12,MA·DN)的最小值為2eq\r(3)．13．(2022·內(nèi)江)如圖，已知直線l1∥l2，l1，l2之間的距離為8，點P到直線l1的距離為6，點Q到直線l2的距離為4，PQ＝4eq\r(30)，在直線l1上有一動點A，直線l2上有一動點B，滿足AB⊥l2，且PA＋AB＋BQ最小，此時PA＋BQ＝16．第13題圖第14題圖14．(2022·隨州)如圖，∠AOB的邊OB與x軸正半軸重合，點P是OA上的一動點，點N(3，0)是OB上的一定點，點M是ON的中點，∠AOB＝30°，要使PM＋PN最小，則點P的坐標(biāo)為(eq\f(3,2)，eq\f(\r(3),2))．15．(2022·徐州)如圖，將邊長為6的正三角形紙片ABC按如下順序進行兩次折疊，展開后，得折痕AD，BE(如圖1)，點O為其交點．(1)探求AO與OD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，若P，N分別為BE，BC上的動點．①當(dāng)PN＋PD的長度取得最小值時，求BP的長度；②如圖3，若點Q在線段BO上，BQ＝1，則QN＋NP＋PD的最小值為eq\r(10)．解：(1)AO＝2OD.理由：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAO＝∠ABO＝∠OBD＝30°.∴AO＝OB.∵BD＝CD，∴AD⊥BC.∴∠BDO＝90°.∴OB＝2OD.∴AO＝2OD.(2)①如圖4，作點D關(guān)于BE的對稱點D′，過D′作D′N⊥BC于N，交BE于P，則此時PN＋PD的長度取得最小值．∵BE垂直平分DD′，∴BD＝BD′.∵∠ABC＝60°，∴△BDD′是等邊三角形．∴BN＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(3,2).∵∠PBN＝30°，∴eq\f(BN,PB)＝eq\f(\r(3),2).∴