概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章

概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章序考研內(nèi)容高等數(shù)學(50%)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(25%)線性代數(shù)(25%)3/29/202322023/3/29概率Chapter1-13第一部分是概率論基礎，包括第一、二、三、四、五章.

第二部分是數(shù)理統(tǒng)計初步,包括第六、七、八、九章.第一章介紹概率論最基本的概念；第二章引進隨機變量的概念，并用分布函數(shù)描述它；第三章介紹隨機向量；第四章介紹隨機變量的數(shù)字特征；第五章介紹大數(shù)定律與中心極限定理.第六章主要介紹數(shù)理統(tǒng)計的基本概念；第七章和第八章分別介紹統(tǒng)計推斷的兩項主要內(nèi)容－－參數(shù)估計和假設檢驗；第九章介紹具有回歸關系的隨機變量如何建立數(shù)學模型.

本教材的主要內(nèi)容本書分為兩個部分:三、全概率公式四、貝葉斯公式二、乘法公式

一、加法公式2023/3/29概率Chapter1-15

引言?概率論與數(shù)理統(tǒng)計?的研究對象在自然界中常見到兩類不同性質的現(xiàn)象:

確定性現(xiàn)象：可以根據(jù)其賴以存在的條件，事先準確的判定它們未來的結果的現(xiàn)象.如:在標準大氣壓下，水加熱到100度就會沸騰.每天，太陽從東方升起.第一章隨機事件及概率2023/3/29概率Chapter1-16

隨機現(xiàn)象：就某一現(xiàn)象而言，在條件相同的一系列重復觀察中，會時而出現(xiàn)時而不出現(xiàn)，呈現(xiàn)出不確定性，且在每次觀察之前不能準確預料其是否會出現(xiàn)。如：抽樣檢驗產(chǎn)品質量的結果;

保險公司的年賠償金額;

擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù);拋擲硬幣哪面向上等.2023/3/29概率Chapter1-17隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性

比如剛才提到的例子，在桌面上投擲一枚硬幣，可能正面向上，也可能反面向上，在投擲之前不能斷言一定哪一面向上。這顯然是隨機現(xiàn)象。

但是如果大量拋擲硬幣，會發(fā)現(xiàn)正面出現(xiàn)的次數(shù)與拋擲的次數(shù)之比－－我們稱之為正面出現(xiàn)的頻率－－在常數(shù)0.5附近擺動。2023/3/29概率Chapter1-18隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性(續(xù))

再比如，在桌面上投擲一顆骰子，可能1點向上，也可能2點向上，……,在投擲之前不能斷言一定哪一個數(shù)字向上。這顯然是隨機現(xiàn)象。

如果重復拋擲，會發(fā)現(xiàn)骰子某點出現(xiàn)的次數(shù)與拋擲的總次數(shù)之比－－我們稱之為某點出現(xiàn)的頻率－－在一個常數(shù)附近擺動。

思考:常數(shù)是幾?答案:常數(shù)是1/6.2023/3/29概率Chapter1-19

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”是研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的一門數(shù)學學科。

隨機現(xiàn)象有其偶然性一面，也有其必然性一面，這種必然性表現(xiàn)在大量重復試驗或觀察中,隨機現(xiàn)象所呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性，稱為隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性.如圖是常用的柱狀圖2023/3/29概率Chapter1-110第一節(jié)隨機試驗、樣本空間及隨機事件第二節(jié)事件的概率第三節(jié)條件概率第四節(jié)全概率公式與貝葉斯公式第五節(jié)事件的獨立性第六節(jié)獨立重復試驗和二項概率第一章

基本內(nèi)容四大公式1.1隨機試驗、樣本空間和隨機事件一、隨機試驗二、樣本空間和隨機事件三、事件的關系和運算四、事件的運算性質基本內(nèi)容2023/3/29概率Chapter1-112一、先給出隨機試驗的概念.試驗:對隨機現(xiàn)象的觀察過程通常稱為隨機試驗.簡稱試驗.用字母E表示.試驗的三個特性：A、重復性:試驗可以在相同的條件下重復進行.B、隨機性:每次結果不止一個,進行一次試驗之前不能確定究竟哪一個結果會出現(xiàn).C、明確性:能夠明確指出試驗的所有可能結果.第一節(jié)隨機試驗、樣本空間及隨機事件2023/3/29概率Chapter1-113

二、樣本空間和隨機事件

隨機試驗中每個可能出現(xiàn)的結果都叫做樣本點(用表示)

；全體樣本點構成的集合叫樣本空間(用

表示)；樣本空間的子集,即某些實驗結果的集合,稱為隨機事件.簡稱事件.事件一般用大寫字母A、B、C等表示,必要時可加下標.如:擲一枚硬幣,A=“正面向上”;袋中有紅,黃,綠色球各一個.任取一球.則

A1=“取出紅球”；

A2=“取出黃球”；

A3=“取出綠球”.1、基本概念有時一次完整的試驗可有若干個步驟組成.如:連續(xù)拋擲三次硬幣.2023/3/29概率Chapter1-114隨機事件的有關概念:由定義,樣本空間本身和它的補集都可以作為事件.稱為必然事件,

稱為不可能事件.如果某個事件只包含一個樣本點，即單點集合稱為基本事件.

