第五節(jié)洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)

第五節(jié)洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)第一頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日二.雙邊冪級(jí)數(shù)其中被稱為雙邊冪級(jí)數(shù)的正冪部分被稱為雙邊冪級(jí)數(shù)的負(fù)冪部分第二頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日三.收斂環(huán)的確定設(shè)正冪部分的收斂半徑為R1；而負(fù)冪部分在變換=1/(z-z0)下的級(jí)數(shù)的收斂半徑為1/R2，則其在|z-z0|>R2外收斂。如果R2<R1，那么雙邊冪級(jí)數(shù)就在環(huán)狀域R2<|z-z0|<R1內(nèi)收斂，所以R2<|z-z0|<R1給出了雙邊冪級(jí)數(shù)的環(huán)狀收斂域，稱為收斂環(huán)。雙邊冪級(jí)數(shù)在收斂環(huán)內(nèi)絕對(duì)且一致收斂。第三頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日正冪部分負(fù)冪部分R2R1z0R1z0|z-z0|<R1R2z0R2<|z-z0|收斂環(huán)R2<|z-z0|<R1第四頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日積分路徑C為位于環(huán)域內(nèi)按逆時(shí)針?lè)较蝠垉?nèi)圓一周的任一閉合曲線.四.洛朗定理第五頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日證明:為了避免討論在圓周上函數(shù)的解析性及級(jí)數(shù)的收斂性問(wèn)題,將外圓稍微縮小為,內(nèi)圓稍微擴(kuò)大為,如圖應(yīng)用復(fù)通區(qū)域上的柯西公式有下面將展開(kāi)為冪級(jí)數(shù),對(duì)于沿的積分,展開(kāi)如下:而對(duì)于沿的積分,考慮到用以下方法將其展開(kāi)第六頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日把分別沿和的展開(kāi)式代入下式,然后逐項(xiàng)積分可得把第二部分中的k=-(l+1)代替l作為求和指標(biāo),并根據(jù)柯西定理第七頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日把積分回路改為可得其中C為環(huán)域內(nèi)沿逆時(shí)針?lè)较蝠垉?nèi)圓一周的任一閉回線,上式稱之為f(z)的洛朗展開(kāi),右端的級(jí)數(shù)稱為洛朗級(jí)數(shù)說(shuō)明:雖然級(jí)數(shù)中含有z-z0的負(fù)冪項(xiàng),而這些項(xiàng)在z=z0時(shí)都是奇異的,但點(diǎn)z0可能是也可能不是函數(shù)f(z)的奇點(diǎn)雖然展開(kāi)系數(shù)ak的公式與泰勒展開(kāi)系數(shù)ak的公式形式相同,但這里不論z0是不是f(z)奇點(diǎn).如果是奇點(diǎn),則根本不存在第八頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日如果z0不是奇點(diǎn),則因?yàn)槌闪⒌臈l件是以C為邊界的區(qū)域上f(z)解析,但現(xiàn)在區(qū)域上有f(z)的奇點(diǎn),(如果沒(méi)有奇點(diǎn),就不用考慮洛朗級(jí)數(shù)的展開(kāi))不是z0(3)如果只有環(huán)心z0是f(z)的奇點(diǎn),則內(nèi)圓半徑可以任意小,同時(shí)z可以無(wú)限接近z0,這個(gè)時(shí)候稱為f(z)在它的孤立奇點(diǎn)z0的鄰域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式,這種情況特別重要,以后將利用它研究函數(shù)在孤立奇點(diǎn)附近的性質(zhì).(4)洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式也是唯一的,這點(diǎn)和泰勒級(jí)數(shù)是一致的,此唯一性使得可用不同的方法求得環(huán)域上解析函數(shù)的洛朗展開(kāi)式存在,但仍然不等于第九頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日例1:在z0=0的鄰域上把(sinz)/z展開(kāi)解:函數(shù)(sinz)/z在原點(diǎn)沒(méi)有定義,z0=0是奇點(diǎn)引用sinz在原點(diǎn)的鄰域上的展開(kāi)式:同時(shí)為了避開(kāi)奇點(diǎn),從復(fù)平面挖去奇點(diǎn),在挖去奇點(diǎn)的復(fù)數(shù)平面上用z遍除sinz的展開(kāi)式,就得到(sinz)/z的展開(kāi)式如果我們定義一個(gè)函數(shù)f(z)如下:第十頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日則f(z)在整個(gè)開(kāi)平面上是解析的,由上我們可得到f(z)在z0=0的鄰域上的展開(kāi)式:同時(shí)也是解析函數(shù)f(z)的泰勒級(jí)數(shù)!例2:解:在的環(huán)域上將函數(shù)f(z)=1/(z2-1)展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)在展開(kāi)式中出現(xiàn)無(wú)限多負(fù)冪次項(xiàng),但z=0本身不是函數(shù)的奇點(diǎn)奇點(diǎn)為z=士1第十一頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日例3:在z0=1的鄰域上把f(z)=1/(z2-1)展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)解:先把f(z)分解為分項(xiàng)公式第二項(xiàng)只有一個(gè)奇點(diǎn)z=-1,因此可在z0=1的鄰域|z-1|<2上可以展為泰勒級(jí)數(shù)如下:由此我們可得展開(kāi)式里邊出現(xiàn)了-1次項(xiàng)第十二頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日例4:解:我們知道ex在原點(diǎn)鄰域上的展開(kāi)式為把z全換成1/z,可得到以下結(jié)果:即這里出現(xiàn)無(wú)限多負(fù)冪項(xiàng).在z0=0的鄰域上把展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)第十三頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日例5:解:在z0=0的鄰域上把展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)由前邊的結(jié)論我們可得絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)以上兩個(gè)絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相乘,乘積中既有無(wú)限多正冪項(xiàng)又有無(wú)限多負(fù)冪項(xiàng),為了得到乘積中某個(gè)正冪zm(1)(2)應(yīng)取(2)中所有各項(xiàng)分別用(1)中的l=n+m項(xiàng)去乘,為得到某個(gè)負(fù)冪項(xiàng)z-h應(yīng)取(1)中所有項(xiàng)而分別用(2)中的n=l+h項(xiàng)去乘,由此可以得到以下結(jié)果:第十四頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日將-h記為m,l記為n,則有利用貝塞爾函數(shù)可以把上式寫成中括號(hào)里邊是m階貝塞爾函數(shù)Jm(x)第十五頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日第十六頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日第十七頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日第十八頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日12第十九頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日應(yīng)當(dāng)指出,根據(jù)定理公式直接求一個(gè)函數(shù)的洛朗級(jí)數(shù)是很困難的必須計(jì)算無(wú)窮多個(gè)積分才能得到,而不能像泰勒級(jí)