衍生品定價(jià)的方法演示

（優(yōu)選）衍生品定價(jià)的方法當(dāng)前1頁，總共56頁。NankaiUniversityContents衍生品定價(jià)的方法1博弈論方法2資產(chǎn)組合復(fù)制法3二叉樹模型4當(dāng)前2頁，總共56頁。NankaiUniversity衍生品定價(jià)的方法前面我們討論了期權(quán)價(jià)格的上下限以及看漲看跌期權(quán)的平價(jià)公式（歐式）。一份期權(quán)的公平的確切的價(jià)格應(yīng)該為多少呢？例：（看漲期權(quán)的公平價(jià)格）有一只股票現(xiàn)價(jià)為$100。在一年以后，股價(jià)可以是$90或$120。概率并未給定。即期利率是5%。一年后到期的執(zhí)行價(jià)格為$105的股票期權(quán)的公平價(jià)格是多少？下面我們將用兩種方法來回答這個(gè)問題，這兩個(gè)方法是：博弈論方法、資產(chǎn)組合定價(jià)法。當(dāng)前3頁，總共56頁。NankaiUniversity博弈論方法在下面的三種方法中我們都假設(shè)股票在到期日的價(jià)格只能是兩種特定價(jià)格中的一個(gè)。將現(xiàn)在視為0時(shí)刻，到期日視為1時(shí)刻，本例中假設(shè)1時(shí)刻股價(jià)為$120或$90.V=期權(quán)的價(jià)格；S=股票的價(jià)格。構(gòu)造資產(chǎn)組合Π：a股股票的期權(quán)和b股股票則：Π0=aV+bS上升狀態(tài)：Π1=（120-105）a+120b下降狀態(tài)：Π1=a×0+90b當(dāng)前4頁，總共56頁。NankaiUniversity博弈論方法選擇a和b，使得并不取決于股票漲跌結(jié)果。這樣，我們就有：（120-105）a+120b=a×0+90b從上式可得15a=-30b，我們可以作出a=-2，b=1的投資選擇，此時(shí)有Π0=-2V+1×100Π1=-

2×15+1×120=90由于1.05Π0=Π1，故100-2V=90/1.05，即V=7.14.當(dāng)前5頁，總共56頁。NankaiUniversity博弈論方法假設(shè)交易商愿意以$7.25的價(jià)格出售（或購買）期權(quán)。博弈論定價(jià)方法告訴我們期權(quán)價(jià)格被高估了。我們的策略：買入1股股票，賣出2股期權(quán)該頭寸的成本為100-7.25×2=85.5我們借入$85.5進(jìn)行投資，一年后沖銷該頭寸得$90，故我們得到利潤為：90-85.5×1.05=90-89.775=0.225Q:交易商以$7的價(jià)格出售（或購買）期權(quán)，交易策略？當(dāng)前6頁，總共56頁。NankaiUniversity博弈論方法假設(shè)在時(shí)刻t股票處于上漲的狀態(tài)時(shí)價(jià)格為Su，那么衍生品價(jià)格為U；股票處于下跌的狀態(tài)時(shí)價(jià)格為Sd，那么衍生品價(jià)格為D。

Su

US0V0

SdD

我們通過買1股股票衍生品和賣出a股股票構(gòu)造資產(chǎn)組合。故資產(chǎn)組合的初始價(jià)值是：Π0=V0-aS當(dāng)前7頁，總共56頁。NankaiUniversity博弈論方法選擇a的值使得資產(chǎn)組合的價(jià)值與股票的最終狀態(tài)無關(guān)，于是上升時(shí)：Πu=U-aSu下降時(shí)：Πd=D-aSd令Πu=Πd得：U-aSu=D-aSd故而Π0=V0-aS0，Π1=U-aSu于是V0=aS0+(U-aSu)e-rt當(dāng)前8頁，總共56頁。NankaiUniversity資產(chǎn)組合復(fù)制假設(shè)股票在0時(shí)刻為S0，該股票在t時(shí)刻有兩種可能價(jià)格：

