第十章 矩陣位移法

第十章矩陣位移法1第一頁，共六十一頁，2022年，8月28日§10-1概述一、引言靜定結(jié)構(gòu)：主要應(yīng)用靜力平衡條件求解；超靜定結(jié)構(gòu)1.結(jié)構(gòu)力學(xué)手算方法精確解法：力法、位移法漸近法：力矩分配法等近似法：反彎點(diǎn)法、分層法等2.結(jié)構(gòu)力學(xué)電算方法：結(jié)構(gòu)矩陣分析法（1）計算手段：矩陣——數(shù)學(xué)工具矩陣使公式排列緊湊、具有統(tǒng)一形式，適宜于計算機(jī)計算過程的程序化與重復(fù)計算的要求。（2）計算工具：計算機(jī)（3）理論依據(jù)：矩陣分析法矩陣力法(柔度法)：以多余約束力為基本未知量；矩陣位移法(剛度法)：以結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量。(便于編程、應(yīng)用較多)矩陣位移法是有限元法的雛形，又稱為“桿系結(jié)構(gòu)的有限元”。2第二頁，共六十一頁，2022年，8月28日二、矩陣位移法的基本思路§10-1概述1、“拆”——單元分析（結(jié)構(gòu)離散）單元—桿件（相鄰結(jié)點(diǎn)之間的桿件部分）結(jié)點(diǎn)—桿件的轉(zhuǎn)折點(diǎn)、匯交點(diǎn)、邊界點(diǎn)、變截面點(diǎn)、荷載作用點(diǎn)等1)桿系結(jié)構(gòu)的離散結(jié)果5362174⑥①②③④⑤P2)離散目的：建立各單元桿端位移與桿端力之間的關(guān)系式——單元剛度方程，由此得單元剛度矩陣。2、“搭”——整體分析引入靜力平衡條件、變形協(xié)調(diào)條件、位移邊界條件，將單元剛度矩陣集成，得到結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣，進(jìn)而可得結(jié)構(gòu)的矩陣位移法基本方程，由方程即可解出結(jié)點(diǎn)位移——基本未知量。3第三頁，共六十一頁，2022年，8月28日§10-2單元剛度矩陣(局部坐標(biāo)系)一、一般單元1、局部坐標(biāo)系ije2、單元桿端位移與單元桿端力的正號規(guī)定1)、單元桿端線位移、、、與單元桿端力、、、uiujvivjC

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jMiMj2)、單元桿端角位移、與單元桿端力、規(guī)定：、、、沿x軸正向?yàn)檎?，反之為?fù)。uiujC

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j、、、沿y軸正向?yàn)檎?，反之為?fù)。vivjYiYj規(guī)定：、、、順時針轉(zhuǎn)動為正，反之為負(fù)。q

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jMj4第四頁，共六十一頁，2022年，8月28日§10-2單元剛度矩陣(局部坐標(biāo)系)3、單元桿端位移與單元桿端力的表示方法eeeeee······(1)······················(2)······················(3)······················(4)······················(5)······················(6)················局部碼ijeujC

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jMj5第五頁，共六十一頁，2022年，8月28日4、建立單元桿端位移與單元桿端力之間的關(guān)系式——單元剛度方程§10-2單元剛度矩陣(局部坐標(biāo)系)1X1Y1M2X2Y2M1q1u1v2u2v2q,,21NXNX=-=由轉(zhuǎn)角位移方程，并考慮：2QY21=1QY12-=12vv-=D)(12uu-ll=EAND=由虎克定律：lEA()123212212)(6vvlEIlEIY-++-=qq()123212112)(6vvlEIlEIY--+=qq()122212642vvlEIlEIlEIM--+=qq()122211624vvlEIlEIlEIM--+=qq12eEI，EA，l6第六頁，共六十一頁，2022年，8月28日——單元剛度方程§10-2單元剛度矩陣(局部坐標(biāo)系)=eeee即：“”問題，只要已知桿端位移就可以求桿端力ee單元剛度矩陣(局部坐標(biāo)系)簡寫為：eee7第七頁，共六十一頁，2022年，8月28日二、單元剛度矩陣的性質(zhì)§10-2單元剛度矩陣(局部坐標(biāo)系)1、單元剛度系數(shù)的意義單剛中的每個元素稱為單元剛度系數(shù)，代表由于單位桿端位移引起的桿端力。如元素代表當(dāng)?shù)趈個桿端位移為單位位移（其它位移分量為零）時引起的第i個桿端力的值。單剛中第j列元素代表當(dāng)?shù)趈個桿端位移為單位位移（其它位移分量為零）時引起的六個桿端力的值。e8第八頁，共六十一頁，2022年，8月28日§10-2單元剛度矩陣(局部坐標(biāo)系)ee=u1u2=1v1=1=1v2=1q

