第四章 根軌跡分析法

第四章根軌跡分析法第一頁，共六十四頁，2022年，8月28日注意：K一變，一組根變；K一停，一組根停；一組根對(duì)應(yīng)同一個(gè)K；根軌跡概念

-2-10jks(0.5s+1)K:0~∞特征方程：S2+2s+2k=0特征根：s1,2=－1±√1－2kk=0時(shí)，s1=0,s2=－20＜k＜0.5時(shí)，兩個(gè)負(fù)實(shí)根；若s1=－0.25,s2=?k=0.5時(shí)，s1=s2=－10.5＜k＜∞時(shí)，s1,2=－1±j√2k－1演示rltool第二頁，共六十四頁，2022年，8月28日二閉環(huán)傳遞函數(shù)與開環(huán)傳遞函數(shù)

1、閉環(huán)傳遞函數(shù)

其中D(s)=1+G(s)H(s)為閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式，方程的根為特征根。

第三頁，共六十四頁，2022年，8月28日

2、開環(huán)傳遞函數(shù)

Φ’(s)=B(s)/E(s)=G(s)H(s)

∴閉環(huán)特征方程由開環(huán)傳遞函數(shù)加“1”組成

第四頁，共六十四頁，2022年，8月28日3、傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)

若G(s)為閉環(huán)傳函，則-z和-p為閉環(huán)零、極點(diǎn);

若G(s)為開環(huán)傳函，則-z和-p為開環(huán)零、極點(diǎn)。

必須指出：a閉環(huán)極點(diǎn)就是特征根。

b根軌跡的實(shí)質(zhì)，就是從開環(huán)零極點(diǎn)來求取閉環(huán)極點(diǎn)

c單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)就是開環(huán)零點(diǎn)第五頁，共六十四頁，2022年，8月28日4、零點(diǎn)與極點(diǎn)表示法

零點(diǎn):-z1=-2,-z2=-3

極點(diǎn):-p1=1,-p2=-1,-p3=-1+j,-p4=-1-j

第六頁，共六十四頁，2022年，8月28日GHG(s)=KG*∏(s-piqi=1);∏(s-zifi=1)H(s)=KH*∏(s-pjhj=1)j=1∏(s-zjl)Φ(s)=∏(s-piqi=1)hj=1∏(s-pj)∏(s-zifi=1)+kG*kH*∏(s-zjl)j=1∏(s-zifi=1)∏(s-pjhj=1)*KG結(jié)論：1零點(diǎn)、2極點(diǎn)、3根軌跡增益閉環(huán)零極點(diǎn)與開環(huán)零極點(diǎn)的關(guān)系第七頁，共六十四頁，2022年，8月28日三圖解法求作根軌跡的基本條件

1、有關(guān)復(fù)數(shù)

一個(gè)復(fù)數(shù)可以用不同的形式表示,如z=α+jβ

①矢量形式:z=∣z∣∠φ

其中幅值∣z∣=√α2+β2

相角φ=tg-1(β/α)

②指數(shù)形式:z=∣z∣ejφ

第八頁，共六十四頁，2022年，8月28日③圖形表示

復(fù)數(shù)相加:z1=α1+jβ1z2=α2+jβ2

則z1+z2=∣z1∣∠φ1+∣z2∣∠φ2

復(fù)數(shù)相乘:z1z2=∣z1∣∣z2∣∠(φ1+φ2)

復(fù)數(shù)相除:z1/z2=∣z1∣/∣z2∣∠(φ1-φ2)

第九頁，共六十四頁，2022年，8月28日2、根軌跡方程

閉環(huán)特征根和開環(huán)零、極點(diǎn)也可以是復(fù)數(shù)，因此復(fù)數(shù)形式也可用到傳遞函數(shù)中來。

根軌跡上每個(gè)點(diǎn)都是上述方程的根，或者說凡平面上滿足上式的點(diǎn)都在根軌跡上，根軌跡就是這些點(diǎn)的集合，稱為根軌跡方程。

第十頁，共六十四頁，2022年，8月28日根軌跡的模值條件與相角條件j=1mn1+K*=0∏∏((ss--zjpi))i=1-1∑∠(s-zj)－∑∠(s-pj)=(2k+1)π

k=0,±1,

±2,…j=1i=1mnj=1mnK*=1∏∏︱ss--zjpi︱︱︱i=1K*=mnj=1∏︱s-zj︱∏s-pi︱︱i=1相角條件:模值條件:繪制根軌跡的充要條件

