量子力學之算符

算符的一般特性當前1頁，總共73頁。（1）線性算符?(c1ψ1+c2ψ2)=c1?ψ1+c2?ψ2其中c1,c2是任意復常數(shù)，ψ1,ψ1是任意兩個波函數(shù)。滿足如下運算規(guī)律的算符?稱為線性算符（2）算符相等

若兩個算符?、?對體系的任何波函數(shù)ψ的運算結(jié)果都相同，即?ψ=?ψ，則算符?

和算符?相等記為?=?。例如：開方算符、取復共軛就不是線性算符。注意：描寫可觀測量的力學量算符都是線性算符，這是態(tài)疊加原理的反映。當前2頁，總共73頁。（3）算符之和

若兩個算符?、?對體系的任何波函數(shù)ψ有：(?+?)ψ=?ψ+?ψ=êψ則?+?=ê稱為算符之和。顯然，算符求和滿足交換率和結(jié)合率。例如：體系Hamilton算符注意，算符運算沒有相減，因為減可用加來代替。?-?=?+（-?）。很易證明線性算符之和仍為線性算符。當前3頁，總共73頁。（4）算符之積若?(?ψ)=(??)ψ=êψ則??=ê其中ψ是任意波函數(shù)。一般來說算符之積不滿足交換律，即??≠??這是算符與通常數(shù)運算規(guī)則的唯一不同之處。（5）對易關系若??≠??，則稱?與?不對易。顯然二者結(jié)果不相等，所以:對易關系當前4頁，總共73頁。量子力學中最基本的對易關系。若算符滿足??=-??，則稱?和?

反對易。寫成通式:但是坐標算符與其非共軛動量對易，各動量之間相互對易。注意：當?與?對易，?與ê對易，不能推知?與ê對易與否。例如：當前5頁，總共73頁。（6）對易括號為了表述簡潔，運算便利和研究量子力學與經(jīng)典力學的關系，人們定義了對易括號：

[?,?]≡??-??這樣一來，坐標和動量的對易關系可改寫成如下形式：

不難證明對易括號滿足如下對易關系：1)[?,?]=-[?,?]2)[?,?+ê]=[?,?]+[?,ê]3)[?,?ê]=[?,?]ê+?[?,ê]4)[?,[?,ê]]+[?,[ê,?]]+[ê,[?,?]]=0

上面的第四式稱為

Jacobi恒等式。返回當前6頁，總共73頁。（7）逆算符1.定義:設?ψ=φ,能夠唯一的解出

ψ,則可定義算符

?

之逆?-1

為:?-1φ=ψ并不是所有算符都存在逆算符,例如投影算符就不存在逆.2.性質(zhì)I:若算符?

之逆?-1

存在,則

??-1=?-1?=I,[?,?-1]=0證:ψ=?-1φ=?-1(?ψ)=?-1?ψ因為ψ是任意函數(shù),所以?-1?=I成立.同理,??-1=I亦成立.3.性質(zhì)II:若?,?

均存在逆算符,則(??)-1=?-1?-1當前7頁，總共73頁。例如:設給定一函數(shù)F(x),其各階導數(shù)均存在,其冪級數(shù)展開收斂則可定義算符?

的函數(shù)F(?)為:（9）復共軛算符算符?的復共軛算符?*就是把?表達式中的所有量換成復共軛.例如:坐標表象中（8）算符函數(shù)當前8頁，總共73頁。利用波函數(shù)標準條件:當|x|→∞時ψ,→0。由于ψ、φ是任意波函數(shù),

所以同理可證:（10）轉(zhuǎn)置算符當前9頁，總共73頁。(11)厄密共軛算符由此可得：:轉(zhuǎn)置算符的定義厄密共軛算符亦可寫成：算符?之厄密共軛算符?+定義:可以證明:(?

?)+=?+

?+

(?

