量子力學(xué)之算符

算符的一般特性當(dāng)前1頁(yè)，總共73頁(yè)。（1）線性算符?(c1ψ1+c2ψ2)=c1?ψ1+c2?ψ2其中c1,c2是任意復(fù)常數(shù)，ψ1,ψ1是任意兩個(gè)波函數(shù)。滿足如下運(yùn)算規(guī)律的算符?稱為線性算符（2）算符相等

若兩個(gè)算符?、?對(duì)體系的任何波函數(shù)ψ的運(yùn)算結(jié)果都相同，即?ψ=?ψ，則算符?

和算符?相等記為?=?。例如：開(kāi)方算符、取復(fù)共軛就不是線性算符。注意：描寫可觀測(cè)量的力學(xué)量算符都是線性算符，這是態(tài)疊加原理的反映。當(dāng)前2頁(yè)，總共73頁(yè)。（3）算符之和

若兩個(gè)算符?、?對(duì)體系的任何波函數(shù)ψ有：(?+?)ψ=?ψ+?ψ=êψ則?+?=ê稱為算符之和。顯然，算符求和滿足交換率和結(jié)合率。例如：體系Hamilton算符注意，算符運(yùn)算沒(méi)有相減，因?yàn)闇p可用加來(lái)代替。?-?=?+（-?）。很易證明線性算符之和仍為線性算符。當(dāng)前3頁(yè)，總共73頁(yè)。（4）算符之積若?(?ψ)=(??)ψ=êψ則??=ê其中ψ是任意波函數(shù)。一般來(lái)說(shuō)算符之積不滿足交換律，即??≠??這是算符與通常數(shù)運(yùn)算規(guī)則的唯一不同之處。（5）對(duì)易關(guān)系若??≠??，則稱?與?不對(duì)易。顯然二者結(jié)果不相等，所以:對(duì)易關(guān)系當(dāng)前4頁(yè)，總共73頁(yè)。量子力學(xué)中最基本的對(duì)易關(guān)系。若算符滿足??=-??，則稱?和?

反對(duì)易。寫成通式:但是坐標(biāo)算符與其非共軛動(dòng)量對(duì)易，各動(dòng)量之間相互對(duì)易。注意：當(dāng)?與?對(duì)易，?與ê對(duì)易，不能推知?與ê對(duì)易與否。例如：當(dāng)前5頁(yè)，總共73頁(yè)。（6）對(duì)易括號(hào)為了表述簡(jiǎn)潔，運(yùn)算便利和研究量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的關(guān)系，人們定義了對(duì)易括號(hào)：

[?,?]≡??-??這樣一來(lái)，坐標(biāo)和動(dòng)量的對(duì)易關(guān)系可改寫成如下形式：

不難證明對(duì)易括號(hào)滿足如下對(duì)易關(guān)系：1)[?,?]=-[?,?]2)[?,?+ê]=[?,?]+[?,ê]3)[?,?ê]=[?,?]ê+?[?,ê]4)[?,[?,ê]]+[?,[ê,?]]+[ê,[?,?]]=0

上面的第四式稱為

Jacobi恒等式。返回當(dāng)前6頁(yè)，總共73頁(yè)。（7）逆算符1.定義:設(shè)?ψ=φ,能夠唯一的解出

ψ,則可定義算符

?

之逆?-1

為:?-1φ=ψ并不是所有算符都存在逆算符,例如投影算符就不存在逆.2.性質(zhì)I:若算符?

之逆?-1

存在,則

??-1=?-1?=I,[?,?-1]=0證:ψ=?-1φ=?-1(?ψ)=?-1?ψ因?yàn)棣资侨我夂瘮?shù),所以?-1?=I成立.同理,??-1=I亦成立.3.性質(zhì)II:若?,?

均存在逆算符,則(??)-1=?-1?-1當(dāng)前7頁(yè)，總共73頁(yè)。例如:設(shè)給定一函數(shù)F(x),其各階導(dǎo)數(shù)均存在,其冪級(jí)數(shù)展開(kāi)收斂則可定義算符?

的函數(shù)F(?)為:（9）復(fù)共軛算符算符?的復(fù)共軛算符?*就是把?表達(dá)式中的所有量換成復(fù)共軛.例如:坐標(biāo)表象中（8）算符函數(shù)當(dāng)前8頁(yè)，總共73頁(yè)。利用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件:當(dāng)|x|→∞時(shí)ψ,→0。由于ψ、φ是任意波函數(shù),

所以同理可證:（10）轉(zhuǎn)置算符當(dāng)前9頁(yè)，總共73頁(yè)。(11)厄密共軛算符由此可得：:轉(zhuǎn)置算符的定義厄密共軛算符亦可寫成：算符?之厄密共軛算符?+定義:可以證明:(?

