2021-2022學年山東省青島大學附中八年級（下）期中數(shù)學試卷（含解析）

2021-2022學年山東省青島大學附中八年級（下）期中數(shù)學試卷一、選擇題（本題滿分24分，共有8道小題，每小題3分）1．下列防控疫情的圖標中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．已知a＞b，則下列選項不正確的是（）A．a(chǎn)+c＞b+c B．a(chǎn)﹣b＞0 C． D．a(chǎn)?c2≥b?c23．若等腰三角形的周長為14cm，其中一邊長為4cm，則該等腰三角形的底邊為（）A．4cm B．6cm C．4cm或6cm D．8cm4．下列命題的逆命題是真命題的是（）A．若a＝b，則|a|＝|b| B．同位角相等，兩直線平行 C．對頂角相等 D．若a＞0，b＞0，則a+b＞05．不等式組的解集是x＞4，那么m的取值范圍是（）A．m≤4 B．m≥4 C．m＜4 D．m＝46．直線y＝kx+b在平面直角坐標系中的位置如圖所示，則不等式kx+b﹣1≤0的解集是（）A．x≤2 B．x≤0 C．x≥2 D．x≥07．如圖，將線段AB先繞原點О按逆時針方向旋轉90°，再向下平移4個單位，得到線段CD，則點A的對應點C的坐標是（）A．（1，﹣6） B．（﹣1，6） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）8．如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，AI平分∠BAC，CI平分∠ACB，將∠BAC平移，使其頂點與點I重合，則圖中陰影部分的周長為（）A．5 B．8 C．10 D．7二、填空題（本題滿分18分，共6小題，每小題3分）9．分解因式：2a2﹣8的結果為．10．某種商品的進價為800元，出售時標價為1200元，后來由于該商品積壓，商店準備打折出售，但要保證利潤率等于5%，則該商品應該打折．11．如圖，邊長為a、b的矩形，它的周長為14，面積為10，則a2b+ab2的值為．12．如圖，已知△ABC，點D，F(xiàn)分別在邊AB，AC上運動，點E為平面上的一個動點，當∠DEF＝∠A且點E恰在∠ABC與∠ACB的角平分線的交點處，若∠1+∠2＝130°，則∠BEC＝．13．如圖，已知△ACB與△DFE是兩個全等的直角三角形，量得它們的斜邊長為10cm，較小銳角為30°，將這兩個三角形擺成如圖1所示的形狀，使點B、C、F、D在同一條直線上，且點C與點F重合，將圖1中的△ACB繞點C順時針方向旋轉到圖2的位置，點E在AB邊上，AC交DE于點G，則線段FG的長為cm（保留根號）．14．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F(xiàn)是AB邊上的中點，點D、E分別在AC、BC邊上運動，且保持AD＝CE，連接DE、DF、EF，在此運動變化的過程中，下列結論：①△DEF是等腰直角三角形；②四邊形CDFE不可能為正方形；③四邊形CDFE的面積保持不變；④DE長度的最小值為4；⑤△CDE面積的最大值為8，其中正確的結論是．三、作圖題（本題滿分4分）不寫作法，但要保留作圖痕跡.15．已知：∠O及其一邊上的兩點A，B．求作：Rt△ABC，使∠C＝90°，且點C在∠O內部，∠BAC＝∠O．四、解答題（本題滿分74分、共有8道小題）16．分解因式：（1）2（m﹣n）2﹣m（n﹣m）；（2）（x2﹣4xy+4y2）+（﹣4x+8y）+4．17．解不等式組，請把解集在數(shù)軸上表示，并寫出它的所有整數(shù)解．18．某蔬菜加工廠承擔出口蔬菜加工任務，有一批蔬菜產(chǎn)品需要裝入某一規(guī)格的紙箱．供應這種紙箱有兩種方案可供選擇：方案一：從紙箱廠定制購買，每個紙箱價格為4元；方案二：由蔬菜加工廠租賃機器自己加工制作這種紙箱，機器租賃費按生產(chǎn)紙箱數(shù)收?。S需要一次性投入機器安裝等費用16000元，每加工一個紙箱還需成本費2.4元．（1）若需要這種規(guī)格的紙箱x個，請分別寫出從紙箱廠購買紙箱的費用y1（元）和蔬菜加工廠自己加工制作紙箱的費用y2（元）關于x（個）的函數(shù)關系式；（2）假設你是決策者，你認為應該選擇哪種方案？并說明理由．19．