??...)+=...?+

?+

?+當前10頁，總共73頁。(12)厄密算符1.定義:滿足下列關系的算符稱為厄密算符.2.性質(zhì)性質(zhì)I:兩個厄密算符之和仍是厄密算符。即若?+=?,?+=?則(?+?)+=?++?+=(?+?)性質(zhì)II:兩個厄密算符之積一般不是厄密算符,除非二算符對易。因為

(??)+=?+?+=??≠??僅當[?,?]=0成立時,(??)+=??才成立。返回當前11頁，總共73頁。定理I：體系任何狀態(tài)ψ下，其厄密算符的平均值必為實數(shù)。證：逆定理：在任何狀態(tài)下，平均值均為 實數(shù)的算符必為厄密算符。根據(jù)假定在任意態(tài)下有：證：取ψ=ψ1+cψ2，其中ψ1

、ψ2

也是任意態(tài)的波函數(shù)，c是任意常數(shù)。（一）厄密算符的平均值當前12頁，總共73頁。因為對任意波函數(shù)左式=右式令c=1，得：令c=i，得：二式相加得：二式相減得：所得二式正是厄密算符的定義式，故逆定理成立。實驗上的可觀測量當然要求在任何狀態(tài)下平均值都是實數(shù)，因此相應的算符必須是厄密算符。所以左右兩邊頭兩項相等相消，于是有：當前13頁，總共73頁。力學量的本征方程若體系處于一種特殊狀態(tài)，在此狀態(tài)下測量F所得結(jié)果是唯一確定的，即：則稱這種狀態(tài)為力學量F的本征態(tài)?？砂殉?shù)記為Fn，把狀態(tài)記為ψn，于是得：其中Fn,ψn分別稱為算符F的本征值和相應的本征態(tài)，上式即是算符F的本征方程。求解時，ψ作為力學量的本征態(tài)或本征函數(shù)還要滿足物理上對波函數(shù)的要求即波函數(shù)的標準條件。（二）厄密算符的本征方程當前14頁，總共73頁。定理II：厄密算符的本征值必為實。當體系處于F的本征態(tài)ψn時，則每次測量結(jié)果都是Fn。 由本征方程可以看出，在ψn（設已歸一）態(tài)下證（3）量子力學基本假定III根據(jù)定理I(I)量子力學中的力學量用線性厄密算符表示。

若力學量是量子力學中特有的(如宇稱、自旋等），將由量子力學 本身定義給出。

若力學量在經(jīng)典力學中有對應的量則在直角坐標系下通過如下對應 方式，改造為量子力學中的力學量算符：(II)測量力學量F時所有可能出現(xiàn)的值，都對應于線性厄密算符F的本征值Fn （即測量值是本征值之一），該本征值由力學量算符F的本征方程給出：當前15頁，總共73頁。（1）正交性定理III：厄密算符屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交證：設取復共軛，并注意到Fm為實。兩邊右乘φn后積分二式相減得：若m≠Fn，則必有：[證畢]（2）分立譜、連續(xù)譜正交歸一表示式1.分立譜正交歸一條件分別為：2.連續(xù)譜正交歸一條件表示為：3.正交歸一系滿足上式的函數(shù)系φn或φλ稱為正交歸一（函數(shù)）系。（三）厄密算符的本征函數(shù)的正交性當前16頁，總共73頁。（一）動量算符（1）動量算符的厄密性使用波函數(shù)在無窮遠處趨于零的邊界條件。（2）動量本征方程其分量形式：證：由證明過程可見，動量算符的厄密性與波函數(shù)的邊界條件有關。當前17頁，總共73頁。I.求解這正是自由粒子的deBroglie波的空間部分波函數(shù)。如果取|c|2(2π)3=1則ψp(r)就可歸一化為δ-函數(shù)。解之得到如下一組解：于是：II.歸一化系數(shù)的確定采用分離變量法，令：代入動量本征方程且等式兩邊除以該式，得：當前18頁，總共73頁。xyzAA’oL（3）箱歸一化在箱子邊界的對應點A,A’上加上其波函數(shù)相等的條件，此邊界條件稱為周期性邊界條件。據(jù)上所述，具有連續(xù)譜的本征函數(shù)如:動量的本征函數(shù)是不能歸一化為一的，而只能歸一化為δ-函數(shù)。但是，如果我們加上適當?shù)倪吔鐥l件，則可以用以前的歸一化方法來歸一，這種方法稱為箱歸一化。周期性邊界條件這表明，px只能取分立值。換言之，加上周期性邊界條件后，連續(xù)譜變成了分立譜。當前19頁，總共73頁。所以c=L-3/2，歸一化的本征函數(shù)為：波函數(shù)變?yōu)檫@時歸一化系數(shù)c可由歸一化條件來確定：當前20頁，總共73頁。討論：（1）箱歸一化實際上相當于如圖所示情況：(a)A’(b)A(c)yx（2）由px=2nx/L,py=2ny/L,pz=2nz/L, 可以看出，相鄰兩本征值的間隔