即有如下分類:基本事件：試驗E的每一個基本結果{}.

復合事件（組合事件）：由兩個或兩個以上基本事件組合而成的事件{1

,2…,n}.必然事件：每次試驗中一定出現(xiàn)的事件.用Ω表示.不可能事件：每次試驗中一定不出現(xiàn)的事件.

用表示.2023/3/29概率Chapter1-115例1設試驗E為擲一顆骰子,觀察其出現(xiàn)的點數(shù)：An=“出現(xiàn)n點”。n=1，2，3，4，5，6.A1、A2、A3、A4、A5、A6是基本事件；A=“偶數(shù)點”是復合事件；B=“點數(shù)小于5”也是復合事件；“點數(shù)不大于6”是必然事件；“點數(shù)大于6”是不可能事件.注：復合事件發(fā)生是指：當且僅當其所包含的基本事件中有一個發(fā)生.如：A2、A4、A6中某-個發(fā)生，“偶數(shù)點”就發(fā)生.例2連續(xù)投擲一枚硬幣，直到出現(xiàn)正面為止。若用“0”表示出現(xiàn)反面，“1”表示出現(xiàn)正面來記錄每次投擲的結果，則這個試驗的可能結果有：1=“1”（第一次出現(xiàn)正面）2=“01”（第一次出現(xiàn)反面，第二次出現(xiàn)正面）…n=“0…01”(前n-1次出現(xiàn)反面，第n次才出現(xiàn)正面)…這個試驗有無窮多個可能結果，樣本空間Ω={1

,2…,n…}.概率Chapter1-12023/3/292023/3/29概率Chapter1-117例3

設試驗E為從10件產(chǎn)品中任取3件,已知10件中含有2件次品,用Ai表示取到i件次品:

即Ai={i件次品},i=0,1,2

就是3個基本事件.例4擲一枚骰子，觀察其出現(xiàn)的點數(shù).定義A1={1},A2={2,3,4,5,6},A3={1,3,5},A4={2,4,6}.則{A1、A2}是樣本空間，{A3、A4}也是樣本空間;但是{A2、A3}不是樣本空間，{A1、A4}也不是樣本空間.5、序貫模型許多試驗本身具有序貫特征.序貫試驗:在進行下次試驗以前,已經(jīng)知道前面試驗的結果,這樣一次接著一次的抽樣試驗,即為序貫試驗.

如連續(xù)兩次拋擲一枚骰子，其樣本空間有兩種等價的表示方法，如下圖所示。左圖用二維格子點表示，右圖用序貫樹形圖表示。通常用序貫樹形(狀)圖來刻畫樣本空間中的試驗結果，優(yōu)點是可以表示試驗的順序特征

.在樹形圖中，從根部到末端的每一條路徑表示一個試驗結果.2023/3/29概率Chapter1-120例3將一枚均勻硬幣拋兩次.

用(正,反)表示第一次出現(xiàn)正面,第二次出現(xiàn)反面,則樣本空間

Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)};

用事件A表示第一次出現(xiàn)正面,則

A={(正,正),(正,反)};

用事件B表示兩次出現(xiàn)同一面,則

B={(正,正),(反,反)}.三、事件的關系和運算

隨機事件是樣本空間的子集，是某些試驗結果的集合.這些事件之間往往有一定的聯(lián)系，我們需要研究這些事件之間的關系并規(guī)定事件之間的運算.概率Chapter1-1

2023/3/291.事件的并（和）事件A與事件B至少有一個發(fā)生這一事件稱為A與B的和事件（或并事件），記為A+B或A∪B從集合角度，A∪B={ω|ω∈A或ω∈B}類似的，n個事件的和事件記為或表示這n個事件中至少有一個發(fā)生。2.事件的交（積）事件A與事件B同時發(fā)生這一事件稱為A與B的積事件（或交事件），記為或從集合角度看，類似的，n個事件的交事件記為或表示這n個事件同時發(fā)生.稱事件A不出現(xiàn)這一事件為A的對立事件（逆事件），記為.用集合表示，由定義可知，A也是的對立事件，即且顯然3.對立事件（逆事件）ΩA4.事件的差事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生這一事件稱為A與B的差事件，記為

