第三章量子力學(xué)中的力學(xué)量上

第三章量子力學(xué)中的力學(xué)量上第一頁，共二十二頁，2022年，8月28日第1節(jié)

表示力學(xué)量的算符(2)定理厄米算符的本征值為實數(shù)

容易證明坐標(biāo)算符和動量算符都是厄米算符（見書p56)。量子力學(xué)基本假定：體系處于力學(xué)量算符的本征態(tài)時，該力學(xué)量有確定值，就是該力學(xué)量算符本征態(tài)對應(yīng)的本征值。上章已經(jīng)知道：體系處于動量算符本征態(tài)時，系統(tǒng)的動量有確定值，就是動量算符的本征值。處于能量算符(哈密頓量)本征態(tài)(定態(tài))時，系統(tǒng)的能量有確定值——能量本征值。推廣之！厄米算符：力學(xué)量的數(shù)值是實數(shù)，要求力學(xué)量算符的本征值應(yīng)該是實數(shù)。因此要求：力學(xué)量算符是(線性)厄米算符。線性：疊加原理，說明干涉衍射等。取由厄米算符的定義得第二頁，共二十二頁，2022年，8月28日第2節(jié)

動量算符和角動量算符——求解本征值方程1、動量本征值方程容易得到方程的解公式（d維）它滿足“歸一化”條件在三維情況下有時希望解決：1、不能歸一化2、連續(xù)譜——分立譜

(箱歸一化)

上述解實都成立——連續(xù)譜而且解也不能滿足歸一化條件沒有嚴(yán)格意義上的自由粒子第三頁，共二十二頁，2022年，8月28日第2節(jié)

動量算符和角動量算符——求解本征值方程動量本征函數(shù)1、動量本征值方程——箱歸一化

滿足箱歸一化條件箱歸一化周期性邊界條件動量本征函數(shù)連續(xù)譜分立譜

第四頁，共二十二頁，2022年，8月28日第2節(jié)

動量算符和角動量算符——求解本征值方程2、角動量算符球坐標(biāo)結(jié)果(推導(dǎo)見后，或略去)角動量平方算符注意因單位矢量是坐標(biāo)的函數(shù)求的共同本征函數(shù)?為什么不是求的共同本征函數(shù)？第五頁，共二十二頁，2022年，8月28日球坐標(biāo)系單位矢量的偏導(dǎo)數(shù)預(yù)備知識—xzyφ=φ0φ0

0球(r,,φ)r=r

0=

0P0O第六頁，共二十二頁，2022年，8月28日球坐標(biāo)系拉普拉斯算符預(yù)備知識—(較好的選擇!)第七頁，共二十二頁，2022年，8月28日角動量算符角動量平方算符球坐標(biāo)結(jié)果角動量算符00第八頁，共二十二頁，2022年，8月28日第2節(jié)

動量算符和角動量算符2、角動量算符求的共同本征函數(shù)單值性要求令該方程是數(shù)學(xué)物理中的標(biāo)準(zhǔn)方程。結(jié)論是：P是非零有限函數(shù)的條件是——勒讓德(Legendre)多項式——微分表示球諧函數(shù)方程連帶勒讓德方程第九頁，共二十二頁，2022年，8月28日預(yù)備知識——連帶勒讓德方程解法若則級數(shù)解法：作冪級數(shù)展開比較同冪次項系數(shù)結(jié)論是：P是非零有限函數(shù)的條件是——勒讓德(Legendre)多項式——微分表示——正交性第十頁，共二十二頁，2022年，8月28日第2節(jié)

動量算符和角動量算符2、角動量算符最后結(jié)果的共同本征函數(shù)Y稱為球諧函數(shù)——?dú)w一化常數(shù)——Legendre多項式本征值正交歸一化條件的狀態(tài)分別成為s,p,d,f態(tài)。習(xí)題(p1013.5題+1問)求剛性轉(zhuǎn)子的定態(tài)能量及波函數(shù)。哈密頓量分別是1)2)3)簡并度第十一頁，共二十二頁，2022年，8月28日第3節(jié)

氫原子1、預(yù)備知識——兩體問題轉(zhuǎn)化為單體問題引入質(zhì)心坐標(biāo)相互作用勢能能量(哈密頓量)質(zhì)心動量相對動量總質(zhì)量約化質(zhì)量或折合質(zhì)量量子力學(xué)也是如此！定態(tài)薛定諤方程可變成相對坐標(biāo)無耦合！能量(哈密頓量)質(zhì)心運(yùn)動是質(zhì)量為M的自由粒子的運(yùn)動。相對運(yùn)動是質(zhì)量為μ的粒子在外場中的運(yùn)動。1x+r1r2rR2Oyz第十二頁，共二十二頁，2022年，8月28日第3節(jié)