p=2

/L與L 成反比。當L選的足夠大時，本征值間隔可任意小， 當L

時，本征值變成為連續(xù)譜。（3）從這里可以看出，只有分立譜才能歸一化為一，連續(xù)譜 歸一化為函數(shù)（4）p(r)×exp[–iEt/]就是自由粒子波函數(shù)，在它所描 寫的狀態(tài)中，粒子動量有確定值，該確定值就是動量算 符在這個態(tài)中的本征值。（5）周期性邊界條件是動量算符厄米性的要求。當前21頁，總共73頁。（二）角動量算符（1）角動量算符的形式根據(jù)量子力學基本假定III，量子力學角動量算符為:(I)直角坐標系角動量平方算符經(jīng)典力學中，若動量為p，相對點O的位置矢量為r的粒子繞O點的角動量是：

由于角動量平方算符中含有關于x，y，z偏導數(shù)的交叉項,所以直角坐標下角動量平方算符的本征方程不能分離變量,難于求解,為此我們采用球坐標較為方便.當前22頁，總共73頁。直角坐標與球坐標之間的變換關系xz球坐標ry這表明：r=r(x,y,z)x=x(r,θ,φ)(II)球坐標將（1）式兩邊分別對xyz求偏導數(shù)得：將（2）式兩邊分別對xyz求偏導數(shù)得：對于任意函數(shù)f(r,θ,φ)（其中，r,θ,φ都是

x,y,z的函數(shù)）則有：將（3）式兩邊分別對xyz求偏導數(shù)得：當前23頁，總共73頁。將上面結(jié)果代回原式得：則角動量算符在球坐標中的表達式為：當前24頁，總共73頁。（2）本征方程(I)Lz的本征方程求歸一化系數(shù)正交性：I。波函數(shù)有限條件，要求 z

為實數(shù)；II。波函數(shù)單值條件，要求 當φ轉(zhuǎn)過2π角 回到原位時波函數(shù) 值相等，即：合記之得正交歸一化條件：當前25頁，總共73頁。最后得Lz

的本征函數(shù)和本征值：討論：厄密性要求第一項為零所以則這正是周期性邊界條件當前26頁，總共73頁。(II)L2的本征值問題L2

的本征值方程可寫為：為使Y(,)在變化的整個區(qū)域(0,π)內(nèi)都是有限的，則必須滿足：

=（

+1),其中

=0,1,2,...其中Y(,)是L2屬于本征值2的本征函數(shù)。此方程就是大家熟悉的球諧函數(shù)方程，其求解方法在數(shù)學物理方法中已有詳細的講述，得到的結(jié)論是：該方程的解就是球函數(shù)Ylm(,)，其表達式：歸一化系數(shù)，由歸一化條件確定當前27頁，總共73頁。其正交歸一條件為：具體計算請參考有關數(shù)學物理方法的書籍(III)本征值的簡并度由于量子數(shù)表征了角動量的大小，所以稱為角量子數(shù)；m稱為磁量子數(shù)。