?)+=?+

?+

(?

??...)+=...?+

?+

?+當(dāng)前10頁(yè)，總共73頁(yè)。(12)厄密算符1.定義:滿足下列關(guān)系的算符稱為厄密算符.2.性質(zhì)性質(zhì)I:兩個(gè)厄密算符之和仍是厄密算符。即若?+=?,?+=?則(?+?)+=?++?+=(?+?)性質(zhì)II:兩個(gè)厄密算符之積一般不是厄密算符,除非二算符對(duì)易。因?yàn)?/p>

(??)+=?+?+=??≠??僅當(dāng)[?,?]=0成立時(shí),(??)+=??才成立。返回當(dāng)前11頁(yè)，總共73頁(yè)。定理I：體系任何狀態(tài)ψ下，其厄密算符的平均值必為實(shí)數(shù)。證：逆定理：在任何狀態(tài)下，平均值均為 實(shí)數(shù)的算符必為厄密算符。根據(jù)假定在任意態(tài)下有：證：取ψ=ψ1+cψ2，其中ψ1

、ψ2

也是任意態(tài)的波函數(shù)，c是任意常數(shù)。（一）厄密算符的平均值當(dāng)前12頁(yè)，總共73頁(yè)。因?yàn)閷?duì)任意波函數(shù)左式=右式令c=1，得：令c=i，得：二式相加得：二式相減得：所得二式正是厄密算符的定義式，故逆定理成立。實(shí)驗(yàn)上的可觀測(cè)量當(dāng)然要求在任何狀態(tài)下平均值都是實(shí)數(shù)，因此相應(yīng)的算符必須是厄密算符。所以左右兩邊頭兩項(xiàng)相等相消，于是有：當(dāng)前13頁(yè)，總共73頁(yè)。力學(xué)量的本征方程若體系處于一種特殊狀態(tài)，在此狀態(tài)下測(cè)量F所得結(jié)果是唯一確定的，即：則稱這種狀態(tài)為力學(xué)量F的本征態(tài)?？砂殉?shù)記為Fn，把狀態(tài)記為ψn，于是得：其中Fn,ψn分別稱為算符F的本征值和相應(yīng)的本征態(tài)，上式即是算符F的本征方程。求解時(shí)，ψ作為力學(xué)量的本征態(tài)或本征函數(shù)還要滿足物理上對(duì)波函數(shù)的要求即波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。（二）厄密算符的本征方程當(dāng)前14頁(yè)，總共73頁(yè)。定理II：厄密算符的本征值必為實(shí)。當(dāng)體系處于F的本征態(tài)ψn時(shí)，則每次測(cè)量結(jié)果都是Fn。 由本征方程可以看出，在ψn（設(shè)已歸一）態(tài)下證（3）量子力學(xué)基本假定III根據(jù)定理I(I)量子力學(xué)中的力學(xué)量用線性厄密算符表示。