閱讀理解：材料1：常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有很多的多項式只用上述方法就無法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，但我們細心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前兩項符合平方差公式，后兩項可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會產(chǎn)生公因式，然后提取公因式就可以完成整個式子的分解因式了：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．這種分解因式的方法叫分組分解法．材料2：對于x3﹣（n2+1）x+n這類特殊的代數(shù)式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x+n）（x﹣n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）解決問題：（1）分解因式：①a2﹣4a﹣b2+4；②x3﹣5x+2．（2）△ABC三邊a，b，c滿足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判斷△ABC的形狀．20．已知：如圖，△ABC中，∠ACB的平分線與AB的垂直平分線交于點D，DE⊥AC于點E，DF⊥BC交CB的延長線于點F．（1）求證：AE＝BF；（2）若AE＝7，BC＝10，AB＝26，判斷△ABC的形狀，并證明．21．電影《水門橋》以抗美援朝戰(zhàn)爭中第二次戰(zhàn)役中的長津湖戰(zhàn)役為背景，講述了一段波瀾壯闊的歷史．71年前，中國人民志愿軍赴朝作戰(zhàn)，在極寒嚴酷環(huán)境下，東線作戰(zhàn)部隊憑著英勇無畏的戰(zhàn)斗精神，一路追殺，奮勇殺敵，扭轉戰(zhàn)場態(tài)勢，打出軍隊國威．某中學為了培養(yǎng)學生的愛國主義情懷，組織兩名老師和50名學生進行觀影活動，電影院的價格如表所示（教師按成人票價購買，學生按學生票價購買）會員價（元/張）尋常票價成人票價（元/張）學生票價（元/張）406050由于部分學生有會員卡（會員卡僅限本人使用），所以有會員卡的學生享受會員價，沒有會員卡的學生有x人，購買電影票的全部費用為W元；（1）若購買電影票的全部費用不超過2400元，則有會員卡的學生至少有多少人？（2）若有會員卡的學生人數(shù)不超過沒有會員卡學生人數(shù)的2倍，求W的最小值．22．新知學習：在平面直角坐標系xOy中，圖形W在坐標軸上的投影長度定義如下：設點P（x1，y1），Q（x2，y2）是圖形W上的任意兩點．若|x1﹣x2|的最大值為m，則圖形W在x軸上的投影長度lx＝m；若|y1﹣y2|的最大值為n，則圖形W在y軸上的投影長度ly＝n．如圖①，圖形W在x軸上的投形長度lx＝|3﹣1|＝2；在y軸上的投影長度ly＝|4﹣0|＝4．初步運用：（1）已知點A（3，3），B（4，1）．如圖②所示，若圖形W為△OAB，則lx＝，ly＝．（2）在圖②的基礎上，將△OAB繞點О逆時針旋轉90°得△OCD，若圖形W為△OCD，則lx＝，ly＝．（3）在圖②的基礎上，將△OAB繞點О順時針旋轉45°得△OEF，若圖形W為△OEF，則lx＝，ly＝．提升拓展：（4）如圖③，已知點C（4，0），點D在直線y＝﹣2x+6上，若圖形W為△OCD，當lx＝ly時，求點D的坐標．23．知：把一副三角板按如圖1擺放（點C與點E重合），點B、C（E）、F在同一條直線上．∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，∠A＝30°，BC＝6cm，EF＝9cm，如圖2，△DEE從圖1的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動，在△DEF移動的同時，點P從△ABC的頂點B出發(fā)．以2cm/s的速度沿BA向點A勻速移動．當△DEF的頂點D移動到AC邊上時，△DEF停止移動．點P也隨之停止移動．DE與AC相交于點Q，連接PQ，設移動時間為t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列問題：（1）用含t的代數(shù)式表示線段CQ＝，線段AP＝．（2）當t為何值時，∠BPE＝90°．（3）當t為何值時，點A在線段PQ的垂直平分線上．（4）點P、Q在運動的過程中，是否存在某一時刻t，直線PQ把△ABC的周長與面積同時平分？若存在，求出t，若不存在，請說明理由．

