人教版中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)講練：第12講 二次函數(shù)

第12講二次函數(shù)考標(biāo)要求考查角度1.理解二次函數(shù)的有關(guān)概念．2．會用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)的圖象，能從圖象上認(rèn)識二次函數(shù)的性質(zhì)．3．會運(yùn)用配方法確定二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)、開口方向和對稱軸，并會求解二次函數(shù)的最值問題．4．熟練掌握二次函數(shù)解析式的求法，并能用它解決有關(guān)的實(shí)際問題．5．會用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解.二次函數(shù)是中考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，題型主要有選擇題、填空題及解答題，而且常與方程、不等式、幾何知識等結(jié)合在一起綜合考查，且一般為壓軸題．命題不僅考查二次函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，而且注重多個知識點(diǎn)的綜合考查以及對學(xué)生應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題能力的考查.知識梳理一、二次函數(shù)的概念一般地，形如y＝______________(a，b，c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．二次函數(shù)的兩種形式：(1)一般形式：____________________________；(2)頂點(diǎn)式：y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)，其中二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是________．二、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)圖象(a＞0)(a＜0)開口方向開口向上開口向下對稱軸直線x＝－eq\f(b,2a)直線x＝－eq\f(b,2a)頂點(diǎn)坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))增減性當(dāng)x＜－eq\f(b,2a)時，y隨x的增大而減??；當(dāng)x＞－eq\f(b,2a)時，y隨x的增大而增大當(dāng)x＜－eq\f(b,2a)時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x＞－eq\f(b,2a)時，y隨x的增大而減小最值當(dāng)x＝－eq\f(b,2a)時，y有最______值eq\f(4ac－b2,4a)當(dāng)x＝－eq\f(b,2a)時，y有最______值eq\f(4ac－b2,4a)三、二次函數(shù)圖象的特征與a，b，c及b2－4ac四、二次函數(shù)圖象的平移拋物線y＝ax2與y＝a(x－h(huán))2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h(huán))2＋k中|a|相同，則圖象的________和大小都相同，只是位置不同．它們之間的平移關(guān)系如下：五、二次函數(shù)關(guān)系式的確定1．設(shè)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若已知條件是圖象上三個點(diǎn)的坐標(biāo)，則設(shè)一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，將已知條件代入，求出a，b，c的值．2．設(shè)交點(diǎn)式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．若已知二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點(diǎn)的坐標(biāo)，則設(shè)交點(diǎn)式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，將第三點(diǎn)的坐標(biāo)或其他已知條件代入，求出待定系數(shù)a，最后將關(guān)系式化為一般式．3．設(shè)頂點(diǎn)式：y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)．若已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程與最大值或最小值，則設(shè)頂點(diǎn)式：y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)，將已知條件代入，求出待定系數(shù)化為一般式．