確定根軌跡上某點(diǎn)對(duì)應(yīng)的K*值第十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日

1、相角條件

∠(s+zi)-∠(s+pj)=0-[∠(s+1)+∠(s+2)]

=±180o(2k+1)

試差法s=-1.5∠θ1+∠θ2=180o

s=-1.5+j1.5∠θ1+∠θ2=180o

s=-1.5-j1.5∠θ1+∠θ2=180o

找出足夠多的點(diǎn)，連接而成根軌跡

第十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日2、幅值條件

不同特征根s，就對(duì)應(yīng)了不同的K值。

第十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日

4-2繪制根軌跡的基本法則

1根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)

由幅值條件：

K=0時(shí),s=-pi，即根軌跡始于開環(huán)極點(diǎn)；

K=∞時(shí),s=-zj，即根軌跡終于開環(huán)零點(diǎn)。

極點(diǎn)多于零點(diǎn)時(shí)，只有s→∞才有K=∞，則此時(shí)根軌跡將趨于無窮遠(yuǎn)。

第十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日2根軌跡的支數(shù)

根軌跡支數(shù)=閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)=開環(huán)極點(diǎn)數(shù)

3根軌跡的對(duì)稱性

由于特征方程的根1+G(s)H(s)=0只有實(shí)根和共軛復(fù)根兩種，

故根軌跡必在實(shí)軸上或是對(duì)稱于實(shí)軸。

第十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日4實(shí)軸上的根軌跡

在實(shí)軸的根軌跡上任取一點(diǎn)s1，則其與開環(huán)零極點(diǎn)間構(gòu)成的矢量有三種可能：

(1)開環(huán)零極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù),如第十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日(2)開環(huán)零極點(diǎn)在左邊實(shí)軸上

如-p2和–z2

也有θ2=0φ2=0

所以φ2+θ2=0

(3)開環(huán)零極點(diǎn)在右邊實(shí)軸上

如-p1和–z1

則φ1+θ1=1800

根據(jù)相角條件，前兩種情況矢量角為零，不需考慮。只要考慮開環(huán)零極點(diǎn)在右邊實(shí)軸上的情況。

設(shè)s1右邊有a個(gè)極點(diǎn)和b個(gè)零點(diǎn)，由相角條件可知：

b1800–a1800=±(2k+1)1800(k=1,2,….)

b–a

=±(2k+1)即結(jié)論為：

實(shí)軸上的點(diǎn)，若其右邊實(shí)軸上有奇數(shù)個(gè)開環(huán)零極點(diǎn)，則它必在根軌跡上。

第十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日

六、根軌跡的漸近線

有n-m條根軌跡分支沿著與實(shí)軸正方向的夾角為θ，截距為-σ的一組漸近線趨向無窮遠(yuǎn)處。其中

θ=

式中，k=0，1，2，…一直取夠n-m個(gè)夾角為止。

漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)以-σa表示，則

-σa=

±180°（2k+1）n—mn—mΣ

（-pj）—Σ（-zi）J=12i=1nm第十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日例已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

GK（s）=試在s平面上確定根軌跡漸近線的方位。解：系統(tǒng)有4個(gè)開環(huán)極點(diǎn)和1個(gè)開環(huán)零點(diǎn)：-p1=0，-p2=-1+j1，-p3=-1-j1，-p4=-4；-z1=-1?？芍?條根軌跡趨于無窮遠(yuǎn)處，其漸近線的方位是：截距：

-σa=Kg（s+1）s（s+4）（s2+2s+2）（0）+（-1+j）+（-1-j）+（-4）-（-1）4-1第十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日