1=1q

2=1（1）（2）（3）（4）（5）（6）(1)(2)(3)(4)(5)(6)9第九頁，共六十一頁，2022年，8月28日§10-2單元剛度矩陣(局部坐標(biāo)系)ee由反力互等定理可知：

，單元剛度矩陣是對稱矩陣。2、對稱性3、奇異性ee只要已知桿端位移就可以求桿端力，且是唯一解；不存在反問題：“

”，即已知單元桿端力求單元桿端

位移，此時可能出現(xiàn)兩種情況：

eee有無窮多組解。e可能無解一般單元的單元剛度矩陣是奇異矩陣，不存在逆矩陣。e10第十頁，共六十一頁，2022年，8月28日§10-2單元剛度矩陣(局部坐標(biāo)系)表1.與單元剛度方程

相應(yīng)的正、反兩類問題eee11第十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日§10-2單元剛度矩陣(局部坐標(biāo)系)三、特殊單元一般單元的六個桿端位移分量可以指定為任意值。特殊單元的某個或某些桿端位移已知為零，特殊單元的單元剛度矩陣，可由一般單元的剛度矩陣中劃去與零位移對應(yīng)的行和列得到。1、連續(xù)梁單元的單元剛度矩陣∵連續(xù)梁通常忽略軸向變形，ee123①②1v1θ1u2u2v2θ①121θ2θ①12v1=0v2=又例①單元，u1u2=0=∴12第十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日2、桁架單元的單元剛度矩陣eeee擴(kuò)階§10-2單元剛度矩陣(局部坐標(biāo)系)3、忽略軸向變形時梁單元在局部坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣ee=2M2v1v某些結(jié)點(diǎn)有豎向位移的連續(xù)梁的單剛123①②132①②13第十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日§10-3單元剛度矩陣(整體坐標(biāo)系)整體坐標(biāo)系下的單元分析：

選取局部坐標(biāo)系推導(dǎo)單元剛度矩陣，方便且單元剛度矩陣的形式簡單。但是，在一個復(fù)雜的結(jié)構(gòu)中，各單元的局部坐標(biāo)系不盡相同，很不統(tǒng)一。為了進(jìn)行整體分析，必須選一個統(tǒng)一的坐標(biāo)系（稱為整體坐標(biāo)系)。按這個統(tǒng)一的坐標(biāo)系來建立各單元的單元剛度矩陣。14第十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日一、單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣§10-3單元剛度矩陣(整體坐標(biāo)系)1X1Y1M2X2Y2Myx1X1Y1M2X2Y2Myxα局部坐標(biāo)系中的桿端力整體坐標(biāo)系中的桿端力α——兩坐標(biāo)間的夾角，以從x軸正向順時針轉(zhuǎn)到x軸正向?yàn)檎?2αyx2115第十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日§10-3單元剛度矩陣(整體坐標(biāo)系)=eee1簡寫為：eeeeee單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣[T]是一正交矩陣：eee同理：eeee單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣TeeeT16第十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日§10-3單元剛度矩陣(整體坐標(biāo)系)二、單元剛度矩陣（整體坐標(biāo)系）已推得：eee又有局部坐標(biāo)系中的單元剛度方程：eeeeeee又已推得：eeeTeeeeeeeee（整體坐標(biāo)系中的單元剛度方程）單元剛度矩陣（整體坐標(biāo)系）17第十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日§10-3單元剛度矩陣(整體坐標(biāo)系)e（整體坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣）的性質(zhì)：元素代表當(dāng)?shù)趈個桿端位移為單位位移（其它位移分量為零）時引起的第i個桿端力的值。e1、單元剛度系數(shù)的意義ee由反力互等定理可知：