可知，對應一個值，m取值為0,±1,±2,±3,...,±

共(2+1)個值。因此當確定后，尚有(2+1)個磁量子狀態(tài)不確定。 換言之，對應一個值有(2+1)個量子狀態(tài)，這種現(xiàn)象稱為簡并，的簡并度是(2+1)度。根據(jù)球函數(shù)定義式當前28頁，總共73頁。在任意態(tài)ψ(r)中測量任一力學量F，所得的結(jié)果只能是由算符F的本征方程解得的本征值λn之一。但是還有兩點問題沒有搞清楚：1.測得每個本征值λn的幾率是多少？也就是說，哪些本征值能夠測到， 對應幾率是多少， 哪些測不到，幾率為零。2.是否會出現(xiàn)各次測量都得到同一個本征值，即有確定值。要解決上述問題，我們還得從討論本征函數(shù)的另一重要性質(zhì)入手。(1)力學量算符本征函數(shù)組成完備系1.函數(shù)的完備性有一組函數(shù)φn(x)(n=1,2,...),如果任意函數(shù)ψ(x)可以按這組函數(shù)展開:則稱這組函數(shù)φn(x)是完備的。例如：動量本征函數(shù)組成完備系力學量的可能值當前29頁，總共73頁。2.力學量算符的本征函數(shù)組成完備系(I)數(shù)學中已經(jīng)證明某些滿足一定條件的厄密算符其本征函數(shù)組成完備系（參看：梁昆淼，《數(shù)學物理方法》P324；王竹溪、郭敦仁，《特殊函數(shù)概論》1.10用正交函數(shù)組展開P41），即若：則任意函數(shù)ψ(x)可按φn(x)展開：(II)除上面提到的動量本征函數(shù)外,人們已經(jīng)證明了一些力學量 算符的本征函數(shù)也構(gòu)成完備系，如下表所示：但是對于任何一個力學量算符，它的本征函數(shù)是否一定完備并無一般證明，這將涉及到一個頗為復雜的數(shù)學問題。不管怎樣，由上述兩點分析，量子力學認為：一切力學量算符的本征函數(shù)都組成完備系。當前30頁，總共73頁。（2）力學量的可能值和相應幾率現(xiàn)在我們再來討論在一般狀態(tài)(x)中測量力學量F，將會得到哪些值，即測量的可能值及其每一可能值對應的幾率。測力學量F得到的可能值必是力學量算符F的本征值λnn=1,2,...之一,該本征值由本征方程確定：而每一本征值λn各以一定幾率出現(xiàn)。那末這些幾率究竟是多少呢？下面我們討論這個問題。由于φn(x)組成完備系，所以體系任一狀態(tài)ψ(x)可按其展開：展開系數(shù)cn與x無關。為求cn，將φm*(x)乘上式并對x積分得：討論：與波函數(shù)ψ(x)按動量本征函數(shù)展開式比較二者完全相同我們知道：ψ(x)是坐標空間的波函數(shù)；

c(p)是動量空間的波函數(shù)；則 {cn}

則是F空間的波函數(shù)， 三者完全等價。當前31頁，總共73頁。證明：當ψ(x)已歸一時，c(p)也是歸一的， 同樣cn也是歸一的。證：所以|cn|2具有幾率的意義，cn稱為幾率振幅。我們知道|ψ(x)|2表示在x點找到粒子的幾率密度，|c(p)|2表示粒子具有動量p的幾率，那末同樣，|cn|2則表示F取λn的幾率。量子力學基本假定IV綜上所述，量子力學作如下假定：任何力學量算符F的本征函數(shù)φn(x)組成正交歸一完備系，在任意已歸一態(tài)ψ(x)中測量力學量F得到本征值λn的幾率等于ψ(x)按φn(x)展開式：中對應本征函數(shù)φn(x)前的系數(shù)cn的絕對值平方。當前32頁，總共73頁。（3）力學量有確定值的條件推論：當體系處于ψ(x)態(tài)時，測量力學量F具有確定值的充要條件是ψ(x)必須是算符F的一個本征態(tài)。證：1.必要性。若F具有確定值λ則ψ(x)必為F的本征態(tài)。確定值的意思就是每次測量都為λ