.從集合角度，顯然ΩAB陰影部分是或5.事件的的包含與相等如果事件A發(fā)生必然導致事件B發(fā)生，則稱事件A包含于事件B或事件B包含事件A，記為或.意味著A是B的子集.顯然對于任何事件A，有如果且.則稱事件.ΩAB此處例如:考察某動物的年齡，事件A表示“存活3年的動物”，事件B表示“存活5年的動物”，問A和B的關系.如果用X表示這種動物的年齡，則事件A={X≥3}，B={X≥5}于是6.互不相容（互斥）事件如果事件A與事件B不能同時發(fā)生，則稱A與B是互不相容事件（或互斥事件）.從集合角度，A與B互不相容即.如果n個事件中任何兩個事件都互不相容，即則稱這n個事件互不相容.ΩABCA，B，C互不相交7.完備事件組（分割）如果n個事件互不相容，并且它們的和是必然事件，則稱這n個事件構成一個完備事件組（分割）.A和構成一個完備事件組.ΩABCA,B,C形成Ω的一個完備事件組（分割）總結集合稱為A的補集(對立事件),并集（和事件）交集（積事件）302023/3/29概率Chapter1-131四、

事件的運算性質

1)交換律AB=BAAB=BA2)結合律ABC=(AB)C=A(BC)ABC=(AB)C=A(BC)3)分配律(AB)C=（AC）（

BC）A(BC)=(AB)(AC)4)對偶律（摩根律）

5)其它一般情形2023/3/29概率Chapter1-132例4（對偶律的運用）事件Ak表示某射手第k次（k=1,2,3）擊中目標,用文字敘述下列事件：

A1+A2:A3-A2:同上.前兩次都未擊中目標同上后兩次至少有一次未擊中同上前兩次至少有一次擊中目標第三次擊中目標第二次未中.2023/3/29概率Chapter1-133例5（事件的關系表示）事件Ak表示第k次取到合格品（k=1，2，3）.試用符號表示下列事件：1、三次都取到了合格品,2、三次中至少有一次取到合格品.3、三次中恰有兩次取到合格品.4、三次中最多有一次取到合格品。解：1、

2、

3、

4、（至少有兩次未取到合格品）2023/3/29概率Chapter1-134

例6

解：Ω={1,2,3,4,5,6};A={1,3,5};B={1,2,3,4};C={2,4};A+B={1,2,3,4,5};A-B={5};AB={1,3};AC=φ;C-A={2,4};

擲一顆骰子的試驗，觀察出現(xiàn)的點數(shù)：事件A表示“奇數(shù)點”；B表示“點數(shù)小于5”；C表示“小于5的偶數(shù)點”.用集合的列舉法表示下列事件：例

（序貫樹形圖表示樣本空間）序貫樹形圖連續(xù)三次向同一目標射擊，用“1”表示擊中目標，用“0”表示未擊中目標，則樣本空間如圖

所示.表示第k次擊中目標，則A1A2={111,110,101,100,011,010}A1A2={111,110}

表示前兩次都擊中目標；“恰好有一次擊中目標”={100,010,001}.表示前兩次射擊中至少有一次擊中目標；參見例4若2023/3/29概率Chapter1-136例7

測定某種燈泡壽命t(以小時為單位)的試驗,試寫出樣本空間及事件A=“壽命大于1000小時”的集合表示.解:思考:該例題與前面的有何不同.能用列舉法嗎?1.2事件的概率一、概率的定義二、古典概型三、幾何概型四、概率的性質基本內(nèi)容概率Chapter1-22.1概率公理假定已經(jīng)確定了樣本空間以及與之相聯(lián)系的試驗，對于每一個事件A，我們確定一個實數(shù)P(A)來刻畫它發(fā)生的可能性的大小，稱為概率.概率是定義在事件（或集合）上的函數(shù)（通常稱為測度），必須滿足下面的幾條公理（1）(非負性)對一切事件A，滿足第二節(jié)事件的概率（2）(可加性)設A、B是兩個互不相容的事件,則它們的并集滿足P(AB)=P(A)+P(B)若A1、A2、…是一個互不相容的事件序列，則它們的并集滿足P(A1