六、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，當(dāng)y＝0時，就變成了ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．2．a(chǎn)x2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是拋物線與x軸交點(diǎn)的________．3．當(dāng)Δ＝b2－4ac＞0時，拋物線與x軸有兩個不同的交點(diǎn)；當(dāng)Δ＝b2－4ac＝0時，拋物線與x軸有一個交點(diǎn)；當(dāng)Δ＝b2－4ac＜0時，拋物線與4．設(shè)拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1,0)，B(x2,0)，則x1＋x2＝________，x1·x2＝________.自主測試1．下列二次函數(shù)中，圖象以直線x＝2為對稱軸，且經(jīng)過點(diǎn)(0,1)的是()A．y＝(x－2)2＋1B．y＝(x＋2)2＋1 C．y＝(x－2)2－3D．y＝(x＋2)2－2.如圖所示的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象中，劉星同學(xué)觀察得出了下面四個結(jié)論：(1)b2-4ac＞0；(2)c＞1；(3)2a-b＜0；(4)a+b+c＜0.你認(rèn)為其中錯誤的有()A．2個B．3個 C．4個D．1個3．當(dāng)m＝__________時，函數(shù)y＝(m－3)xm2－7＋4是二次函數(shù)．4．(2022上海)將拋物線y＝x2＋x向下平移2個單位，所得新拋物線的表達(dá)式是________．5．(2022廣東珠海)如圖，二次函數(shù)y＝(x－2)2＋m的圖象與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B是點(diǎn)C關(guān)于該二次函數(shù)圖象的對稱軸對稱的點(diǎn)．已知一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象經(jīng)過該二次函數(shù)圖象上點(diǎn)A(1,0)及點(diǎn)B．(1)求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；(2)根據(jù)圖象，寫出滿足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范圍．考點(diǎn)一、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)【例1】(1)二次函數(shù)y＝－3x2－6x＋5的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(－1,8) B．(1,8) C．(－1,2) D．(1，－4)(2)已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的對稱軸為直線x＝1，且經(jīng)過點(diǎn)(－1，y1)，(2，y2)，試比較y1和y2的大?。簓1________y2.(填“＞”“＜”或“＝”)解析：(1)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)可以利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式或配方法來求．∵－eq\f(b,2a)＝－eq\f(－6,2×(－3))＝－1，eq\f(4ac－b2,4a)＝eq\f(4×(－3)×5－(－6)2,4×(－3))＝8，∴二次函數(shù)y＝－3x2－6x＋5的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(－1,8)．故選A．(2)點(diǎn)(－1，y1)，(2，y2)不在對稱軸的同一側(cè)，不能直接利用二次函數(shù)的增減性來判斷y1，y2的大小，可先根據(jù)拋物線關(guān)于對稱軸的對稱性，然后再用二次函數(shù)的增減性即可．設(shè)拋物線經(jīng)過點(diǎn)(0，y3)，∵拋物線對稱軸為直線x＝1，∴點(diǎn)(0，y3)與點(diǎn)(2，y2)關(guān)于直線x＝1對稱．∴y3＝y(tǒng)2.∵a＞0，∴當(dāng)x＜1時，y隨x的增大而減?。鄖1＞y3.∴y1＞y2.答案：(1)A(2)＞方法總結(jié)1.將拋物線解析式寫成y＝a(x－h(huán))2＋k的形式，則頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h，k)，對稱軸為直線x＝h，也可應(yīng)用對稱軸公式x＝－eq\f(b,2a)，頂點(diǎn)坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))來求對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)．2．