第二章第九節(jié)函數(shù)與方程

第二章第九節(jié)函數(shù)與方程第一頁，共四十三頁，2022年，8月28日

[備考方向要明了]考

什

么了解函數(shù)零點(diǎn)的概念，能判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是否存在零點(diǎn).第二頁，共四十三頁，2022年，8月28日怎

么

考1.函數(shù)的零點(diǎn)、方程根的個(gè)數(shù)是歷年高考的重要考點(diǎn)．2.利用函數(shù)的圖形及性質(zhì)判斷函數(shù)的零點(diǎn)，及利用它們求

參數(shù)取值范圍問題是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)．3.題型以選擇題和填空題為主，常與函數(shù)的圖象與性質(zhì)交

匯命題.第三頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四頁，共四十三頁，2022年，8月28日1.函數(shù)的零點(diǎn)(1)定義對(duì)于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使

成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點(diǎn)．(2)函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程的根、函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)間的

關(guān)系方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與

有交點(diǎn)

?函數(shù)y＝f(x)有

．f(x)＝0x軸零點(diǎn)第五頁，共四十三頁，2022年，8月28日3．函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有

，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間

內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得

，這個(gè)

也就是f(x)＝0的根．f(a)·f(b)<0(a，b)f(c)＝0c第六頁，共四十三頁，2022年，8月28日二、二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系>0＝0<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸的交點(diǎn)(x1,0)無交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)(x1,0)，(x2,0)兩個(gè) 一個(gè)零個(gè)第七頁，共四十三頁，2022年，8月28日第八頁，共四十三頁，2022年，8月28日1．函數(shù)f(x)＝ex＋x－2的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是(

)A．(－2，－1)

B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)

解析：由于f(0)＝－1＜0，f(1)＝e－1＞0，根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理，知函數(shù)f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(0,1)內(nèi)．

答案：C第九頁，共四十三頁，2022年，8月28日答案：C第十頁，共四十三頁，2022年，8月28日3．(教材習(xí)題改編)在以下區(qū)間中，存在函數(shù)f(x)＝x3＋3x－3的零點(diǎn)的是 (

)A．[－1,0] B．[1,2]C．[0,1] D．[2,3]第十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日答案：C解析：注意到f(－1)＝－7<0，f(0)＝－3<0，f(1)＝1>0，f(2)＝11>0，f(3)＝33>0，結(jié)合各選項(xiàng)知，選C.第十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日答案：2第十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日答案：(－2,0)5．已知函數(shù)f(x)＝x2＋x＋a在區(qū)間(0,1)上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：∵函數(shù)f(x)＝x2＋x＋a在(0,1)上有零點(diǎn)．∴f(0)f(1)<0.即a(a＋2)<0，解得－2<a<0.第十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日第十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日1．函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)數(shù)，而不是一個(gè)點(diǎn)．在寫函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，所寫的一定是一個(gè)數(shù)字，而不是一個(gè)坐標(biāo)．第十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日2．函數(shù)零點(diǎn)具有的性質(zhì)對(duì)于任意函數(shù)，只要它的圖象是連續(xù)不間斷的，其函數(shù)零點(diǎn)具有以下性質(zhì)：(1)當(dāng)它通過零點(diǎn)(不是偶次零點(diǎn))時(shí)，函數(shù)值變號(hào)；(2)相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)．第十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日3．零點(diǎn)存在定理的零點(diǎn)個(gè)數(shù)(1)在(a，b)上存在零點(diǎn)(此處的零點(diǎn)不僅指變號(hào)零點(diǎn))，

個(gè)數(shù)不定，若僅有變號(hào)零點(diǎn)，則有奇數(shù)個(gè)．(2)若函數(shù)在(a，b)上有零點(diǎn)，不一定有f(a)·f(b)<0.第十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日第十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日第二十頁，共四十三頁，2022年，8月28日[答案]

B[自主解答]

當(dāng)x≤0時(shí)，x2＋2x－3＝0，解得x＝1或－3，則f(x)在(－∞，0]上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)x>0時(shí)，－2＋lnx＝0，解得x＝e2，則f(x)在(0，＋∞)上有一個(gè)零點(diǎn)，所以f(x)共有2個(gè)零點(diǎn)．第二十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日第二十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日[答案]

C第二十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日[巧練模擬]——————(課堂突破保分題，分分必保！)第二十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日答案：B第二十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日第二十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日答案：D第二十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日[沖關(guān)錦囊]

函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)

解就有幾個(gè)零點(diǎn)；(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間[a，b]

上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)

的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少

個(gè)零點(diǎn)；第二十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交

點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有

幾個(gè)不同的零點(diǎn)．第二十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日[精析考題][例3]

(2011·遼寧高考改編)已知函數(shù)f(x)＝ex－x＋a有零點(diǎn)，則a的取值范圍是________．第三十頁，共四十三頁，2022年，8月28日[自主解答]∵f(x)＝ex－x＋a，∴f′(x)＝ex－1.令f′(x)＝0，得x＝0.當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上是減函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．故f(x)min＝f(0)＝1＋a.若函數(shù)f(x)有零點(diǎn)，則f(x)min≤0.即1＋a≤0，∴a≤－1.[答案]

(－∞，－1]第三十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日若函數(shù)變?yōu)閒(x)＝lnx－2x＋a，其他條件不變，求a的取值范圍．第三十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日第三十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日[巧練模擬]—————(課堂突破保分題，分分必保！)3．(2012·天津聯(lián)考)若函數(shù)f(x)＝x3－3x＋a有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (

)A．(－2,2) B．[－2,2]C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)第三十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日答案：A解析：函數(shù)f(x)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，即其圖象與x軸有3個(gè)不同的交點(diǎn)，因此只需f(x)的極大值與極小值異號(hào)即可．f′(x)＝3x2－3，令3x2－3＝0，則x＝±1，故極值為f(－1)和f(1)，f(－1)＝a＋2，f(1)＝a－2，所以應(yīng)有(a＋2)(a－2)<0，故a∈(－2,2)．第三十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日4．(2012·南通質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一個(gè)零點(diǎn)在(2,3)內(nèi)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．答案：(2,3)解析：因?yàn)棣ぃ?1－k)2＋4k＝(1＋k)2≥0對(duì)一切k∈R恒成立，又k＝－1時(shí)，f(x)的零點(diǎn)x＝－1?(2,3)，故要使函數(shù)f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一個(gè)零點(diǎn)在(2,3)內(nèi)，則必有f(2)·f(3)<0，即2<k<3.第三十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日[沖關(guān)錦囊]此類利用零點(diǎn)求參數(shù)范圍的問題，可利用方程，有時(shí)不易甚至不可能解出，而轉(zhuǎn)化為構(gòu)造兩函數(shù)圖象求解，使得問題簡單明了，這也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想．第三十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日第三十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)思想數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化化歸思想在解決方程根的問題中的應(yīng)用第三十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日第四十頁，共四十三頁，2022年，8月28日[巧妙運(yùn)用]當(dāng)x<2時(shí)，f′(x)＝3(x－1)2≥0，說明函數(shù)在(－∞，2)上單調(diào)遞增，函數(shù)的值域是(－∞，1)，又函數(shù)在[2，＋∞)上單調(diào)遞減，函數(shù)的值域是(0,1]．方程f(x)＝k有兩個(gè)不同的實(shí)根，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝f(x)和y＝k有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，如圖所示，當(dāng)0<k<1時(shí)直線y＝k與函數(shù)f(x)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程f(x)＝k有兩個(gè)不同的實(shí)根．答案：(0,1)第四十一頁，共四十三頁，2022年，8月2