=-夾角：θ=當(dāng)k=0，1，2時(shí)，θ=60°，180°，300°。3條漸近線如圖的虛線所示。53180°（2k+1）3jws平面0-1-221-3-2-1-453-χχ第二十頁，共六十四頁，2022年，8月28日七、根軌跡的分離點(diǎn)和回合點(diǎn)兩條根軌跡分支在s平面上的某點(diǎn)相遇，然后又立即分開的點(diǎn)，叫做根軌跡的分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）。圖所示為兩條根軌跡分支。它們分別從開環(huán)極點(diǎn)-p1與-p2出發(fā)，隨著Kg的增大，會(huì)合于a點(diǎn)，接著從a點(diǎn)分離，進(jìn)入復(fù)平面，然后又從復(fù)平面回到實(shí)軸，相遇于b點(diǎn)，再從b點(diǎn)分離。0σjwχ

χ

a-p2-p1-z1b圖根軌跡的會(huì)合與分離第二十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日最后，一條分支終止于開環(huán)有限零點(diǎn)-z1，另一條趨向負(fù)無窮。我們把a(bǔ)點(diǎn)稱作分離點(diǎn)，b點(diǎn)稱作會(huì)合點(diǎn)。

一般地，若實(shí)軸上兩相鄰開環(huán)極點(diǎn)之間存在根軌跡，則這兩相鄰極點(diǎn)之間必有分離點(diǎn)；若實(shí)軸上相鄰開環(huán)零點(diǎn)（其中一個(gè)可能是無窮遠(yuǎn)零點(diǎn)）之間存在根軌跡，則這兩相鄰零點(diǎn)之間必有會(huì)合點(diǎn)。若實(shí)軸上根軌跡處在開環(huán)零點(diǎn)與極點(diǎn)之間，則它們中間可能既無分離點(diǎn)也無會(huì)合點(diǎn)，亦可能既有分離點(diǎn)也有會(huì)合點(diǎn)。

第二十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日求取分離點(diǎn)的方法很多，主要有：

1重根法

如果代數(shù)方程f(s)=0有重根s1

，就必同時(shí)滿足f(s1)=0和f’(s1)=0。設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為

Gk(s)=Kg=Kg

其中，N(s)、D(s)分別為m階、n階多項(xiàng)式,則閉環(huán)特征方程為：

1+Kg=0

或D(s)+KgN(s)=0

mi=1(s+zi)(s+pj)

nj=1N(s)D(s)N(s)D(s)第二十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日設(shè)f(s)=D(s)+KgN(s)=0且f’(s)=D’(s)+KgN’(s)=0

消去Kg得D(s)N’(s)-N(s)D’(s)=0

即從該方程解得的重根點(diǎn)就是分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)。

2極值法

在實(shí)軸的根軌跡上，分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)對(duì)應(yīng)著Kg的極值，因而可以用求極值的辦法求分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)。由前閉環(huán)特征方程可知，

Kg=-D(s)/N(s)

故

=-=dKgdsD’(s)N(s)-N’(s)D(s)N2(s)D’(s)N(s)-N’(s)D(s)N2(s)第二十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日如果令dKg/ds=0，則其結(jié)果與重根法相同。

例：已知開環(huán)傳遞函數(shù)為Gk(s)=

試求分離點(diǎn)。

解：由題知，D(s)=s(s+1)(s+2)N(s)=1

故D’(s)=3s2+6s+2N’(s)=0

解得s1=-0.423s2=-1.577

由于s2不在根軌跡上，因而分離點(diǎn)是s1

。Kgs(s+1)(s+2)第二十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日

八、根軌跡的出射角和入射角

根軌跡的出射角是指始于開環(huán)極點(diǎn)的根軌跡在起點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角。而根軌跡的入射角，是指終止于開環(huán)零點(diǎn)的根軌跡在終點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角。第二十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日出射角和入射角又分別稱為起始角和終止角。

設(shè)根軌跡離開某

開環(huán)極點(diǎn)-pa時(shí)的

出射角為θa；根

軌跡進(jìn)入某開環(huán)

零點(diǎn)-zb時(shí)的入射

角為?b，則θa、

?b之值可求之如下：

設(shè)系統(tǒng)開環(huán)零、

極點(diǎn)的分布如圖所示。σjwθ1-p1θ2-p2-p3-z1θ3θ2-pas?1xxxx復(fù)數(shù)極點(diǎn)出射角的求取第二十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日按相角條件有

?1-θ1-θ2-θ3-θa=±180°（2k+1)

