第二章矩陣及其基本運算

第二章矩陣及其基本運算第一頁，共六十八頁，2022年，8月28日一、變量和數(shù)據(jù)操作1.變量

變量命名

在MATLAB6.5中，變量名是以字母開頭，后接字母、數(shù)字或下劃線的字符序列，最多63個字符。在MATLAB中，變量名區(qū)分字母的大小寫。第二頁，共六十八頁，2022年，8月28日2．賦值語句

(1)變量=表達式

(2)表達式

其中表達式是用運算符將有關運算量連接起來的式子，其結果是一個矩陣。第三頁，共六十八頁，2022年，8月28日例2-1計算表達式的值，并顯示計算結果。

在MATLAB命令窗口輸入命令：

x=(0:0.1:10000).*pi./360;y1=sin(x);y2=sin(1.05*x);y3=sin(0.1*x);y4=sin(5*x);plot(x,y1+y2);plot(x,y3.*y4);拍現(xiàn)象信號調制第四頁，共六十八頁，2022年，8月28日3.預定義變量在MATLAB工作空間中，還駐留幾個由系統(tǒng)本身定義的變量。例如，用pi表示圓周率π的近似值，用i，j表示虛數(shù)單位。

預定義變量有特定的含義，在使用時，應盡量避免對這些變量重新賦值。第五頁，共六十八頁，2022年，8月28日二、MATLAB常用數(shù)學函數(shù)

MATLAB提供了許多數(shù)學函數(shù)，函數(shù)的自變量規(guī)定為矩陣變量，運算法則是將函數(shù)逐項作用于矩陣的元素上，因而運算的結果是一個與自變量同維數(shù)的矩陣。

第六頁，共六十八頁，2022年，8月28日函數(shù)使用說明：

(1)三角函數(shù)以弧度為單位計算。

(2)abs函數(shù)可以求實數(shù)的絕對值、復數(shù)的模、字符串的ASCII碼值。

(3)用于取整的函數(shù)有fix、floor、ceil、round，要注意它們的區(qū)別。

(4)rem與mod函數(shù)的區(qū)別。rem(x,y)和mod(x,y)要求x,y必須為相同大小的實矩陣或為標量。第七頁，共六十八頁，2022年，8月28日三、矩陣的建立和引用1．矩陣的建立直接輸入法

最簡單的建立矩陣的方法是從鍵盤直接輸入矩陣的元素。具體方法如下：將矩陣的元素用方括號括起來，按矩陣行的順序輸入各元素，同一行的各元素之間用空格或逗號分隔，不同行的元素之間用分號分隔。第八頁，共六十八頁，2022年，8月28日利用冒號表達式建立一個向量

冒號表達式可以產生一個行向量，一般格式是：

e1:e2:e3

其中e1為初始值，e2為步長，e3為終止值。

在MATLAB中，還可以用linspace函數(shù)產生行向量。其調用格式為：

linspace(a,b,n)

其中a和b是生成向量的第一個和最后一個元素，n是元素總數(shù)。

顯然，linspace(a,b,n)與a:(b-a)/(n-1):b等價。

第九頁，共六十八頁，2022年，8月28日2.引用矩陣的元素

通過下標引用矩陣的元素，例如

A(3,2)=200

采用矩陣元素的序號來引用矩陣元素。矩陣元素的序號就是相應元素在內存中的排列順序。在MATLAB中，矩陣元素按列存儲，先第一列，再第二列，依次類推。例如

A=[1,2,3;4,5,6];

A(3)

ans=

2

顯然，序號(Index)與下標(Subscript)是一一對應的，以m×n矩陣A為例，矩陣元素A(i,j)的序號為(j-1)*m+i。其相互轉換關系也可利用sub2ind和ind2sub函數(shù)求得。第十頁，共六十八頁，2022年，8月28日3．矩陣拆分

(1)利用冒號表達式獲得子矩陣

①A(:,j)表示取A矩陣的第j列全部元素；A(i,:)表示A矩陣第i行的全部元素；A(i,j)表示取A矩陣第i行、第j列的元素。

②A(i:i+m,:)表示取A矩陣第i～i+m行的全部元素；A(:,k:k+m)表示取A矩陣第k～k+m列的全部元素，A(i:i+m,k:k+m)表示取A矩陣第i～i+m行內，并在第k～k+m列中的所有元素。

此外，還可利用一般向量和end運算符來表示矩陣下標，從而獲得子矩陣。end表示某一維的末尾元素下標。第十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日4.特殊矩陣的生成

常用的產生通用特殊矩陣的函數(shù)有：

zeros：產生全0矩陣(零矩陣)。

ones：產生全1矩陣(幺矩陣)。

eye：產生單位矩陣。

rand：產生0～1間均勻分布的隨機矩陣。

randn：產生均值為0，方差為1的標準正態(tài)分布隨機矩陣。第十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日例2-2分別建立3×3、3×2和與矩陣A同樣大小的零矩陣。