參考答案一、選擇題（本題滿分24分，共有8道小題，每小題3分）1．下列防控疫情的圖標中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念判斷．解：A、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形；B、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形；C、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形；D、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．故選：D．【點評】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與自身重合．2．已知a＞b，則下列選項不正確的是（）A．a(chǎn)+c＞b+c B．a(chǎn)﹣b＞0 C． D．a(chǎn)?c2≥b?c2【分析】根據(jù)不等式的性質逐個判斷即可．解：A．∵a＞b，∴a+c＞b+c，故本選項不符合題意；B．∵a＞b，∴a﹣b＞b﹣b，∴a﹣b＞0，故本選項不符合題意；C．∵a＞b，∴，故本選項符合題意；D．∵a＞b，c2≥0，∴a?c2≥b?c2，故本選項不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了不等式的性質，能夠正確利用不等式的性質是解題的關鍵．3．若等腰三角形的周長為14cm，其中一邊長為4cm，則該等腰三角形的底邊為（）A．4cm B．6cm C．4cm或6cm D．8cm【分析】此題分為兩種情況：4cm是等腰三角形的底邊或4cm是等腰三角形的腰．然后進一步根據(jù)三角形的三邊關系進行分析能否構成三角形．解：當4cm是等腰三角形的底邊時，則其腰長是（14﹣4）÷2＝5（cm），能夠組成三角形；當4cm是等腰三角形的腰時，則其底邊是14﹣4×2＝6（cm），能夠組成三角形．故選：C．【點評】此題考查了等腰三角形的兩腰相等的性質，關鍵是根據(jù)三角形的三邊關系進行分析能否構成三角形．4．下列命題的逆命題是真命題的是（）A．若a＝b，則|a|＝|b| B．同位角相等，兩直線平行 C．對頂角相等 D．若a＞0，b＞0，則a+b＞0【分析】分別寫出原命題的逆命題，然后判斷真假即可．解：A、若a＝b，則|a|＝|b|的逆命題是若|a|＝|b|，則a＝b，逆命題是假命題，不符合題意；B、同位角相等，兩直線平行的逆命題是兩直線平行，同位角相等，逆命題是真命題，符合題意；C、對頂角相等的逆命題是相等的角是對頂角，逆命題是假命題，不符合題意；D、若a＞0，b＞0，則a+b＞0的逆命題是若a+b＞0，則a＞0，b＞0，逆命題是假命題，不符合題意；故選：B．【點評】考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是正確的寫出一個命題的逆命題，難度不大．5．不等式組的解集是x＞4，那么m的取值范圍是（）A．m≤4 B．m≥4 C．m＜4 D．m＝4【分析】先求出不等式的解集，再根據(jù)不等式組的解集得出答案即可．解：，解不等式①得：x＞4，∵不等式組的解集是x＞4，∴m≤4，故選：A．【點評】本題考查了解一元一次不等式組，能根據(jù)不等式的解集和不等式組的解集得出關于m的不等式是解此題的關鍵．6．直線y＝kx+b在平面直角坐標系中的位置如圖所示，則不等式kx+b﹣1≤0的解集是（）A．x≤2 B．x≤0 C．x≥2 D．x≥0【分析】觀察圖象可知當x＝0時，y＝1，即當x＝0時，kx+b＝1，可知當x＞0時，y＜1，即x＞0時，kx+b＜1，可得不等式的解集．解：由不等式kx+b﹣1≤0得kx+b≤1．觀察圖象，當x≥0時，y≤1，即kx+b≤1．所以不等式kx+b﹣1≤0的解集是x≥0．