若力學(xué)量是量子力學(xué)中特有的(如宇稱、自旋等），將由量子力學(xué) 本身定義給出。

若力學(xué)量在經(jīng)典力學(xué)中有對(duì)應(yīng)的量則在直角坐標(biāo)系下通過(guò)如下對(duì)應(yīng) 方式，改造為量子力學(xué)中的力學(xué)量算符：(II)測(cè)量力學(xué)量F時(shí)所有可能出現(xiàn)的值，都對(duì)應(yīng)于線性厄密算符F的本征值Fn （即測(cè)量值是本征值之一），該本征值由力學(xué)量算符F的本征方程給出：當(dāng)前15頁(yè)，總共73頁(yè)。（1）正交性定理III：厄密算符屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交證：設(shè)取復(fù)共軛，并注意到Fm為實(shí)。兩邊右乘φn后積分二式相減得：若m≠Fn，則必有：[證畢]（2）分立譜、連續(xù)譜正交歸一表示式1.分立譜正交歸一條件分別為：2.連續(xù)譜正交歸一條件表示為：3.正交歸一系滿足上式的函數(shù)系φn或φλ稱為正交歸一（函數(shù)）系。（三）厄密算符的本征函數(shù)的正交性當(dāng)前16頁(yè)，總共73頁(yè)。（一）動(dòng)量算符（1）動(dòng)量算符的厄密性使用波函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處趨于零的邊界條件。（2）動(dòng)量本征方程其分量形式：證：由證明過(guò)程可見(jiàn)，動(dòng)量算符的厄密性與波函數(shù)的邊界條件有關(guān)。當(dāng)前17頁(yè)，總共73頁(yè)。I.求解這正是自由粒子的deBroglie波的空間部分波函數(shù)。如果取|c|2(2π)3=1則ψp(r)就可歸一化為δ-函數(shù)。解之得到如下一組解：于是：II.歸一化系數(shù)的確定采用分離變量法，令：代入動(dòng)量本征方程且等式兩邊除以該式，得：當(dāng)前18頁(yè)，總共73頁(yè)。xyzAA’oL（3）箱歸一化在箱子邊界的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A,A’上加上其波函數(shù)相等的條件，此邊界條件稱為周期性邊界條件。據(jù)上所述，具有連續(xù)譜的本征函數(shù)如:動(dòng)量的本征函數(shù)是不能歸一化為一的，而只能歸一化為δ-函數(shù)。但是，如果我們加上適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，則可以用以前的歸一化方法來(lái)歸一，這種方法稱為箱歸一化。周期性邊界條件這表明，px只能取分立值。換言之，加上周期性邊界條件后，連續(xù)譜變成了分立譜。當(dāng)前19頁(yè)，總共73頁(yè)。所以c=L-3/2，歸一化的本征函數(shù)為：波函數(shù)變?yōu)檫@時(shí)歸一化系數(shù)c可由歸一化條件來(lái)確定：當(dāng)前20頁(yè)，總共73頁(yè)。討論：（1）箱歸一化實(shí)際上相當(dāng)于如圖所示情況：(a)A’(b)A(c)yx（2）由px=2nx/L,py=2ny/L,pz=2nz/L, 可以看出，相鄰兩本征值的間隔

p=2

/L與L 成反比。當(dāng)L選的足夠大時(shí)，本征值間隔可任意小， 當(dāng)L

時(shí)，本征值變成為連續(xù)譜。（3）從這里可以看出，只有分立譜才能歸一化為一，連續(xù)譜 歸一化為函數(shù)（4）p(r)×exp[–iEt/]就是自由粒子波函數(shù)，在它所描 寫的狀態(tài)中，粒子動(dòng)量有確定值，該確定值就是動(dòng)量算 符在這個(gè)態(tài)中的本征值。（5）周期性邊界條件是動(dòng)量算符厄米性的要求。當(dāng)前21頁(yè)，總共73頁(yè)。（二）角動(dòng)量算符（1）角動(dòng)量算符的形式根據(jù)量子力學(xué)基本假定III，量子力學(xué)角動(dòng)量算符為:(I)直角坐標(biāo)系角動(dòng)量平方算符經(jīng)典力學(xué)中，若動(dòng)量為p，相對(duì)點(diǎn)O的位置矢量為r的粒子繞O點(diǎn)的角動(dòng)量是：

由于角動(dòng)量平方算符中含有關(guān)于x，y，z偏導(dǎo)數(shù)的交叉項(xiàng),所以直角坐標(biāo)下角動(dòng)量平方算符的本征方程不能分離變量,難于求解,為此我們采用球坐標(biāo)較為方便.當(dāng)前22頁(yè)，總共73頁(yè)。直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)之間的變換關(guān)系xz球坐標(biāo)ry這表明：r=r(x,y,z)x=x(r,θ,φ)(II)球坐標(biāo)將（1）式兩邊分別對(duì)xyz求偏導(dǎo)數(shù)得：將（2）式兩邊分別對(duì)xyz求偏導(dǎo)數(shù)得：對(duì)于任意函數(shù)f(r,θ,φ)（其中，r,θ,φ都是

x,y,z的函數(shù)）則有：將（3）式兩邊分別對(duì)xyz求偏導(dǎo)數(shù)得：當(dāng)前23頁(yè)，總共73頁(yè)。將上面結(jié)果代回原式得：則角動(dòng)量算符在球坐標(biāo)中的表達(dá)式為：當(dāng)前24頁(yè)，總共73頁(yè)。（2）本征方程(I)Lz的本征方程求歸一化系數(shù)正交性：I。波函數(shù)有限條件，要求 z

