2022年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：“隱形圓”-點(diǎn)到圓最值問(wèn)題 課件

中考復(fù)習(xí)專題題“隱形圓”

——點(diǎn)到圓最值問(wèn)題不積洼步無(wú)以至千里。引入定理不積洼步無(wú)以至千里。

隱形圓的應(yīng)用是中考中的常見(jiàn)題目，這類題目在條件中沒(méi)有直接給出有關(guān)圓的信息，但我們通過(guò)分析和轉(zhuǎn)化，最終都可以利用圓的知識(shí)求解。這類題目構(gòu)思巧妙，綜合性強(qiáng)，它將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓內(nèi)的求角問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和化歸的數(shù)學(xué)思想，處理這類題目，關(guān)鍵在于能否把“隱形圓”找出來(lái)。探究定理不積洼步無(wú)以至千里。

平面內(nèi)一定點(diǎn)D和圓O上動(dòng)點(diǎn)E的連線中，當(dāng)連線過(guò)圓心O時(shí)，線段DE有最大值和最小值．具體分以下三種情況討論(規(guī)定：OD＝d，圓O半徑為r)：1、

當(dāng)D點(diǎn)在圓O外時(shí)，d>r，如圖①、②：當(dāng)D、E、O三點(diǎn)共線時(shí)，線段DE出現(xiàn)最值，DE的最大值為d＋r，DE的最小值為d－r；分析：當(dāng)D、E、O三點(diǎn)共線時(shí)，線段DE出現(xiàn)最值。理由，當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，構(gòu)成三角形，依據(jù)三角形三邊關(guān)系，可證探究定理不積洼步無(wú)以至千里。

2、當(dāng)D點(diǎn)在圓O上時(shí)，d＝r，如圖③、④：當(dāng)D、E、O三點(diǎn)共線時(shí)，線段DE出現(xiàn)最值，DE的最大值為d＋r＝2r(即為圓O的直徑)，DE的最小值為d－r＝0(點(diǎn)D、E重合)；

探究定理不積洼步無(wú)以至千里。3、當(dāng)D點(diǎn)在圓O內(nèi)時(shí)，d<r，如圖⑤、⑥：當(dāng)D、E、O三點(diǎn)共線時(shí)，線段DE出現(xiàn)最值，DE的最大值為d＋r，DE的最小值為r－d.應(yīng)用定理例1如圖，E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=DF，連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H，若正方形邊長(zhǎng)為2，則線段DH長(zhǎng)度的最小值是________．不積洼步無(wú)以至千里。不積洼步無(wú)以至千里。證明：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，在△ABE和△DCF中，AB＝CD∠BAD＝∠CDA＝90°AE＝DF∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1=∠2，在△ADG和△CDG中，AD＝CD∠ADG＝∠CDG＝45°DG＝DG∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，∴∠1+∠BAH=90°，∴∠AHB=180°-90°=90°，∴BE⊥AG；∴∠AHB=90°｛｛取AB的中點(diǎn)O為圓心畫弧即：點(diǎn)H在弧AB上∴DH的最小值為d－r∵正方形的邊長(zhǎng)為2，OA=1=r∴d=∴DH長(zhǎng)度的最小值O應(yīng)用定理例2.某城市街角有一草坪，草坪是由草地和弦與其所對(duì)的劣弧圍成的草地組成，如圖所示．管理員王師傅在M處的水管上安裝了一噴灌龍頭，以后，他想只用噴灌龍頭來(lái)給這塊草坪澆水，并且在用噴灌龍頭澆水時(shí)，既要能確保草坪的每個(gè)角落都能澆上水，又能節(jié)約用水．于是，他主噴灌龍頭的轉(zhuǎn)角正好等于(即每次噴灌時(shí)噴灌龍頭由轉(zhuǎn)到，然后再轉(zhuǎn)回，這樣往復(fù)噴灌)，同時(shí)，再合理設(shè)計(jì)好噴灌龍頭噴水的射程就可以了．如圖，已測(cè)出，MB=10mAB=24m,?ABM的面積為96m2;過(guò)弦AB的中點(diǎn)D作DE⊥AB交弧AB于點(diǎn)E，又測(cè)得DE=8m．請(qǐng)你根據(jù)以上提供的信息，幫助王師傅計(jì)算噴灌龍頭的射程至少多少米時(shí)，才能實(shí)現(xiàn)他的想法?為什么?不積洼步無(wú)以至千里。解：作射線ED交AM于點(diǎn)C∵AD=DB,ED⊥AB,弧AB為劣弧

DE=8mAB=24m∴弧AB所在圓心在射線DC上假設(shè)圓心為O，半徑為r,連接OA,則r2=122+（r-8）2解得r=13∴OD=5過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AB,垂足為N∵S?ABM=96.AB=24∴MN=8,NB=6,AN=18∵?ADC∽?ANM∴∴DC=OD<CD∴點(diǎn)O在?AMB內(nèi)部，M在圓O的內(nèi)部∴M到圓上最大距離為d＋r，r=13過(guò)點(diǎn)O作OH⊥MN,則OH=DN=6,MH=3∴OM==d∴最大距離=d＋r=+13不積洼步無(wú)以至千里。應(yīng)用定理

例3.所示，AB、AC、BC是某新區(qū)的三條規(guī)劃路其中，AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，BC所對(duì)的圓心角為60°．新區(qū)管委會(huì)想在BC路邊建物資總站點(diǎn)P，在AB、AC路邊分別建物資分站點(diǎn)E、F．也就是，分別在BC線段AB和AC上選取點(diǎn)P、E、F．由于總站工作人員每天要將物資在各物資站點(diǎn)間按P→E→F→P的路徑進(jìn)行運(yùn)輸，因此，要在各物資站點(diǎn)之間規(guī)劃道路PE、EF和FP．為了快捷環(huán)保和節(jié)約成本要使得線段PE、EF、FP之和最短，試求PE＋EF＋FP的最小值(各物資站點(diǎn)與所在道路之間的距離、路寬均忽略不計(jì))．不積洼步無(wú)以至千里。不積洼步無(wú)以至千里。解：假設(shè)P點(diǎn)即為所求點(diǎn)，分別作出點(diǎn)P關(guān)于AB、AC的對(duì)稱點(diǎn)P′、P＂連接PP′、P′E，PE，P＂F，PF，PP＂由對(duì)稱性可知PE＋EF＋FP＝P′E＋EF＋FP＂＝P′P＂，當(dāng)P′、E、F、P＂在一條直線上，P′P＂即為最短距離，∵?AP′P＂是120°等腰三角形，P′P＂=AP∴當(dāng)PA最小時(shí)P′P＂也最小∵點(diǎn)A在圓外，PA最短=d－r∴作出弧BC的圓心O，連接AO，與弧BC交于P，∵AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，∴?ABC是直角三角形，∠ABC＝30°，BC＝BC所對(duì)的圓心角為60°，∴?OBC是等邊三角形，∠CBO＝60°，BO＝BC＝∴∠ABO＝90°，AO＝

，PA＝-∠P′AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂，∴∠P′AP＂＝2∠ABC＝120°，P′A＝AP＂，∴∠AP′E＝∠AP＂F＝30°∵P′P＂＝

P′A＝

－9所以PE＋EF＋FP的最小值為（

－9）km．課堂檢測(cè)1.已知正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，E、F分別是BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足BE=CF，連接AE、BF，交點(diǎn)為P點(diǎn)，則PD的最小值為_(kāi)________不積洼步無(wú)以至千里。課堂檢測(cè)2.如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長(zhǎng)的最小值是_________．不積洼步無(wú)以至千里。2課堂檢測(cè)3.