故選：D．【點評】本題主要考查了一次函數(shù)和一元一次不等式，掌握直線和y軸的交點的橫坐標與不等式的解集的關系是解題的關鍵．7．如圖，將線段AB先繞原點О按逆時針方向旋轉90°，再向下平移4個單位，得到線段CD，則點A的對應點C的坐標是（）A．（1，﹣6） B．（﹣1，6） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）【分析】先求出A點繞O點逆時針旋轉90°后的坐標為（﹣1，2），再求向下平移4個單位后的點的坐標即可．解：A點繞O點逆時針旋轉90°，得到點A'（﹣1，2），A'向下平移4個單位，得到C（﹣1，﹣2），故選：D．【點評】本題考查坐標與圖形變化，能夠根據(jù)題意畫出線段AB旋轉、平移后的圖形是解題的關鍵．8．如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，AI平分∠BAC，CI平分∠ACB，將∠BAC平移，使其頂點與點I重合，則圖中陰影部分的周長為（）A．5 B．8 C．10 D．7【分析】連接BI、由點I為△ABC的內心，得出BI平分∠ABC，則∠ABI＝∠CBI，由平移得AB∥DI，則∠ABI＝∠BID，推出∠CBI＝∠BID，得出BD＝DI，同理可得CE＝EI，△DIE的周長＝DE+DI+EI＝DE+BD+CE＝BC＝5，即可得出結果．解：連接BI、如圖所示：∵點I為△ABC的內心，∴BI平分∠ABC，∴∠ABI＝∠CBI，由平移得：AB∥DI，∴∠ABI＝∠BID，∴∠CBI＝∠BID，∴BD＝DI，同理可得：CE＝EI，∴△DIE的周長＝DE+DI+EI＝DE+BD+CE＝BC＝7，即圖中陰影部分的周長為7，故選：D．【點評】本題考查了三角形內心的定義、平移的性質及角平分線的定義等知識，熟練掌握三角形的內心是角平分線的交點是解題的關鍵．二、填空題（本題滿分18分，共6小題，每小題3分）9．分解因式：2a2﹣8的結果為2（a+2）（a﹣2）．【分析】首先提取公因式2，進而利用平方差公式進行分解即可．解：2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）．故答案為：2（a+2）（a﹣2）．【點評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟練利用乘法公式分解因式是解題關鍵．10．某種商品的進價為800元，出售時標價為1200元，后來由于該商品積壓，商店準備打折出售，但要保證利潤率等于5%，則該商品應該打7折．【分析】因為＝利潤率，所以當商品打10x折后，售價即為1200x，而進價800為已知所以有＝5%，解不等式即可求解．解：設可以打10x折，由題意可得＝5%解之可得x＝0.7即：最多可以打7折．故答案是：7．【點評】本題主要考查利潤率問題，關鍵是把實際問題抽象到數(shù)學問題中來，利用方程進行解答．準確地找到等量關系列方程是解題的關鍵．注意本題的等量關系為：利潤等于5%．11．如圖，邊長為a、b的矩形，它的周長為14，面積為10，則a2b+ab2的值為70．【分析】應把所給式子進行因式分解，整理為與所給周長和面積相關的式子，代入求值即可．解：∵a+b＝7，ab＝10，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝70．故答案為：70．【點評】本題既考查了對因式分解方法的掌握，又考查了代數(shù)式求值的方法，同時還隱含了整體的數(shù)學思想和正確運算的能力．12．如圖，已知△ABC，點D，F(xiàn)分別在邊AB，AC上運動，點E為平面上的一個動點，當∠DEF＝∠A且點E恰在∠ABC與∠ACB的角平分線的交點處，若∠1+∠2＝130°，則∠BEC＝122.5°．【分析】根據(jù)角平分線的性質與三角形內角和性質計算即可．解：連接AE．，如圖，則∠1＝∠DAE+∠DEA，∠2＝∠FAE+∠FEA，∵∠1+∠2＝130°，∴∠DAE+∠DEA+∠FAE+∠FEA＝130°，即∠DEF+∠A＝130°，∵∠DEF＝∠A，∴∠DEF＝∠A＝65°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝180°﹣（180°﹣65°）＝122.5°．故答案為122.5°．