比較兩個二次函數(shù)值大小的方法：(1)直接代入自變量求值法；(2)當(dāng)自變量在對稱軸兩側(cè)時，看兩個數(shù)到對稱軸的距離及函數(shù)值的增減性判斷；(3)當(dāng)自變量在對稱軸同側(cè)時，根據(jù)函數(shù)值的增減性判斷．觸類旁通1已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖，則下列結(jié)論中正確的是()A．a(chǎn)＞0 B．當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而增大C．c＜0 D．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一個根考點(diǎn)二、利用二次函數(shù)圖象判斷a，b，c的符號【例2】如圖，是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象的一部分，給出下列命題：①a＋b＋c＝0；②b＞2a；③ax2＋bx＋c＝0的兩根分別為－3和1；④a－2b＋c＞0.其中正確的命題是__________．(只要求填寫正確命題的序號)解析：由圖象可知過(1,0)，代入得到a＋b＋c＝0；根據(jù)－eq\f(b,2a)＝－1，推出b＝2a；根據(jù)圖象關(guān)于對稱軸對稱，得出與x軸的交點(diǎn)是(－3,0)，(1,0)；由a－2b＋c＝a－2b－a－b＝－3b＜0，根據(jù)結(jié)論判斷即可．答案：①③方法總結(jié)根據(jù)二次函數(shù)的圖象確定有關(guān)代數(shù)式的符號，是二次函數(shù)中的一類典型的數(shù)形結(jié)合問題，具有較強(qiáng)的推理性．解題時應(yīng)注意a決定拋物線的開口方向，c決定拋物線與y軸的交點(diǎn)，拋物線的對稱軸由a，b共同決定，b2－4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)情況．當(dāng)x＝1時，決定a＋b＋c的符號，當(dāng)x＝－1時，決定a－b＋c的符號．在此基礎(chǔ)上，還可推出其他代數(shù)式的符號．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想更直觀、更簡捷觸類旁通2小明從如圖的二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象中，觀察得出了下面五個結(jié)論：①c＜0；②abc＞0；③a－b＋c＞0；④2a－3b＝0；⑤c－4b＞0，你認(rèn)為其中正確的結(jié)論有()A．2個B．3個 C．4個D．5個考點(diǎn)三、二次函數(shù)圖象的平移【例3】二次函數(shù)y＝－2x2＋4x＋1的圖象怎樣平移得到y(tǒng)＝－2x2的圖象()A．向左平移1個單位，再向上平移3個單位B．向右平移1個單位，再向上平移3個單位C．向左平移1個單位，再向下平移3個單位D．向右平移1個單位，再向下平移3個單位解析：首先將二次函數(shù)的解析式配方化為頂點(diǎn)式，然后確定如何平移，即y＝－2x2＋4x＋1＝－2(x－1)2＋3，將該函數(shù)圖象向左平移1個單位，再向下平移3個單位就得到y(tǒng)＝－2x2的圖象．答案：C方法總結(jié)二次函數(shù)圖象的平移實(shí)際上就是頂點(diǎn)位置的變換，因此先將二次函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后按照“左加右減、上加下減”的規(guī)律進(jìn)行操作．觸類旁通3將二次函數(shù)y＝x2的圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位后，所得圖象的函數(shù)解析式是()A．y＝(x－1)2＋2B．y＝(x＋1)2＋2 C．y＝(x－1)2－2D．y＝(x＋1)2考點(diǎn)四、確定二次函數(shù)的解析式【例4】如圖，四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)D的坐標(biāo)是(0，eq\r(3))，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c恰好經(jīng)過x軸上A，B兩點(diǎn)．(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式．解：(1)由拋物線的對稱性可知AE＝BE.∴△AOD≌△BEC．∴OA＝EB＝EA．設(shè)菱形的邊長為2m，在Rt△AODm2＋(eq\r(3))2＝(2m)2，解得m＝1.∴DC＝2，OA＝1，OB＝3.∴A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1,0)，(3,0)，(2，eq\r(3))．(2)解法一：設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x－2)2＋eq\r(3)，代入A的坐標(biāo)(1,0)，得a＝－eq\r(3).∴拋物線的解析式為y＝－eq\r(3)(x－2)2＋eq\r(3).