A2…)=P(A1)+P(A2)+…（3）(歸一性)樣本空間Ω

(即必然事件)的概率為1,即P（Ω）=1概率模型的構成：樣本空間Ω:這是一個實驗的所有可能結果的集合；概率:概率給實驗結果的集合A（稱之為事件）確定一個非負數(shù)P(A)(稱為事件A的概率).這個非負數(shù)刻畫了我們對事件A的認識或所產(chǎn)生的信念的程度.概率必須滿足某些性質.39概率與頻率概率的更具體、更直觀的解釋是頻率.比如P(A)=2/3,表示在大量重復試驗中事件A出現(xiàn)的頻率大約是2/3.歷史上有人進行過投擲一枚硬幣的試驗，下表列出其結果：2023/3/29概率Chapter1-241(見教材p.6表)實驗者投擲次數(shù)N“正面向上”次數(shù)M頻率M/N蒲豐404020480.5069皮爾遜24000120120.5005維尼30000149940.4998該試驗表明，正面出現(xiàn)的頻率在0.5左右擺動.說明出現(xiàn)正面的概率是1/2.后面大數(shù)定律將重新討論這種解釋.該實驗的意義:概率的基本性質性質1不可能事件Φ的概率等于0，即P（Φ）=0證明:

由歸一性和可加性可知性質2對立事件的概率有證明:2023/3/29概率Chapter1-2性質3若A1、A2、…、An是n個互不相容的隨機事件，則它們的并集滿足P(A1

A2

…An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)證明:反復利用可加性即得.例1給擲一枚硬幣的試驗建立概率模型.解：擲一枚硬幣，有兩個可能的結果：正面和反面。若用表示正面，表示反面，則樣本空間為：。事件為：如果硬幣是均勻的，正面和反面出現(xiàn)的機會相同，這兩個結果出現(xiàn)的概率應該相同，即概率建模實例：由可加性和歸一性知由此可得：顯然，以上建立的概率滿足三條公理.2023/3/29概率Chapter1-345AAB例

假設A發(fā)生的概率為0.6,A與B都發(fā)生的概率為0.1,A與B都不發(fā)生的概率為0.15,求(1)A發(fā)生但B不發(fā)生的概率.(2)B發(fā)生但A不發(fā)生的概率.(3)A與B至少有一個發(fā)生的概率.B2023/3/29概率Chapter1-346例

AABB2023/3/29概率Chapter1-247二、古典概型設樣本空間由n個等可能的實驗結果組成，則對任意事件A，對應的概率P(A)可由下式計算：特點1.只有有限個樣本點；2.每個樣本點在試驗中出現(xiàn)的機會相等；依題意,這樣對于每一個事件A，可以按照下面方法計算概率：根據(jù)歸一性和可加性,有設它的樣本空間為例1.2.4(練習)連續(xù)兩次投擲一枚均勻的骰子有36個等可能的結果，每個結果出現(xiàn)的概率為1/36.計算下面幾個事件的概率：P({兩次點數(shù)之和為偶數(shù)})=P({兩次點數(shù)之和為奇數(shù)})=P({兩次點數(shù)相同})=P({第一次點數(shù)比第二次點數(shù)大}=P({有一次點數(shù)為6})=P({只有一次點數(shù)為6})=P({最大點數(shù)為3})=概率Chapter1-22023/3/29求n個人（n<365）中至少有兩個人同生日的概率.解：基本事件的總數(shù)為設A表示“至少有兩個人的生日在同一天”，則表示“任何兩個人的生日都不在同一天，包含個基本事件于是，下面是給出n的數(shù)值，得到的一些具體結果：n203040506070800.4110.7060.8910.9700.9940.9990.9999例例1.2.6（抽簽的合理性）設有n個人訂了n張電影票,其中有k張甲級票.現(xiàn)讓這n個人依次各抽一張，試證明每個人抽得甲級票的概率均為k/n,與抽取的先后次序無關.證明：n個人各抽一張，相當于將n張票全排列，故基本事件總數(shù)為n!.設事件Am={第m個人抽到甲級票}（m=1,2,…,n）,則Am中包含的基本事件數(shù)為于是可見,與抽取次序m無關.2023/3/29概率Chapter1-22023/3/29概率Chapter1-251

有三個打字員為四個科室服務,如果四個科室各有一份文件要打字,且各科室對打字員的選擇是隨機的,試求:(1)四個科室把任務交給同一個打字員的概率;(2)每個打字員都有任務的概率.解:補例(選擇問題)2023/3/29概率Chapter1-252解:2023/3/29概率Chapter1-253例（組合數(shù)與排列數(shù)）

假設有100件產(chǎn)品，其中有40件一等品，60件二等品.從中任取3件,按下列抽取方法，求事件A=“有兩件一等品，一件二等品”的概率.(1)(有放回抽樣)每次取一件，測試后放回，再抽取下一件；(2)(不放回抽樣)每次取一件，測試后不放回，在剩下的產(chǎn)品中抽取下一件.解:

練習2023/3/29概率Chapter1-2(2)分為兩種情形:兩者結果相同組合問題排列問題三、幾何概型如果試驗的樣本空間是一個連續(xù)的集合（直線上的區(qū)間，或者平面、空間上的一個區(qū)域），并且每個樣本點在試驗中出現(xiàn)的機會相等，我們稱為幾何概型。當樣本空間是一個連續(xù)的集合時，其概率的定義與樣本空間離散的情況有很大的區(qū)別。在離散的情況下，事件的概率可以由基本事件的概率確定，連續(xù)的情況卻不能.見下例.例8設公共汽車每5分鐘一班，求乘客在車站等車時間不超過3分鐘的概率（停車時間忽略不計）。分析:由于公共汽車5分鐘一班,故乘客的等車時間是0~5中間的一個數(shù).因此樣本空間而乘客到達車站的時間是隨機的，我們可以認為[0,5]中的每一個時刻在等車時出現(xiàn)的可能性是相等的。這樣，我們考慮一個單點在試驗中出現(xiàn)的可能性。

實際上，必然有即等車時間恰好等于某一時刻的概率為0.否則的話，假設單點出現(xiàn)的概率為正，即根據(jù)等可能性,我們可以找到無限多個這樣的點其中設事件根據(jù)可加性，對足夠大的n，有與歸一性矛盾.對于幾何概型，我們可以按照下面的公式計算事件的概率：這里的“測度”指長度、面積、體積等.例如上例中，設B表示“等車時間不超過3分鐘”，則B=[0,3],而于是四、概率的性質性質1若則且證明:因為所以B是兩個不相容事件的并：利用可加性公理得再利用非負性公理得從證明過程容易看出，如果則性質2（加法公式）證明：由圖所示,可將事件和B分解成不相容的事件之和：利用可加性公理，得到兩式相減后移項合并根據(jù)性質2和非負性公理，很容易得到：加法公式可以推廣到n(n>2)個事件的情形（稱為容斥原理）.例如對于三個事件A、B、C，反復利用性質2可以得到：即加奇減偶定理性質3證明：由圖所示,可以分解成三個互不相容的事件的并集：重復利用可加性公理即可證得。例將一部5卷的文集任意排在書架上，求第一卷排在左端或第五卷排在右端的概率.解：樣本空間中基本事件的總數(shù)為5！.設A=“第一卷在左端”，B=“第五卷在右端”，則AB表示“第一卷排在左端或第五卷排在右端”；AB表示“第一卷排在左端且第五卷排在右端”.事件A中基本事件的總數(shù)為4！，事件B中基本事件的總數(shù)也為4！，事件AB中基本事件的總數(shù)為3!，故2023/3/29概率Chapter1-364試證:對任意兩事件A、B，有證明：由對偶律，

例2023/3/29概率Chapter1365例

設某單位訂有甲乙丙三種報紙,據(jù)估計,該單位職工中,有20%讀甲報,16%讀乙報,14%讀丙報;其中8%兼讀甲乙報,5%兼讀甲丙報,4%兼讀乙丙報;又有2%兼讀三種報,求該單位職工至少讀一種報紙的概率.2023/3/29概率Chapter1-366解:設A1=“讀甲報”,A2=“讀乙報”,A3=“讀丙報”,則A1A2=“兼讀甲乙報”,A1A3=“兼讀甲丙報”,A2A3=“兼讀乙丙報”,A1A2A3=“兼讀甲乙丙報”,所以P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)-P(A1A3)`-P(A2A3)+P(A1A2A3)=0.2+0.16+0.14-0.08-0.05-0.04+0.02=0.352023/3/29概率Chapter1-467第三節(jié)條件概率

3.1條件概率的定義條件概率是在給定部分信息的基礎上對試驗結果的一種推斷.例如：（a）在擲骰子的試驗中，已知出現(xiàn)的點數(shù)是偶數(shù)，求擲出的點數(shù)為6的概率.（b）十張電影票,其中四張甲級票,問第五個人抽到甲級票的概率是多大;若已知前四人已抽到了甲級票,問第五個人抽到甲級票的概率是多大?2023/3/29概率Chapter1-468一條件概率

確切的說，對于一個試驗、與這個試驗對應的樣本空間和概率，假定我們已經(jīng)知道給定的事件B發(fā)生了，希望知道另一個事件A發(fā)生的概率.這個概率就是給定B發(fā)生之下事件A的條件概率，記作P(A|B)或PB(A).讀作在事件B下，事件A的條件概率.也可稱為A對B的條件概率.作為練習,同學們可以考慮一下上述問題的答案.現(xiàn)補充下例.2023/3/29概率Chapter1-469例1設有10件樣品,分別編以號碼0,1,2,…,9,任意抽取1件樣品,如果令B=“取到號碼為偶數(shù)的樣品”,A1=“取到號碼為1的樣品”,A2=“取到號碼為2的樣品”,A3=“取到號碼為大于7的樣品”,求P(A1),P(A2),P(A3),P(A1|B),P(A2|B),P(A3|B),解:由概率的古典定義:在事件B發(fā)生的條件下,A1包含基本事件個數(shù)為0同理考慮:條件概率與無條件概率比較數(shù)量大小的結論.2023/3/29概率Chapter1-470

