概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章序考研內(nèi)容高等數(shù)學(xué)(50%)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(25%)線性代數(shù)(25%)3/29/202322023/3/29概率Chapter1-13第一部分是概率論基礎(chǔ)，包括第一、二、三、四、五章.

第二部分是數(shù)理統(tǒng)計(jì)初步,包括第六、七、八、九章.第一章介紹概率論最基本的概念；第二章引進(jìn)隨機(jī)變量的概念，并用分布函數(shù)描述它；第三章介紹隨機(jī)向量；第四章介紹隨機(jī)變量的數(shù)字特征；第五章介紹大數(shù)定律與中心極限定理.第六章主要介紹數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念；第七章和第八章分別介紹統(tǒng)計(jì)推斷的兩項(xiàng)主要內(nèi)容－－參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)；第九章介紹具有回歸關(guān)系的隨機(jī)變量如何建立數(shù)學(xué)模型.

本教材的主要內(nèi)容本書分為兩個(gè)部分:三、全概率公式四、貝葉斯公式二、乘法公式

一、加法公式2023/3/29概率Chapter1-15

引言?概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)?的研究對(duì)象在自然界中常見到兩類不同性質(zhì)的現(xiàn)象:

確定性現(xiàn)象：可以根據(jù)其賴以存在的條件，事先準(zhǔn)確的判定它們未來的結(jié)果的現(xiàn)象.如:在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100度就會(huì)沸騰.每天，太陽從東方升起.第一章隨機(jī)事件及概率2023/3/29概率Chapter1-16

隨機(jī)現(xiàn)象：就某一現(xiàn)象而言，在條件相同的一系列重復(fù)觀察中，會(huì)時(shí)而出現(xiàn)時(shí)而不出現(xiàn)，呈現(xiàn)出不確定性，且在每次觀察之前不能準(zhǔn)確預(yù)料其是否會(huì)出現(xiàn)。如：抽樣檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量的結(jié)果;

保險(xiǎn)公司的年賠償金額;

擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù);拋擲硬幣哪面向上等.2023/3/29概率Chapter1-17隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性

比如剛才提到的例子，在桌面上投擲一枚硬幣，可能正面向上，也可能反面向上，在投擲之前不能斷言一定哪一面向上。這顯然是隨機(jī)現(xiàn)象。

但是如果大量拋擲硬幣，會(huì)發(fā)現(xiàn)正面出現(xiàn)的次數(shù)與拋擲的次數(shù)之比－－我們稱之為正面出現(xiàn)的頻率－－在常數(shù)0.5附近擺動(dòng)。2023/3/29概率Chapter1-18隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性(續(xù))

再比如，在桌面上投擲一顆骰子，可能1點(diǎn)向上，也可能2點(diǎn)向上，……,在投擲之前不能斷言一定哪一個(gè)數(shù)字向上。這顯然是隨機(jī)現(xiàn)象。

如果重復(fù)拋擲，會(huì)發(fā)現(xiàn)骰子某點(diǎn)出現(xiàn)的次數(shù)與拋擲的總次數(shù)之比－－我們稱之為某點(diǎn)出現(xiàn)的頻率－－在一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)。

思考:常數(shù)是幾?答案:常數(shù)是1/6.2023/3/29概率Chapter1-19

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”是研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。

隨機(jī)現(xiàn)象有其偶然性一面，也有其必然性一面，這種必然性表現(xiàn)在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察中,隨機(jī)現(xiàn)象所呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性，稱為隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.如圖是常用的柱狀圖2023/3/29概率Chapter1-110第一節(jié)隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間及隨機(jī)事件第二節(jié)事件的概率第三節(jié)條件概率第四節(jié)全概率公式與貝葉斯公式第五節(jié)事件的獨(dú)立性第六節(jié)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)和二項(xiàng)概率第一章

基本內(nèi)容四大公式1.1隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間和隨機(jī)事件一、隨機(jī)試驗(yàn)二、樣本空間和隨機(jī)事件三、事件的關(guān)系和運(yùn)算四、事件的運(yùn)算性質(zhì)基本內(nèi)容2023/3/29概率Chapter1-112一、先給出隨機(jī)試驗(yàn)的概念.試驗(yàn):對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀察過程通常稱為隨機(jī)試驗(yàn).簡稱試驗(yàn).用字母E表示.試驗(yàn)的三個(gè)特性：A、重復(fù)性:試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行.B、隨機(jī)性:每次結(jié)果不止一個(gè),進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定究竟哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).C、明確性:能夠明確指出試驗(yàn)的所有可能結(jié)果.第一節(jié)隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間及隨機(jī)事件2023/3/29概率Chapter1-113

二、樣本空間和隨機(jī)事件

隨機(jī)試驗(yàn)中每個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果都叫做樣本點(diǎn)(用表示)

；全體樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合叫樣本空間(用

表示)；樣本空間的子集,即某些實(shí)驗(yàn)結(jié)果的集合,稱為隨機(jī)事件.簡稱事件.事件一般用大寫字母A、B、C等表示,必要時(shí)可加下標(biāo).如:擲一枚硬幣,A=“正面向上”;袋中有紅,黃,綠色球各一個(gè).任取一球.則

A1=“取出紅球”；

A2=“取出黃球”；

A3=“取出綠球”.1、基本概念有時(shí)一次完整的試驗(yàn)可有若干個(gè)步驟組成.如:連續(xù)拋擲三次硬幣.2023/3/29概率Chapter1-114隨機(jī)事件的有關(guān)概念:由定義,樣本空間本身和它的補(bǔ)集都可以作為事件.稱為必然事件,

稱為不可能事件.如果某個(gè)事件只包含一個(gè)樣本點(diǎn)，即單點(diǎn)集合稱為基本事件.