。測量值必為本征值之一，令λ=λm

是F的一個本征值，滿足本征方程φn(x)組成完備系，且測得可能值是：λ1,λ2,...,λm…相應幾率是：

|c1|2,|c2|2,...,|cm|2,...。現(xiàn)在只測得λm，所以|cm|2=1,|c1|2=|c2|2=...=0（除|cm|2外）。于是得ψ(x)=m(x)，即ψ(x)是算符F的一個本征態(tài)。當前33頁，總共73頁。2.充分性。若ψ(x)是F的一個本征態(tài)，即 ψ(x)=φm(x)，則F具有確定值。力學量算符F的本征函數(shù)組成完備系。所以測得λn的幾率是|cn|2。因為表明，測量F得λm的幾率為1，因而有確定值。當前34頁，總共73頁。力學量平均值就是指多次測量的平均結(jié)果，如測量長度x，測了10次，其中4次得x1，6次得x2，則10次測量的平均值為：如果波函數(shù)未歸一化同樣，在任一態(tài)ψ(x)中測量某力學量F的平均值（在理論上）可寫為：則這兩種求平均值的公式都要求波函數(shù)是已歸一化的此式等價于以前的平均值公式：力學量的平均值當前35頁，總共73頁。已知空間轉(zhuǎn)子處于如下狀態(tài)試問：（1）Ψ是否是L2

的本征態(tài)？ （2）Ψ是否是Lz

的本征態(tài)？ （3）求L2的平均值； （4）在Ψ

態(tài)中分別測量L2

和Lz

時得到的可能值及 其相應的幾率。解：

Ψ

沒有確定的

L2

的本征值，故

Ψ

不是

L2

的本征態(tài)。當前36頁，總共73頁。Ψ是Lz

的本征態(tài)，本征值為。（3）求L2的平均值方法I驗證歸一化：當前37頁，總共73頁。方法II（4）歸一化波函數(shù)當前38頁，總共73頁。力學量算符的共同本征函數(shù)一、兩力學量同時有確定值的條件體系處于任意狀態(tài)(x)時，力學量F一般沒有確定值；若F有確定值則(x)必為F的本征態(tài)如果有另一個力學量G在態(tài)中也有確定值，則必也是G的一個本征態(tài)當在態(tài)中測量力學量F和G時，如果同時具有確定值，那么必是二力學量的共同本征函數(shù)這時我們有當前39頁，總共73頁。定理：若兩個力學量算符有一組共同完備的本征函數(shù)系，則

二算符對易n

組成完備系，任意態(tài)函數(shù)(x)可以按其展開任意態(tài)函數(shù)(x)當前40頁，總共73頁。逆定理：如果兩個力學量算符對易，則這兩個算符有組成

完備系的共同的本征函數(shù)僅考慮非簡并情況n：G的本征函數(shù)，同理F的所有本征函數(shù)n

(n=1，2…)也都是G的本征函數(shù)，因此二算符具有共同完備的本征函數(shù)系當前41頁，總共73頁。定理：一組力學量算符具有共同完備本征函數(shù)系的充要條件

是這組算符兩兩對易例1例2當前42頁，總共73頁。例3例4當前43頁，總共73頁。二、力學量的完全集合(1)定義：為完全確定狀態(tài)所需要的一組兩兩對易的力學量算符的最小(數(shù)目)集合稱為力學量完全集例1：三維空間中自由粒子，完全確定其狀態(tài)需要三個兩兩對易的力學量例2：氫原子，完全確定其狀態(tài)也需要三個兩兩對易的力學量例3：一維諧振子，只需一個力學量就可完全確定其狀態(tài)(2)力學量完全集中力學量的數(shù)目一般與體系自由度數(shù)相同(3)力學量完全集所確定的本征函數(shù)系構(gòu)成該體系態(tài)空間的一組完備的本征函數(shù)，體系的任何狀態(tài)均可用它展開當前44頁，總共73頁。角動量算符的對易關系證：當前45頁，總共73頁。（4）角動量升降階算符(I)定義顯然有如下性質(zhì)所以，這兩個算符不是厄密算符。(II)對易關系不難證明當前46頁，總共73頁。可見，(L+Ylm)也是Lz