(1)建立一個3×3零矩陣。

zeros(3)

(2)建立一個3×2零矩陣。

zeros(3,2)

(3)設A為2×3矩陣，則可以用zeros(size(A))建立一個與矩陣A同樣大小零矩陣。

A=[123;456];%產生一個2×3階矩陣A

zeros(size(A))%產生一個與矩陣A同樣大小的零矩陣第十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日例2-3建立隨機矩陣：

(1)在區(qū)間[20,50]內均勻分布的5階隨機矩陣。

(2)均值為0.6、方差為0.1的5階正態(tài)分布隨機矩陣。

命令如下：

x=20+(50-20)*rand(5)

y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)

第十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日用于專門學科的特殊矩陣

(1)魔方矩陣

魔方矩陣有一個有趣的性質，其每行、每列及兩條對角線上的元素和都相等。對于n階魔方陣，其元素由1,2,3,…,n2共n2個整數(shù)組成。MATLAB提供了求魔方矩陣的函數(shù)magic(n)，其功能是生成一個n階魔方陣。第十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日例2-5將101~125等25個數(shù)填入一個5行5列的表格中，使其每行每列及對角線的和均為565。

M=100+magic(5)第十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日(2)帕斯卡矩陣

我們知道，二次項(x+y)n展開后的系數(shù)隨n的增大組成一個三角形表，稱為楊輝三角形。由楊輝三角形表組成的矩陣稱為帕斯卡(Pascal)矩陣。函數(shù)pascal(n)生成一個n階帕斯卡矩陣。第十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日例2-7求(x+y)5的展開式。

在MATLAB命令窗口，輸入命令：

pascal(6)

矩陣次對角線上的元素1,5,10,10,5,1即為展開式的系數(shù)。第十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日四、MATLAB運算

1.算術運算

MATLAB的基本算術運算有：＋(加)、－(減)、*(乘)、/(右除)、\(左除)、^(乘方)。

注意，運算是在矩陣意義下進行的，單個數(shù)據(jù)的算術運算只是一種特例。第十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日(1)矩陣加減運算

假定有兩個矩陣A和B，則可以由A+B和A-B實現(xiàn)矩陣的加減運算。運算規(guī)則是：若A和B矩陣的維數(shù)相同，則可以執(zhí)行矩陣的加減運算，A和B矩陣的相應元素相加減。如果A與B的維數(shù)不相同，則MATLAB將給出錯誤信息，提示用戶兩個矩陣的維數(shù)不匹配。第二十頁，共六十八頁，2022年，8月28日(2)矩陣乘法

假定有兩個矩陣A和B，若A為m×n矩陣，B為n×p矩陣，則C=A*B為m×p矩陣。第二十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日(3)矩陣除法

在MATLAB中，有兩種矩陣除法運算：\和/，分別表示左除和右除。如果A矩陣是非奇異方陣，則A\B和B/A運算可以實現(xiàn)。A\B等效于A的逆左乘B矩陣，也就是inv(A)*B，而B/A等效于A矩陣的逆右乘B矩陣，也就是B*inv(A)。

對于含有標量的運算，兩種除法運算的結果相同，如3/4和4\3有相同的值，都等于0.75。又如，設a=[10.5,25]，則a/5=5\a=[2.10005.0000]。對于矩陣來說，左除和右除表示兩種不同的除數(shù)矩陣和被除數(shù)矩陣的關系。對于矩陣運算，一般A\B≠B/A。第二十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日(4)矩陣的乘方

一個矩陣的乘方運算可以表示成A^x，要求A為方陣，x為標量。

第二十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日2．點運算

在MATLAB中，有一種特殊的運算，因為其運算符是在有關算術運算符前面加點，所以叫點運算。點運算符有.*、./、.\和.^。兩矩陣進行點運算是指它們的對應元素進行相關運算，要求兩矩陣的維參數(shù)相同。第二十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日3.關系運算

MATLAB提供了6種關系運算符：<(小于)、<=(小于或等于)、>(大于)、>=(大于或等于)、==(等于)、～=(不等于)。它們的含義不難理解，但要注意其書寫方法與數(shù)學中的不等式符號不盡相同。第二十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日關系運算符的運算法則為：

(1)當兩個比較量是標量時，直接比較兩數(shù)的大小。若關系成立，關系表達式結果為1，否則為0。

(2)當參與比較的量是兩個維數(shù)相同的矩陣時，比較是對兩矩陣相同位置的元素按標量關系運算規(guī)則逐個進行，并給出元素比較結果。最終的關系運算的結果是一個維數(shù)與原矩陣相同的矩陣，它的元素由0或1組成。第二十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日(3)當參與比較的一個是標量，而另一個是矩陣時，則把標量與矩陣的每一個元素按標量關系運算規(guī)則逐個比較，并給出元素比較結果。最終的關系運算的結果是一個維數(shù)與原矩陣相同的矩陣，它的元素由0或1組成。第二十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日例2-8產生5階隨機方陣A，其元素為[10,90]區(qū)間的隨機整數(shù)，然后判斷A的元素是否能被3整除。