即有如下分類:基本事件：試驗(yàn)E的每一個(gè)基本結(jié)果{}.

復(fù)合事件（組合事件）：由兩個(gè)或兩個(gè)以上基本事件組合而成的事件{1

,2…,n}.必然事件：每次試驗(yàn)中一定出現(xiàn)的事件.用Ω表示.不可能事件：每次試驗(yàn)中一定不出現(xiàn)的事件.

用表示.2023/3/29概率Chapter1-115例1設(shè)試驗(yàn)E為擲一顆骰子,觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)：An=“出現(xiàn)n點(diǎn)”。n=1，2，3，4，5，6.A1、A2、A3、A4、A5、A6是基本事件；A=“偶數(shù)點(diǎn)”是復(fù)合事件；B=“點(diǎn)數(shù)小于5”也是復(fù)合事件；“點(diǎn)數(shù)不大于6”是必然事件；“點(diǎn)數(shù)大于6”是不可能事件.注：復(fù)合事件發(fā)生是指：當(dāng)且僅當(dāng)其所包含的基本事件中有一個(gè)發(fā)生.如：A2、A4、A6中某-個(gè)發(fā)生，“偶數(shù)點(diǎn)”就發(fā)生.例2連續(xù)投擲一枚硬幣，直到出現(xiàn)正面為止。若用“0”表示出現(xiàn)反面，“1”表示出現(xiàn)正面來記錄每次投擲的結(jié)果，則這個(gè)試驗(yàn)的可能結(jié)果有：1=“1”（第一次出現(xiàn)正面）2=“01”（第一次出現(xiàn)反面，第二次出現(xiàn)正面）…n=“0…01”(前n-1次出現(xiàn)反面，第n次才出現(xiàn)正面)…這個(gè)試驗(yàn)有無窮多個(gè)可能結(jié)果，樣本空間Ω={1

,2…,n…}.概率Chapter1-12023/3/292023/3/29概率Chapter1-117例3

設(shè)試驗(yàn)E為從10件產(chǎn)品中任取3件,已知10件中含有2件次品,用Ai表示取到i件次品:

即Ai={i件次品},i=0,1,2

就是3個(gè)基本事件.例4擲一枚骰子，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).定義A1={1},A2={2,3,4,5,6},A3={1,3,5},A4={2,4,6}.則{A1、A2}是樣本空間，{A3、A4}也是樣本空間;但是{A2、A3}不是樣本空間，{A1、A4}也不是樣本空間.5、序貫?zāi)Ｐ驮S多試驗(yàn)本身具有序貫特征.序貫試驗(yàn):在進(jìn)行下次試驗(yàn)以前,已經(jīng)知道前面試驗(yàn)的結(jié)果,這樣一次接著一次的抽樣試驗(yàn),即為序貫試驗(yàn).

如連續(xù)兩次拋擲一枚骰子，其樣本空間有兩種等價(jià)的表示方法，如下圖所示。左圖用二維格子點(diǎn)表示，右圖用序貫樹形圖表示。通常用序貫樹形(狀)圖來刻畫樣本空間中的試驗(yàn)結(jié)果，優(yōu)點(diǎn)是可以表示試驗(yàn)的順序特征

.在樹形圖中，從根部到末端的每一條路徑表示一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果.2023/3/29概率Chapter1-120例3將一枚均勻硬幣拋兩次.

用(正,反)表示第一次出現(xiàn)正面,第二次出現(xiàn)反面,則樣本空間

Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)};

用事件A表示第一次出現(xiàn)正面,則

A={(正,正),(正,反)};

用事件B表示兩次出現(xiàn)同一面,則

B={(正,正),(反,反)}.三、事件的關(guān)系和運(yùn)算

隨機(jī)事件是樣本空間的子集，是某些試驗(yàn)結(jié)果的集合.這些事件之間往往有一定的聯(lián)系，我們需要研究這些事件之間的關(guān)系并規(guī)定事件之間的運(yùn)算.概率Chapter1-1

2023/3/291.事件的并（和）事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生這一事件稱為A與B的和事件（或并事件），記為A+B或A∪B從集合角度，A∪B={ω|ω∈A或ω∈B}類似的，n個(gè)事件的和事件記為或表示這n個(gè)事件中至少有一個(gè)發(fā)生。2.事件的交（積）事件A與事件B同時(shí)發(fā)生這一事件稱為A與B的積事件（或交事件），記為或從集合角度看，類似的，n個(gè)事件的交事件記為或表示這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生.稱事件A不出現(xiàn)這一事件為A的對(duì)立事件（逆事件），記為.用集合表示，由定義可知，A也是的對(duì)立事件，即且顯然3.對(duì)立事件（逆事件）ΩA4.事件的差事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生這一事件稱為A與B的差事件，記為