氫原子2、預(yù)備知識——三維問題轉(zhuǎn)化為一維問題定態(tài)薛定諤方程折合質(zhì)量由于勢能只是距離的函數(shù)—與方向無關(guān)=>可分離變量球坐標(biāo)系中其中離心勢能3)基態(tài)是s態(tài)結(jié)論1)離心勢能的引入—與經(jīng)典力學(xué)非常類似2)3維可解（勢能V(r)）1維可解（勢能)徑向方程角向方程第十三頁，共二十二頁，2022年，8月28日第3節(jié)

氫原子氫原子問題決定定態(tài)能量的方程是簡化E>0時為非束縛態(tài)——連續(xù)譜考慮E<0的束縛定態(tài)——分立譜令求容許能量轉(zhuǎn)化為求容許n勢能:本征函數(shù):第十四頁，共二十二頁，2022年，8月28日第3節(jié)

氫原子不滿足波函數(shù)有限的要求令標(biāo)準(zhǔn)型的合流超幾何方程

其2個獨(dú)立解都稱為合流超幾何函數(shù)

只有解F才可能滿足波函數(shù)有限的條件締合拉蓋爾(Laguerre)多項式徑量子數(shù)第十五頁，共二十二頁，2022年，8月28日第3節(jié)

氫原子氫原子問題波函數(shù)E>0時為非束縛態(tài)——對應(yīng)連續(xù)譜E<0—束縛態(tài)能量玻爾半徑徑向波函數(shù)歸一化常數(shù)主量子數(shù)角量子數(shù)磁量子數(shù)簡并度共同本征函數(shù)締合Laguerre多項式其中歸一化條件考慮例如第十六頁，共二十二頁，2022年，8月28日第3節(jié)

氫原子徑向概率密度圖略，見書p75圖20概率分布徑向—角向獨(dú)立s,p,d,f,…,態(tài)角向概率分布徑向概率分布例題1求基態(tài)氫原子的最可幾半徑。基態(tài)徑向波函數(shù)：。電子-p角向概率密度繞z軸旋轉(zhuǎn)對稱的立體圖形！或注意（玻爾半徑）第十七頁，共二十二頁，2022年，8月28日第3節(jié)

氫原子——例題氫原子波函數(shù)例題2p100-1013.3-3.4題求氫原子中電子的電流密度和相應(yīng)的磁矩和回磁比幾率流密度矢量電流密度矢量定態(tài)時變?yōu)殡娏鳝h(huán)的磁矩環(huán)圍繞面積環(huán)電流環(huán)的體積總磁矩電流環(huán)的磁矩軌道回轉(zhuǎn)磁比率第十八頁，共二十二頁，2022年，8月28日第3節(jié)

氫原子——例題例題3氫原子的典型物理量——量綱分析精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)電磁耦合強(qiáng)度、能級精細(xì)結(jié)構(gòu)（相對論修正）氫原子典型速度電離能非相對論描述氫原子典型能量氫原子典型角動量電子相關(guān)典型長度氫原子典型線度Compton波長相對論、量子理論非相對論量子理論電子經(jīng)典半徑相對論經(jīng)典理論量子理論的標(biāo)識常數(shù)相對論的標(biāo)識常數(shù)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動非相對論描述的條件或動能<<靜能第十九頁，共二十二頁，2022年，8月28日第3節(jié)

氫原子——例題例題4簡單常數(shù)代換氫原子中所有結(jié)果中類氫原子Π介子原子、電子空穴對、等等氫原子中所有結(jié)果中介質(zhì)中氫原子半導(dǎo)體施主、受主能級量級（還要考慮有效質(zhì)量修正）引力“原子”2個中子氫原子中所有結(jié)果中引力太微弱！第二十頁，共二十二頁，2022年，8月28日第3節(jié)

氫原子——例題例題5

一維氫原子三維氫原子結(jié)果2度簡并偶奇例題6

二維氫原子例題6

堿金屬原子——原子實+價電子零級近似就是氫原子結(jié)果考慮原子實的極化、電子軌道貫穿（半經(jīng)典描述）第二十一頁，共二十二頁，2022年，8月28日與氫原子的差別（1）能量由（n,

）兩個量子數(shù)決定，主量子數(shù)相同，角量子數(shù)不同的能級不相同。各能級均低于氫原子相應(yīng)能級。（2）對同一n值，不同值的能級，值較大的能級與氫原子的差別較小；對同一值，不同n值