解法二：設(shè)這個拋物線的解析式為y＝ax2＋bx＋c，由已知拋物線經(jīng)過A(1,0)，B(3,0)，C(2，eq\r(3))三點(diǎn)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝0，,9a＋3b＋c＝0，,4a＋2b＋c＝\r(3)，))解這個方程組，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\r(3)，,b＝4\r(3)，,c＝－3\r(3).))∴拋物線的解析式為y＝－eq\r(3)x2＋4eq\r(3)x－3eq\r(3).方法總結(jié)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，需根據(jù)已知條件，靈活選擇解析式：若已知圖象上三個點(diǎn)的坐標(biāo)，可設(shè)一般式；若已知二次函數(shù)圖象與x軸兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可設(shè)交點(diǎn)式；若已知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸與最大(或小)值，可設(shè)頂點(diǎn)式．觸類旁通4已知拋物線y＝－eq\f(1,2)x2＋(6－eq\r(m2))x＋m－3與x軸有A，B兩個交點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱．(1)求m的值；(2)寫出拋物線的關(guān)系式及頂點(diǎn)坐標(biāo)．考點(diǎn)五、二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【例5】我市某鎮(zhèn)的一種特產(chǎn)由于運(yùn)輸原因，長期只能在當(dāng)?shù)劁N售．當(dāng)?shù)卣畬υ撎禺a(chǎn)的銷售投資收益為：每投入x萬元，可獲得利潤P＝－eq\f(1,100)(x－60)2＋41(萬元)．當(dāng)?shù)卣當(dāng)M在“十二·五”規(guī)劃中加快開發(fā)該特產(chǎn)的銷售，其規(guī)劃方案為：在規(guī)劃前后對該項(xiàng)目每年最多可投入100萬元的銷售投資，在實(shí)施規(guī)劃5年的前兩年中，每年都從100萬元中撥出50萬元用于修建一條公路，兩年修成，通車前該特產(chǎn)只能在當(dāng)?shù)劁N售；公路通車后的3年中，該特產(chǎn)既在本地銷售，也在外地銷售．在外地銷售的投資收益為：每投入x萬元，可獲利潤Q＝－eq\f(99,100)(100－x)2＋eq\f(294,5)(100－x)＋160(萬元)．(1)若不進(jìn)行開發(fā)，求5年所獲利潤的最大值是多少；(2)若按規(guī)劃實(shí)施，求5年所獲利潤(扣除修路后)的最大值是多少；(3)根據(jù)(1)、(2)，該方案是否具有實(shí)施價值？解：(1)當(dāng)x＝60時，P最大且為41萬元，故五年獲利最大值是41×5＝205(萬元)．(2)前兩年：0≤x≤50，此時因?yàn)镻隨x的增大而增大，所以x＝50時，P值最大且為40萬元，所以這兩年獲利最大為40×2＝80(萬元)．后三年：設(shè)每年獲利為y萬元，當(dāng)?shù)赝顿Y額為x萬元，則外地投資額為(100－x)萬元，所以y＝P＋Q＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,100)(x－60)2＋41))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(99,100)x2＋\f(294,5)x＋160))＝－x2＋60x＋165＝－(x－30)2＋1065，表明x＝30時，y最大且為1065，那么三年獲利最大為1065×3＝3195(萬元)，故五年獲利最大值為80＋3195－50×2＝3175(萬元)．(3)有極大的實(shí)施價值．方法總結(jié)運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決生活和實(shí)際生產(chǎn)中的最大值和最小值問題是最常見的題目類型，解決這類問題的方法是：1．列出二次函數(shù)的關(guān)系式，列關(guān)系式時，要根據(jù)自變量的實(shí)際意義，確定自變量的取值范圍．2．在自變量取值范圍內(nèi)，運(yùn)用公式法或配方法求出二次函數(shù)的最大值和最小值．觸類旁通5一玩具廠去年生產(chǎn)某種玩具，成本為10元/件，出廠價為12元/件，年銷售量為2萬件．今年計劃通過適當(dāng)增加成本來提高產(chǎn)品檔次，以拓展市場．若今年這種玩具每件的成本比去年成本增加倍，今年這種玩具每件的出廠價比去年出廠價相應(yīng)提高倍，則預(yù)計今年年銷售量將比去年年銷售量增加x倍(本題中0＜x≤11)．(1)用含x的代數(shù)式表示，今年生產(chǎn)的這種玩具每件的成本為__________元，今年生產(chǎn)的這種玩具每件的出廠價為__________元；(2)求今年這種玩具的每件利潤y(元)與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)設(shè)今年這種玩具的年銷售利潤為w萬元，求當(dāng)x為何值時，今年的年銷售利潤最大？