【點評】本題主要考查三角形的外角性質，三角形的內角和定理，正確運用角平分線的性質和三角形內角和定理是解題的關鍵．13．如圖，已知△ACB與△DFE是兩個全等的直角三角形，量得它們的斜邊長為10cm，較小銳角為30°，將這兩個三角形擺成如圖1所示的形狀，使點B、C、F、D在同一條直線上，且點C與點F重合，將圖1中的△ACB繞點C順時針方向旋轉到圖2的位置，點E在AB邊上，AC交DE于點G，則線段FG的長為cm（保留根號）．【分析】△ACB與△DFE是兩個全等的直角三角形，已知斜邊DE＝10，∠D＝30°，可求CE；利用旋轉60°可求∠ECG＝30°，∠CEG＝60°，從而可證∠CGE＝90°．用勾股定理解直角△CEG即可．解：由題意知，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，由旋轉的性質知圖（2）中，CB＝CE，∴△BCE為等邊三角形．∴∠ECB＝60°，∠ECG＝30°．而∠FED＝60°．∴∠EGC＝90°，∠ECG＝30°，∴EG＝EC＝ED＝×10＝，F(xiàn)G＝＝．【點評】本題考查旋轉性質和勾股定理，題目難度不大．14．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F(xiàn)是AB邊上的中點，點D、E分別在AC、BC邊上運動，且保持AD＝CE，連接DE、DF、EF，在此運動變化的過程中，下列結論：①△DEF是等腰直角三角形；②四邊形CDFE不可能為正方形；③四邊形CDFE的面積保持不變；④DE長度的最小值為4；⑤△CDE面積的最大值為8，其中正確的結論是①③⑤．【分析】①連接CF，證明△ADF≌△CEF，可以得出結論正確；②當D、E分別為AC、BC中點時，四邊形CDFE是正方形；所以此結論不正確；③根據(jù)兩三角形全等時面積也相等得：S△CEF＝S△ADF，利用割補法知：S四邊形CDFE＝S△AFC，F(xiàn)是定點，所以△AFC的面積是定值，即四邊形CDFE的面積保持不變；④由于△DEF是等腰直角三角形，因此當DE最小時，DF也最??；即當DF⊥AC時，DE最小，求出最小值，所以此結論不正確；⑤當△CDE面積最大時，此時△DEF的面積最小，計算S△CDE＝S四邊形CEFD﹣S△DEF＝S△AFC﹣S△DEF，代入即可．解：①連接CF，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵F是AB邊上的中點，∴CF＝AF＝BF，CF⊥AB，∠ACF＝∠BCF＝45°，∴∠AFC＝90°，∴∠A＝∠BCF，在△ADF和△CEF中，∵，∴△ADF≌△CEF（SAS），∴DF＝EF，∠AFD＝∠CFE，∴∠AFD+∠DFC＝∠CFE+∠DFC＝90°，即∠DFE＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，所以此結論正確；②當D、E分別為AC、BC中點時，四邊形CDFE是正方形．如圖2，∵E是BC的中點，F(xiàn)是AB邊上的中點，∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥AC，EF＝AC＝CD，∴四邊形CDFE是平行四邊形，∵CD＝AC，CE＝BC，AC＝BC，∴CD＝CE，∵∠C＝90°，∴四邊形CDFE是正方形，所以此結論不正確；③∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF＝S△ADF∴S四邊形CDFE＝S△AFC．∴四邊形CDFE的面積保持不變；所以此結論正確；④由于△DEF是等腰直角三角形，因此當DE最小時，DF也最??；即當DF⊥AC時，DE最小，此時DF＝BC＝4．∴DE＝DF＝4；所以此結論不正確；⑤當△CDE面積最大時，此時△DEF的面積最小，∵∠C＝90°，AC＝BC＝8，∴AB＝＝8，∴AF＝CF＝4，此時S△CDE＝S四邊形CEFD﹣S△DEF＝S△AFC﹣S△DEF＝×4×4﹣×4×4＝16﹣8＝8．則結論正確的是①③⑤．故答案為：①③⑤．【點評】本題是三角形的綜合題，難度適中，此題考查了全等三角形的判定與性質，以及等腰直角三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵，在第③問中，由DF的最值來確定DE的最值，這在討論最值問題中經(jīng)常運用，要熟練掌握．