Su

US0V0

SdD構(gòu)造資產(chǎn)組合Π：a單位的股票和b單位的債券，來復(fù)制期權(quán)，由于上升狀態(tài)：Πu=aSu+bert=U下降狀態(tài)：Πu=aSd+bert=D當(dāng)前9頁，總共56頁。NankaiUniversity資產(chǎn)組合復(fù)制于是有：于是衍生品的定價(jià)公式為：即當(dāng)前10頁，總共56頁。NankaiUniversity資產(chǎn)組合復(fù)制將上面表達(dá)式中的含有U的項(xiàng)和含有D的項(xiàng)分開，則衍生品價(jià)格為：忽略指數(shù)項(xiàng)，則U的系數(shù)是而D的系數(shù)恰好為故衍生品價(jià)格可記為當(dāng)前11頁，總共56頁。NankaiUniversity風(fēng)險(xiǎn)中度概率對(duì)于現(xiàn)在我們來考慮q的取值范圍：若q<0，則e-rtS0<Sd，此時(shí)買進(jìn)該股票是包賺不賠的。若q>1，那么1-q<0，則Su<e-rtS0，此時(shí)賣空該股票是包賺不賠的。故在無套利假設(shè)下數(shù)值q是滿足概率條件的，我們稱其為風(fēng)險(xiǎn)中度概率。于是當(dāng)前12頁，總共56頁。NankaiUniversity風(fēng)險(xiǎn)中度概率由可得。此公式也可以由下圖理解：SuS0

Sd當(dāng)前13頁，總共56頁。NankaiUniversity資產(chǎn)組合復(fù)制例：股票現(xiàn)在的價(jià)值為$50，一年期利率為4%，一年后股票的價(jià)值可能是$55或$40。試問下列衍生品的合理價(jià)格：(1)執(zhí)行價(jià)為$48的看漲期權(quán)；(2)執(zhí)行價(jià)為$53的看漲期權(quán)；(2)執(zhí)行價(jià)為$45的看跌期權(quán).解：由可知解得。于是由，可知期權(quán)的合理價(jià)格為當(dāng)前14頁，總共56頁。NankaiUniversity資產(chǎn)組合復(fù)制(1)執(zhí)行價(jià)格為$48的看漲期權(quán)，U=7，D=0，故(2)執(zhí)行價(jià)格為$53的看漲期權(quán)，U=2，D=0，故(3)執(zhí)行價(jià)格為$45的看跌期權(quán)，U=0，D=5，故當(dāng)前15頁，總共56頁。NankaiUniversity資產(chǎn)組合復(fù)制除了風(fēng)險(xiǎn)中度概率q外，還需要大家熟悉一個(gè)量就是德爾塔量，它被定義為該值正是博弈論方法中出現(xiàn)的a。在投資決策過程中，德爾塔量的含義是用來對(duì)沖一股期權(quán)的標(biāo)的股票數(shù)量。當(dāng)前16頁，總共56頁。NankaiUniversity練習(xí)假設(shè)某股票現(xiàn)價(jià)為60美元，一年后該股票可能漲至80美元，也可能跌至50美元。若有一交易商要推出執(zhí)行價(jià)為65美元、一年后到期的看漲期權(quán)。無風(fēng)險(xiǎn)利率為0.048。求期權(quán)的合理價(jià)格。若交易商以6.35美元/股的價(jià)格售出了100000股的看漲期權(quán)，他會(huì)持有一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)很大的頭寸。他決定通過購買股票對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)。他該買多少股票？一年后他會(huì)面臨怎樣的狀況？當(dāng)前17頁，總共56頁。NankaiUniversity練習(xí)解先畫出股票價(jià)格和期權(quán)價(jià)格的示意圖：根據(jù)前面討論的兩種方法有：（1）當(dāng)前18頁，總共56頁。NankaiUniversity練習(xí)（2）風(fēng)險(xiǎn)中度概率期權(quán)價(jià)格當(dāng)前19頁，總共56頁。NankaiUniversity練習(xí)他應(yīng)購入股股票，其中交易商用3000000美元買入50000股股票，出售期權(quán)得635000美元，則他需借入3000000-635000=2365000美元2365000×e0.048=2481288.6美元一年后若股票上漲到80美元，則他的資產(chǎn)為當(dāng)前20頁，總共56頁。NankaiUniversity練習(xí)一年后若股價(jià)下跌到50美元，則他的資產(chǎn)價(jià)值為在做了對(duì)沖之后，不管股票價(jià)格漲跌，他都會(huì)得到一個(gè)正的收益，原因是什么？交易商會(huì)為自己賺得傭金，他通常不會(huì)以“合理”價(jià)格出售或購買期權(quán)?？赡芤?.35美元的報(bào)價(jià)賣出看漲期權(quán)，卻以6美元的報(bào)價(jià)買入看漲期權(quán)。當(dāng)前21頁，總共56頁。NankaiUniversity二叉樹模型二叉樹模型（J.C.Cox，S.A.Ross&M.Rubinstein.1979）把期權(quán)的有效期分為很多很小的時(shí)間間隔Δt，并假設(shè)在每一個(gè)時(shí)間間隔Δt內(nèi)證券價(jià)格只有兩種運(yùn)動(dòng)的可能。當(dāng)前22頁，總共56頁。NankaiUniversity二叉樹模型1、從開始的S0上升到原先的u倍，即到達(dá)uS0；2、下降到原先的d倍，即到達(dá)dS0。我們進(jìn)一步假設(shè)u>1且d<1，價(jià)格上升的概率為p，下降的概率為1-p。uS0S0