.從集合角度，顯然ΩAB陰影部分是或5.事件的的包含與相等如果事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱事件A包含于事件B或事件B包含事件A，記為或.意味著A是B的子集.顯然對(duì)于任何事件A，有如果且.則稱事件.ΩAB此處例如:考察某動(dòng)物的年齡，事件A表示“存活3年的動(dòng)物”，事件B表示“存活5年的動(dòng)物”，問A和B的關(guān)系.如果用X表示這種動(dòng)物的年齡，則事件A={X≥3}，B={X≥5}于是6.互不相容（互斥）事件如果事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，則稱A與B是互不相容事件（或互斥事件）.從集合角度，A與B互不相容即.如果n個(gè)事件中任何兩個(gè)事件都互不相容，即則稱這n個(gè)事件互不相容.ΩABCA，B，C互不相交7.完備事件組（分割）如果n個(gè)事件互不相容，并且它們的和是必然事件，則稱這n個(gè)事件構(gòu)成一個(gè)完備事件組（分割）.A和構(gòu)成一個(gè)完備事件組.ΩABCA,B,C形成Ω的一個(gè)完備事件組（分割）總結(jié)集合稱為A的補(bǔ)集(對(duì)立事件),并集（和事件）交集（積事件）302023/3/29概率Chapter1-131四、

事件的運(yùn)算性質(zhì)

1)交換律AB=BAAB=BA2)結(jié)合律ABC=(AB)C=A(BC)ABC=(AB)C=A(BC)3)分配律(AB)C=（AC）（

BC）A(BC)=(AB)(AC)4)對(duì)偶律（摩根律）

5)其它一般情形2023/3/29概率Chapter1-132例4（對(duì)偶律的運(yùn)用）事件Ak表示某射手第k次（k=1,2,3）擊中目標(biāo),用文字?jǐn)⑹鱿铝惺录?/p>

A1+A2:A3-A2:同上.前兩次都未擊中目標(biāo)同上后兩次至少有一次未擊中同上前兩次至少有一次擊中目標(biāo)第三次擊中目標(biāo)第二次未中.2023/3/29概率Chapter1-133例5（事件的關(guān)系表示）事件Ak表示第k次取到合格品（k=1，2，3）.試用符號(hào)表示下列事件：1、三次都取到了合格品,2、三次中至少有一次取到合格品.3、三次中恰有兩次取到合格品.4、三次中最多有一次取到合格品。解：1、

2、

3、

4、（至少有兩次未取到合格品）2023/3/29概率Chapter1-134

例6

解：Ω={1,2,3,4,5,6};A={1,3,5};B={1,2,3,4};C={2,4};A+B={1,2,3,4,5};A-B={5};AB={1,3};AC=φ;C-A={2,4};

擲一顆骰子的試驗(yàn)，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)：事件A表示“奇數(shù)點(diǎn)”；B表示“點(diǎn)數(shù)小于5”；C表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)”.用集合的列舉法表示下列事件：例

（序貫樹形圖表示樣本空間）序貫樹形圖連續(xù)三次向同一目標(biāo)射擊，用“1”表示擊中目標(biāo)，用“0”表示未擊中目標(biāo)，則樣本空間如圖

所示.表示第k次擊中目標(biāo)，則A1A2={111,110,101,100,011,010}A1A2={111,110}

表示前兩次都擊中目標(biāo)；“恰好有一次擊中目標(biāo)”={100,010,001}.表示前兩次射擊中至少有一次擊中目標(biāo)；參見例4若2023/3/29概率Chapter1-136例7

測(cè)定某種燈泡壽命t(以小時(shí)為單位)的試驗(yàn),試寫出樣本空間及事件A=“壽命大于1000小時(shí)”的集合表示.解:思考:該例題與前面的有何不同.能用列舉法嗎?1.2事件的概率一、概率的定義二、古典概型三、幾何概型四、概率的性質(zhì)基本內(nèi)容概率Chapter1-22.1概率公理假定已經(jīng)確定了樣本空間以及與之相聯(lián)系的試驗(yàn)，對(duì)于每一個(gè)事件A，我們確定一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)來刻畫它發(fā)生的可能性的大小，稱為概率.概率是定義在事件（或集合）上的函數(shù)（通常稱為測(cè)度），必須滿足下面的幾條公理（1）(非負(fù)性)對(duì)一切事件A，滿足第二節(jié)事件的概率（2）(可加性)設(shè)A、B是兩個(gè)互不相容的事件,則它們的并集滿足P(AB)=P(A)+P(B)若A1、A2、…是一個(gè)互不相容的事件序列，則它們的并集滿足P(A1

A2…)=P(A1)+P(A2)+…（3）(歸一性)樣本空間Ω

(即必然事件)的概率為1,即P（Ω）=1概率模型的構(gòu)成：樣本空間Ω:這是一個(gè)實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果的集合；概率:概率給實(shí)驗(yàn)結(jié)果的集合A（稱之為事件）確定一個(gè)非負(fù)數(shù)P(A)(稱為事件A的概率).這個(gè)非負(fù)數(shù)刻畫了我們對(duì)事件A的認(rèn)識(shí)或所產(chǎn)生的信念的程度.概率必須滿足某些性質(zhì).39概率與頻率概率的更具體、更直觀的解釋是頻率.比如P(A)=2/3,表示在大量重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的頻率大約是2/3.歷史上有人進(jìn)行過投擲一枚硬幣的試驗(yàn)，下表列出其結(jié)果：2023/3/29概率Chapter1-241(見教材p.6表)實(shí)驗(yàn)者投擲次數(shù)N“正面向上”次數(shù)M頻率M/N蒲豐404020480.5069皮爾遜24000120120.5005維尼30000149940.4998該試驗(yàn)表明，正面出現(xiàn)的頻率在0.5左右擺動(dòng).說明出現(xiàn)正面的概率是1/2.后面大數(shù)定律將重新討論這種解釋.該實(shí)驗(yàn)的意義:概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1不可能事件Φ的概率等于0，即P（Φ）=0證明:

由歸一性和可加性可知性質(zhì)2對(duì)立事件的概率有證明:2023/3/29概率Chapter1-2性質(zhì)3若A1、A2、…、An是n個(gè)互不相容的隨機(jī)事件，則它們的并集滿足P(A1

A2

…An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)證明:反復(fù)利用可加性即得.例1給擲一枚硬幣的試驗(yàn)建立概率模型.解：擲一枚硬幣，有兩個(gè)可能的結(jié)果：正面和反面。若用表示正面，表示反面，則樣本空間為：。事件為：如果硬幣是均勻的，正面和反面出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相同，這兩個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的概率應(yīng)該相同，即概率建模實(shí)例：由可加性和歸一性知由此可得：顯然，以上建立的概率滿足三條公理.2023/3/29概率Chapter1-345AAB例

假設(shè)A發(fā)生的概率為0.6,A與B都發(fā)生的概率為0.1,A與B都不發(fā)生的概率為0.15,求(1)A發(fā)生但B不發(fā)生的概率.(2)B發(fā)生但A不發(fā)生的概率.(3)A與B至少有一個(gè)發(fā)生的概率.B2023/3/29概率Chapter1-346例

AABB2023/3/29概率Chapter1-247二、古典概型設(shè)樣本空間由n個(gè)等可能的實(shí)驗(yàn)結(jié)果組成，則對(duì)任意事件A，對(duì)應(yīng)的概率P(A)可由下式計(jì)算：特點(diǎn)1.只有有限個(gè)樣本點(diǎn)；2.每個(gè)樣本點(diǎn)在試驗(yàn)中出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等；依題意,這樣對(duì)于每一個(gè)事件A，可以按照下面方法計(jì)算概率：根據(jù)歸一性和可加性,有設(shè)它的樣本空間為例1.2.4(練習(xí))連續(xù)兩次投擲一枚均勻的骰子有36個(gè)等可能的結(jié)果，每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的概率為1/36.計(jì)算下面幾個(gè)事件的概率：P({兩次點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)})=P({兩次點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)})=P({兩次點(diǎn)數(shù)相同})=P({第一次點(diǎn)數(shù)比第二次點(diǎn)數(shù)大}=P({有一次點(diǎn)數(shù)為6})=P({只有一次點(diǎn)數(shù)為6})=P({最大點(diǎn)數(shù)為3})=概率Chapter1-22023/3/29求n個(gè)人（n<365）中至少有兩個(gè)人同生日的概率.解：基本事件的總數(shù)為設(shè)A表示“至少有兩個(gè)人的生日在同一天”，則表示“任何兩個(gè)人的生日都不在同一天，包含個(gè)基本事件于是，下面是給出n的數(shù)值，得到的一些具體結(jié)果：n203040506070800.4110.7060.8910.9700.9940.9990.9999例例1.2.6（抽簽的合理性）設(shè)有n個(gè)人訂了n張電影票,其中有k張甲級(jí)票.現(xiàn)讓這n個(gè)人依次各抽一張，試證明每個(gè)人抽得甲級(jí)票的概率均為k/n,與抽取的先后次序無關(guān).證明：n個(gè)人各抽一張，相當(dāng)于將n張票全排列，故基本事件總數(shù)為n!.設(shè)事件Am={第m個(gè)人抽到甲級(jí)票}（m=1,2,…,n）,則Am中包含的基本事件數(shù)為于是可見,與抽取次序m無關(guān).2023/3/29概率Chapter1-22023/3/29概率Chapter1-251

有三個(gè)打字員為四個(gè)科室服務(wù),如果四個(gè)科室各有一份文件要打字,且各科室對(duì)打字員的選擇是隨機(jī)的,試求:(1)四個(gè)科室把任務(wù)交給同一個(gè)打字員的概率;(2)每個(gè)打字員都有任務(wù)的概率.解:補(bǔ)例(選擇問題)2023/3/29概率Chapter1-252解:2023/3/29概率Chapter1-253例（組合數(shù)與排列數(shù)）

假設(shè)有100件產(chǎn)品，其中有40件一等品，60件二等品.從中任取3件,按下列抽取方法，求事件A=“有兩件一等品，一件二等品”的概率.(1)(有放回抽樣)每次取一件，測(cè)試后放回，再抽取下一件；(2)(不放回抽樣)每次取一件，測(cè)試后不放回，在剩下的產(chǎn)品中抽取下一件.解:

練習(xí)2023/3/29概率Chapter1-2(2)分為兩種情形:兩者結(jié)果相同組合問題排列問題三、幾何概型如果試驗(yàn)的樣本空間是一個(gè)連續(xù)的集合（直線上的區(qū)間，或者平面、空間上的一個(gè)區(qū)域），并且每個(gè)樣本點(diǎn)在試驗(yàn)中出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等，我們稱為幾何概型。當(dāng)樣本空間是一個(gè)連續(xù)的集合時(shí)，其概率的定義與樣本空間離散的情況有很大的區(qū)別。在離散的情況下，事件的概率可以由基本事件的概率確定，連續(xù)的情況卻不能.見下例.例8設(shè)公共汽車每5分鐘一班，求乘客在車站等車時(shí)間不超過3分鐘的概率（停車時(shí)間忽略不計(jì)）。分析:由于公共汽車5分鐘一班,故乘客的等車時(shí)間是0~5中間的一個(gè)數(shù).因此樣本空間而乘客到達(dá)車站的時(shí)間是隨機(jī)的，我們可以認(rèn)為[0,5]中的每一個(gè)時(shí)刻在等車時(shí)出現(xiàn)的可能性是相等的。這樣，我們考慮一個(gè)單點(diǎn)在試驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性。

實(shí)際上，必然有即等車時(shí)間恰好等于某一時(shí)刻的概率為0.否則的話，假設(shè)單點(diǎn)出現(xiàn)的概率為正，即根據(jù)等可能性,我們可以找到無限多個(gè)這樣的點(diǎn)其中設(shè)事件根據(jù)可加性，對(duì)足夠大的n，有與歸一性矛盾.對(duì)于幾何概型，我們可以按照下面的公式計(jì)算事件的概率：這里的“測(cè)度”指長度、面積、體積等.例如上例中，設(shè)B表示“等車時(shí)間不超過3分鐘”，則B=[0,3],而于是四、概率的性質(zhì)性質(zhì)1若則且證明:因?yàn)樗訠是兩個(gè)不相容事件的并：利用可加性公理得再利用非負(fù)性公理得從證明過程容易看出，如果則性質(zhì)2（加法公式）證明：由圖所示,可將事件和B分解成不相容的事件之和：利用可加性公理，得到兩式相減后移項(xiàng)合并根據(jù)性質(zhì)2和非負(fù)性公理，很容易得到：加法公式可以推廣到n(n>2)個(gè)事件的情形（稱為容斥原理）.例如對(duì)于三個(gè)事件A、B、C，反復(fù)利用性質(zhì)2可以得到：即加奇減偶定理性質(zhì)3證明：由圖所示,可以分解成三個(gè)互不相容的事件的并集：重復(fù)利用可加性公理即可證得。例將一部5卷的文集任意排在書架上，求第一卷排在左端或第五卷排在右端的概率.解：樣本空間中基本事件的總數(shù)為5！.設(shè)A=“第一卷在左端”，B=“第五卷在右端”，則AB表示“第一卷排在左端或第五卷排在右端”；AB表示“第一卷排在左端且第五卷排在右端”.事件A中基本事件的總數(shù)為4！，事件B中基本事件的總數(shù)也為4！，事件AB中基本事件的總數(shù)為3!，故2023/3/29概率Chapter1-364試證:對(duì)任意兩事件A、B，有證明：由對(duì)偶律，

例2023/3/29概率Chapter1365例

設(shè)某單位訂有甲乙丙三種報(bào)紙,據(jù)估計(jì),該單位職工中,有20%讀甲報(bào),16%讀乙報(bào),14%讀丙報(bào);其中8%兼讀甲乙報(bào),5%兼讀甲丙報(bào),4%兼讀乙丙報(bào);又有2%兼讀三種報(bào),求該單位職工至少讀一種報(bào)紙的概率.2023/3/29概率Chapter1-366解:設(shè)A1=“讀甲報(bào)”,A2=“讀乙報(bào)”,A3=“讀丙報(bào)”,則A1A2=“兼讀甲乙報(bào)”,A1A3=“兼讀甲丙報(bào)”,A2A3=“兼讀乙丙報(bào)”,A1A2A3=“兼讀甲乙丙報(bào)”,所以P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)-P(A1A3)`-P(A2A3)+P(A1A2A3)=0.2+0.16+0.14-0.08-0.05-0.04+0.02=0.352023/3/29概率Chapter1-467第三節(jié)條件概率

3.1條件概率的定義條件概率是在給定部分信息的基礎(chǔ)上對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的一種推斷.例如：（a）在擲骰子的試驗(yàn)中，已知出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)，求擲出的點(diǎn)數(shù)為6的概率.（b）十張電影票,其中四張甲級(jí)票,問第五個(gè)人抽到甲級(jí)票的概率是多大;若已知前四人已抽到了甲級(jí)票,問第五個(gè)人抽到甲級(jí)票的概率是多大?2023/3/29概率Chapter1-468一條件概率

確切的說，對(duì)于一個(gè)試驗(yàn)、與這個(gè)試驗(yàn)對(duì)應(yīng)的樣本空間和概率，假定我們已經(jīng)知道給定的事件B發(fā)生了，希望知道另一個(gè)事件A發(fā)生的概率.這個(gè)概率就是給定B發(fā)生之下事件A的條件概率，記作P(A|B)或PB(A).讀作在事件B下，事件A的條件概率.也可稱為A對(duì)B的條件概率.作為練習(xí),同學(xué)們可以考慮一下上述問題的答案.現(xiàn)補(bǔ)充下例.2023/3/29概率Chapter1-469例1設(shè)有10件樣品,分別編以號(hào)碼0,1,2,…,9,任意抽取1件樣品,如果令B=“取到號(hào)碼為偶數(shù)的樣品”,A1=“取到號(hào)碼為1的樣品”,A2=“取到號(hào)碼為2的樣品”,A3=“取到號(hào)碼為大于7的樣品”,求P(A1),P(A2),P(A3),P(A1|B),P(A2|B),P(A3|B),解:由概率的古典定義:在事件B發(fā)生的條件下,A1包含基本事件個(gè)數(shù)為0同理考慮:條件概率與無條件概率比較數(shù)量大小的結(jié)論.2023/3/29概率Chapter1-470