故θa=+180°+?1-（θ1+θ2+θ3）

當(dāng)ε→0時(shí)，其他零、極點(diǎn)對(duì)s1的幅角等于對(duì)-pa的幅角。如果系統(tǒng)共有m個(gè)有限零點(diǎn)，n個(gè)極點(diǎn)，那么式（4-27）可寫成以下的通式：

θa=+180°（2k+1)+∑?i-∑θjmi=1j=1n≠a第二十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日式中，θj=-pa+pj是各開環(huán)極點(diǎn)對(duì)-pa的幅角；?i=-pa+zj是各開環(huán)零點(diǎn)對(duì)-pa的幅角；∑表示j=1~n取代數(shù)和，但不包括-pa的角

度，因?yàn)樵擖c(diǎn)的幅角已經(jīng)在式（4-28）中用θa表示過了。

同理可求得根軌跡進(jìn)入復(fù)數(shù)零點(diǎn)-的入射角通式為

?b=±180°（2k+1)+∑?j-∑θi≠bj=1ni=1nmj=1≠b第二十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日例設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)零、極點(diǎn)的分布如圖4-9所示，試確定根軌跡離開復(fù)數(shù)共極點(diǎn)-p1、-p2的出射角。

解按公式（4-28），由作圖結(jié)果得

?b=+180°（2k+1)+-p1+z1--p1+p2-

-p1+p3--p1+p4

=+180°（2k+1)+45°

-90°-135°-26.6°

=+180°×2k-26.6°

取k=0，得θ1=-26.6°。

σS平面135°-p3-j026.6°-p2-3-2-z145°26.6°-p4-p126.6°xxjw第三十頁，共六十四頁，2022年，8月28日取k=0,得?1=-26.6°。

考慮到根軌跡的對(duì)稱性，根軌跡離開-p2點(diǎn)的出射角必為?2=-26.6°。

九、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)

根軌跡與虛軸相交，意味著閉環(huán)特征方程出現(xiàn)純虛根。故可在閉環(huán)特征方程中令s=jw，然后令其實(shí)部和虛部分別等于0，從中求得交點(diǎn)的坐標(biāo)值及其相應(yīng)的Kg值。

例設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

Gk（s）=

Kgs（s+1）（s+2）第三十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日試求根軌跡和虛軸的交點(diǎn)，并計(jì)算臨界根軌跡增益Kgp。

解閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

s（s+1）（s+2）+Kg=0

即s3+3s2+2s+Kg=0（A）

當(dāng)Kg=Kgp時(shí)，根軌跡和虛軸相交。為求出交點(diǎn)，令s=jw，代入特征方程（A），得（jw）3+3（jw）2+2（jw）+Kgp=0

上式分解為實(shí)部和虛部，并分別等于0，即

Kgp-3w2=0

2w-w3=0第三十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日解之，得w=0，+-√2，相應(yīng)的Kgp=0對(duì)應(yīng)于根軌跡的起點(diǎn)，顯示不屬于所討論的根軌跡與虛軸之交點(diǎn)。只有當(dāng)Kgp=6時(shí)，根軌跡才與虛軸相交，其交點(diǎn)坐標(biāo)為+-jw=+-j√2。于是Kgp=6為根軌跡的臨界增益。

本題給出Gk（s）是以零、極點(diǎn)表示的，可將其化為典型環(huán)節(jié)即時(shí)間常數(shù)表示的形式，如下：

Gk（s）=

式中，K=Kg/2，是系統(tǒng)的傳遞系數(shù)。顯然，當(dāng)Kg=Kgp=6時(shí)，K=Kp=3。Kgs（s+1）（s+2）KKg/2s（s+1）（0.5s+1）s（s+1）（0.5s+2）第三十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日繪制根軌跡的基本法則1根軌跡的條數(shù)2根軌跡對(duì)稱于軸實(shí)就是特征根的個(gè)數(shù)3根軌跡起始于,終止于j=1mnK*=1∏∏︱ss--zjpi︱︱︱i=1j=1mn=∏∏︱ss--zjpi︱︱︱i=11K*開環(huán)極點(diǎn)開環(huán)零點(diǎn)(n≠m?)舉例()∞()∞4∣n-m∣條漸近線對(duì)稱于實(shí)軸,均起于σa