一批產(chǎn)品100件，有80件正品，20件次品，其中甲生產(chǎn)的為60件，有50件正品，10件次品，余下的40件均由乙生產(chǎn)?，F(xiàn)從該批產(chǎn)品中任取一件，記A=“正品”,B=“甲生產(chǎn)的產(chǎn)品”,寫出概率P(A)、P(B)、P(AB)、P(B|A)、P（A|B）。

例(補充)解：由古典概型計算公式

P（A）=80/100=0.8,P（B）=60/100=0.6P（AB）=50/100=0.5又因A發(fā)生的條件下，基本事件總數(shù)為80個，

B含其中50個，因此P(B|A)=50/80=0.625，同理,P(A|B)=50/60=0.83.注意:條件概率與無條件概率的異同點.條件概率的定義:設A，B是兩個事件，且P(B)>0，稱為在事件B下，事件A的條件概率.如果P(B)=0，相應的條件概率沒有定義.1、由于

即條件概率完全集中在B上，故我們可以將事件B以外的結果排除掉，并把B看成新的樣本空間。2、如果P(A)>0,條件概率的定義也可以寫成3、對于給定的事件B,條件概率滿足概率的3條公理.注例如:設和是任意兩個不相容的事件,則：

例1在連續(xù)三次拋擲一個兩面均勻的硬幣的試驗中，求：(1)第一次拋得正面，正面出現(xiàn)的次數(shù)多于反面出現(xiàn)的次數(shù)的概率；(2)已知第一次拋得正面，求正面出現(xiàn)的次數(shù)多于反面出現(xiàn)的次數(shù)的概率。解：用“1”表示出現(xiàn)正面，用“0”表示出現(xiàn)反面，則該試驗的樣本空間為

用A表示“正面出現(xiàn)的次數(shù)多于反面出現(xiàn)的次數(shù)”，B表示“第一次拋得正面”，則(1)由于事件“第一次拋得正面，正面出現(xiàn)的次數(shù)多于反面出現(xiàn)的次數(shù)”可表示為而故(2)已知第一次拋得正面，求正面出現(xiàn)的次數(shù)多于反面出現(xiàn)的次數(shù)的概率為：而故注：也可以直接用和中的基本事件數(shù)直接計算例2十個人中有4個女生，從中任挑兩名，若已知兩人中有一人是女生，求另一人也是女生的概率。解：所求概率為：故：練習某動物活到10歲的概率為0.7，活到12歲的概率為0.56，求現(xiàn)在年齡為10歲的這種動物活到12歲的概率。解：設x表示動物的存活時間，則：P(x>10)=0.7,P(x>12)=0.56于是：總結1、條件概率的定義2、條件概率的應用二、乘法公式根據(jù)條件概率的定義，立即可以得到下面公式：如果P(B)>0，則如果P(A)>0，則在應用乘法公式時，通常要為試驗建立具有序貫特征的概率模型，然后通過確定條件概率計算無條件概率。例4發(fā)報臺分別以0.6和0.4的概率發(fā)出信號“1”和“0”。由于通信系統(tǒng)受到干擾，當發(fā)出“1”時，收報臺分別以概率0.8及0.2收到信息“1”及“0”；當發(fā)出信號“0”時，收報臺以概率0.9和0.1收到“0”及“1”。求發(fā)出“1”而收到“0”的概率有多大？發(fā)出“0”而收到“1”的概率是多少？解：記A={發(fā)出“1”}，B={收到“1”}，則它們的補集為樣本空間可以用序貫樹形圖表示:所求概率為:P(發(fā)出“1”，收到“0”)P(發(fā)出“0”，收到“1”)對于三個事件A，B，C，P(ABC)=P(A)P(BC|A),而P(BC|A)=P(B|A)P(C|AB),所以證明：右端更一般的有如下的乘法規(guī)則：乘法規(guī)則：設為n個事件，且則有證明：由恒等式利用條件概率的定義，上式右端就變?yōu)椋豪?