一批產(chǎn)品100件，有80件正品，20件次品，其中甲生產(chǎn)的為60件，有50件正品，10件次品，余下的40件均由乙生產(chǎn)。現(xiàn)從該批產(chǎn)品中任取一件，記A=“正品”,B=“甲生產(chǎn)的產(chǎn)品”,寫出概率P(A)、P(B)、P(AB)、P(B|A)、P（A|B）。

例(補(bǔ)充)解：由古典概型計(jì)算公式

P（A）=80/100=0.8,P（B）=60/100=0.6P（AB）=50/100=0.5又因A發(fā)生的條件下，基本事件總數(shù)為80個(gè)，

B含其中50個(gè)，因此P(B|A)=50/80=0.625，同理,P(A|B)=50/60=0.83.注意:條件概率與無條件概率的異同點(diǎn).條件概率的定義:設(shè)A，B是兩個(gè)事件，且P(B)>0，稱為在事件B下，事件A的條件概率.如果P(B)=0，相應(yīng)的條件概率沒有定義.1、由于

即條件概率完全集中在B上，故我們可以將事件B以外的結(jié)果排除掉，并把B看成新的樣本空間。2、如果P(A)>0,條件概率的定義也可以寫成3、對(duì)于給定的事件B,條件概率滿足概率的3條公理.注例如:設(shè)和是任意兩個(gè)不相容的事件,則：

例1在連續(xù)三次拋擲一個(gè)兩面均勻的硬幣的試驗(yàn)中，求：(1)第一次拋得正面，正面出現(xiàn)的次數(shù)多于反面出現(xiàn)的次數(shù)的概率；(2)已知第一次拋得正面，求正面出現(xiàn)的次數(shù)多于反面出現(xiàn)的次數(shù)的概率。解：用“1”表示出現(xiàn)正面，用“0”表示出現(xiàn)反面，則該試驗(yàn)的樣本空間為

用A表示“正面出現(xiàn)的次數(shù)多于反面出現(xiàn)的次數(shù)”，B表示“第一次拋得正面”，則(1)由于事件“第一次拋得正面，正面出現(xiàn)的次數(shù)多于反面出現(xiàn)的次數(shù)”可表示為而故(2)已知第一次拋得正面，求正面出現(xiàn)的次數(shù)多于反面出現(xiàn)的次數(shù)的概率為：而故注：也可以直接用和中的基本事件數(shù)直接計(jì)算例2十個(gè)人中有4個(gè)女生，從中任挑兩名，若已知兩人中有一人是女生，求另一人也是女生的概率。解：所求概率為：故：練習(xí)某動(dòng)物活到10歲的概率為0.7，活到12歲的概率為0.56，求現(xiàn)在年齡為10歲的這種動(dòng)物活到12歲的概率。解：設(shè)x表示動(dòng)物的存活時(shí)間，則：P(x>10)=0.7,P(x>12)=0.56于是：總結(jié)1、條件概率的定義2、條件概率的應(yīng)用二、乘法公式根據(jù)條件概率的定義，立即可以得到下面公式：如果P(B)>0，則如果P(A)>0，則在應(yīng)用乘法公式時(shí)，通常要為試驗(yàn)建立具有序貫特征的概率模型，然后通過確定條件概率計(jì)算無條件概率。例4發(fā)報(bào)臺(tái)分別以0.6和0.4的概率發(fā)出信號(hào)“1”和“0”。由于通信系統(tǒng)受到干擾，當(dāng)發(fā)出“1”時(shí)，收?qǐng)?bào)臺(tái)分別以概率0.8及0.2收到信息“1”及“0”；當(dāng)發(fā)出信號(hào)“0”時(shí)，收?qǐng)?bào)臺(tái)以概率0.9和0.1收到“0”及“1”。求發(fā)出“1”而收到“0”的概率有多大？發(fā)出“0”而收到“1”的概率是多少？解：記A={發(fā)出“1”}，B={收到“1”}，則它們的補(bǔ)集為樣本空間可以用序貫樹形圖表示:所求概率為:P(發(fā)出“1”，收到“0”)P(發(fā)出“0”，收到“1”)對(duì)于三個(gè)事件A，B，C，P(ABC)=P(A)P(BC|A),而P(BC|A)=P(B|A)P(C|AB),所以證明：右端更一般的有如下的乘法規(guī)則：乘法規(guī)則：設(shè)為n個(gè)事件，且則有證明：由恒等式利用條件概率的定義，上式右端就變?yōu)椋豪?