最大年銷售利潤是多少萬元？注：年銷售利潤＝(每件玩具的出廠價－每件玩具的成本)×年銷售量．1．(2022湖南株洲)如圖，已知拋物線與x軸的一個交點(diǎn)為A(1,0)，對稱軸是x＝－1，則拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(－3,0)B．(－2,0)C．x＝－3D．x＝－22．(2022湖南郴州)拋物線y＝(x－1)2＋2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(－1,2)B．(－1，－2)C．(1，－2)D．(1,2)3.(2022湖南婁底)已知二次函數(shù)y＝x2－(m2－2)x－2m的圖象與x軸交于點(diǎn)A(x1,0)和點(diǎn)B(x2,0)，x1＜x2，與y軸交于點(diǎn)C，且滿足eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(1,2).(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)探究：在直線y＝x＋3上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形PACB為平行四邊形？如果有，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果沒有，請說明理由．4．(2022湖南長沙)在長株潭建設(shè)兩型社會的過程中，為推進(jìn)節(jié)能減排，發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，我市某公司以25萬元購得某項(xiàng)節(jié)能產(chǎn)品的生產(chǎn)技術(shù)后，再投入100萬元購買生產(chǎn)設(shè)備，進(jìn)行該產(chǎn)品的生產(chǎn)加工．已知生產(chǎn)這種產(chǎn)品的成本價為每件20元．經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品的銷售單價定在25元到30元之間較為合理，并且該產(chǎn)品的年銷售量y(萬件)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(40－x，25≤x≤30，,25－，30<x≤35))(年獲利＝年銷售收入－生產(chǎn)成本－投資成本)．(1)當(dāng)銷售單價定為28元時，該產(chǎn)品的年銷售量為多少萬件？(2)求該公司第一年的年獲利W(萬元)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式，并說明投資的第一年，該公司是盈利還是虧損？若盈利，最大利潤是多少？若虧損，最小虧損是多少？(3)第二年，該公司決定給希望工程捐款Z萬元，該項(xiàng)捐款由兩部分組成：一部分為10萬元的固定捐款；另一部分則為每銷售一件產(chǎn)品，就抽出一元錢作為捐款．若除去第一年的最大獲利(或最小虧損)以及第二年的捐款后，到第二年年底，兩年的總盈利不低于萬元，請你確定此時銷售單價的范圍．5.(2022湖南湘潭)如圖，拋物線y＝ax2－eq\f(3,2)x－2(a≠0)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，已知B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)．(1)求拋物線的解析式；(2)試探究△ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)M是線段BC下方的拋物線上一點(diǎn)，求△MBC的面積的最大值，并求出此時M點(diǎn)的坐標(biāo)．1．拋物線y＝x2－6x＋5的頂點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(3，－4) B．(3,4) C．(－3，－4) D．(－3,4)2．由二次函數(shù)y＝2(x－3)2＋1，可知()A．其圖象的開口向下 B．其圖象的對稱軸為直線x＝－3C．其最小值為1 D．當(dāng)x＜3時，y隨x的增大而增大3．已知函數(shù)y＝(k－3)x2＋2x＋1的圖象與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是()A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠4．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，兩條拋物線有相同的對稱軸，則下列關(guān)系正確的是()(第4題圖)A．m＝n，k＞h B．m＝n，k＜h C．m＞n，k＝h D．m＜n，k＝h5．如圖，已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(－1,0)，B(1，－2)，該圖象與x軸的另一交點(diǎn)為C，則AC長為__________．