第二章第四節(jié)隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)

第二章第四節(jié)隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)第一頁，共十六頁，2022年，8月28日一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)顯函數(shù)與隱函數(shù)

形如yf(x)的函數(shù)稱為顯函數(shù)

例如

ysinx

ylnxex

都是顯函數(shù)

由方程F(x

y)0所確的函數(shù)稱為隱函數(shù)

把一個隱函數(shù)化成顯函數(shù)叫做隱函數(shù)的顯化

例如方程xy310確定的隱函數(shù)為

隱函數(shù)的求導(dǎo)法

把方程兩邊分別對x求導(dǎo)數(shù)然后從所得的新的方程中把隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解出.第二頁，共十六頁，2022年，8月28日

例1

求由方程eyxye0所確定的隱函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)

(ey)(xy)(e)(0)

即eyyy+xy0

方程中每一項對x求導(dǎo)得解

例2

求由方程y52yx3x70所確定的隱函數(shù)yf(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)y|x0

因為當(dāng)x0時從原方程得y0所以5y4y2y121x60方程兩邊分別對x求導(dǎo)數(shù)得解

第三頁，共十六頁，2022年，8月28日例3.求橢圓在點處的切線方程.解:橢圓方程兩邊對x求導(dǎo)故切線方程為即第四頁，共十六頁，2022年，8月28日解

上式兩邊再對x求導(dǎo)得的二階導(dǎo)數(shù)

例4

方程兩邊對x求導(dǎo)得第五頁，共十六頁，2022年，8月28日y

f(x)[lnf(x)]

對數(shù)求導(dǎo)法適用于求冪指函數(shù)y[u(x)]v(x)的導(dǎo)數(shù)及多因子之積和商的導(dǎo)數(shù)

此方法是先在yf(x)的兩邊取對數(shù)然后用隱函數(shù)求導(dǎo)法求出y的導(dǎo)數(shù)

設(shè)yf(x)兩邊取對數(shù)得lnylnf(x)

兩邊對x求導(dǎo)得對數(shù)求導(dǎo)法第六頁，共十六頁，2022年，8月28日

例5

求yxsinx

(x>0)的導(dǎo)數(shù)

解法二

這種冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也可按下面的方法求.

解法一

上式兩邊對x求導(dǎo)得兩邊取對數(shù)得lnysinxlnx

yxsinxesinx·lnx

第七頁，共十六頁，2022年，8月28日上式兩邊對x求導(dǎo)得說明

嚴格來說本題應(yīng)分x4

x12x3三種情況討論

但結(jié)果都是一樣的

例6

先在兩邊取對數(shù)得

解

第八頁，共十六頁，2022年，8月28日設(shè)xj(t)具有反函數(shù)tj-1(x)且tj-1(x)與yy(t)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)yy[j-1(x)]若xj(t)和yy(t)都可導(dǎo)則二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系是由參數(shù)方程?íì==)()(tytxyj確定的.

第九頁，共十六頁，2022年，8月28日

解

例7.

求橢圓?íì==tbytaxsincos在相應(yīng)于4

p=t點處的切線方程.

所求切線的斜率為abdxdyt-==4p.

第十頁，共十六頁，2022年，8月28日再求速度的方向

設(shè)a是切線的傾角則軌道的切線方向為于是拋射體在時刻t的運動速度的大小為

x

(t)=v1

y(t)=v2-gt

求拋射體在時刻t的運動速度的大小和方向

例8

拋射體運動軌跡的參數(shù)方程為

速度的水平分量與鉛直分量分別為先求速度的大小

解

第十一頁，共十六頁，2022年，8月28日討論:

已知xj(t),yy(t)如何求y對x的二階導(dǎo)數(shù)y?例9.

設(shè)求例10.

設(shè),且求解:解:第十二頁，共十六頁，2022年，8月28日的函數(shù)yf(x)的二階導(dǎo)數(shù)

解

(t2np

n為整數(shù))

例11．計算由擺線的參數(shù)方程?íì-=-=)cos1()sin(tayttax所確定

第十三頁，共十六頁，2022年，8月28日三、相關(guān)變化率為兩可導(dǎo)函數(shù)之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題解法:找出相關(guān)變量的關(guān)系式對t求導(dǎo)得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求出未知的相關(guān)變化率第十四頁，共十六頁，2022年，8月28日例12.一氣球從離開觀察員500m處離地面鉛直上升,其速率為當(dāng)氣球高度為500m

時,觀察員視線的仰角增加率是多少?解:設(shè)氣球上升t分后其高度為h,仰角為,則兩邊對t求導(dǎo)已知

h=500m時,第十五頁，共十六頁，2022年，8月28日作業(yè)：p-110習(xí)題2-4

1(1),(4);2;3(3)