一批零件共100件,其中次品10件,每次任取一件,無放回地取三次,求“第一、二次取到次品,第三次取到正品”的概率.解：用樹狀圖及乘法規(guī)則進(jìn)行計(jì)算：定義{第i次取到次品}i=1,2,3則{第i次抽到正品}，i=1,2,3利用乘法規(guī)則次品次品正品次品正品正品而故：注：本題也可以按照古典概型的方法直接計(jì)算.次品次品正品次品正品正品例6假設(shè)在空戰(zhàn)中，若甲機(jī)先向乙機(jī)開火，則擊落乙機(jī)的概率為0.2，若乙機(jī)未被擊落，就進(jìn)行還擊，擊落甲機(jī)的概率為0.3；若甲機(jī)亦未被擊落，再次進(jìn)攻乙機(jī)，擊落乙機(jī)的概率為0.4，在這幾個(gè)回合中，分別計(jì)算甲、乙被擊落的概率.解：樣本空間用樹狀圖表示：擊落乙0.2未擊落乙0.8擊落甲0.3未擊落甲0.7未擊落乙0.6擊落乙0.4設(shè)則設(shè)A={甲擊落乙}，B={乙擊落甲}，顯然擊落乙0.2未擊落乙0.8擊落甲0.3未擊落甲0.7未擊落乙0.6擊落乙0.4例7一個(gè)班有4個(gè)研究生和12個(gè)本科生組成，隨機(jī)的將這16個(gè)人分成4個(gè)4人組，問每一個(gè)組分得一個(gè)研究生的概率有多大？解：可以將分組問題看做隨機(jī)選位子：(s1,s2,s3,s4看做第一組，s5,s6,s7,s8看做第二組,等等)每個(gè)人等可能的選任意一個(gè)位子.設(shè)四個(gè)研究生的代號(hào)為1,2,3,4.考慮事件：{學(xué)生1和2分在不同的組}{學(xué)生1,2和3分在不同的組}{學(xué)生1,2,3和4分在不同的組}學(xué)生1選定位置后，學(xué)生2與學(xué)生1不同組的可能性為學(xué)生1,2不同組后，學(xué)生3與學(xué)生1,2不同組的可能性為同理所求概率為：學(xué)生1和2分在不同的組12/15學(xué)生1,2和3分在不同的組8/14學(xué)生1,2,3和4分在不同的組4/132023/3/29概率Chapter1-690

4.1全概率公式例1一個(gè)袋內(nèi)裝有10個(gè)球，其中有4個(gè)白球，6個(gè)黑球，采取不放回抽樣，每次任取一個(gè)，求第二次取到白球的概率。解：設(shè)A=“第一次取到白球”，B=“第二次取到白球”第四節(jié)

全概率公式及貝葉斯公式(復(fù)習(xí)完備事件組:)2023/3/29概率Chapter1-691例(補(bǔ)充)

例1中的10個(gè)球，若改為3個(gè)白球，2個(gè)黑球，5個(gè)紅球，取法不變，求第二次取到白球的概率.解;設(shè)A1＝“第一次取到白球”，A2＝“第一次取到黑球”，

A3＝“第一次取到紅球”.B=“第二次取到白球”顯然，A1、A2、A3構(gòu)成一個(gè)完備事件組，有B=(A1+A2+A3)B=A1B+A2B+A3BA1B，A2B，A3B互不相容，由概率的可加性及乘法公式，有2023/3/29概率Chapter1-692（全概率定理）

如果事件A1，A2，…An構(gòu)成一個(gè)完備事件組，且都具有正概率，則對(duì)任意事件B，有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An)全概率公式證∵B=BΩ=B(A1+A2+…+An)=A1B+A2B+…+AnB∴P(B)=P(A1B+A2B+…+AnB)=P(A1B)+P(A2B)+…+P(AnB)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An).注：1、完備事件組不是必要條件.2、對(duì)于可列個(gè)事件也成立.2023/3/29概率Chapter1-693例2

某廠的一批產(chǎn)品,由甲、乙、丙三名工人生產(chǎn),其產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的25%、35%、40%,若已知他們的次品率依次為5%、4%、2%,現(xiàn)在從這批產(chǎn)品中任意抽取一件,求這一件是次品的概率(即這批產(chǎn)品的次品率).

由全概率公式得:

解:設(shè)B=“抽取一件是次品”

A1=“甲工人生產(chǎn)的產(chǎn)品”;A2=“乙工人生產(chǎn)的產(chǎn)品”

A3=“丙工人生產(chǎn)的產(chǎn)品”;則A1、A2、A3構(gòu)成完備事件組,P(A1)=0.25,P(A2)=0.35,P(A3)=0.40P(B|A1)=0.05,P(B|A2)=0.04,P(B|A3)=0.022023/3/29概率Chapter1-694二、貝葉斯公式

如果事件A1,A2,…,An構(gòu)成一個(gè)完備事件組,且都具有正概率,則對(duì)任一概率不為零的事件B,有注:P(Am)稱為先驗(yàn)概率，P(Am|B)稱為后驗(yàn)概率。2023/3/29概率Chapter1-695例3

在例2條件下，若從這批產(chǎn)品中任取一件，經(jīng)檢驗(yàn)得知是次品，問這件次品是哪一名工人生產(chǎn)的可能性最大。解：可見,次品是乙工人生產(chǎn)的可能性最大.2023/3/29概率Chapter1-696例4

M地為甲種疾病多發(fā)區(qū)，該地共有南、北、中三個(gè)行政小區(qū)，其人口比例為9：7：4。據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，甲種疾病在該地區(qū)三個(gè)小區(qū)內(nèi)的發(fā)病率依次為4‰，2‰，5‰，試求出M地甲種疾病的發(fā)病率。解：設(shè)Ai＝“第i個(gè)小區(qū)內(nèi)的人”，i=1，2，3B＝“M地的人得病”，則A1、A2、A3構(gòu)成完備事件組,由全概率公式2023/3/29概率Chapter1-697例5

