專題-整式的乘除章末重難點題型(舉一反三)(北師大版)

專題整式的乘除章末重難點題型【北師大版】【考點1冪的基本運算】【方法點撥】同底數(shù)冪的乘法法則：（都是正整數(shù)）同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。注意底數(shù)可以是多項式或單項式。冪的乘方法則：（都是正整數(shù)）冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。積的乘方法則：（是正整數(shù)）積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積。同底數(shù)冪的除法法則：（都是正整數(shù)，且同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減?！纠?】（2019?黔東南州期中）下列運算正確的是（）A．x2+x3＝x5 B．（﹣2a2）3＝﹣8a6 C．x2?x3＝x6 D．x6÷x2＝x3【變式1-1】（2019?蜀山區(qū)期中）下列運算中，正確的是（）A．3x3?2x2＝6x6 B．（﹣x2y）2＝x4y C．（2x2）3＝6x6 D．x5÷x＝2x4【變式1-2】（2019?淄博期中）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a6 B．（﹣a2）3＝﹣a5 C．a(chǎn)10÷a9＝a（a≠0） D．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2【變式1-3】（2019春?成安縣期中）下列運算正確的是（）A．（﹣2ab）?（﹣3ab）3＝﹣54a4b4 B．5x2?（3x3）2＝15x12 C．（﹣0.16）?（﹣10b2）3＝﹣b7 D．（2×10n）（×10n）＝102n【考點2因式分解的概念】【方法點撥】因式分解：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫把這個多項式分解因式．分解因式是對多項式而言的，且分解的結(jié)果必須是整式的積的形式.分解因式時，其結(jié)果要使每一個因式不能再分解為止.?！纠?】（2019春?莘縣期末）下列從左到右的變形，是因式分解的是（）A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2 B．（y+1）（y﹣3）＝（3﹣y）（y+1） C．4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣zy）+z D．﹣8x2+8x﹣2＝﹣2（2x﹣1）2【變式2-1】（2019春?邢臺期末）下列等式從左到右的變形，屬于因式分解的是（）A．a(chǎn)（x﹣y）＝ax﹣ay B．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1） C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D．x2+2x+1＝x（x+2）+1【變式2-2】（2019秋?西城區(qū)校級期中）下列各式從左到右的變形屬于分解因式的是（）A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 B．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x D．x2﹣1＝x（x﹣）【變式2-3】（2019春?瑤海區(qū)期末）下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（）A．﹣1＝（+1）（﹣1） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2） D．a(chǎn)x﹣ay﹣a＝a（x﹣y）﹣1【考點3冪的混合運算】【方法點撥】掌握冪的基本運算公式是解題的關(guān)鍵.【例3】（2019春?銅山區(qū)期中）計算：（1）（y2）3÷y6?y（2）y4+（y2）4÷y4﹣（﹣y2）2【變式3-1】（2019春?海陵區(qū)校級月考）計算（1）x3?x5﹣（2x4）2+x10÷x2．（2）（﹣2x2）3+（﹣3x3）2+（x2）2?x2【變式3-2】（2019秋?資中縣月考）計算：（1）（m4）2+m5?m3+（﹣m）4?m4（2）x6÷x3?x2+x3?（﹣x）2．【變式3-3】（2019春?海陵區(qū)校級月考）計算（1）（﹣1）2019+（π﹣3.14）0﹣（）﹣1．（2）（﹣2x2y）3﹣（﹣2x3y）2+6x6y3+2x6y2【考點4冪的逆向運算】【例4】（2019春?茂名期中）已知：xm＝4，xn＝8．（1）求x2m的值；（2）求xm+n的值；（3）求x3m﹣2n的值．【變式4-1】（2019春?天寧區(qū)校級期中）根據(jù)已知求值：（1）已知am＝2，an＝5，求am+n的值；（2）已知32×9m×27＝321，求m的值．【變式4-2】（2019春?丹陽市期中）已知10x＝a，5x＝b，求：（1）50x的值；（2）2x的值；（3）20x的值．（結(jié)果用含a、b的代數(shù)式表示）【變式4-3】（2019春?鹽都區(qū)月考）基本事實：若am＝an（a＞0，且a≠1，m、n都是正整數(shù)），則m＝n．試?yán)蒙鲜龌臼聦嵔鉀Q下面的兩個問題嗎？試試看，相信你一定行?、偃绻?×8x×16x＝222，求x的值；②如果2x+2+2x+1＝24，求x的值．【考點5整式化簡求值】【例5】（2018春?高新區(qū)校級期中）先化簡，再求值：[（2x+y）2+（2x+y）（y﹣2x）﹣6y]÷2y，其中x＝﹣，y＝3．【變式5-1】（2018秋?南召縣期末）先化簡，再求值：當(dāng)|x﹣2|+（y+1）2＝0時，求[（3x+2y）（3x﹣2y）+（2y+x）（2y﹣3x）]÷4x的值．【變式5-2】（2019春?成都校級月考）已知將（x2+nx+3）（x2﹣2x﹣m）乘開的結(jié)果不含x3和x2項．