dS0相應(yīng)地，期權(quán)價(jià)值分別為Vu和Vd。當(dāng)前23頁，總共56頁。NankaiUniversity二叉樹模型由前面討論的，我們有。從而。故對(duì)于單期的情形期權(quán)的合理價(jià)格是可以確定。下面我們討論多期二叉樹，首先先考慮二期的情形：為了研究問題方便，我們假設(shè)股票從第一步的兩個(gè)狀態(tài)的一個(gè)開始，繼續(xù)保持與第一步相同的規(guī)律變動(dòng)。即股票只可能以u(píng)因子增長(zhǎng)，以d的因子下降。當(dāng)前24頁，總共56頁。NankaiUniversity二叉樹模型故我們可以得到二期股票二叉樹圖當(dāng)前25頁，總共56頁。NankaiUniversity二叉樹模型由于ud=du，故我們可以將剛才的二叉樹簡(jiǎn)化：當(dāng)前26頁，總共56頁。NankaiUniversity二叉樹模型假設(shè)一項(xiàng)金融衍生品對(duì)于股票二叉樹中的每一個(gè)最終結(jié)果都有一個(gè)特定的價(jià)格。三種可能的價(jià)格是U、M和D，分別對(duì)應(yīng)股票價(jià)值u2S0、udS0和d2S0。當(dāng)前27頁，總共56頁。NankaiUniversity二叉樹模型如何確定衍生品的價(jià)格V0？關(guān)鍵是找到衍生品在第一期的價(jià)格，假設(shè)分別為X和Y。那么我們可以利用前面討論的結(jié)果先給出X和Y的值，從而確定V0。當(dāng)前28頁，總共56頁。NankaiUniversity二叉樹模型例假設(shè)開始時(shí)，股價(jià)為$20，在兩步二叉樹中的每個(gè)單步二叉樹中，股票價(jià)格將上升10%或是下降10%。我們假設(shè)每個(gè)單步二叉樹的時(shí)間步長(zhǎng)是3個(gè)月，無風(fēng)險(xiǎn)年利率為12%。問執(zhí)行價(jià)格為$21的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格為多少？當(dāng)前29頁，總共56頁。NankaiUniversity二叉樹模型股票價(jià)格二叉樹為：當(dāng)前30頁，總共56頁。NankaiUniversity二叉樹模型u=1.1，d=0.9，r=0.12，Δt=0.25于是則B點(diǎn)處期權(quán)價(jià)值為：當(dāng)前31頁，總共56頁。NankaiUniversity二叉樹模型C點(diǎn)處期權(quán)價(jià)值為0，故A點(diǎn)處期權(quán)價(jià)值為也可以根據(jù)我們之前推導(dǎo)的公式，一步求得當(dāng)前32頁，總共56頁。NankaiUniversity歐式看跌期權(quán)例一個(gè)2年期歐式股票看跌期權(quán)，執(zhí)行價(jià)格為52，當(dāng)前股價(jià)為50。我們假設(shè)價(jià)格為兩步二叉樹，每個(gè)步長(zhǎng)為1年，在每個(gè)單步二叉樹中股票價(jià)格或者按比例上升20%，或者按比例下降20%，若無風(fēng)險(xiǎn)利率為5%，求此期權(quán)的價(jià)格。當(dāng)前33頁，總共56頁。NankaiUniversity歐式看跌期權(quán)我們求得故當(dāng)前34頁，總共56頁。NankaiUniversity歐式看跌期權(quán)采用逐步回推的方式也可得到類似的結(jié)果，股票期權(quán)的二叉樹為：當(dāng)前35頁，總共56頁。NankaiUniversity美式期權(quán)定價(jià)還是剛才的例子，若為美式看漲期權(quán)應(yīng)該如何定價(jià)？