一批零件共100件,其中次品10件,每次任取一件,無放回地取三次,求“第一、二次取到次品,第三次取到正品”的概率.解：用樹狀圖及乘法規(guī)則進行計算：定義{第i次取到次品}i=1,2,3則{第i次抽到正品}，i=1,2,3利用乘法規(guī)則次品次品正品次品正品正品而故：注：本題也可以按照古典概型的方法直接計算.次品次品正品次品正品正品例6假設在空戰(zhàn)中，若甲機先向乙機開火，則擊落乙機的概率為0.2，若乙機未被擊落，就進行還擊，擊落甲機的概率為0.3；若甲機亦未被擊落，再次進攻乙機，擊落乙機的概率為0.4，在這幾個回合中，分別計算甲、乙被擊落的概率.解：樣本空間用樹狀圖表示：擊落乙0.2未擊落乙0.8擊落甲0.3未擊落甲0.7未擊落乙0.6擊落乙0.4設則設A={甲擊落乙}，B={乙擊落甲}，顯然擊落乙0.2未擊落乙0.8擊落甲0.3未擊落甲0.7未擊落乙0.6擊落乙0.4例7一個班有4個研究生和12個本科生組成，隨機的將這16個人分成4個4人組，問每一個組分得一個研究生的概率有多大？解：可以將分組問題看做隨機選位子：(s1,s2,s3,s4看做第一組，s5,s6,s7,s8看做第二組,等等)每個人等可能的選任意一個位子.設四個研究生的代號為1,2,3,4.考慮事件：{學生1和2分在不同的組}{學生1,2和3分在不同的組}{學生1,2,3和4分在不同的組}學生1選定位置后，學生2與學生1不同組的可能性為學生1,2不同組后，學生3與學生1,2不同組的可能性為同理所求概率為：學生1和2分在不同的組12/15學生1,2和3分在不同的組8/14學生1,2,3和4分在不同的組4/132023/3/29概率Chapter1-690

4.1全概率公式例1一個袋內(nèi)裝有10個球，其中有4個白球，6個黑球，采取不放回抽樣，每次任取一個，求第二次取到白球的概率。解：設A=“第一次取到白球”，B=“第二次取到白球”第四節(jié)

全概率公式及貝葉斯公式(復習完備事件組:)2023/3/29概率Chapter1-691例(補充)

例1中的10個球，若改為3個白球，2個黑球，5個紅球，取法不變，求第二次取到白球的概率.解;設A1＝“第一次取到白球”，A2＝“第一次取到黑球”，

A3＝“第一次取到紅球”.B=“第二次取到白球”顯然，A1、A2、A3構成一個完備事件組，有B=(A1+A2+A3)B=A1B+A2B+A3BA1B，A2B，A3B互不相容，由概率的可加性及乘法公式，有2023/3/29概率Chapter1-692（全概率定理）

如果事件A1，A2，…An構成一個完備事件組，且都具有正概率，則對任意事件B，有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An)全概率公式證∵B=BΩ=B(A1+A2+…+An)=A1B+A2B+…+AnB∴P(B)=P(A1B+A2B+…+AnB)=P(A1B)+P(A2B)+…+P(AnB)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An).注：1、完備事件組不是必要條件.2、對于可列個事件也成立.2023/3/29概率Chapter1-693例2

某廠的一批產(chǎn)品,由甲、乙、丙三名工人生產(chǎn),其產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的25%、35%、40%,若已知他們的次品率依次為5%、4%、2%,現(xiàn)在從這批產(chǎn)品中任意抽取一件,求這一件是次品的概率(即這批產(chǎn)品的次品率).

由全概率公式得:

解:設B=“抽取一件是次品”

A1=“甲工人生產(chǎn)的產(chǎn)品”;A2=“乙工人生產(chǎn)的產(chǎn)品”

A3=“丙工人生產(chǎn)的產(chǎn)品”;則A1、A2、A3構成完備事件組,P(A1)=0.25,P(A2)=0.35,P(A3)=0.40P(B|A1)=0.05,P(B|A2)=0.04,P(B|A3)=0.022023/3/29概率Chapter1-694二、貝葉斯公式

如果事件A1,A2,…,An構成一個完備事件組,且都具有正概率,則對任一概率不為零的事件B,有注:P(Am)稱為先驗概率，P(Am|B)稱為后驗概率。2023/3/29概率Chapter1-695例3

在例2條件下，若從這批產(chǎn)品中任取一件，經(jīng)檢驗得知是次品，問這件次品是哪一名工人生產(chǎn)的可能性最大。解：可見,次品是乙工人生產(chǎn)的可能性最大.2023/3/29概率Chapter1-696例4

M地為甲種疾病多發(fā)區(qū)，該地共有南、北、中三個行政小區(qū)，其人口比例為9：7：4。據(jù)統(tǒng)計資料，甲種疾病在該地區(qū)三個小區(qū)內(nèi)的發(fā)病率依次為4‰，2‰，5‰，試求出M地甲種疾病的發(fā)病率。解：設Ai＝“第i個小區(qū)內(nèi)的人”，i=1，2，3B＝“M地的人得病”，則A1、A2、A3構成完備事件組,由全概率公式2023/3/29概率Chapter1-697例5