，單元剛度矩陣是對稱矩陣。2、對稱性3、奇異性一般單元的單元剛度矩陣（整體坐標(biāo)系）仍是奇異矩陣，不存在逆矩陣：e18第十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日§10-3單元剛度矩陣(整體坐標(biāo)系)桁架單元整體坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣公式：eeX1X2Y1Y2eeee由公式：e另桁架單元的：eα1X2Xyxyx12EA，le其中，c=cosα，s=sinα對稱19第十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日例10.1求圖示剛架中各單元在整體坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣。設(shè)各桿的幾何尺寸相同。l=5m，A=0.5m2,I=1/24m4E=3×107kN/m2解：(1)×104§10-3單元剛度矩陣(整體坐標(biāo)系)②①k1k2==求yx20第二十頁，共六十一頁，2022年，8月28日（2）求ke單元α=90°：21單元α=0：k2=×104§10-3單元剛度矩陣(整體坐標(biāo)系)②①①①①21第二十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日§10-3單元剛度矩陣(整體坐標(biāo)系)×104×10422第二十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日§10-4整體剛度矩陣([K])一、概述“搭”——整體分析：建立整體剛度矩陣[K]及整體剛度方程。傳統(tǒng)位移法：先考慮各結(jié)點(diǎn)位移單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的桿端力、由靜力平衡條件得附加約束中的約束力；再根據(jù)疊加原理得位移法基本方程。

先不考慮支承（約束）條件由單元剛度矩陣形成結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣、再引入支承條件劃去原始剛度矩陣中與位移為零對應(yīng)的行和列即得結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣。后處理法：先處理法：先考慮支承條件，再由單元剛度矩陣形成結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣。具體做法直接剛度法（單元集成法）

！23第二十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日②①二、單元集成法形成整體剛度矩陣§10-4整體剛度矩陣1、結(jié)點(diǎn)位移分量的統(tǒng)一編碼——總碼000123040yxACB②①：整體分析中考慮支承條件將結(jié)點(diǎn)位移在結(jié)構(gòu)中統(tǒng)一進(jìn)行編碼，

每個位移分量對應(yīng)的編碼序號稱為該位移分量的“總碼”。結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移列陣:{Δ}=[Δ1Δ2Δ3Δ4]T=[uAvAθAθC]T結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)力列陣:{F}=[F1F2F3F4]T2、單元結(jié)點(diǎn)位移分量的局部碼(1)(2)(3)(5)(4)(6)(1)(2)(3)(4)(6)(5)將單元始、末兩端的六個結(jié)點(diǎn)位移分量按u1、v1、θ1、u2、v2、θ2的順序依次編碼(1)、(2)、······、(6)。始端1末端224第二十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日3、單元定位向量λe：單元結(jié)點(diǎn)位移總碼按照局部碼(1)、(2)、····、(6)的順序組成的列向量?！?0-4整體剛度矩陣yx000123040ACB②①②(1)(2)(3)(5)(4)(6)①(1)(2)(3)(4)(6)(5)(1)→1(2)→2(3)→3(4)→0(5)→0(6)→4(1)→1(2)→2(3)→3(4)→0(5)→0(6)→0單元①單元②局部碼→總碼局部碼→總碼λ①λ②25第二十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日§10-4整體剛度矩陣4、根據(jù)和形成整體剛度矩陣[K]keλe1).按單元定位向量將單元剛度矩陣中第i行第j列的元素定位在整體剛度矩陣[K]第λi行、第λj列的位置上。λekee定位規(guī)則：ee（對號入座）同號相加2).在[K]中同一位置（同號）上若有多個單元貢獻(xiàn)的元素，則累加求和。26第二十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日§10-4整體剛度矩陣三、單元集成法形成整體剛度矩陣[K]的實(shí)施方案1、根據(jù)結(jié)點(diǎn)位移總碼的最大編碼數(shù)確定整體剛度矩陣[K]的階數(shù)，并將[K]置零，此時[K]為零矩陣。2、將每一個單元的單元剛度矩陣按照單元定位向量在[K]