(1)生成5階隨機方陣A。

A=fix((90-10+1)*rand(5)+10)

(2)判斷A的元素是否可以被3整除。

P=rem(A,3)==0

其中，rem(A,3)是矩陣A的每個元素除以3的余數(shù)矩陣。此時，0被擴展為與A同維數(shù)的零矩陣，P是進行等于(==)比較的結果矩陣。第二十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日4.邏輯運算

MATLAB提供了3種邏輯運算符：&(與)、|(或)和～(非)。

邏輯運算的運算法則為：

(1)在邏輯運算中，確認非零元素為真，用1表示，零元素為假，用0表示。

(2)設參與邏輯運算的是兩個標量a和b，那么，

a&ba,b全為非零時，運算結果為1，否則為0。

a|ba,b中只要有一個非零，運算結果為1。

～a當a是零時，運算結果為1；當a非零時，運算結果為0。第二十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日(3)若參與邏輯運算的是兩個同維矩陣，那么運算將對矩陣相同位置上的元素按標量規(guī)則逐個進行。最終運算結果是一個與原矩陣同維的矩陣，其元素由1或0組成。

(4)若參與邏輯運算的一個是標量，一個是矩陣，那么運算將在標量與矩陣中的每個元素之間按標量規(guī)則逐個進行。最終運算結果是一個與矩陣同維的矩陣，其元素由1或0組成。第三十頁，共六十八頁，2022年，8月28日例2-9建立矩陣A，然后找出大于4的元素的位置。

(1)建立矩陣A。

A=[4,-65,-54,0,6;56,0,67,-45,0]

(2)找出大于4的元素的位置。

find(A>4)第三十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日5.矩陣的轉置與旋轉

矩陣的轉置

轉置運算符是單撇號(‘)。

矩陣的旋轉

利用函數(shù)rot90(A,k)將矩陣A旋轉90o的k倍，當k為1時可省略。第三十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日6．矩陣的翻轉矩陣的左右翻轉

對矩陣實施左右翻轉是將原矩陣的第一列和最后一列調換，第二列和倒數(shù)第二列調換，…，依次類推。MATLAB對矩陣A實施左右翻轉的函數(shù)是fliplr(A)。矩陣的上下翻轉

MATLAB對矩陣A實施上下翻轉的函數(shù)是flipud(A)。第三十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日五、字符串

在MATLAB中，字符串是用單撇號括起來的字符序列。

MATLAB將字符串當作一個行向量，每個元素對應一個字符，其標識方法和數(shù)值向量相同。也可以建立多行字符串矩陣。第三十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日字符串是以ASCII碼形式存儲的。abs函數(shù)可以用來獲取字符串矩陣所對應的ASCII碼數(shù)值矩陣。相反，char函數(shù)可以把ASCII碼矩陣轉換為字符串矩陣。第三十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日例2-13建立一個字符串向量，然后對該向量做如下處理：

(1)取第1～5個字符組成的子字符串。

(2)將字符串倒過來重新排列。

(3)將字符串中的小寫字母變成相應的大寫字母，其余字符不變。

(4)統(tǒng)計字符串中小寫字母的個數(shù)。第三十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日命令如下：

ch=‘ABc123d4e56Fg9’;

subch=ch(1:5)%取子字符串

revch=ch(end:-1:1)%將字符串倒排

k=find(ch>=‘a’&ch<=‘z’);%找小寫字母的位置

ch(k)=ch(k)-(‘a’-‘A’);%將小寫字母變成相應的大寫字母

char(ch)

length(k)%統(tǒng)計小寫字母的個數(shù)第三十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日六、結構數(shù)據(jù)和單元數(shù)據(jù)

結構數(shù)據(jù)

結構矩陣的建立與引用

結構矩陣的元素可以是不同的數(shù)據(jù)類型，它能將一組具有不同屬性的數(shù)據(jù)納入到一個統(tǒng)一的變量名下進行管理。建立一個結構矩陣可采用給結構成員賦值的辦法。具體格式為：

結構矩陣名.成員名=表達式

其中表達式應理解為矩陣表達式。第三十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日結構成員的修改

可以根據(jù)需要增加或刪除結構的成員。例如要給結構矩陣a增加一個成員x4，可給a中任意一個元素增加成員x4：

a(1).x4=‘410075’;

但其他成員均為空矩陣，可以使用賦值語句給它賦確定的值。

要刪除結構的成員，則可以使用rmfield函數(shù)來完成。例如，刪除成員x4：

a=rmfield(a,‘x4’);