方法是從樹圖的末端向開始的起點(diǎn)倒推計(jì)算，在每個(gè)節(jié)點(diǎn)檢驗(yàn)提前執(zhí)行是否最佳，期權(quán)價(jià)值是如下兩者中較大的：1、后繼兩點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值期望的本節(jié)點(diǎn)現(xiàn)值；2、提前執(zhí)行的收益。我們將前面的例子按照美式期權(quán)計(jì)算，可以得到下面結(jié)論。當(dāng)前36頁，總共56頁。NankaiUniversity美式期權(quán)定價(jià)股票期權(quán)二叉樹當(dāng)前37頁，總共56頁。NankaiUniversity美式期權(quán)定價(jià)例：為一美式看跌期權(quán)定價(jià)，S0=$100，X=$100，u=1.1，d=0.9，r=0.05，期權(quán)到期時(shí)間為t=3.解：先給出此股票的價(jià)格二叉樹當(dāng)前38頁，總共56頁。NankaiUniversity美式期權(quán)定價(jià)期權(quán)二叉樹當(dāng)前39頁，總共56頁。NankaiUniversity美式期權(quán)定價(jià)我們?cè)?jīng)計(jì)算過此題的q=0.7564，這樣通過連鎖法我們可以得到后繼兩點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值期望的本節(jié)點(diǎn)現(xiàn)值，比如時(shí)刻2最下方節(jié)點(diǎn)的連鎖法值為e-0.05(10.9×0.7564+27.1×0.2436)=14.12由于是美式期權(quán)可以選擇立即執(zhí)行，立即行權(quán)期權(quán)值為：100-81=19我們要對(duì)比這兩個(gè)值取最大值作為美式期權(quán)此節(jié)點(diǎn)處的價(jià)值，也就是19美元。當(dāng)前40頁，總共56頁。NankaiUniversity美式期權(quán)定價(jià)總結(jié)一下剛才的過程，也就是說對(duì)于每個(gè)節(jié)點(diǎn)我們會(huì)得到下面的圖：剛才例子的具體數(shù)值為：當(dāng)前41頁，總共56頁。NankaiUniversity美式期權(quán)定價(jià)對(duì)所有的節(jié)點(diǎn)都進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算，得當(dāng)前42頁，總共56頁。NankaiUniversity奇異期權(quán)障礙期權(quán)（barrieroption）分為敲出期權(quán)和敲入期權(quán)。我們考察一個(gè)歐式看漲敲出期權(quán)，3年后到期，執(zhí)行價(jià)格是$105，在價(jià)格為$95美元處設(shè)一個(gè)障礙，即一旦股票價(jià)格低于$95，那么無論其到期的價(jià)格是多少，該期權(quán)都不再有任何價(jià)值。其他條件和剛才是一樣的，即S0=$100，u=1.1，d=0.9，r=0.05。當(dāng)前43頁，總共56頁。NankaiUniversity奇異期權(quán)我們可以繪出股票價(jià)格的二叉樹圖，并在價(jià)格$95處畫一條虛線作為障礙：當(dāng)前44頁，總共56頁。NankaiUniversity奇異期權(quán)時(shí)刻3期權(quán)的價(jià)值為當(dāng)前45頁，總共56頁。