（1）求m、n的值；（2）當(dāng)m、n取第（1）小題的值時，求（m﹣n）（m2+mn+n2）的值．【變式5-3】（2019春?青羊區(qū)校級期中）若的積中不含x與x3項．（1）求m、n的值；（2）求代數(shù)式（﹣2m2n）2+（3mn）﹣1+m2017n2018．【考點6分解因式】【方法點撥】先提取公因式，然后再看是不是平方差式或者完全平方式。而且一定要把各因式分解到不能再分為止！不能分解的不要死搬硬套.【例6】（2019秋?惠民縣期末）分解因式：（1）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2（2）8ab﹣8b2﹣2a2．【變式6-1】（2019春?婁底期中）因式分解：（1）2x（a﹣b）+3y（b﹣a）（2）x（x2﹣xy）﹣（4x2﹣4xy）【變式6-2】（2018春?臨清市期末）因式分解：（1）3x2y﹣18xy2+27y3（2）x2（x﹣2）+（2﹣x）【變式6-3】（2019秋?和平區(qū)期末）分解因式：（1）1﹣a2﹣b2﹣2ab；（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．【考點7利用因式分解求值】【例7】已知4x2+y2﹣4x+10y+26＝0，求6x﹣y的值．【變式7-1】（2019秋?崇明縣期中）已知x+y＝4，x2+y2＝14，求x3y﹣2x2y2+xy3的值．【變式7-2】（2019秋?西城區(qū)校級期中）已知m2＝n+2①，n2＝m+2②，其中m≠n．求m3﹣2mn+n3的值．【變式7-3】利用分解因式求值．（1）已知：x+y＝1，，利用因式分解求：x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2的值．（2）已知a+b＝2，ab＝2，求的值．【考點8利用乘法公式求值】【例8】（2019春?新津縣校級月考）已知m﹣n＝3，mn＝2，求：（1）（m+n）2的值；（2）m2﹣5mn+n2的值．【變式8-1】（2019春?杭州期末）已知a﹣b＝7，ab＝﹣12．（1）求a2b﹣ab2的值；（2）求a2+b2的值；（3）求a+b的值．【變式8-2】（2019春?邵東縣期中）已知有理數(shù)m，n滿足（m+n）2＝9，（m﹣n）2＝1，求下列各式的值．（1）mn；（2）m2+n2﹣mn．【變式8-3】（2019春?杭州期中）已知（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，求下列式子的值：（1）a2+b2；（2）6ab．【考點9因式分解探究題】【例9】（2018秋?江漢區(qū)校級月考）閱讀材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m，n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0．∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∵（m﹣n）2≥0，（n﹣4）2≥0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：（1）已知：x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值；（2）已知：△ABC的三邊長a，b，c都是正整數(shù)，且滿足：a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0，求△ABC的最大邊c的值；（3）已知：a﹣5b+2c＝20，4ab+8c2+20c+125＝0，直接寫出a的值．【變式9-1】（2017春?靖江市校級期中）在理解例題的基礎(chǔ)上，完成下列兩個問題：例題：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0．求m和n的值．解：因為m2+2mn+2n2﹣6n+9＝（m2+2mn+n2）+（n2﹣6n+9）＝（m+n）2+（n﹣3）2＝0所以m+n＝0，n﹣3＝0即m＝﹣3．n＝3問題：（1）若x2+2xy+2y2﹣4y+4＝0，求xy的值．（2）若a、b、c是△ABC的長，滿足a2+b2＝10a+8b﹣41，c是△ABC中最長邊的邊長，且c為偶數(shù)，那么c可能是哪幾個數(shù)？【變式9-2】（2019春?上虞區(qū)期末）閱讀下列材料，然后解答問題：問題：分解因式：x3+3x2﹣4．解答：把x＝1代入多項式x3+3x2﹣4，發(fā)現(xiàn)此多項式的值為0，由此確定多項式x3+3x2﹣4中有因式（x﹣1），于是可設(shè)x3+3x2﹣4＝（x﹣1）（x2+mx+n），分別求出m，n的值，再代入x3+3x2﹣4＝（x﹣1）（x2+mx+n），就容易分解多項式x3+3x2﹣4．這種分解因式的方法叫“試根法”．（1）求上述式子中m，n的值；（2）請你用“試根法”分解因式：x3+x2﹣16x﹣16．【變式9-3】（2018秋?雨花區(qū)校級月考）教科書中這樣寫道：“我們把多項式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻?，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等．例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如求代數(shù)式2x2+4x﹣6的最小值.2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知當(dāng)x＝﹣1時，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝．（2）當(dāng)a，b為何值時，多項式2a2+3b2﹣4a+12b+18有最小值，并求出這個最小值．（3）當(dāng)a，b為何值時，多項式a2﹣4ab+5b2﹣4a+4b+27有最小值，并求出這個最小值．【考點10乘法公式探究題】【例10】（2019春?