中定位（對號入座），并與其它單元填入[K]同一位置的元素累加求和（同號相加），由單元剛度矩陣

直接形成整體剛度矩陣[K]。λekeke27第二十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日A{1,2,3}C{0,0,4}B{0,0,0}yx②①例10.2求例題10.1剛架的整體剛度矩陣?！?0-4整體剛度矩陣已知單剛：[k]=1×104

(1)(2)(3)(4)(5)(6)λ①={123004}T

×104[K]=1234解：01005030000012300301000305030

(1)(2)(3)(4)(5)(6)λ②={123000}T

×104+12+0－30+0+300+0－30+0+10028第二十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日§10-4整體剛度矩陣四、整體剛度矩陣[K]的性質(zhì)1、整體剛度系數(shù)Kij的意義2、[K]是對稱矩陣。（可由反力互等定理證明）4、[K]是稀疏矩陣（[K]中有許多零元素）和帶狀矩陣（[K]中的非零元素主要集中在以主對角線為中線的傾斜帶狀區(qū)域內(nèi)）3、[K]是可逆矩陣（）。（因?yàn)橐呀?jīng)考慮了支承條件）有了整體剛度矩陣[K]，仿照單元剛度矩陣的形式不難建立結(jié)構(gòu)的整體剛度方程：。整體剛度矩陣[K]中的元素Kij稱為整體剛度系數(shù)，表示當(dāng)且僅當(dāng)?shù)趈個結(jié)點(diǎn)位移分量為單位位移（其它結(jié)點(diǎn)位移分量為零）時所產(chǎn)生的第i個結(jié)點(diǎn)力。29第二十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日例10.3試求圖示連續(xù)梁的整體剛度矩陣[K]。解：1）整理數(shù)據(jù)：結(jié)點(diǎn)編號、單元編號、建立坐標(biāo)系，編制結(jié)點(diǎn)位移總碼。{λ}=112{λ}=2232）單元定位向量：{λ}=3303）求單剛并集成整剛[K]：[k]=14i12i12i14i1(1)(2)↑↑124i12i12i14i1[k]=24i22i22i24i2(1)(2)↑↑23+4i22i22i24i2[k]=34i32i32i34i3(1)(2)↑↑30+4i31231

2300i1i2i31234③①②{2}{3}{0}{1}§10-4整體剛度矩陣30第三十頁，共六十一頁，2022年，8月28日§10-4整體剛度矩陣五、特殊情況的結(jié)點(diǎn)位移總碼1、鉸結(jié)點(diǎn)的位移總碼3{1,2,4}4{0,0,5}1{0,0,0}2{1,2,3}2、忽略軸向變形的結(jié)點(diǎn)位移總碼1{0,0,0}4{0,0,0}2{1,0,2}3{1,0,3}31第三十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日解：1）整理數(shù)據(jù)：結(jié)點(diǎn)編號、單元編號、建立局部和整體坐標(biāo)系，編制結(jié)點(diǎn)位移總碼。例10.4集成圖示剛架的整體剛度矩陣[K]。設(shè)剛架已知條件同例10.1、即各桿的幾何尺寸相同。l=5m，A=0.5m2,I=1/24m4，

