第一章基礎(chǔ)知識(shí)

第一章基礎(chǔ)知識(shí)第一頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日本科時(shí)開(kāi)出的數(shù)字信號(hào)處理課程，主要講授的有：離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)的基本理論，離散付里葉變換及快速算法（DFT、FFT）等，這稱(chēng)為所謂“經(jīng)典”理論。為研究生開(kāi)設(shè)的這門(mén)學(xué)位課，主要內(nèi)容為：最佳線性濾波（維納濾波和卡爾曼濾波），自適應(yīng)信號(hào)處理，現(xiàn)代譜估計(jì)理論，同態(tài)信號(hào)處理，陣列信號(hào)處理，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和小波變換在信號(hào)處理中的應(yīng)用，以及數(shù)字信號(hào)處理的硬件實(shí)現(xiàn)等。它們大多是近十多年來(lái)發(fā)展迅速和應(yīng)用廣泛的前沿學(xué)科領(lǐng)域，其中不少屬交叉學(xué)科領(lǐng)域。因此，取名為“現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理”。但“經(jīng)典”與“現(xiàn)代”沒(méi)有嚴(yán)格的界線，因?yàn)樵S多“經(jīng)典”內(nèi)容，也曾一度作為新興前沿學(xué)科，而今正在發(fā)展的“現(xiàn)代”理論和方法，終有成為“經(jīng)典”的一天。本課程總學(xué)時(shí)數(shù)有限，許多內(nèi)容還要同學(xué)們自學(xué)，不然的話，在這有限的學(xué)時(shí)中，很難完成我們的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)習(xí)目的。緒論第二頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日第一章基礎(chǔ)知識(shí)1.1隨機(jī)矢量1.2相關(guān)抵消1.3Gram-Schmidt正交化1.4偏相關(guān)系數(shù)1.5功率譜和周期圖1.6譜分解1.7信號(hào)的參數(shù)模型第三頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日1.1離散隨機(jī)信號(hào)及其數(shù)字特征

一、隨機(jī)信號(hào)指不能用確定性的時(shí)間函數(shù)來(lái)描述，只能用統(tǒng)計(jì)方法研究的信號(hào)。統(tǒng)計(jì)特性

：概率分布函數(shù)、概率密度函數(shù)

統(tǒng)計(jì)平均：均值、方差、相關(guān)

在時(shí)域離散情況下的隨機(jī)過(guò)程——離散隨機(jī)信號(hào)第四頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日二、離散隨機(jī)信號(hào)視為隨機(jī)矢量常用的數(shù)字特征是各種平均特性及相關(guān)函數(shù)等。說(shuō)明：我們考慮的是：①各態(tài)歷經(jīng)信號(hào)——指無(wú)限個(gè)樣本在某時(shí)刻所歷經(jīng)的狀態(tài)，等同于某個(gè)樣本在無(wú)限時(shí)間里所經(jīng)歷的狀態(tài)的信號(hào)。所以只需測(cè)量一次樣本就是以描述所有樣本的隨機(jī)特性。還有：我們研究的多是：②平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)——其均值和相關(guān)不隨時(shí)間變化。注意：各態(tài)歷經(jīng)信號(hào)一定是平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，反之不然。第五頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日定義：⒈

均值：⒉

方差:我們討論的是③零均值的隨機(jī)信號(hào)，即可重新定義，讓零均值。Note：也為該信號(hào)的交流功率（平均功率）。第六頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日⒊

相關(guān)函數(shù)：即在時(shí)刻n、m的相關(guān)性。⑴

自相關(guān)函數(shù)（一個(gè)隨機(jī)信號(hào)）⑵

互相關(guān)函數(shù)（兩隨機(jī)信號(hào)）自相關(guān)函數(shù)：

白噪聲信號(hào)互相關(guān)函數(shù)：⒋自協(xié)方差函數(shù):第七頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日三、N維隨機(jī)矢量是由N個(gè)不同隨機(jī)變量為分量構(gòu)成：

N維隨機(jī)矢量X的均值也是一個(gè)N維矢量：

X的自相關(guān)函數(shù)：是一維的正半定對(duì)稱(chēng)矩：也稱(chēng)平均互功率矩陣。用它來(lái)描述N維矢量中任兩個(gè)元素間的相關(guān)程度，X的自協(xié)方差函數(shù)也是個(gè)的正半定對(duì)稱(chēng)矩陣：且：，類(lèi)似于