三、作圖題（本題滿分4分）不寫作法，但要保留作圖痕跡.15．已知：∠O及其一邊上的兩點A，B．求作：Rt△ABC，使∠C＝90°，且點C在∠O內部，∠BAC＝∠O．【分析】作AF∥OE，過點B作AC⊥AF于點C，△ABC即為所求．解：如圖，△ABC即為所求．【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，解題的關鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考?？碱}型．四、解答題（本題滿分74分、共有8道小題）16．分解因式：（1）2（m﹣n）2﹣m（n﹣m）；（2）（x2﹣4xy+4y2）+（﹣4x+8y）+4．【分析】（1）先確定公因式，然后利用提公因式法分解因式；（2）先利用完全平方公式變形得到x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2，然后利用完全平方公式分解因式．解：（1）2（m﹣n）2﹣m（n﹣m）＝2（m﹣n）2+m（m﹣n）＝（m﹣n）（3m﹣2n）；（2）（x2﹣4xy+4y2）+（﹣4x+8y）+4＝（x﹣2y）2﹣4（x﹣2y）+4＝[（x﹣2y）+2]2＝（x﹣2y+2）2．【點評】本題考查了提公因式法和公式法因式分解，注意分解要徹底．17．解不等式組，請把解集在數(shù)軸上表示，并寫出它的所有整數(shù)解．【分析】先分別求出每個不等式的解集，即可得出不等式組的解集，然后在數(shù)軸上表示出來，即可得出整數(shù)解．解：，解不等式①，得x＞﹣2，解不等式②，得x≤4，∴原不等式組的解集為：﹣2＜x≤4，該不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示：∴它的所有整數(shù)解為﹣1，0，1，2，3，4．【點評】本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟練掌握求不等式組的解集的步驟是解題的關鍵．18．某蔬菜加工廠承擔出口蔬菜加工任務，有一批蔬菜產(chǎn)品需要裝入某一規(guī)格的紙箱．供應這種紙箱有兩種方案可供選擇：方案一：從紙箱廠定制購買，每個紙箱價格為4元；方案二：由蔬菜加工廠租賃機器自己加工制作這種紙箱，機器租賃費按生產(chǎn)紙箱數(shù)收?。S需要一次性投入機器安裝等費用16000元，每加工一個紙箱還需成本費2.4元．（1）若需要這種規(guī)格的紙箱x個，請分別寫出從紙箱廠購買紙箱的費用y1（元）和蔬菜加工廠自己加工制作紙箱的費用y2（元）關于x（個）的函數(shù)關系式；（2）假設你是決策者，你認為應該選擇哪種方案？并說明理由．【分析】（1）由已知條件可以得出兩個方案的解析式y(tǒng)1＝4x，y2＝2.4x+16000．（2）使y2﹣y1得，16000﹣1.6x＝0，解得x＝10000，討論x的取值范圍來比較來比較兩個方案的優(yōu)缺點．解：（1）從紙箱廠定制購買紙箱費用：y1＝4x，蔬菜加工廠自己加工紙箱費用：y2＝2.4x+16000．（2）y2﹣y1＝2.4x+16000﹣4x＝16000﹣1.6x，由y1＝y(tǒng)2得，16000﹣1.6x＝0，解得x＝10000，∴當x＜10000時，y1＜y2，選擇方案一，從紙箱廠定制購買紙箱所需的費用低．當x＞10000時，y1＞y2，選擇方案二，加工廠自己加工制作紙箱所需的費用低．當x＝10000時，y1＝y(tǒng)2，選擇兩個方案的費用相同．【點評】利用一次函數(shù)性質解決生活中的實際問題．需要討論x的取值．19．閱讀理解：材料1：常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有很多的多項式只用上述方法就無法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，但我們細心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前兩項符合平方差公式，后兩項可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會產(chǎn)生公因式，然后提取公因式就可以完成整個式子的分解因式了：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．