用某種檢驗(yàn)方法，對(duì)甲種疾病的漏查率為5％，誤診率為1％。若在一次普查中，某人經(jīng)此檢驗(yàn)查為患甲種病，求該人確實(shí)患有甲種病的概率。解：設(shè)B=“患甲種病”，C=“經(jīng)檢驗(yàn)認(rèn)為患甲種病”則2023/3/29概率Chapter1-698注（1）全概率公式用來求較復(fù)雜事件的概率。所謂復(fù)雜，是因?yàn)樗陌l(fā)生是有若干個(gè)原因或來源。用全概率公式的關(guān)鍵，就是要找到一個(gè)完備事件組，往往就從這些原因或來源中來找。（2）貝葉斯公式用來求后驗(yàn)概率。后驗(yàn)概率P(Am|B)是相對(duì)于先驗(yàn)概率P(Am)來說的。P(Am)是試驗(yàn)前根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)確定的一種假設(shè)概率，P(Am|B)是在獲知事件B已經(jīng)發(fā)生這一信息之后，事件Am發(fā)生的條件概率。2023/3/29概率Chapter1-699結(jié)果原因1原因2原因n完備事件組A1A2AnB完備事件組的選取示意圖1.5事件的獨(dú)立性一、兩個(gè)事件的獨(dú)立性二、多個(gè)事件的獨(dú)立性三、可靠性2023/3/29概率Chapter1-4101

一個(gè)袋內(nèi)裝有20個(gè)球，其中完全涂成紅色的球3個(gè)，簡稱全紅球，全黃全黑全白色的球分別有6個(gè)、5個(gè)和4個(gè)，另外還有2個(gè)是涂有紅、黃、黑、白四色的彩球，從中任取一球，記事件A、B、C、D分別表示取到的球上涂有紅色、黃色、黑色、白色。求P(A),P(B),P(C),P(D),P(A|B),P(A|C),P(A|D).引例(補(bǔ)充)解：P(A)＝5/20=0.25,P(B)=8/20=0.4,P(C)=7/20=0.35,P(D)=6/20=0.3,P(A|B)=2/8=0.25,P(A|C)=2/7=0.29,P(A|D)=2/6=0.332654一、兩個(gè)事件的獨(dú)立性條件概率P(A|B)刻畫了事件B的發(fā)生給事件A帶來的信息.其中,一種情況是事件B的發(fā)生并沒有給事件A帶來新的信息，沒有改變事件A發(fā)生的概率，即：此時(shí)，我們稱事件A獨(dú)立于事件B.例：某班50名學(xué)生，女生20名。第一組10名，其中4名女生。從中任選一名，A=“學(xué)生是第一組”，B=“女學(xué)生”，問事件A、B是否獨(dú)立？分析：顯然故A，B獨(dú)立。注：若第一組的女生數(shù)量發(fā)生改變，比如有5名女生，則

A、B不獨(dú)立。根據(jù)條件概率的定義如果有等價(jià)于：（2）式是事件A和事件B的正式定義，因?yàn)椋篴）與(1)式相比,(2)式包含了P(B)=0的情況.b）在(2)式中A和B具有對(duì)稱的地位，因此可以稱A和B是相互獨(dú)立的，或A和B是相互獨(dú)立的事件.下面給出有關(guān)定義.定義：設(shè)A、B是兩個(gè)事件，如果滿足等式則稱事件A，B相互獨(dú)立，簡稱獨(dú)立.人們往往容易從直觀判定獨(dú)立性。例如，在兩個(gè)不同的且沒有相互作用的物理過程控制下發(fā)生的兩個(gè)事件，我們可以判定它們相互獨(dú)立。如果甲乙兩人向同一目標(biāo)各射一次，我們通常認(rèn)為“甲擊中”和“乙擊中”是相互獨(dú)立的.但是,樣本空間中的事件的獨(dú)立性往往不能直觀的看出來.(注意:與事件的互斥性區(qū)分.)如果兩個(gè)事件互不相容，是否可以判定它們相互獨(dú)立？通常認(rèn)為它們是相互獨(dú)立.而事實(shí)上恰好相反，若事件A和事件B互不相容，且P(A)>0,P(B)>0,則事件A和事件B不可能相互獨(dú)立。因?yàn)閺亩缡录嗀和事件如果事件A發(fā)生，就可以確切的告訴我們事件不會(huì)發(fā)生，事件A發(fā)生與否確實(shí)給的發(fā)生與否帶來了信息.

例1連續(xù)兩次扔一枚均勻的骰子,有36種可能的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是等概率的每個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的概率為1/36.

(1)事件

是否獨(dú)立?直觀上是獨(dú)立的解：

由于可知是相互獨(dú)立的.

(2)事件是否獨(dú)立?直觀上不明顯.解：B={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)},因?yàn)镻(AB)=P(A)P(B),故A,B獨(dú)立.(3)事件A={最大數(shù)是2},B={最小數(shù)是2}是否獨(dú)立？直觀上不獨(dú)立，因?yàn)樽钚?shù)蘊(yùn)含最大數(shù)的信息，如最小數(shù)是2，最大數(shù)不可能是1.證：故他們不獨(dú)立.2023/3/29概率Chapter1-4111推論設(shè)A與B為兩事件，都具有正概率,則下列四對(duì)事件：由定義可知，命題成立。二、多個(gè)事件的獨(dú)立性定義:設(shè)為n個(gè)事件.若對(duì)任