E=3×107kN/m2。2）單元定位向量：{λ}=1[123456]T{λ}=2[123000]T{λ}=3[457000]T3）按①、②、③單元次序依次進(jìn)行單元集成[K]：§10-4整體剛度矩陣23145③①②xy{0,0,0}{0,0,0}{1,2,3}{4,5,6}{4,5,7}32第三十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日×104[k]=1

1234561234567[K]=104×－3030050010030000－30000012300－12300301000－3050－120－30012－30－3000030000123000k2=×104+12+0－30+0+300+0－30+0+100k3=×104457000+12+0－30+0+300+0－30+0+100－30?已知單元剛度矩陣4570000000000033第三十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日§10-4整體剛度矩陣34第三十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日一、位移法基本方程§10-5等效結(jié)點(diǎn)荷載1.結(jié)構(gòu)的整體剛度方程：{F}=[K]{Δ}

表示由結(jié)點(diǎn)位移{Δ}推算結(jié)點(diǎn)力{F}的關(guān)系式。只反映結(jié)構(gòu)的剛度性質(zhì)，不涉及結(jié)構(gòu)上的實(shí)際荷載。并非用以分析原結(jié)構(gòu)的位移法基本方程。2.位移法基本方程原結(jié)構(gòu)123↓↓↓↓↓↓↓↓q－X2－Y2－M2狀態(tài)一狀態(tài)一：固定結(jié)點(diǎn)、只有荷載單獨(dú)作用：{FP}={X2Y2M2

}T狀態(tài)二狀態(tài)二：放松結(jié)點(diǎn)、只有結(jié)點(diǎn)位移作用：{F}={－X2－Y2

－M2

}T=+原結(jié)構(gòu)：有荷載和結(jié)點(diǎn)位移共同作用。X2Y2M2附加約束中的約束力y↓↓↓↓↓↓↓↓qx35第三十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日§10-5等效結(jié)點(diǎn)荷載位移法基本方程就是基本體系中附加約束中的合力為零：{F}+{FP}=0其中狀態(tài)二就是已知結(jié)點(diǎn)位移{Δ}求結(jié)點(diǎn)力{F}，即結(jié)構(gòu)的整體剛度方程：{F}=[K]{Δ}

∴位移法基本方程成為：[K]{Δ}+{FP}=0矩陣形式表示的位移法基本方程原結(jié)構(gòu)123↓↓↓↓↓↓↓↓q－X2－Y2－M2y↓↓↓↓↓↓↓↓qx狀態(tài)一狀態(tài)二=+X2Y2M236第三十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日§10-5等效結(jié)點(diǎn)荷載二、等效結(jié)點(diǎn)荷載{Pe

}荷載可以是結(jié)點(diǎn)荷載，或是非結(jié)點(diǎn)荷載，或是兩者的組合。對于非結(jié)點(diǎn)荷載可以換成與之等效的等效結(jié)點(diǎn)荷載{Pe

}。

荷載等效的原則是非結(jié)點(diǎn)荷載與等效結(jié)點(diǎn)荷載在位移法基本體系中產(chǎn)生相同的結(jié)點(diǎn)約束力{FP}。－X2－Y2－M2非結(jié)點(diǎn)荷載：{FP}={X2Y2M2

}T產(chǎn)生相同的結(jié)點(diǎn)約束力↓↓↓↓↓↓↓↓qX2Y2M2狀態(tài)一等效結(jié)點(diǎn)荷載：{Pe}={－X2－Y2

－M2

}T∴{Pe}=－{FP}等效結(jié)點(diǎn)荷載公式：37第三十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日§10-5等效結(jié)點(diǎn)荷載∴位移法基本方程成為：[K]{Δ}={P}

由位移法基本方程：[K]{Δ}+{FP}=0又由：{Pe}=－{FP}[K]{Δ}－{Pe}=0如果結(jié)構(gòu)上另有直接結(jié)點(diǎn)荷載{Pd}：123↓↓↓↓↓↓↓qP2M0P1結(jié)構(gòu)的整體剛度方程{F}=[K]{Δ}{F}換成綜合結(jié)點(diǎn)荷載{P}{Pd}={P1P2M0

