2021-2022學(xué)年安徽省蒙城一中、渦陽一中、淮南一中等五校高三上學(xué)期第一次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題（解析版）

蒙城一中渦陽一中淮南一中懷遠(yuǎn)一中潁上一中2022屆高三第一次五校聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.答案：C解析：【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域和函數(shù)的值域，化簡集合，再利用補(bǔ)集及交集定義，即可求解.【詳解】∵，，∴，.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)位于（）A.實(shí)軸上 B.虛軸上 C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法及除法運(yùn)算可得，即得.【詳解】∵復(fù)數(shù)，∴，∴在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)位于虛軸上.故選：B.3.若，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.答案：C解析：【分析】利用不等式的基本性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，由，知，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，知，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，知，故C正確；對(duì)于D，由，知，故D錯(cuò)誤；故選：C.4.已知實(shí)數(shù)，滿足，則由該不等式組確定的可行域的面積為（）A. B. C. D.答案：D解析：【分析】根據(jù)不等式組畫出可行域，結(jié)合三角形的面積公式計(jì)算即可.【詳解】由不等式組畫出表示的平面區(qū)域，如圖，結(jié)合圖形可知，.故選：D.5.已知命題：，；命題：，；則下列說法中正確的是（）A.是假命題 B.是真命題C.是假命題 D.是真命題答案：C解析：【分析】分別通過解對(duì)數(shù)不等式和構(gòu)造函數(shù)證明不等式成立來判斷命題和命題的真假，然后根據(jù)選項(xiàng)的組合一一驗(yàn)證排除，即可完成解答.【詳解】命題：，，即，解得，故該命題錯(cuò)誤；命題：，，設(shè)函數(shù)，，，所以令，解得，在上，，所以單調(diào)遞減，在上，，所以單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，即，故，所以，對(duì)于恒成立，該命題正確；選項(xiàng)A，應(yīng)為真命題，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，應(yīng)為假命題，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，為假命題，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，應(yīng)為假命題，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：C.6.已知向量，，則的最大值為（）A. B. C. D.答案：D解析：【分析】根據(jù)題意可得，分和兩種情況討論，結(jié)合基本不等式即可得出答案.【詳解】由向量，，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，綜上的最大值為.故選：D.7.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則（）A. B.C. D.答案：B解析：【分析】將轉(zhuǎn)化為，將轉(zhuǎn)化為，然后兩式聯(lián)立，解得以及，最后根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和公式即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，聯(lián)立，解得，，則，，故選：B.8.將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度，再將圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像，若對(duì)任意的均有成立，則的圖像（）A.關(guān)于對(duì)稱 B.關(guān)于對(duì)稱C.關(guān)于對(duì)稱 D.關(guān)于對(duì)稱答案：C解析：【分析】根據(jù)三角函數(shù)的平移伸縮變換可得，由題意可得且，進(jìn)而求出，利用驗(yàn)證法依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】將函數(shù)圖象向右平移4t個(gè)單位長度，得到，再將圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，得到，即，對(duì)任意恒成立，則，又，，所以，得，解得.A：當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；B：當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；C：當(dāng)時(shí)，，所以圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故C正確；D：當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：C.9.已知函數(shù)，若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.答案：A解析：【分析】原問題等價(jià)于函數(shù)與的圖象有個(gè)不同的交點(diǎn)，對(duì)分和兩種情況進(jìn)行討論，分別畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】因?yàn)闀r(shí)，，所以在上是周期函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上的圖象如圖所示，若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)與的圖象有個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，易得函數(shù)與的圖象有且只有個(gè)不同的交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，要使函數(shù)與的圖象有個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖可知，解得；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.10.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則不等式的解集為（）A. B. C. D.答案：A解析：【分析】由題可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且關(guān)于對(duì)稱，進(jìn)而可得，即求.【詳解】∵函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且關(guān)于對(duì)稱，函數(shù)的對(duì)稱軸為，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且關(guān)于對(duì)稱，∴由可得，，解得.故選：A.11.給出下列命題：①函數(shù)圖像的對(duì)稱中心為；②已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.則是的充要條件；③若函數(shù)在區(qū)間上的最大值，最小值分別為，，則；④已知函數(shù)，則的最大值為.以上命題中正確的個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.答案：D解析：【分析】利用正切函數(shù)的性質(zhì)可判斷①，利用大角對(duì)大邊及余弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷②，利用奇函數(shù)的性質(zhì)可判斷③，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值可判斷④.【詳解】對(duì)于①，因?yàn)楹瘮?shù)圖像的對(duì)稱中心為，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，故是的充要條件，故②正確；對(duì)于③，設(shè)，，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以在區(qū)間上，即，所以在區(qū)間上的最大值，最小值分別為，，所以，故③正確；對(duì)于④，函數(shù)，令，設(shè)，，則，令，得，∴在區(qū)間，，函數(shù)單調(diào)遞減，在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以在上的最大值為，即的最大值為，故④正確；綜上，命題正確的個(gè)數(shù)為.