(第5題圖)6．拋物線y＝ax2＋bx＋c上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表：x…－2－1012…y…04664…從上表可知，下列說法中正確的是__________．(填寫序號)①拋物線與x軸的一個交點(diǎn)為(3,0)；②函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的最大值為6；③拋物線的對稱軸是直線x＝eq\f(1,2)；④在對稱軸左側(cè)，y隨x增大而增大．7．拋物線y＝－x2＋bx＋c的圖象如圖所示，若將其向左平移2個單位，再向下平移3個單位，則平移后的解析式為__________．8．2022年長江中下游地區(qū)發(fā)生了特大旱情，為抗旱保豐收，某地政府制定了農(nóng)戶投資購買抗旱設(shè)備的補(bǔ)貼辦法，其中購買Ⅰ型、Ⅱ型抗旱設(shè)備所投資的金額與政府補(bǔ)貼的額度存在下表所示的函數(shù)對應(yīng)關(guān)系.(1)分別求y1和y2的函數(shù)解析式；(2)有一農(nóng)戶同時對Ⅰ型、Ⅱ型兩種設(shè)備共投資10萬元購買，請你設(shè)計一個能獲得最大補(bǔ)貼金額的方案，并求出按此方案能獲得的最大補(bǔ)貼金額．9．如圖，已知二次函數(shù)L1：y＝x2－4x＋3與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)寫出二次函數(shù)L1的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)研究二次函數(shù)L2：y＝kx2－4kx＋3k(k≠0)．①寫出二次函數(shù)L2與二次函數(shù)L1有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)；②若直線y＝8k與拋物線L2交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，問線段EF的長度是否發(fā)生變化？如果不會，請求出EF的長度；如果會，請說明理由．參考答案【知識梳理】一、ax2＋bx＋c(1)y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)(2)(h，k)二、小大三、y軸左右四、形狀六、2.橫坐標(biāo)4.－eq\f(b,a)eq\f(c,a)導(dǎo)學(xué)必備知識自主測試1．C2．D∵拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，∴b2－4ac＞0；與y軸交點(diǎn)在(0,0)與(0,1)之間，∴0＜c＜1，∴(2)錯；∵－eq\f(b,2a)＞－1，∴eq\f(b,2a)＜1，∵a＜0，∴2a＜b，∴2a－b＜0；當(dāng)x＝1時，y＝a＋b＋c＜0，故選D.3．－3由題意，得m2－7＝2且m－3≠0，解得m＝－3.4．y＝x2＋x－2因?yàn)閽佄锞€向下平移2個單位，則y值在原來的基礎(chǔ)上減2，所以新拋物線的表達(dá)式是y＝x2＋x－2.5．解：(1)由題意，得(1－2)2＋m＝0，解得m＝－1，∴y＝(x－2)2－1.當(dāng)x＝0時，y＝(0－2)2－1＝3，∴C(0,3)．∵點(diǎn)B與C關(guān)于直線x＝2對稱，∴B(4,3)．于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＝k＋b，,3＝4k＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝1，,b＝－1.))∴y＝x－1.(2)x的取值范圍是1≤x≤4.探究考點(diǎn)方法觸類旁通觸類旁通∵拋物線開口向上，∴a＞0；∵拋物線與y軸交于負(fù)半軸，∴c＜0；對稱軸在y軸右側(cè)，a，b異號，故b＜0，∴abc＞0.由題圖知當(dāng)x＝－1時，y＞0，即a－b＋c＞0.對稱軸是直線x＝eq\f(1,3)，∴－eq\f(b,2a)＝eq\f(1,3)，即2a＋3b＝0；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＋c>0，,2a＋3b＝0，))得c－eq\f(5,2)b＞0.又∵b＜0，∴c－4b＞0.∴正確的結(jié)論有4個．觸類旁通因?yàn)閷⒍魏瘮?shù)y＝x2向右平移1個單位，得y＝(x－1)2，再向上平移2個單位后，得y＝(x－1)2＋2，故選A.觸類旁通4.解：(1)∵拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，∴拋物線的對稱軸即為y軸．∴－eq\f(6－\r(m2),2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝0.∴m＝±6.又∵拋物線開口向下，∴m－3＞0，即m＞3.∴m＝6.(2)∵m＝6，∴拋物線的關(guān)系式為y＝－eq\f(1,2)x2＋3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3)．觸類旁通5.解：(1)(10＋7x)(12＋6x)(2)y＝(12＋6x)－(10＋7x)＝2－x.