}T∴位移法基本方程成為：[K]{Δ}={Pe}解方程得基本未知量、結(jié)點(diǎn)位移：{Δ}=[K]－1{P}則得綜合結(jié)點(diǎn)荷載{P}：{P}={Pe}+{Pd}38第三十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日§10-5等效結(jié)點(diǎn)荷載原結(jié)構(gòu)123↓↓↓↓↓↓↓↓q↓↓↓↓↓↓↓↓q狀態(tài)一－X2－Y2－M2狀態(tài)二=+X2Y2M2{Δ}=[K]－1{P}[K]{Δ}={P}

解方程{Δ}={Δ}+{0}結(jié)點(diǎn)位移桿端力e=eee+39第三十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日§10-5等效結(jié)點(diǎn)荷載三、按單元集成法集成等效結(jié)點(diǎn)荷載{Pe

}1、在局部坐標(biāo)系中求非結(jié)點(diǎn)荷載產(chǎn)生的各單元的固端力列向量：e2、形成局部坐標(biāo)系中的單元等效結(jié)點(diǎn)荷載：ee3、形成整體坐標(biāo)系中的單元等效結(jié)點(diǎn)荷載：eee5、形成綜合結(jié)點(diǎn)荷載{P}

若結(jié)構(gòu)還作用有直接結(jié)點(diǎn)荷載{Pd}，則{P}={Pe}+{Pd}。4、按單元集成法集成結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載{Pe

}依次將各單元等效結(jié)點(diǎn)荷載中的元素按單元定位向量在結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載{Pe

}中對號入座、同號相加，即得{Pe

}。ee！——查表40第四十頁，共六十一頁，2022年，8月28日例10.5按單元集成法求結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載。↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓4.8kN/m2.5m2.5m5m8kN12yxe解：1)求單元①單元②§10-5等效結(jié)點(diǎn)荷載單元①的傾角α1=0，單元②的傾角α2=90°2)求eee！41第四十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日123000{Pe}=123401210-10+4+0－5§10-5等效結(jié)點(diǎn)荷載↓↓↓↓↓↓↓↓↓4.8kN/m2.5m2.5m5m8kN12yx{1,2,3}{0,0,4}{0,0,0}λ②={123000}T123004λ①={}T4125－103)單元集成法形成{Pe

}42第四十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日§10-6計算步驟與應(yīng)用舉例矩陣位移法計算平面桿件結(jié)構(gòu)的一般步驟：1、整理原始數(shù)據(jù)，對單元和結(jié)構(gòu)進(jìn)行局部編碼和整體編碼。2、在局部坐標(biāo)系中形成各單元的單元剛度矩陣。e3、在整體坐標(biāo)系中形成各單元的單元剛度矩陣：eeeee4、根據(jù)單元定位向量、由單元集成法形成結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣[K]。λe5、求各單元在局部坐標(biāo)系中的等效結(jié)點(diǎn)荷載和整體坐標(biāo)系中的等效結(jié)點(diǎn)荷載。ee6、單元集成法形成整體結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載{Pe

}；若結(jié)構(gòu)還作用有直接結(jié)點(diǎn)荷載{Pd}，則綜合結(jié)點(diǎn)荷載{P}={Pe}+{Pd}。7、解位移法基本方程[K]{Δ}={P}，求結(jié)點(diǎn)位移{Δ}=[K]-1{P}。eeeeeeeeeeee8、求各桿的桿端力：或：，。43第四十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日§10-6計算步驟與應(yīng)用舉例局部碼、總碼