為實(shí)數(shù)；II。波函數(shù)單值條件，要求 當(dāng)φ轉(zhuǎn)過(guò)2π角 回到原位時(shí)波函數(shù) 值相等，即：合記之得正交歸一化條件：當(dāng)前25頁(yè)，總共73頁(yè)。最后得Lz

的本征函數(shù)和本征值：討論：厄密性要求第一項(xiàng)為零所以則這正是周期性邊界條件當(dāng)前26頁(yè)，總共73頁(yè)。(II)L2的本征值問(wèn)題L2

的本征值方程可寫為：為使Y(,)在變化的整個(gè)區(qū)域(0,π)內(nèi)都是有限的，則必須滿足：

=（

+1),其中

=0,1,2,...其中Y(,)是L2屬于本征值2的本征函數(shù)。此方程就是大家熟悉的球諧函數(shù)方程，其求解方法在數(shù)學(xué)物理方法中已有詳細(xì)的講述，得到的結(jié)論是：該方程的解就是球函數(shù)Ylm(,)，其表達(dá)式：歸一化系數(shù)，由歸一化條件確定當(dāng)前27頁(yè)，總共73頁(yè)。其正交歸一條件為：具體計(jì)算請(qǐng)參考有關(guān)數(shù)學(xué)物理方法的書籍(III)本征值的簡(jiǎn)并度由于量子數(shù)表征了角動(dòng)量的大小，所以稱為角量子數(shù)；m稱為磁量子數(shù)。

可知，對(duì)應(yīng)一個(gè)值，m取值為0,±1,±2,±3,...,±

共(2+1)個(gè)值。因此當(dāng)確定后，尚有(2+1)個(gè)磁量子狀態(tài)不確定。 換言之，對(duì)應(yīng)一個(gè)值有(2+1)個(gè)量子狀態(tài)，這種現(xiàn)象稱為簡(jiǎn)并，的簡(jiǎn)并度是(2+1)度。根據(jù)球函數(shù)定義式當(dāng)前28頁(yè)，總共73頁(yè)。在任意態(tài)ψ(r)中測(cè)量任一力學(xué)量F，所得的結(jié)果只能是由算符F的本征方程解得的本征值λn之一。但是還有兩點(diǎn)問(wèn)題沒(méi)有搞清楚：1.測(cè)得每個(gè)本征值λn的幾率是多少？也就是說(shuō)，哪些本征值能夠測(cè)到， 對(duì)應(yīng)幾率是多少， 哪些測(cè)不到，幾率為零。2.是否會(huì)出現(xiàn)各次測(cè)量都得到同一個(gè)本征值，即有確定值。要解決上述問(wèn)題，我們還得從討論本征函數(shù)的另一重要性質(zhì)入手。(1)力學(xué)量算符本征函數(shù)組成完備系1.函數(shù)的完備性有一組函數(shù)φn(x)(n=1,2,...),如果任意函數(shù)ψ(x)可以按這組函數(shù)展開(kāi):則稱這組函數(shù)φn(x)是完備的。例如：動(dòng)量本征函數(shù)組成完備系力學(xué)量的可能值當(dāng)前29頁(yè)，總共73頁(yè)。2.力學(xué)量算符的本征函數(shù)組成完備系(I)數(shù)學(xué)中已經(jīng)證明某些滿足一定條件的厄密算符其本征函數(shù)組成完備系（參看：梁昆淼，《數(shù)學(xué)物理方法》P324；王竹溪、郭敦仁，《特殊函數(shù)概論》1.10用正交函數(shù)組展開(kāi)P41），即若：則任意函數(shù)ψ(x)可按φn(x)展開(kāi)：(II)除上面提到的動(dòng)量本征函數(shù)外,人們已經(jīng)證明了一些力學(xué)量 算符的本征函數(shù)也構(gòu)成完備系，如下表所示：但是對(duì)于任何一個(gè)力學(xué)量算符，它的本征函數(shù)是否一定完備并無(wú)一般證明，這將涉及到一個(gè)頗為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題。不管怎樣，由上述兩點(diǎn)分析，量子力學(xué)認(rèn)為：一切力學(xué)量算符的本征函數(shù)都組成完備系。當(dāng)前30頁(yè)，總共73頁(yè)。（2）力學(xué)量的可能值和相應(yīng)幾率現(xiàn)在我們?cè)賮?lái)討論在一般狀態(tài)(x)中測(cè)量力學(xué)量F，將會(huì)得到哪些值，即測(cè)量的可能值及其每一可能值對(duì)應(yīng)的幾率。測(cè)力學(xué)量F得到的可能值必是力學(xué)量算符F的本征值λnn=1,2,...之一,該本征值由本征方程確定：而每一本征值λn各以一定幾率出現(xiàn)。那末這些幾率究竟是多少呢？下面我們討論這個(gè)問(wèn)題。由于φn(x)組成完備系，所以體系任一狀態(tài)ψ(x)可按其展開(kāi)：展開(kāi)系數(shù)cn與x無(wú)關(guān)。為求cn，將φm*(x)乘上式并對(duì)x積分得：討論：與波函數(shù)ψ(x)按動(dòng)量本征函數(shù)展開(kāi)式比較二者完全相同我們知道：ψ(x)是坐標(biāo)空間的波函數(shù)；