故選：D.12.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.答案：B解析：【分析】先比較與的大小，通過構(gòu)造出，然后根據(jù)單調(diào)性可得；再比較和，通過構(gòu)造進(jìn)行適當(dāng)放縮即可；最后比較和，也是運(yùn)用函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)放縮即可.【詳解】設(shè)，則有：，令，解得：，故在上單調(diào)遞增；令，解得：，故在上單調(diào)遞減.可得：，即，即，故有：.設(shè)，則有：，則在上單調(diào)遞增，，故，.故有：，同理：，綜上可得：.故選：B.二、填空題13..答案：解析：【分析】根據(jù)定積分意義,畫出幾何圖形,根據(jù)積分上限和下限即可求得其面積,即為積分值.【詳解】令，則，畫出圖像如下圖：所以定積分值為.14.曲線在點(diǎn)處的切線方程為.答案：解析：【分析】直接根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程的斜率為，進(jìn)而求出切線方程.【詳解】對(duì)求導(dǎo)可得：，則曲線在點(diǎn)處的切線方程的斜率為：，又.則切線方程為：.故答案為：.15.已知，又，，則.答案：（或）解析：【分析】利用同角關(guān)系式可得，，然后利用差角公式即求.【詳解】∵，又，∴，，又，∴，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不合題意.故答案為：.16.正項(xiàng)數(shù)列滿足，.又是以為公比的等比數(shù)列，則使得不等式成立的正整數(shù).答案：解析：【分析】利用等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式可得，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)分別成公比為等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式和不等式的解法即可求解.【詳解】依題意是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故，兩邊平方得，所以，兩式相除得，故是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，故，所以，是以為首項(xiàng).公比為的等比數(shù)列，故，所以，所以，由，經(jīng)檢驗(yàn)可知，符合題意.故答案為：.三、解答題17.設(shè)命題：函數(shù)定義域?yàn)?；命題：使不等式能成立.（1）若命題為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若命題為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.答案：見解析解析：【分析】（1）由題意，，令，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出最大值即可求解；（2）由題意，命題為真命題，命題為假命題，由為真命題得且，由為假命題時(shí)，從而即可得答案.【詳解】（1）因?yàn)槊}是真命題，所以，令，則，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）因?yàn)槊}為假命題，所以命題為真命題，命題為假命題，由為真命題得：且，，所以且，由（1）知：當(dāng)為假命題時(shí)，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為且.18.已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，向量，，．（1）求角；（2）若，且，求面積．答案：見解析解析：【分析】（1）根據(jù)向量平行的充要條件及正弦定理可求得，繼而求出角.（2）利用余弦定理和正弦定理求出，利用三角形的面積公式即可求解.【詳解】（1）由題意得：，，即，又，，即，，，.（2），，又，，得，由正弦定理：，得．，．19.已知函數(shù)，其中.（1）求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.答案：見解析解析：【分析】（1）由題可得，分，討論即得；（2）由題可得時(shí)不合題意，當(dāng)時(shí)，分，討論，結(jié)合極小值小于零及零點(diǎn)存在定理即得.【詳解】（1）∵，函數(shù)的定義域是，∴，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，此時(shí)無極值；當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞減，，，函數(shù)單調(diào)遞增，故是極小值，無極大值；綜上：當(dāng)時(shí)無極值；當(dāng)時(shí)，是極小值，無極大值.（2）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，最多有一零點(diǎn)，不滿足條件；當(dāng)時(shí)，的極小值是，設(shè)，，在單調(diào)遞增，∵，，∴，則的極小值大于等于零，最多有一零點(diǎn)，不滿足條件.當(dāng)時(shí)，的極小值，∵，，，所以在必有一零點(diǎn)；，在也有一零點(diǎn)，滿足條件，故的取值范圍是.20.淮南市位于安徽省中北部，地處長江三角洲腹地，淮河之濱，素有“中州咽喉，江南屏障”、“五彩淮南”之稱，是沿淮城市群的重要節(jié)點(diǎn)，如圖所示，淮南市準(zhǔn)備在淮河的一側(cè)修建一條直路，另一側(cè)修建一條觀光大道，它的前一段是以為頂點(diǎn)，軸為對(duì)稱軸，開口向右的拋物線的一部分，后一段是函數(shù)，時(shí)的圖像，，有，且最高點(diǎn)與點(diǎn)的距離為，，垂足為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若在淮河上修建如圖所示的矩形水上樂園，問點(diǎn)落在曲線上何處時(shí)，水上樂園的面積最大？答案：見解析解析：【分析】（1）結(jié)合圖象，根據(jù)求得的振幅，根據(jù)最高點(diǎn)與點(diǎn)的距離為，運(yùn)用勾股定理求得的周期，然后根據(jù)點(diǎn)在曲線上求得；（2）先根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得拋物線的方程，然后表示出矩形的面積，最后研究面積的單調(diào)性即可【詳解】（1）對(duì)于函數(shù)，由圖象知：，，解得：，又，得，并將其代入到中，解得：，又，可得：.故.（2）在中，令，得，則曲線所在拋物線的方程為：，設(shè)點(diǎn)，則矩形的面積為：，，可得：，令，解得：，且當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減.故當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)坐標(biāo)為.21.若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列中，，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，其中為正整數(shù).（1）證明數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列為等比數(shù)列；（2）設(shè)（1）中“平方遞推數(shù)列”的前項(xiàng)積為，即，求；（3）在（2）的條件下，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.答案：見解析解析：【分析】（1）根據(jù)，得到，即是“平方遞推數(shù)列”．對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)得，利用等比數(shù)列的定義證明；（2）由(1)得到，利用等比數(shù)列的求和公式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式即可得出結(jié)果；（3）由（2）可得通項(xiàng)，進(jìn)而利用分組求和即可得出.【詳解】（1）由題意得：，即，則是“平方遞推數(shù)列”.對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)得，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知；（3），.22.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）已知，若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求的