NankaiUniversity奇異期權(quán)注意虛線下期權(quán)的取值，其它計(jì)算和前面是類似的仍然用回推的方式得期權(quán)價(jià)格二叉樹圖為：當(dāng)前46頁，總共56頁。NankaiUniversity障礙期權(quán)剛才求出的障礙期權(quán)和之前我們求過的普通歐式期權(quán)相比，價(jià)格發(fā)生了怎樣的變化？你認(rèn)為這種變化是否合理？障礙期權(quán)一般歸為兩類，即敲出期權(quán)和敲入期權(quán)。敲出期權(quán)是這當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格達(dá)到一個(gè)特定障礙水平時(shí)，該期權(quán)作廢；敲入期權(quán)當(dāng)只有當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格達(dá)到一個(gè)特定障礙水平時(shí)，該期權(quán)才有效。障礙的設(shè)置接近正常價(jià)格時(shí)，敲出期權(quán)價(jià)格（較普通期權(quán)）的貼水越多。當(dāng)前47頁，總共56頁。NankaiUniversity障礙期權(quán)一般來說，障礙期權(quán)是以同一種資產(chǎn)的價(jià)格同時(shí)作標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格和障礙價(jià)格的期權(quán)，這樣的叫“內(nèi)部”障礙期權(quán)；也有障礙期權(quán)的障礙價(jià)格與標(biāo)的價(jià)格不同的，這樣的叫“外部”障礙期權(quán)。比如，在日本證券市場(chǎng)上，當(dāng)美元兌日元的匯率在80以上是，資產(chǎn)組合經(jīng)理就會(huì)以15000點(diǎn)買入日經(jīng)225指數(shù)的看漲期權(quán)，這樣的看漲期權(quán)只有在美元兌日元匯率低于79時(shí)才算敲出。當(dāng)前48頁，總共56頁。NankaiUniversity障礙期權(quán)的應(yīng)用對(duì)沖基金，賣空標(biāo)的資產(chǎn)同時(shí)買入該資產(chǎn)的障礙期權(quán)，障礙的期權(quán)價(jià)格比較低，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格突破障礙時(shí)，他們就會(huì)大幅獲益。美林證券出售給一個(gè)某基金公司債券的敲入期權(quán)，債券漲到一定價(jià)格時(shí)期權(quán)就會(huì)生效。當(dāng)債券位于障礙價(jià)格附近時(shí)，基金公司極力將債券價(jià)格推高，而美林則需打壓債券價(jià)格。當(dāng)前49頁，總共56頁。NankaiUniversity奇異期權(quán)亞式期權(quán)：是當(dāng)今金融衍生品市場(chǎng)上交易最為活躍的奇異期權(quán)之一。它的到期回報(bào)依賴于標(biāo)的資產(chǎn)在一段特定時(shí)間(整個(gè)期權(quán)有效期或其中部分時(shí)段)內(nèi)的平均價(jià)格。打包期權(quán)：由常規(guī)的歐式期權(quán)，遠(yuǎn)期合約，現(xiàn)金和標(biāo)的資產(chǎn)等構(gòu)成的證券組合?；赝跈?quán)：回望期權(quán)的收益依附于標(biāo)的資產(chǎn)在某個(gè)確定的時(shí)段(稱為回望時(shí)段)中達(dá)到的最大或最小價(jià)格(又稱為回望價(jià))。當(dāng)前50頁，