用某種檢驗方法，對甲種疾病的漏查率為5％，誤診率為1％。若在一次普查中，某人經(jīng)此檢驗查為患甲種病，求該人確實患有甲種病的概率。解：設B=“患甲種病”，C=“經(jīng)檢驗認為患甲種病”則2023/3/29概率Chapter1-698注（1）全概率公式用來求較復雜事件的概率。所謂復雜，是因為它的發(fā)生是有若干個原因或來源。用全概率公式的關鍵，就是要找到一個完備事件組，往往就從這些原因或來源中來找。（2）貝葉斯公式用來求后驗概率。后驗概率P(Am|B)是相對于先驗概率P(Am)來說的。P(Am)是試驗前根據(jù)以往經(jīng)驗確定的一種假設概率，P(Am|B)是在獲知事件B已經(jīng)發(fā)生這一信息之后，事件Am發(fā)生的條件概率。2023/3/29概率Chapter1-699結果原因1原因2原因n完備事件組A1A2AnB完備事件組的選取示意圖1.5事件的獨立性一、兩個事件的獨立性二、多個事件的獨立性三、可靠性2023/3/29概率Chapter1-4101

一個袋內(nèi)裝有20個球，其中完全涂成紅色的球3個，簡稱全紅球，全黃全黑全白色的球分別有6個、5個和4個，另外還有2個是涂有紅、黃、黑、白四色的彩球，從中任取一球，記事件A、B、C、D分別表示取到的球上涂有紅色、黃色、黑色、白色。求P(A),P(B),P(C),P(D),P(A|B),P(A|C),P(A|D).引例(補充)解：P(A)＝5/20=0.25,P(B)=8/20=0.4,P(C)=7/20=0.35,P(D)=6/20=0.3,P(A|B)=2/8=0.25,P(A|C)=2/7=0.29,P(A|D)=2/6=0.332654一、兩個事件的獨立性條件概率P(A|B)刻畫了事件B的發(fā)生給事件A帶來的信息.其中,一種情況是事件B的發(fā)生并沒有給事件A帶來新的信息，沒有改變事件A發(fā)生的概率，即：此時，我們稱事件A獨立于事件B.例：某班50名學生，女生20名。第一組10名，其中4名女生。從中任選一名，A=“學生是第一組”，B=“女學生”，問事件A、B是否獨立？分析：顯然故A，B獨立。注：若第一組的女生數(shù)量發(fā)生改變，比如有5名女生，則

A、B不獨立。根據(jù)條件概率的定義如果有等價于：（2）式是事件A和事件B的正式定義，因為：a）與(1)式相比,(2)式包含了P(B)=0的情況.b）在(2)式中A和B具有對稱的地位，因此可以稱A和B是相互獨立的，或A和B是相互獨立的事件.下面給出有關定義.定義：設A、B是兩個事件，如果滿足等式則稱事件A，B相互獨立，簡稱獨立.人們往往容易從直觀判定獨立性。例如，在兩個不同的且沒有相互作用的物理過程控制下發(fā)生的兩個事件，我們可以判定它們相互獨立。如果甲乙兩人向同一目標各射一次，我們通常認為“甲擊中”和“乙擊中”是相互獨立的.但是,樣本空間中的事件的獨立性往往不能直觀的看出來.(注意:與事件的互斥性區(qū)分.)如果兩個事件互不相容，是否可以判定它們相互獨立？通常認為它們是相互獨立.而事實上恰好相反，若事件A和事件B互不相容，且P(A)>0,P(B)>0,則事件A和事件B不可能相互獨立。因為從而例如事件A和事件如果事件A發(fā)生，就可以確切的告訴我們事件不會發(fā)生，事件A發(fā)生與否確實給的發(fā)生與否帶來了信息.

例1連續(xù)兩次扔一枚均勻的骰子,有36種可能的實驗結果是等概率的每個實驗結果的概率為1/36.

(1)事件

是否獨立?直觀上是獨立的解：

由于可知是相互獨立的.

(2)事件是否獨立?直觀上不明顯.解：B={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)},因為P(AB)=P(A)P(B),故A,B獨立.(3)事件A={最大數(shù)是2},B={最小數(shù)是2}是否獨立？直觀上不獨立，因為最小數(shù)蘊含最大數(shù)的信息，如最小數(shù)是2，最大數(shù)不可能是1.證：故他們不獨立.2023/3/29概率Chapter1-4111推論設A與B為兩事件，都具有正概率,則下列四對事件：由定義可知，命題成立。二、多個事件的獨立性定義:設為n個事件.若對任