這種分解因式的方法叫分組分解法．材料2：對于x3﹣（n2+1）x+n這類特殊的代數(shù)式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x+n）（x﹣n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）解決問題：（1）分解因式：①a2﹣4a﹣b2+4；②x3﹣5x+2．（2）△ABC三邊a，b，c滿足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判斷△ABC的形狀．【分析】（1）①首先將a2﹣4a+4三項組合，利用完全平方公式分解因式，進而利用平方差公式分解因式得出即可；②首先把﹣5x拆解為﹣4x和﹣x，然后再提取公因式，利用平方差公式分解因式，最后提取公因式即可；（2）首先將前兩項以及后兩項組合，進而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的關系，判斷三角形形狀即可．解：（1）①a2﹣4a﹣b2+4＝a2﹣4a+4﹣b2＝（a﹣2）2﹣b2＝（a+b﹣2）（a﹣b﹣2）；②x3﹣5x+2＝x3﹣4x﹣x+2＝（x3﹣4x）﹣（x﹣2）＝x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝（x﹣2）（x2+2x﹣1）；（2）a2﹣ab﹣ac+bc＝0，∴a2﹣ab﹣（ac﹣bc）＝0，∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，∴a﹣b＝0，或者a﹣c＝0，即：a＝b，或者a＝c，∴△ABC是等腰三角形．【點評】此題主要考查了分組分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正確分組分解因式是解題關鍵．20．已知：如圖，△ABC中，∠ACB的平分線與AB的垂直平分線交于點D，DE⊥AC于點E，DF⊥BC交CB的延長線于點F．（1）求證：AE＝BF；（2）若AE＝7，BC＝10，AB＝26，判斷△ABC的形狀，并證明．【分析】（1）連接CD，根據(jù)垂直平分線性質可得BD＝CD，可證Rt△BDE≌Rt△CDF，可得BE＝CF；（2）根據(jù)Rt△CDE≌Rt△CDF得出CE＝CF，求出AC＝24，由勾股定理的逆定理即可得出結論．【解答】（1）證明：連接AD．如圖所示：∵DM垂直平分線段AB，∴DA＝DB，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°，在Rt△DEA和Rt△DFB中，，∴Rt△DEA≌Rt△DFB（HL），∴AE＝BF．（2）解：△ABC是直角三角形，理由如下：在Rt△CDE和Rt△CDF中，，∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），∴CE＝CF，由（1）得：Rt△DEA≌Rt△DFB，∴AE＝BF＝7，∴CF＝BC+BF＝10+7＝17，∴AC＝AE+CF＝7+17＝24，∴BC2+AC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676，∴BC2+AC2＝AB2，∴∠ACB＝90°．∴△ABC是直角三角形．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質、角平分線的性質、勾股定理的逆定理、垂直平分線的性質等知識；熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵21．電影《水門橋》以抗美援朝戰(zhàn)爭中第二次戰(zhàn)役中的長津湖戰(zhàn)役為背景，講述了一段波瀾壯闊的歷史．71年前，中國人民志愿軍赴朝作戰(zhàn)，在極寒嚴酷環(huán)境下，東線作戰(zhàn)部隊憑著英勇無畏的戰(zhàn)斗精神，一路追殺，奮勇殺敵，扭轉戰(zhàn)場態(tài)勢，打出軍隊國威．