第五節(jié)函數的極值與最大最小值

第五節(jié)函數的極值與最大最小值第一頁，共二十七頁，2022年，8月28日一、函數的極值及其求法第二頁，共二十七頁，2022年，8月28日注意:為極大點為極小點不是極值點2)對常見函數,極值可能出現在導數為

0

或不存在的點.1)函數的極值是函數的局部性質.例如(P146例4)為極大點,是極大值

是極小值為極小點,

第三頁，共二十七頁，2022年，8月28日函數極值的求法費馬(fermat)引理----必要條件在駐點或者是連續(xù)不可導點中去尋找.因此尋求極值點的方法:注意:例如,第四頁，共二十七頁，2022年，8月28日定理1

(極值第一判別法)(是極值點情形)且在空心鄰域內有導數,(1)“左正右負”,(2)“左負右正”,第五頁，共二十七頁，2022年，8月28日求極值的步驟:(不是極值點情形)(1)給出定義域,并找出定義域內所給函數的駐點及連續(xù)不可導點;(2)考察這些點兩側導函數的符號,從而確定極值點;(3)求出極值點的函數值,即為極值.第六頁，共二十七頁，2022年，8月28日例1.

求函數的極值.解:1)求導數2)求極值可疑點令得得3)列表判別是極大點，其極大值為是極小點，其極小值為注意:函數的不可導點,也可能是函數的極值點.第七頁，共二十七頁，2022年，8月28日定理2

(極值第二判別法)二階導數,且則

在點

取極大值;則

在點

取極小值.證:(1)存在由第一判別法知(2)類似可證.第八頁，共二十七頁，2022年，8月28日例2解圖形如下第九頁，共二十七頁，2022年，8月28日第十頁，共二十七頁，2022年，8月28日注：運用第二充分條件求極值也有它的局限性.若?(x)在駐點這三個函數在x=0處就分別屬于這三種情況.從而當只能用第一充分條件來判定處的二階導數?(x)在處可能有極大值,也可能有極小值,例如:也可能沒有極值.(只需點連續(xù)即可)第十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日例3.

求函數的極值.解:1)求導數2)求駐點令得駐點3)判別因故為極小值;又故需用第一判別法判別.第十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日例4第十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日定理3

(判別法的推廣)則:數,且1)當為偶數時,是極小點;是極大點.2)當為奇數時,為極值點,且不是極值點.當充分接近時,上式左端正負號由右端第一項確定,故結論正確.證:利用在點的泰勒公式,可得第十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日例如,例3中所以不是極值點.極值的判別法(定理1~定理3)都是充分的.

說明:當這些充分條件不滿足時,不等于極值不存在.例如:為極大值,但不滿足定理1~定理3的條件.第十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日二、最大值與最小值問題

則其最值只能在極值點或端點處達到.求函數最值的方法:(1)求在內的極值可疑點(2)最大值最小值----駐點和不可導點第十六頁，共二十七頁，2022年，8月28日特別:

當在內只有一個極值可疑點時,

當在上單調時,最值必在端點處達到.若在此點取極大值,則也是最大值.(小)

對應用問題,有時可根據實際意義判別求出的可疑點是否為最大值點或最小值點.(小)第十七頁，共二十七頁，2022年，8月28日例5.

求函數在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解:故函數在取最小值0;在取最大值.第十八頁，共二十七頁，2022年，8月28日求最大值。例6.設是任意兩正數，滿足：解:設即求f(x)在(0,a)內的最大值令得是區(qū)間唯一的駐點，故為區(qū)間(0,a)之間的最大值第十九頁，共二十七頁，2022年，8月28日(k

為某一常數)例7.鐵路上AB段的距離為100km,工廠C距A處20AC⊥

AB,要在AB線上選定一點D向工廠修一條已知鐵路與公路每公里貨運價之比為3:5,為使貨D點應如何選取?20解:設則令得又所以為唯一的極小點,故AD=15km時運費最省.總運費物從B運到工廠C的運費最省,從而為最小點,問Km,公路,第二十頁，共二十七頁，2022年，8月28日實際問題求最值應注意:(1)建立目標函數;(2)求最值;第二十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日清楚(視角最大)?觀察者的眼睛1.8m,例8.

一張1.4m高的圖片掛在墻上,它的底邊高于解:設觀察者與墻的距離為xm,則令得駐點根據問題的實際意義,觀察者最佳站位存在,唯一,駐點又因此觀察者站在距離墻2.4m處看圖最清楚.問觀察者在距墻多遠處看圖才最第二十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日內容小結1.連續(xù)函數的極值(1)極值可疑點:使導數為0或不存在的點(2)第一充分條件過由正變負為極大值過由負變正為極小值(3)第二充分條件為極大值為極小值第二十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日最值點應在極值點和邊界點上找;f(x)在某開區(qū)間或閉區(qū)間內連續(xù)可導，若有唯一的極值點，則必最值點。2.連續(xù)函數的最值

在實際問題中，如果f(x)有唯一的駐點，則一般為最值點。第二十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日思考與練習1.設則在點a處().的導數存在,取得極大值;取得極小值;的導數不存在.B提示:利用極限的保號性.第二十五頁，共二十七頁，202