（零均值）時(shí)，第八頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日1.2相關(guān)抵消如果X、Y分別是N維和M維零均值隨機(jī)矢量，且它們相關(guān)：

現(xiàn)對(duì)Y進(jìn)行線性變換（讓變換后的矢量與X不相關(guān)），得：（H是維）構(gòu)造：，使e與Y不相關(guān)：即∴此式具有三個(gè)功能，即：①

最佳線性估計(jì)②

相關(guān)抵消③

最佳信號(hào)分離由此構(gòu)成相關(guān)抵消器原理圖：Hxy-+第九頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日1.3Gram-Schmidt正交化

一、基本定義⒈

內(nèi)積的定義：設(shè)u、v為線性空間的任二矢量由前面分析可知：

任一矢量X相對(duì)于Y可分為兩部分：一部分為：

另一部分為：e與Y不相關(guān)

兩部分的相關(guān)函數(shù)：并且，可以證明相互正交。其內(nèi)積為：⒉兩矢量正交：第十頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日二、正交投影定理定理：矢量X在線性空間Y上的正交投影是Y中與x距離最近的一個(gè)矢量。定理說(shuō)明：

可見(jiàn)，說(shuō)明用Y中隨機(jī)變量的線性組合來(lái)逼近x時(shí)，在最小二乘方的意義上，是最佳的。這是因?yàn)椋河蓛?nèi)積空間中兩矢量U、V的距離公式：就可得前面的結(jié)論。第十一頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日三、Gram-Schmidt正交化

這是一個(gè)遞歸處理過(guò)程：其目的是由非正交基底,求出一組正交基底。處理過(guò)程為：這樣構(gòu)造出的基底是Y的正交基底。設(shè)第十二頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日1.4偏相關(guān)系數(shù)偏相關(guān)是一個(gè)與Gram-Schmidt正交化緊密相關(guān)的概念，它在線性預(yù)測(cè)和現(xiàn)代譜估計(jì)中起著重要的作用。根據(jù)正交分解定理，有：第十三頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日上式寫(xiě)成矩陣形式：可得：第十四頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日1.5功率譜和周期圖一、定義：功率譜又稱(chēng)功率譜密度定義為自相關(guān)函數(shù)的付里葉變換。對(duì)于離散時(shí)間實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜定義為：的雙邊正變換：第十五頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日二、說(shuō)明⒈

若是穩(wěn)定的，則的收效域包括，令，便為功率譜：⒉

不相關(guān)隨機(jī)信號(hào)（白噪聲），其自相關(guān)函數(shù)：∴其功率譜：⒊

兩實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)根據(jù)定義，互功率譜且有：第十六頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日三、周期圖⒈

說(shuō)明：在實(shí)際應(yīng)用中，通常觀測(cè)到的是信號(hào)的有限個(gè)（N個(gè)）取樣值，用表示，可以認(rèn)為它是分段平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)中的一段，也可以看成是從平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)中截取出來(lái)的一段數(shù)據(jù)。我們知道，平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，無(wú)論從何時(shí)開(kāi)始取其中任何一段長(zhǎng)為N的數(shù)據(jù)，所計(jì)算出來(lái)的均值或自相關(guān)值都是相同的。第十七頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日

信號(hào)可以看成是用寬為N的數(shù)據(jù)窗W(n)從平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)y(n)中截取出來(lái)的，即：則自相關(guān)函數(shù)：可看成：⒉

定義：由此得周期圖的定義：取樣自相關(guān)函數(shù)的雙邊Z變換：第十八頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日考慮到：時(shí)域卷積對(duì)應(yīng)頻域相乘上式很適合FFT計(jì)算。第十九頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日⒊

討論長(zhǎng)為N的數(shù)據(jù)來(lái)計(jì)算周期圖，能達(dá)到的頻率分辯率為：∵數(shù)學(xué)頻率ω與物理頻率f，有∴（物理）頻率分辨率：其中，是數(shù)據(jù)段的持續(xù)時(shí)間，單位秒。第二十頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日1.6譜分解