某中學為了培養(yǎng)學生的愛國主義情懷，組織兩名老師和50名學生進行觀影活動，電影院的價格如表所示（教師按成人票價購買，學生按學生票價購買）會員價（元/張）尋常票價成人票價（元/張）學生票價（元/張）406050由于部分學生有會員卡（會員卡僅限本人使用），所以有會員卡的學生享受會員價，沒有會員卡的學生有x人，購買電影票的全部費用為W元；（1）若購買電影票的全部費用不超過2400元，則有會員卡的學生至少有多少人？（2）若有會員卡的學生人數(shù)不超過沒有會員卡學生人數(shù)的2倍，求W的最小值．【分析】根據(jù)各數(shù)量之間的關系，找出W關于x的函數(shù)關系式．（1）根據(jù)購買電影票的全部費用不超過2400元，即可得出關于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范圍，進而可得出（50﹣x）的取值范圍，再取其中的最小整數(shù)值即可得出結論；（2）根據(jù)有會員卡的學生人數(shù)不超過沒有會員卡學生人數(shù)的2倍，即可得出關于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范圍，結合x為正整數(shù)，即可得出x的最小值，再利用一次函數(shù)的性質，即可解決最值問題．解：∵學校組織兩名老師和50名學生進行觀影活動，沒有會員卡的學生有x人，∴有會員卡的學生有（50﹣x）人，∴W＝60×2+40（50﹣x）+50x，即W＝10x+2120．（1）依題意得：60×2+40（50﹣x）+50x≤2400，解得：x≤28，∴50﹣x≥22，∴（50﹣x）的最小值為22．答：有會員卡的學生至少有22人．（2）依題意得：50﹣x≤2x，解得：x≥，∵x為正整數(shù)，∴x的最小值為17．∵10＞0，∴W隨x的增大而增大，∴當x＝17時，W取得最小值，最小值＝10×17+2120＝2290．答：W的最小值為2290．【點評】本題考查了一元一次不等式的應用以及一次函數(shù)的應用，解題的關鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式；（2）利用一次函數(shù)的性質，求出W的最小值．22．新知學習：在平面直角坐標系xOy中，圖形W在坐標軸上的投影長度定義如下：設點P（x1，y1），Q（x2，y2）是圖形W上的任意兩點．若|x1﹣x2|的最大值為m，則圖形W在x軸上的投影長度lx＝m；若|y1﹣y2|的最大值為n，則圖形W在y軸上的投影長度ly＝n．如圖①，圖形W在x軸上的投形長度lx＝|3﹣1|＝2；在y軸上的投影長度ly＝|4﹣0|＝4．初步運用：（1）已知點A（3，3），B（4，1）．如圖②所示，若圖形W為△OAB，則lx＝4，ly＝3．（2）在圖②的基礎上，將△OAB繞點О逆時針旋轉90°得△OCD，若圖形W為△OCD，則lx＝3，ly＝4．（3）在圖②的基礎上，將△OAB繞點О順時針旋轉45°得△OEF，若圖形W為△OEF，則lx＝3，ly＝．提升拓展：（4）如圖③，已知點C（4，0），點D在直線y＝﹣2x+6上，若圖形W為△OCD，當lx＝ly時，求點D的坐標．【分析】（1）確定出點A在y軸的投影的坐標、點B在x軸上投影的坐標，于是可求得問題的答案；（2）根據(jù)旋轉的性質得出C、D的坐標，進而解答即可；（3）根據(jù)旋轉的性質得出E、F的坐標，進而解答即可；（4）過點P作PD⊥x軸，垂足為P．設D（x，﹣2x+6），則PD＝|﹣2x+6|．PC＝|4﹣x|，然后依據(jù)lx＝ly，列方程求解即可．解：（1）∵A（3，3），∴點A在y軸上的正投影的坐標為（0，3）．∴△OAB在y軸上的投影長度ly＝3．∵B（4，1），∴點B在x軸上的正投影的坐標為（4，0）．∴△OAB在x軸上的投影長度lx＝4．故答案為：4；3；（2）∵將△OAB繞點О逆時針旋轉90°得△OCD，點A（3，3），B（4，1），∴點C（﹣3，3），D（﹣1，4），∴點D在y軸上的正投影的坐標為（0，4）．∴△OAB在y軸上的投影長度ly＝4．∴點C在x軸上的正投影的坐標為（3，0）．∴△OAB在x軸上的投影長度lx＝3；故答案為：3；4；（3）∵將△OAB繞點O順時針方向旋轉45°得△OEF，點A（3，3），B（4，1），∴點E（3，0），F(xiàn)（