(3)∵w＝2(1＋x)(2－x)＝－2x2＋2x＋4，∴w＝－2(x－2＋.∵－2＜0,0＜x≤11，∴當(dāng)x＝時，w最大＝(萬元)．答：當(dāng)x為時，今年的年銷售利潤最大，最大年銷售利潤是萬元．品鑒經(jīng)典考題1．A點(diǎn)A到對稱軸的距離為2，由拋物線的對稱性知，另一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－3，所以另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為(－3,0)．2．D3．解：(1)由已知得x1＋x2＝m2－2，x1x2＝－2m∵eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(1,2)，即eq\f(x1＋x2,x1x2)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(m2－2,－2m)＝eq\f(1,2)，解得m＝1或m＝－2.當(dāng)m＝1時，y＝x2＋x－2，得A(－2,0)，B(1,0)；當(dāng)m＝－2時，y＝x2－2x＋4，與x軸無交點(diǎn)，舍去．∴這個二次函數(shù)的解析式為y＝x2＋x－2.(2)由(1)得A(－2,0)，B(1,0)，C(0，－2)．假設(shè)存在一點(diǎn)P，使四邊形PACB是平行四邊形，則PB∥AC且PB＝AC，根據(jù)平移知識可得P(－1,2)，經(jīng)驗(yàn)證P(－1,2)在直線y＝x＋3上，故在直線y＝x＋3上存在一點(diǎn)P(－1,2)，使四邊形PACB為平行四邊形．4．解：(1)當(dāng)x＝28時，y＝40－28＝12.所以，產(chǎn)品的年銷售量為12萬件．(2)①當(dāng)25≤x≤30時，W＝(40－x)(x－20)－25－100＝－x2＋60x－925＝－(x－30)2－25，故當(dāng)x＝30時，W最大為－25，即公司最少虧損25萬元；②當(dāng)30＜x≤35時，W＝(25－(x－20)－25－100＝－eq\f(1,2)x2＋35x－625＝－eq\f(1,2)(x－35)2－，故當(dāng)x＝35時，W最大為－，及公司最少虧損萬元，綜上所述，投資的第一年，公司虧損，最少虧損是萬元；(3)①當(dāng)25≤x≤30時，W＝(40－x)(x－20－1)－－10＝－x2＋61x－，令W＝，則－x2＋61x－＝，化簡得x2－61x＋930＝0，x1＝30，x2＝31，此時，當(dāng)兩年的總盈利不低于萬元時，x＝30.②當(dāng)30＜x≤35時，W＝(25－(x－20－1)－－10＝－eq\f(1,2)x2＋－，令W＝，則－eq\f(1,2)x2＋－＝，化簡得x2－71x＋1230＝0，x1＝30，x2＝41，此時，當(dāng)兩年的總盈利不低于萬元時，30＜x≤35.所以，到第二年年底，兩年的總盈利不低于萬元，此時銷售單價的范圍是30≤x≤35.5．解：(1)將點(diǎn)B(4,0)代入y＝ax2－eq\f(3,2)x－2(a≠0)中，得a＝eq\f(1,2).∴拋物線的解析式為y＝eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x－2.(2)∵當(dāng)eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x－2＝0時，解得x1＝4，x2＝－1，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,0)，則OA＝1.∵當(dāng)x＝0時，y＝eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x－2＝－2，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－2)，則OC＝2.在Rt△AOC與Rt△COB中，eq\f(OA,OC)＝eq\f(OC,OB)＝eq\f(1,2)，∴Rt△AOC∽Rt△COB.∴∠ACO＝∠CBO.∴∠ACB＝∠ACO＋∠OCB＝∠CBO＋∠OCB＝90°.∴△ABC為直角三角形．∴△ABC的外接圓的圓心為AB中點(diǎn)，其坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0)).(3)連接OM.設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(1,2)x2－\f(3,2)x－2))，則S△MBC＝S△OBM＋S△OCM－S△OBC＝eq\f(1,2)×4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋\f(3,2)x＋2))＋eq\f(1,2)×2×x－eq\f(1,2)×2×4＝－(x－2)2＋4.∴當(dāng)x＝2時，△MBC的面積有最大值為4，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，－3)．研習(xí)預(yù)測試題1．A3．D由題意，得22－4(k－3)≥0，且k－3≠0，解得k≤4且k≠3