零點(diǎn)的位置不影響系統(tǒng)的幅頻特性，只影響相頻特性（亦不影響因果性和穩(wěn)定性）。即：是最小相位序列，則其Z變換：式中：零點(diǎn)

為最小延時(shí)多項(xiàng)式。一、最小相位序列Z變換的所有零點(diǎn)都在Z平面單位圓內(nèi)的序列——最小相位序列，第二十一頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)把共軛倒序?yàn)闀r(shí)，相應(yīng)的零點(diǎn)就從。若在單位圓內(nèi)，則就在單位圓外。

當(dāng)將這M個(gè)零點(diǎn)都移至單位園外時(shí)，它對(duì)應(yīng)的序列就是最大相位序列或最大延時(shí)序列。即全部零點(diǎn)在單位圓外。二、最大延時(shí)序列三、部分能量和最小延時(shí)序列的總能量由帕斯瓦爾Parseval恒等式：可以證明：最小相位序列的能量主要集中在初始階段。（具有最小延時(shí)）而最大相位序列的能量主要集中在尾部。（具有最大延時(shí)）第二十二頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日四、譜分解定理⒈

定理：任何實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的有理功率譜，都可唯一地表示成最小相位形式：式中為常系數(shù)，為有理函數(shù)，可調(diào)整，使、為首1多項(xiàng)式，則分解唯一。第二十三頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日⒉

意義：首先是保證了平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)模型的存在。

任何一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)都可看作是：白噪聲激勵(lì)一個(gè)LTI因果系統(tǒng)產(chǎn)生輸出的。白噪聲序列B(z)因果、穩(wěn)定、LTI

平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)模型第二十四頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日譜分解定理的證明很簡(jiǎn)單。

是實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度函數(shù)：①

滿足對(duì)稱(chēng)條件：②

如果是它的實(shí)數(shù)零點(diǎn)，則也是實(shí)數(shù)零點(diǎn)；如果是復(fù)數(shù)零點(diǎn)，則的實(shí)數(shù)性質(zhì)可以判定也將是一個(gè)復(fù)數(shù)零點(diǎn)；③

說(shuō)明的分子多項(xiàng)式可以寫(xiě)成最小相位多項(xiàng)式之積；④

對(duì)于的分母多項(xiàng)式也有類(lèi)似的情況，即；可調(diào)整，使、為首1多項(xiàng)式，則分解唯一。⑤

為使是因果和穩(wěn)定的，它的全部極點(diǎn)，即的全部零點(diǎn)都應(yīng)在單位圓內(nèi)，而為了使它的濾波器是因果和穩(wěn)定的，的全部極點(diǎn)即的全部零點(diǎn)也應(yīng)在單位圓內(nèi)，因此、都應(yīng)是最小相位的，該模型的輸出功率正好為：“譜分解”定理，也保證了的成立。第二十五頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日例：用譜分解定理對(duì)有理功率譜進(jìn)行分解

解：

由上式分解為：

其中：

大家下去完成

的譜分解。Note:分母多項(xiàng)式不需分解，只對(duì)分子多項(xiàng)式分解。Let：再比較兩邊系數(shù)

解得：故：即：第二十六頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日[進(jìn)一步說(shuō)明]：譜分解定理對(duì)于實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)有理功率譜這里：最小相位∴是兩個(gè)最小相位Z變換之比。合成系統(tǒng)分析系統(tǒng)⑴若系統(tǒng)為因果穩(wěn)定，由可知，的極點(diǎn)與的零點(diǎn)都必須在單位圓內(nèi)，因此是最小相位序列。⑵若系統(tǒng)亦為因果穩(wěn)定，同理可知，亦為最小相位序列，因此、均為最小相位序列。第二十七頁(yè)，共二十八頁(yè)，2022年，8月28日1.7信號(hào)的參數(shù)模型信號(hào)的參數(shù)模型應(yīng)用很廣，多種多樣，但其思想是共同的，即將具有許多變量的復(fù)雜過(guò)程用包含少量參數(shù)的簡(jiǎn)單模型來(lái)表示，用簡(jiǎn)單模型表示復(fù)雜過(guò)程就會(huì)有近似誤差，但是，如果模型參數(shù)具有物理意義，就可研