c(p)是動(dòng)量空間的波函數(shù)；則 {cn}

則是F空間的波函數(shù)， 三者完全等價(jià)。當(dāng)前31頁(yè)，總共73頁(yè)。證明：當(dāng)ψ(x)已歸一時(shí)，c(p)也是歸一的， 同樣cn也是歸一的。證：所以|cn|2具有幾率的意義，cn稱為幾率振幅。我們知道|ψ(x)|2表示在x點(diǎn)找到粒子的幾率密度，|c(p)|2表示粒子具有動(dòng)量p的幾率，那末同樣，|cn|2則表示F取λn的幾率。量子力學(xué)基本假定IV綜上所述，量子力學(xué)作如下假定：任何力學(xué)量算符F的本征函數(shù)φn(x)組成正交歸一完備系，在任意已歸一態(tài)ψ(x)中測(cè)量力學(xué)量F得到本征值λn的幾率等于ψ(x)按φn(x)展開(kāi)式：中對(duì)應(yīng)本征函數(shù)φn(x)前的系數(shù)cn的絕對(duì)值平方。當(dāng)前32頁(yè)，總共73頁(yè)。（3）力學(xué)量有確定值的條件推論：當(dāng)體系處于ψ(x)態(tài)時(shí)，測(cè)量力學(xué)量F具有確定值的充要條件是ψ(x)必須是算符F的一個(gè)本征態(tài)。證：1.必要性。若F具有確定值λ則ψ(x)必為F的本征態(tài)。確定值的意思就是每次測(cè)量都為λ

。測(cè)量值必為本征值之一，令λ=λm

是F的一個(gè)本征值，滿足本征方程φn(x)組成完備系，且測(cè)得可能值是：λ1,λ2,...,λm…相應(yīng)幾率是：

|c1|2,|c2|2,...,|cm|2,...?，F(xiàn)在只測(cè)得λm，所以|cm|2=1,|c1|2=|c2|2=...=0（除|cm|2外）。于是得ψ(x)=m(x)，即ψ(x)是算符F的一個(gè)本征態(tài)。當(dāng)前33頁(yè)，總共73頁(yè)。2.充分性。若ψ(x)是F的一個(gè)本征態(tài)，即 ψ(x)=φm(x)，則F具有確定值。力學(xué)量算符F的本征函數(shù)組成完備系。所以測(cè)得λn的幾率是|cn|2。因?yàn)楸砻?，測(cè)量F得λm的幾率為1，因而有確定值。當(dāng)前34頁(yè)，總共73頁(yè)。力學(xué)量平均值就是指多次測(cè)量的平均結(jié)果，如測(cè)量長(zhǎng)度x，測(cè)了10次，其中4次得x1，6次得x2，則10次測(cè)量的平均值為：如果波函數(shù)未歸一化同樣，在任一態(tài)ψ(x)中測(cè)量某力學(xué)量F的平均值（在理論上）可寫為：則這兩種求平均值的公式都要求波函數(shù)是已歸一化的此式等價(jià)于以前的平均值公式：力學(xué)量的平均值當(dāng)前35頁(yè)，總共73頁(yè)。已知空間轉(zhuǎn)子處于如下?tīng)顟B(tài)試問(wèn)：（1）Ψ是否是L2