點(diǎn),方向由φa確定:∑pi-∑zj∣n-m∣i=1j=1nmσa=φa=(2k+1)πn-mk=0,1,2,…5實(shí)軸上的根軌跡6根軌跡的會(huì)合與分離1說明什么2d的推導(dǎo)3分離角定義實(shí)軸上某段右側(cè)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該段是根軌跡j=1m∑i=1n∑d-pi11d-zj=k=0,1,2,…λL=(2k+1)πL,無零點(diǎn)時(shí)右邊為零L為來會(huì)合的根軌跡條數(shù)7與虛軸的交點(diǎn)可由勞斯表求出或令s=jω解出8起始角與終止角第三十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日根軌跡示例1j0j0j0j0j0j00j0j0jj00j同學(xué)們，頭昏了吧？第三十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日根軌跡示例2j0j0j00jj0j0j0j00jj00jj0第三十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日4-3廣義根軌跡

一參量根軌跡

前面介紹的僅是系統(tǒng)開環(huán)傳函數(shù)中根軌跡增益Kg或開環(huán)傳遞系數(shù)K變化時(shí)的根軌跡繪制方法。在實(shí)際工程系統(tǒng)的分析、設(shè)計(jì)過程中，往往還需要考慮除系統(tǒng)的增益系數(shù)以外的其它參量變化對(duì)系統(tǒng)的影響，例如時(shí)間常數(shù)、測(cè)速機(jī)反饋系數(shù)或開環(huán)零、極點(diǎn)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響等等。這種以系統(tǒng)其它參量變化而繪出的根軌跡，就稱為參量根軌跡或廣義根軌跡。第三十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日繪制系統(tǒng)參量根軌跡的關(guān)鍵在于：正確求出等效單回路系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。一旦求得等效開環(huán)傳遞函數(shù)，便可以依照繪制Kg變化時(shí)的根軌跡的法則，順利地繪制出系統(tǒng)的參量根軌跡。

以下舉例說明參量根軌跡的繪制方法。

例:已知具有測(cè)速發(fā)電機(jī)反饋的控制系統(tǒng)如下圖a所示。試?yán)L出測(cè)速機(jī)反饋系數(shù)τ由0→∞變化時(shí)的根軌跡。第三十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日

（a）原系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖；（b）等效結(jié)構(gòu)圖

5S(5s+1)

τsC(s)R(s)(a)

5S(5s+1)

1+τs(b)第三十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日解本題顯然是關(guān)于繪制τ的參量根軌跡的問題。首先將圖a作結(jié)構(gòu)圖等效變換成圖b的單回路形式。再按圖b得出開環(huán)傳函數(shù)為

Gk(s)=G(s)H(s)=

由此得閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

s(5s+1)+5(τs+1)=0

將特征方程化簡(jiǎn)整理成包含τ

與不包含τ

的兩大部分，如下：

（5+s+5)+5τs=05(τs+1)S(5s+1)第四十頁，共六十四頁，2022年，8月28日接著，用不含τ的部分除全式，得

1+=0

或

1+τ=0

記成如下的形式

1+G’k(s)=0

式中，

G’k(s)=τ

5τ

s5+s+5

S+0.2s+1

s+0.2s+1第四十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日可見，經(jīng)轉(zhuǎn)化，G’k(s)成為等效單回路系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，這里的參量τ相當(dāng)于常規(guī)的根軌跡增益Kg。因此，描繪參量τ變化的根軌跡可全盤照搬繪制Kg變化時(shí)的根軌跡的方法。

等效式表明，等效開環(huán)傳遞函數(shù)含有兩個(gè)極點(diǎn)、一個(gè)零點(diǎn)：

-p’1，2=-0.1+-j0.995

-z’1=0第四十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日由根軌跡方程可以證明，本題的根軌跡在s平面上是圓弧，圓心位于零點(diǎn)-z’上，亦即坐標(biāo)原點(diǎn)處，半徑是向量-p’1（或-p’2）

