第八節(jié)一般周期的級數(shù)

設(shè)周期為2l的周期函數(shù)f(x)滿足收斂定理條件,則它的傅里葉展開式為(在f(x)的連續(xù)點處)其中定理.當(dāng)前1頁，總共20頁。證明:令,則令則所以且它滿足收斂定理條件,將它展成傅里葉級數(shù):(在F(z)的連續(xù)點處)變成是以2為周期的周期函數(shù),當(dāng)前2頁，總共20頁。其中令(在f(x)的連續(xù)點處)證畢當(dāng)前3頁，總共20頁。說明:其中(在f(x)的連續(xù)點處)如果f(x)為偶函數(shù),則有(在f(x)的連續(xù)點處)其中注:無論哪種情況,在f(x)的間斷點x處,傅里葉級數(shù)收斂于如果f(x)為奇函數(shù),則有當(dāng)前4頁，總共20頁。例1.交流電壓經(jīng)半波整流后負(fù)壓消失,試求半波整流函數(shù)的解:這個半波整流函數(shù),它在傅里葉級數(shù).上的表達(dá)式為的周期是當(dāng)前5頁，總共20頁。當(dāng)前6頁，總共20頁。n>1

時當(dāng)前7頁，總共20頁。由于半波整流函數(shù)f(t)直流部分說明:交流部分由收收斂定理可得2k次諧波的振幅為

k越大振幅越小,因此在實際應(yīng)用中展開式取前幾項就足以逼近f(x)了.上述級數(shù)可分解為直流部分與交流部分的和.當(dāng)前8頁，總共20頁。例2.

把展開成(1)正弦級數(shù);(2)余弦級數(shù).解:(1)將f(x)作奇周期延拓,則有在x=2k處級數(shù)收斂于何值?當(dāng)前9頁，總共20頁。(2)將作偶周期延拓,則有當(dāng)前10頁，總共20頁。說明:此式對也成立,由此還可導(dǎo)出據(jù)此有當(dāng)前11頁，總共20頁。當(dāng)函數(shù)定義在任意有限區(qū)間上時,方法1令即在上展成傅里葉級數(shù)周期延拓將在代入展開式上的傅里葉級數(shù)其傅里葉展開方法:當(dāng)前12頁，總共20頁。方法2令在上展成正弦或余弦級數(shù)奇或偶式周期延拓將代入展開式在即上的正弦或余弦級數(shù)當(dāng)前13頁，總共20頁。例3.將函數(shù)展成傅里葉級數(shù).解:令設(shè)將F(z)延拓成周期為10的周期函數(shù),理條件.由于F(z)是奇函數(shù),故則它滿足收斂定當(dāng)前14頁，總共20頁。利用歐拉公式二、傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式設(shè)f(x)是周期為2l的周期函數(shù),則當(dāng)前15頁，總共20頁。注意到同理當(dāng)前16頁，總共20頁。傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式:因此得當(dāng)前17頁，總共20頁。式的傅里葉級數(shù).例4.把寬為,高為h,周期為T的矩形波展成復(fù)數(shù)形解:在一個周期它的復(fù)數(shù)形式的傅里葉系數(shù)為內(nèi)矩形波的函數(shù)表達(dá)式為當(dāng)前18頁，總共20頁。當(dāng)前19頁，總共20頁。為正弦級數(shù).內(nèi)容小結(jié)1.周期為2l的函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開公式(x

間斷點)其中當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時,(偶