第三十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日2．單元數(shù)據(jù)

單元矩陣的建立與引用

建立單元矩陣和一般矩陣相似，只是矩陣元素用大括號括起來。

可以用帶有大括號下標的形式引用單元矩陣元素。例如b{3,3}。單元矩陣的元素可以是結構或單元數(shù)據(jù)。

可以使用celldisp函數(shù)來顯示整個單元矩陣，如celldisp(b)。還可以刪除單元矩陣中的某個元素。第四十頁，共六十八頁，2022年，8月28日七.M文件的編輯與調試用MATLAB的程序文件是以.m為擴展名的文本文件，稱為M文件。其語句的執(zhí)行相當于依次在命令窗口輸入相應的命令.M文件中,說明性的文字(注釋)用%開頭,用Help命令可以顯示說明文字的內容第四十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日例Hello.m%programhello.m%Hello,Students!%Goodmorning!%Studyhardandmakeprogresseveryday!!!%Goodgoodstudy,daydayup!%第四十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日上段程序運行結果:無任何顯示.將%Hello,Students!修改成disp(‘Hello,Students!’)重新運行,理解注釋的作用,注意編程風格:必要的注釋;分進縮寫;模塊化;做研究筆記,記下各個文件的功能及注意事項.

第四十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日八.文件內容的輸入與修改輸入修改保存程序的調試第四十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日九.流程控制之循環(huán)結構For循環(huán)語法:for循環(huán)變量=初值:步長:終值循環(huán)體end第四十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日例:連加算法%multiplus1.ms=0fori=1:1000s=s+I;endsprintf(‘s=%d’,s)第四十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日例:累乘算法%multitime1.mp=1;forn=1:1:10p=p*n;endsprintf(‘p=%d\n’,p)第四十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日例:連加算法和累乘算法的合用：求e的值。%programee1.m%GivestheexpnumbereE=1;forn=1:100p=1;form=1:np=p*m;endE=E+1/p;endsprintf(‘p=%f\n’,p)第四十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日例：在非線性物理中的應用舉例。

畫出logistic映射圖迭代函數(shù)：第四十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日%programebug.m蟲口模型x=0.6;u=2.6:0.001:4;forj=1:150%迭代150次可穩(wěn)定x=u.*(x-x.^2);endfori=1:100x=u.*(x-x.^2);plot(u,x,’r’,’marker’,’.’,’markersize’,1);holdonend第五十頁，共六十八頁，2022年，8月28日3.流程控制之循環(huán)結構(2)While循環(huán)語法：while條件表達式循環(huán)體語句endwhile語句的一般格式為：

while(條件)

循環(huán)體語句

end第五十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日例：用While循環(huán)實現(xiàn)連加算法%multiplus1.ms=0fori=1:1000s=s+i;endsprintf(‘s=%d’,s)%multiplus2.ms=0;N=1;Whilen<=1000s=s+n;n=n+1;endsprintf(‘s=%d’,s)第五十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日十.流程控制之分支結構(1)if---else---end語句語法：if邏輯表達式語句體1else語句體2end說明：當條件成立時，執(zhí)行語句組1，否則執(zhí)行語句組2。擴展：精簡：第五十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日例：分段函數(shù)的取值x=input('請輸入x的值:');ifx<=0y=(x+sqrt(pi))/exp(2);elsey=log(x+sqrt(1+x*x))/2;endy第五十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日(2）switch---case語句switch語句根據(jù)表達式的取值不同，分別執(zhí)行不同的語句，其語句格式為：switch表達式case值1語句組1case值2語句組2……case值m語句組motherwise語句組nend第五十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日十一.數(shù)據(jù)的輸入輸出(1)鍵盤輸入數(shù)據(jù)從鍵盤輸入數(shù)據(jù),可以用函數(shù)input實現(xiàn).格式:A=input(提示信息,選項);字符串‘s’時,輸入為字符串,無此項時為數(shù)值.第五十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日例:

Xm=input(‘what’’syourname?’,’s’);第五十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日(2)在命令窗口輸出數(shù)據(jù)disp函數(shù)可提供在命令窗口輸出數(shù)據(jù)的功能.格式:disp(輸出項)可以是矩陣,也可以是字符串.有多項時用方括號括起.第五十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日例程:求一元二次方程的根a=input(‘a=?’);b=input(‘b=?’);c=input(‘c=?’);d=b*b-4*a*c;x=[(-b+sqrt(d))/(2*a),(-b-sqrt(d))/(2*a)];disp([‘x1=’,num2str(x(1)),‘x1=’,num2str(x(2))])第五十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日(3)磁盤文件的打開與關閉打開文件語法:fid=fopen(filename,permission);

文件標識符(內存變量名)磁盤文件名打開模式