ee[K]e[K]{Δ}={P}{Δ}=[K]-1{P}

e矩陣位移法計算平面桿件結(jié)構(gòu)的一般步驟：eeee44第四十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日§10-6計算步驟與應(yīng)用舉例例10.6求內(nèi)力。橫梁b1×h1=0.5m×1.26m,立柱b2×h2=0.5m×1m.6m12m↑↑↑↑↑↑↑↑1kN/m解：1)原始數(shù)據(jù)及編碼（為方便計算設(shè)E=1）。213xy1{0,0,0}2{0,0,0}3{1,2,3}4{4,5,6}45第四十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日213xy1{0,0,0}2{0,0,0}3{1,2,3}4{4,5,6}§10-6計算步驟與應(yīng)用舉例2)形成ee×10－346第四十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日e213xy1{0,0,0}2{0,0,0}3{1,2,3}4{4,5,6}§10-6計算步驟與應(yīng)用舉例3)形成e單元②：α=0：213xy1{0,0,0}2{0,0,0}3{1,2,3}4{4,5,6}47第四十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日§10-6計算步驟與應(yīng)用舉例單元①、③：α=900：213xy1{0,0,0}2{0,0,0}3{1,2,3}4{4,5,6}48第四十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日213xy1{0,0,0}2{0,0,0}3{1,2,3}4{4,5,6}§10-6計算步驟與應(yīng)用舉例4)形成[K]49第四十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日5)求等效節(jié)點(diǎn)荷載{Pe}及綜合結(jié)點(diǎn)荷載{P}§10-6計算步驟與應(yīng)用舉例集成結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載！↑↑↑↑↑↑↑213xy1{0,0,0}2{0,0,0}3{1,2,3}4{4,5,6}1kN/m6m50第五十頁，共六十一頁，2022年，8月28日6)解基本方程[K]{Δ}={P}，即：§10-6計算步驟與應(yīng)用舉例213xy1{0,0,0}2{0,0,0}3{1,2,3}4{4,5,6}51第五十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日§10-6計算步驟與應(yīng)用舉例7)求單元桿端力，單元①：↑↑↑↑↑↑↑213xy1{0,0,0}2{0,0,0}3{1,2,3}4{4,5,6}1kN/m6m52第五十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日§10-6計算步驟與應(yīng)用舉例↑↑↑↑↑↑↑213xy1{0,0,0}2{0,0,0}3{1,2,3}4{4,5,6}1kN/m單元②：53第五十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日↑↑↑↑↑↑↑213xy1{0,0,0}2{0,0,0}3{1,2,3}4{4,5,6}1kN/m§10-6計算步驟與應(yīng)用舉例單元③：54第五十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日8)作內(nèi)力圖§10-6計算步驟與應(yīng)用舉例2.093.044.38M圖(kN.m)4.76＋1.24－－0.431.24＋1.24Q圖(kN)N=0.43N=－1.24N=－0.43N圖(kN)2138.4955第五十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日SAP95結(jié)構(gòu)分析程序數(shù)據(jù)文件的編制：第一行：整體控制信息：NDE,NEL,NCD,NPC,NPENDE—總的結(jié)點(diǎn)數(shù)NEL—總的單元數(shù)NCD—總的結(jié)點(diǎn)位移數(shù)NPC—總的結(jié)點(diǎn)荷載數(shù)NPE—總的非結(jié)點(diǎn)荷載數(shù)整型量xy③①②3{1,2,4}1{0,0,0}4{5,6,7}5{0,0,8}2{1,2,3}（若某一項缺省時，填0）5,3,8,1,2第一行信息：25kN/m↑↑↑↑↑↑↑↑2m18kN2m4m15kN·mEA=4.0×106kNEI=1.6×104kN·m56第五十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日第二行：結(jié)點(diǎn)信息：X,Y,I1,I2,I3X,Y—結(jié)點(diǎn)在整體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值I1,I2,I3—結(jié)點(diǎn)的三個位移總碼SAP95結(jié)構(gòu)分析程序25kN/m↑↑↑↑↑↑↑↑2m18kN2m4m15kN·m——實(shí)型量——整型量0.0,0.0,0,0,00.0,－4.0,1,2,30.0,－4.0,1,2,44.0,－4.0,5,6,74.0,0.0,0,0,8第二行信息：共NDE行按結(jié)點(diǎn)的編碼順序xy③①②3{1,2,4}1{0,0,0}