與L2

的共同本征函數(shù)，對應本征值分別為

(m+1)

和

l(l+1)2。(III)證明：證：將Eq.(1)作用于Ylm得：將Eq.(2)作用于Ylm

得：由于相應于這些本征值的本征函數(shù)是Yl,m+1所以，L+Ylm

與Yl,m+1

二者僅差一個常數(shù)，即當前47頁，總共73頁。求:常系數(shù)alm,blm首先對式左邊積分并注意

L-=L++再計算式右積分比較二式由（4）式當前48頁，總共73頁。體系Hamilton量H的本征方程對于勢能只與r有關而與θ,

無關的有心力場，使用球坐標求解較為方便。于是方程可改寫為：V=-Ze2/r考慮一電子在一帶正電的核所產(chǎn)生的電場中運動，電子質(zhì)量為μ，電荷為-e，核電荷為+Ze。取核在坐標原點，電子受核電的吸引勢能為：xz球坐標ry此式使用了角動量平方算符L2

的表達式：有心力場下的Schrodinger方程當前49頁，總共73頁。（二）求解Schrodinger方程（1）分離變量ψ(r,θ,)=R(r)Ylm(θ,)令注意到L2Ylm=(+1)2Ylm則方程化為：令R(r)=u(r)/r代入上式得：若令討論E<0情況，方程可改寫如下：于是化成了一維問題，勢V(r)稱為等效勢，它由離心勢和庫侖勢兩部分組成。當前50頁，總共73頁。令（2）求解(I)解的漸近行為ρ→∞時，方程變?yōu)樗钥扇〗鉃橛邢扌詶l件要求A'=0

2當前51頁，總共73頁。(II)求級數(shù)解令為了保證有限性條件要求：當r→0時R=u/r→有限成立即代入方程令ν'=ν-1第一個求和改為:把第一個求和號中ν=0項單獨寫出，則上式改為：再將標號ν'改用ν后與第二項合并，代回上式得：當前52頁，總共73頁。[s(s-1)-(+1)]b0=0→s(s-1)-(+1)=0S=-

不滿足s≥1條件，舍去。s=+1高階項系數(shù)：[(ν+s+1)(ν+s)-(+1)]bν+1+(β-ν-s)bν=0系數(shù)bν的遞推公式注意到s=+1上式之和恒等于零，所以ρ得各次冪得系數(shù)分別等于零，即當前53頁，總共73頁。（三）使用標準條件定解（3）有限性條件（1）單值；（2）連續(xù)。二條件滿足1.ρ→0

時，R(r)有限已由s=+1

條件所保證。2.ρ→∞時，f(ρ)的收斂性如何？需要進一步討論。所以討論波函數(shù)的收斂性可以用e

ρ代替f(ρ)后項與前項系數(shù)之比級數(shù)e

ρ與f(ρ)收斂性相同

可見若f(ρ)

是無窮級數(shù)，則波函數(shù)

R不滿足有限性條件，所以必須把級數(shù)從某項起截斷。與諧振子問題類似，為討論f(ρ)的收斂性現(xiàn)考察級數(shù)后項系數(shù)與前項系數(shù)之比：當前54頁，總共73頁。最高冪次項的νmax=nr令注意此時多項式最高項的冪次為nr++1則于是遞推公式改寫為量子數(shù)取值由定義式由此可見，在粒子能量小于零情況下（束縛態(tài)）僅當粒子能量取En給出的分立值時，波函數(shù)才滿足有限性條件的要求。En<0當前55頁，總共73頁。將β=n代入遞推公式：利用遞推公式可把b1,b2,...,bn--1用b0表示出來。將這些系數(shù)代入f()表達式得：其封閉形式如下：締合拉蓋爾多項式當前56頁，總共73頁。總波函數(shù)為：至此只剩b0需要歸一化條件確定則徑向波函數(shù)公式：徑向波函數(shù)第一Borh軌道半徑當前57頁，總共73頁。使用球函數(shù)的歸一化條件：利用拉蓋爾多項式的封閉形式采用與求諧振子波函數(shù)歸一化系數(shù)類似的方法就可求出歸一化系數(shù)表達式如下：從而系數(shù)b0也就確定了（四）歸一化系數(shù)當前58頁，總共73頁。下面列出了前幾個徑向波函數(shù)Rnl表達式：當前59頁，總共73頁。（1）本征值和本征函數(shù)（2）能級簡并性能量只與主量子數(shù)n有關，而本征函數(shù)與n,,m有關，故能級存在簡并。當n確定后，