的本征態(tài)？ （2）Ψ是否是Lz

的本征態(tài)？ （3）求L2的平均值； （4）在Ψ

態(tài)中分別測(cè)量L2

和Lz

時(shí)得到的可能值及 其相應(yīng)的幾率。解：

Ψ

沒(méi)有確定的

L2

的本征值，故

Ψ

不是

L2

的本征態(tài)。當(dāng)前36頁(yè)，總共73頁(yè)。Ψ是Lz

的本征態(tài)，本征值為。（3）求L2的平均值方法I驗(yàn)證歸一化：當(dāng)前37頁(yè)，總共73頁(yè)。方法II（4）歸一化波函數(shù)當(dāng)前38頁(yè)，總共73頁(yè)。力學(xué)量算符的共同本征函數(shù)一、兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件體系處于任意狀態(tài)(x)時(shí)，力學(xué)量F一般沒(méi)有確定值；若F有確定值則(x)必為F的本征態(tài)如果有另一個(gè)力學(xué)量G在態(tài)中也有確定值，則必也是G的一個(gè)本征態(tài)當(dāng)在態(tài)中測(cè)量力學(xué)量F和G時(shí)，如果同時(shí)具有確定值，那么必是二力學(xué)量的共同本征函數(shù)這時(shí)我們有當(dāng)前39頁(yè)，總共73頁(yè)。定理：若兩個(gè)力學(xué)量算符有一組共同完備的本征函數(shù)系，則

二算符對(duì)易n

組成完備系，任意態(tài)函數(shù)(x)可以按其展開(kāi)任意態(tài)函數(shù)(x)當(dāng)前40頁(yè)，總共73頁(yè)。逆定理：如果兩個(gè)力學(xué)量算符對(duì)易，則這兩個(gè)算符有組成

完備系的共同的本征函數(shù)僅考慮非簡(jiǎn)并情況n：G的本征函數(shù)，同理F的所有本征函數(shù)n

(n=1，2…)也都是G的本征函數(shù)，因此二算符具有共同完備的本征函數(shù)系當(dāng)前41頁(yè)，總共73頁(yè)。定理：一組力學(xué)量算符具有共同完備本征函數(shù)系的充要條件

是這組算符兩兩對(duì)易例1例2當(dāng)前42頁(yè)，總共73頁(yè)。例3例4當(dāng)前43頁(yè)，總共73頁(yè)。二、力學(xué)量的完全集合(1)定義：為完全確定狀態(tài)所需要的一組兩兩對(duì)易的力學(xué)量算符的最小(數(shù)目)集合稱為力學(xué)量完全集例1：三維空間中自由粒子，完全確定其狀態(tài)需要三個(gè)兩兩對(duì)易的力學(xué)量例2：氫原子，完全確定其狀態(tài)也需要三個(gè)兩兩對(duì)易的力學(xué)量例3：一維諧振子，只需一個(gè)力學(xué)量就可完全確定其狀態(tài)(2)力學(xué)量完全集中力學(xué)量的數(shù)目一般與體系自由度數(shù)相同(3)力學(xué)量完全集所確定的本征函數(shù)系構(gòu)成該體系態(tài)空間的一組完備的本征函數(shù)，體系的任何狀態(tài)均可用它展開(kāi)當(dāng)前44頁(yè)，總共73頁(yè)。角動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系證：當(dāng)前45頁(yè)，總共73頁(yè)。（4）角動(dòng)量升降階算符(I)定義顯然有如下性質(zhì)所以，這兩個(gè)算符不是厄密算符。(II)對(duì)易關(guān)系不難證明當(dāng)前46頁(yè)，總共73頁(yè)。可見(jiàn)，(L+Ylm)也是Lz

與L2

的共同本征函數(shù)，對(duì)應(yīng)本征值分別為

(m+1)

和

l(l+1)2。(III)證明：證：將Eq.(1)作用于Ylm得：將Eq.(2)作用于Ylm

得：由于相應(yīng)于這些本征值的本征函數(shù)是Yl,m+1所以，L+Ylm

與Yl,m+1

二者僅差一個(gè)常數(shù)，即當(dāng)前47頁(yè)，總共73頁(yè)。求:常系數(shù)alm,blm首先對(duì)式左邊積分并注意

L-=L++再計(jì)算式右積分比較二式由（4）式當(dāng)前48頁(yè)，總共73頁(yè)。體系Hamilton量H的本征方程對(duì)于勢(shì)能只與r有關(guān)而與θ,

無(wú)關(guān)的有心力場(chǎng)，使用球坐標(biāo)求解較為方便。于是方程可改寫為：V=-Ze2/r考慮一電子在一帶正電的核所產(chǎn)生的電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，電子質(zhì)量為μ，電荷為-e，核電荷為+Ze。取核在坐標(biāo)原點(diǎn)，電子受核電的吸引勢(shì)能為：xz球坐標(biāo)ry此式使用了角動(dòng)量平方算符L2