的幅值，即

R=√0.12+0.9952=1

用圓規(guī)將圓弧畫出，

再加上（-∞，0]的整

個(gè)負(fù)實(shí)軸，即為τ=

0→∞變化的參量根軌

跡，如圖所示。

→∞-Z1’0-0.5-10.51=1.8=0∞←-p2’-p1’xx。=0第四十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日必須指出：系統(tǒng)等效開環(huán)零點(diǎn)-z’1=0并非原系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)，因?yàn)樵到y(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖（a）可以看出，原系統(tǒng)是沒有閉環(huán)零點(diǎn)的。

由前所繪出的參量的根軌跡，可以分析參量的變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響：

（1）當(dāng)τ=0，即未加入測(cè)速反饋時(shí)，系統(tǒng)的一對(duì)復(fù)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)位于等效開環(huán)極點(diǎn)處，即

-p’1,2=-0.1±j0.99

系統(tǒng)的阻尼很小，震蕩比較劇烈。

第四十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日（2）當(dāng)0〈τ〈1.8時(shí)，一對(duì)復(fù)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)逐漸向?qū)嵼S靠近，使系統(tǒng)的阻尼逐漸增大，震蕩隨之減弱。

（3）當(dāng)1.8≤τ〈0時(shí)，閉環(huán)特征根為負(fù)實(shí)數(shù)。τ=1.8對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的臨界阻尼（即ζ〉1，則系統(tǒng)的階躍響應(yīng)過程將越遲緩。

可見，只要選得合適的τ值，就能保證系統(tǒng)具有良好的動(dòng)態(tài)性能。第四十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日二多回路系統(tǒng)的根軌跡

繪制多回路系統(tǒng)根軌跡的方法與繪制單回路系統(tǒng)根軌跡的方法相類似。通常是從系統(tǒng)的內(nèi)環(huán)入手，由里到外，從局部到整體地多次繪制其根軌跡。具體做法是：首先根據(jù)局部閉環(huán)子系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)繪制其根軌跡，確定局部小閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)分布。然后由局部小閉環(huán)系統(tǒng)的零、極點(diǎn)和系統(tǒng)其它部分的零、極點(diǎn)所構(gòu)成的整個(gè)多回路系統(tǒng)開環(huán)零、極點(diǎn)的布局，繪制出總系統(tǒng)的根軌跡。

第四十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日由于多回路控制系統(tǒng)所研究的變量多于一個(gè)，因此，多回路系統(tǒng)的根軌跡往往是一族曲線，形成一個(gè)根軌跡族。

例：已知多回路控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示，試?yán)L制系統(tǒng)局部閉環(huán)參數(shù)β以及放大器系數(shù)K變化時(shí)的根軌跡。+-R(s)K

1(S+1)(S+2)

1SβC(s)+-第四十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日

解系統(tǒng)局部閉環(huán)的傳遞函數(shù)為

φ’（s）==

則全系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

Gk（s）=kφ’（s）=

1sKs[（s+1）（s+2）+β]11（s+1）（s+·2）β（s+1）（s+·2）（s+1）（s+2）+β1+第四十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日局部閉環(huán)的特征方程為(s+1)(s+2)+=0

當(dāng)=2.5時(shí)，內(nèi)環(huán)有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)：

-s1’=-1.5+j1.5-s2’=-1.5-j1.5

代入全系統(tǒng)的開環(huán)傳函：

Gk(s)=

以K為參量繪制出根軌跡如右圖

實(shí)線。

當(dāng)?shù)扔谄渌麛?shù)值時(shí)，可以

畫出相應(yīng)的一組根軌跡，

最終形成一族根軌跡。

Ks(s+1.5-j1.5)(s+1.5+j1.5)xx第四十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日4-4系統(tǒng)性能的分析

一求取閉環(huán)極點(diǎn)的方法

可根據(jù)已知條件在圖中讀出。

例：已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

GK(s)=試用根軌跡求具有=0.5的閉環(huán)極點(diǎn)。

解：GK(s)==

繪制根軌跡如下，

Ks(s+1)(0.5s+1)

2Ks(s+1)(s+2)

Kgs(s+1)(s+2)第五十頁，共六十四頁，2022年，8月28日=0.5,=arccos0.5=60o

做等線如圖，即可在圖上

讀出對(duì)應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)：

-s12=-0.33±j0.58

再根據(jù)閉環(huán)極點(diǎn)之和等于

開環(huán)極點(diǎn)之和，可求得

對(duì)應(yīng)的第三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為

-s3=(-p1-p2-p3)-(-s1-s2)