=n-nr-1，所以最大值為n-1。當確定后，m=0,±1,±2,....,±。共2+1個值。所以對于En能級其簡并度為：即對能量本征值En由n2個本征函數(shù)與之對應，也就是說有n2個量子態(tài)的能量是En。

n=1對應于能量最小態(tài)，稱為基態(tài)能量，E1=μZ2e4/22，相應基態(tài)波函數(shù)是ψ100=R10Y00，所以基態(tài)是非簡并態(tài)。當E<0時，能量是分立譜，束縛態(tài)，束縛于阱內(nèi)，在無窮遠處，粒子不出現(xiàn)，有限運動,波函數(shù)可歸一化為一。n=nr++l=0,1,2,...nr=0,1,2,...（五）總結(jié)當前60頁，總共73頁。

量子力學發(fā)展史上最突出得成就之一是對氫原子光譜和化學元素周期律給予了相當滿意得解釋。氫原子是最簡單的原子，其Schrodinger方程可以嚴格求解，氫原子理論還是了解復雜原子及分子結(jié)構(gòu)的基礎。當前61頁，總共73頁。1x+r1r2rR2Oyz（1）基本考慮I一個具有折合質(zhì)量的粒子在場中的運動II二粒子作為一個整體的質(zhì)心運動。（2）數(shù)學處理一個電子和一個質(zhì)子組成的氫原子的Schrodinger方程是：將二體問題化為一體問題令分量式二體運動可化為：二體問題的處理當前62頁，總共73頁。系統(tǒng)Hamilton量則改寫為：其中

=12/(1+2)是折合質(zhì)量。相對坐標和質(zhì)心坐標下Schrodinger方程形式為：當前63頁，總共73頁。代入上式并除以

(r)(R)

于是：

第二式是質(zhì)心運動方程，描述能量為(ET-E)的自由粒子的定態(tài)

Schrodinger方程，說明質(zhì)心以能量(ET-E)作自由運動。由于沒有交叉項，波函數(shù)可以采用分離變量表示為：只與R有關只與r有關

我們感興趣的是描述氫原子的內(nèi)部狀態(tài)的第一個方程，它描述一個質(zhì)量為的粒子在勢能為V(r)的力場中的運動。這是一個電子相對于核運動的波函數(shù)

(r)所滿足的方程，相對運動能量E就是電子的能級。當前64頁，總共73頁。n=1的態(tài)是基態(tài)，E1=-(e4/22)，當n→∞時，E∞=0，則電離能為：ε=E∞-E1=-E1

=μe4/22

=13.579eV.氫原子相對運動定態(tài)Schrodinger方程

問題的求解上一節(jié)已經(jīng)解決，只要令：Z=1,

是折合質(zhì)量即可。于是氫原子能級和相應的本征函數(shù)是：（1）能級1.基態(tài)及電離能2.氫原子譜線

RH是里德堡常數(shù)。上式就是由實驗總結(jié)出來的巴爾末公式。在舊量子論中Bohr是認為加進量子化條件后得到的，而在量子力學中是通過解Schrodinger方程自然而然地導出的，這是量子力學發(fā)展史上最為突出的成就之一。（二）氫原子能級和波函數(shù)當前65頁，總共73頁。（2）波函數(shù)和電子在氫原子中的幾率分布1.氫原子的波函數(shù)