的表達(dá)式：有心力場(chǎng)下的Schrodinger方程當(dāng)前49頁(yè)，總共73頁(yè)。（二）求解Schrodinger方程（1）分離變量ψ(r,θ,)=R(r)Ylm(θ,)令注意到L2Ylm=(+1)2Ylm則方程化為：令R(r)=u(r)/r代入上式得：若令討論E<0情況，方程可改寫如下：于是化成了一維問(wèn)題，勢(shì)V(r)稱為等效勢(shì)，它由離心勢(shì)和庫(kù)侖勢(shì)兩部分組成。當(dāng)前50頁(yè)，總共73頁(yè)。令（2）求解(I)解的漸近行為ρ→∞時(shí)，方程變?yōu)樗钥扇〗鉃橛邢扌詶l件要求A'=0

2當(dāng)前51頁(yè)，總共73頁(yè)。(II)求級(jí)數(shù)解令為了保證有限性條件要求：當(dāng)r→0時(shí)R=u/r→有限成立即代入方程令ν'=ν-1第一個(gè)求和改為:把第一個(gè)求和號(hào)中ν=0項(xiàng)單獨(dú)寫出，則上式改為：再將標(biāo)號(hào)ν'改用ν后與第二項(xiàng)合并，代回上式得：當(dāng)前52頁(yè)，總共73頁(yè)。[s(s-1)-(+1)]b0=0→s(s-1)-(+1)=0S=-

不滿足s≥1條件，舍去。s=+1高階項(xiàng)系數(shù)：[(ν+s+1)(ν+s)-(+1)]bν+1+(β-ν-s)bν=0系數(shù)bν的遞推公式注意到s=+1上式之和恒等于零，所以ρ得各次冪得系數(shù)分別等于零，即當(dāng)前53頁(yè)，總共73頁(yè)。（三）使用標(biāo)準(zhǔn)條件定解（3）有限性條件（1）單值；（2）連續(xù)。二條件滿足1.ρ→0

時(shí)，R(r)有限已由s=+1

條件所保證。2.ρ→∞時(shí)，f(ρ)的收斂性如何？需要進(jìn)一步討論。所以討論波函數(shù)的收斂性可以用e

ρ代替f(ρ)后項(xiàng)與前項(xiàng)系數(shù)之比級(jí)數(shù)e

ρ與f(ρ)收斂性相同

可見(jiàn)若f(ρ)

是無(wú)窮級(jí)數(shù)，則波函數(shù)

R不滿足有限性條件，所以必須把級(jí)數(shù)從某項(xiàng)起截?cái)?。與諧振子問(wèn)題類似，為討論f(ρ)的收斂性現(xiàn)考察級(jí)數(shù)后項(xiàng)系數(shù)與前項(xiàng)系數(shù)之比：當(dāng)前54頁(yè)，總共73頁(yè)。最高冪次項(xiàng)的νmax=nr令注意此時(shí)多項(xiàng)式最高項(xiàng)的冪次為nr++1則于是遞推公式改寫為量子數(shù)取值由定義式由此可見(jiàn)，在粒子能量小于零情況下（束縛態(tài)）僅當(dāng)粒子能量取En給出的分立值時(shí)，波函數(shù)才滿足有限性條件的要求。En<0當(dāng)前55頁(yè)，總共73頁(yè)。將β=n代入遞推公式：利用遞推公式可把b1,b2,...,bn--1用b0表示出來(lái)。將這些系數(shù)代入f()表達(dá)式得：其封閉形式如下：締合拉蓋爾多項(xiàng)式當(dāng)前56頁(yè)，總共73頁(yè)?？偛ê瘮?shù)為：至此只剩b0需要?dú)w一化條件確定則徑向波函數(shù)公式：徑向波函數(shù)第一Borh軌道半徑當(dāng)前57頁(yè)，總共73頁(yè)。使用球函數(shù)的歸一化條件：利用拉蓋爾多項(xiàng)式的封閉形式采用與求諧振子波函數(shù)歸一化系數(shù)類似的方法就可求出歸一化系數(shù)表達(dá)式如下：從而系數(shù)b0也就確定了（四）歸一化系數(shù)當(dāng)前58頁(yè)，總共73頁(yè)。下面列出了前幾個(gè)徑向波函數(shù)Rnl表達(dá)式：當(dāng)前59頁(yè)，總共73頁(yè)。（1）本征值和本征函數(shù)（2）能級(jí)簡(jiǎn)并性能量只與主量子數(shù)n有關(guān)，而本征函數(shù)與n,,m有關(guān)，故能級(jí)存在簡(jiǎn)并。當(dāng)n確定后，