=(0-1-2)-(-0.33+j0.58-0.33-j0.58)

=-2.34xxx=0.5=60o-p3-p2-p1-2-10第五十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日二求取閉環(huán)零點(diǎn)的方法

1單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)

設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

G(s)=

則系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

(s)==

可知，單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)等于開環(huán)零點(diǎn)。Kg(s+zi)(s+pj)mi=1

nj=1

G(s)1+G(s)

Kg(s+zi)(s+pj)+Kg(s+zi)

mi=1nj=1mi=1第五十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日2非單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)

設(shè)非單位反饋系統(tǒng)前向通道和反饋通道的傳遞函數(shù)分別為：

G(s)=H(s)=

則系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

(s)==

即非單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)由前向通道的零點(diǎn)和反饋通道的零點(diǎn)組成。Kg(s+zi)(s+pj)m1i=1n1j=1KH(s+zk)(s+pl)m2k=1n2l=1

G(s)1+G(s)H(s)

Kg(s+zi)(s+pl)(s+pj)(s+pl)+KgKH(s+zi)(s+zk)m1i=1n1j=1m1i=1n2l=1n2l=1m2k=1第五十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日3G(s)的極點(diǎn)與H(s)的零點(diǎn)相抵消時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)

如果G(s)的分母與H(s)的分子中含有公因式，那么系統(tǒng)開環(huán)傳函將有零極點(diǎn)相互抵消，致使系統(tǒng)階次下降，閉環(huán)極點(diǎn)丟失?？蓪⑾到y(tǒng)等效為單位反饋形式，如

Kgs(s+1)(s+2)s+1-

Kgs(s+2)

1s+1-(b)(a)第五十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日這樣，(a)中丟失的閉環(huán)極點(diǎn)-s=-1就可在(b)的1/(s+1)環(huán)節(jié)中補(bǔ)回來了。

4多回路系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)

多回路系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)一般由系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)決定，不同的系統(tǒng)應(yīng)做不同的分析。

三閉環(huán)零、極點(diǎn)分布與階躍響應(yīng)的定性關(guān)系

（1）要系統(tǒng)穩(wěn)定，閉環(huán)極點(diǎn)應(yīng)全部位于s平面的左半平面，而穩(wěn)定與否與閉環(huán)零點(diǎn)的位置無關(guān)。第五十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日（2）要使系統(tǒng)快速性好，應(yīng)使閉環(huán)極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸，這樣暫態(tài)分量的衰減較快。

（3）要使系統(tǒng)平穩(wěn)性好，則共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)應(yīng)位于=45的等阻尼線上，這樣對(duì)應(yīng)的阻尼系數(shù)最佳。

（4）主導(dǎo)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能影響最大，工程上往往只用主導(dǎo)極點(diǎn)去估算系統(tǒng)性能。

（5）閉環(huán)零點(diǎn)可以削弱或抵消其附近閉環(huán)極點(diǎn)的作用，因此我們可以引入適當(dāng)?shù)牧泓c(diǎn)以抵消對(duì)動(dòng)態(tài)過程有明顯壞影響的極點(diǎn)，從而提高系統(tǒng)的性能指標(biāo)。第五十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日四增加開環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響

1、增加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響

由繪制根軌跡的法則知，增加一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，對(duì)系統(tǒng)的根軌跡有以下影響：

（1）改變了根軌跡在實(shí)軸上的分布。

（2）改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、傾角及截距。

（3）若增加的開環(huán)零點(diǎn)和某個(gè)極點(diǎn)重合或距離很近，構(gòu)成開環(huán)偶極子，則兩者相互抵消。因此，可加入一個(gè)零點(diǎn)來抵消有損于系統(tǒng)性能的極點(diǎn)。第五十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日

（4）根軌跡曲線將向左偏移，有利于改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，而且，所加的零點(diǎn)越靠近虛軸，則影響越大。

2、增加開環(huán)極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響

增加一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，對(duì)系統(tǒng)根軌跡有以下影響：

（1）改變了根軌跡在實(shí)軸上的分布。

（