=n-nr-1，所以最大值為n-1。當(dāng)確定后，m=0,±1,±2,....,±。共2+1個(gè)值。所以對(duì)于En能級(jí)其簡(jiǎn)并度為：即對(duì)能量本征值En由n2個(gè)本征函數(shù)與之對(duì)應(yīng)，也就是說(shuō)有n2個(gè)量子態(tài)的能量是En。

n=1對(duì)應(yīng)于能量最小態(tài)，稱為基態(tài)能量，E1=μZ2e4/22，相應(yīng)基態(tài)波函數(shù)是ψ100=R10Y00，所以基態(tài)是非簡(jiǎn)并態(tài)。當(dāng)E<0時(shí)，能量是分立譜，束縛態(tài)，束縛于阱內(nèi)，在無(wú)窮遠(yuǎn)處，粒子不出現(xiàn)，有限運(yùn)動(dòng),波函數(shù)可歸一化為一。n=nr++l=0,1,2,...nr=0,1,2,...（五）總結(jié)當(dāng)前60頁(yè)，總共73頁(yè)。

量子力學(xué)發(fā)展史上最突出得成就之一是對(duì)氫原子光譜和化學(xué)元素周期律給予了相當(dāng)滿意得解釋。氫原子是最簡(jiǎn)單的原子，其Schrodinger方程可以嚴(yán)格求解，氫原子理論還是了解復(fù)雜原子及分子結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。當(dāng)前61頁(yè)，總共73頁(yè)。1x+r1r2rR2Oyz（1）基本考慮I一個(gè)具有折合質(zhì)量的粒子在場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)II二粒子作為一個(gè)整體的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)。（2）數(shù)學(xué)處理一個(gè)電子和一個(gè)質(zhì)子組成的氫原子的Schrodinger方程是：將二體問(wèn)題化為一體問(wèn)題令分量式二體運(yùn)動(dòng)可化為：二體問(wèn)題的處理當(dāng)前62頁(yè)，總共73頁(yè)。系統(tǒng)Hamilton量則改寫為：其中

=12/(1+2)是折合質(zhì)量。相對(duì)坐標(biāo)和質(zhì)心坐標(biāo)下Schrodinger方程形式為：當(dāng)前63頁(yè)，總共73頁(yè)。代入上式并除以

(r)(R)

于是：

第二式是質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程，描述能量為(ET-E)的自由粒子的定態(tài)

Schrodinger方程，說(shuō)明質(zhì)心以能量(ET-E)作自由運(yùn)動(dòng)。由于沒(méi)有交叉項(xiàng)，波函數(shù)可以采用分離變量表示為：只與R有關(guān)只與r有關(guān)

我們感興趣的是描述氫原子的內(nèi)部狀態(tài)的第一個(gè)方程，它描述一個(gè)質(zhì)量為的粒子在勢(shì)能為V(r)的力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)。這是一個(gè)電子相對(duì)于核運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)

(r)所滿足的方程，相對(duì)運(yùn)動(dòng)能量E就是電子的能級(jí)。當(dāng)前64頁(yè)，總共73頁(yè)。n=1的態(tài)是基態(tài)，E1=-(e4/22)，當(dāng)n→∞時(shí)，E∞=0，則電離能為：ε=E∞-E1=-E1

=μe4/22

=13.579eV.氫原子相對(duì)運(yùn)動(dòng)定態(tài)Schrodinger方程

問(wèn)題的求解上一節(jié)已經(jīng)解決，只要令：Z=1,

是折合質(zhì)量即可。于是氫原子能級(jí)和相應(yīng)的本征函數(shù)是：（1）能級(jí)1.基態(tài)及電離能2.氫原子譜線

RH是里德堡常數(shù)。上式就是由實(shí)驗(yàn)總結(jié)出來(lái)的巴爾末公式。在舊量子論中Bohr是認(rèn)為加進(jìn)量子化條件后得到的，而在量子力學(xué)中是通過(guò)解Schrodinger方程自然而然地導(dǎo)出的，這是量子力學(xué)發(fā)展史上最為突出的成就之一。（二）氫原子能級(jí)和波函數(shù)當(dāng)前65頁(yè)，總共73頁(yè)。（2）波函數(shù)和電子在氫原子中的幾率分布1.氫原子的波函數(shù)