東臺市期中）如圖1是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成的一個“回形”正方形（如圖2）．（1）圖2中的陰影部分的面積為；（2）觀察圖2請你寫出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關(guān)系是；（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論，若x+y＝5，x?y＝，則x﹣y＝；（4）實際上通過計算圖形的面積可以探求相應(yīng)的等式．如圖3，你有什么發(fā)現(xiàn)？．【變式10-1】（2019春?牟定縣校級期末）圖（1）是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個小長方形，然后按圖（2）的形狀拼成一個正方形．（1）你認(rèn)為圖（2）中陰影部分的正方形的邊長等于多少？；（2）請用兩種不同的方法求圖（2）中陰影部分面積．方法一：；方法二：；（3）觀察圖（2），你能寫出下列三個代數(shù)式之間的等量關(guān)系嗎？代數(shù)式：（m+n）2，（m﹣n）2，4mn．；（4）根據(jù)（3）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：若a+b＝7，ab＝5，求（a﹣b）2的值．【變式10-2】（2018春?懷遠縣期末）如圖1所示，邊長為a的正方形中有一個邊長為b的小正方形，如圖2中陰影部分剪裁后拼成的一個長方形．（1）設(shè)如圖1中陰影部分面積為S1，如圖2中陰影部分面積為S2，請直接用含a，b的代數(shù)式表示S1，S2；（2）請寫出上述過程所揭示的乘法公式；（3）試?yán)眠@個公式計算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1【變式10-3】（2019春?槐蔭區(qū)期末）數(shù)學(xué)活動課上，老師準(zhǔn)備了若干個如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為a、寬為b的長方形．用A種紙片﹣﹣張，B種紙片一張，C種紙片兩張可拼成如圖2的大正方形．（1）請用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積（答案直接填寫到題中橫線上）；方法1；方法2．（2）觀察圖2，請你直接寫出下列三個代數(shù)式：（a+b）2，a2+b2，ab之間的等量關(guān)系；（3）類似的，請你用圖1中的三種紙片拼一個圖形驗證：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，請你將該示意圖畫在答題卡上；（4）根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：①已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值；②已知（x﹣2018）2+（x﹣2020）2＝34，求（x﹣2019）2的值．【考點1冪的基本運算】【方法點撥】同底數(shù)冪的乘法法則：（都是正整數(shù)）同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。注意底數(shù)可以是多項式或單項式。冪的乘方法則：（都是正整數(shù)）冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。積的乘方法則：（是正整數(shù)）積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積。同底數(shù)冪的除法法則：（都是正整數(shù)，且同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減?！纠?】（2019?黔東南州期中）下列運算正確的是（）A．x2+x3＝x5 B．（﹣2a2）3＝﹣8a6 C．x2?x3＝x6 D．x6÷x2＝x3【分析】根據(jù)同類項的定義，冪的乘方以及積的乘方，同底數(shù)的冪的乘法與除法法則即可作出判斷．【答案】解：A、不是同類項，不能合并，故選項錯誤；B、正確；C、x2?x3＝x5，故選項錯誤；D、x6÷x2＝x4，故選項錯誤．故選：B．【點睛】本題考查同底數(shù)冪的除法，合并同類項，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方很容易混淆，一定要記準(zhǔn)法則才能做題．【變式1-1】（2019?蜀山區(qū)期中）下列運算中，正確的是（）A．3x3?2x2＝6x6 B．（﹣x2y）2＝x4y C．（2x2）3＝6x6 D．x5÷x＝2x4【分析】根據(jù)整式的除法，冪的乘方與積的乘方，以及單項式乘單項式的方法，逐項判定即可．【答案】解：A、3x3?2x2＝6x5，故選項錯誤；B、（﹣x2y）2＝x4y2，故選項錯誤；C、（2x2）3＝8x6，故選項錯誤；D、x5÷x＝2x4，故選項正確．故選：D．【點睛】此題主要考查了整式的除法，冪的乘方與積的乘方，以及單項式乘單項式，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握整式的除法法則：（1）單項式除以單項式，把系數(shù)，同底數(shù)冪分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個因式．（2）多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加．【變式1-2】（2019?淄博期中）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a6 B．（﹣a2）3＝﹣a5 C．a(chǎn)10÷a9＝a（a≠0） D．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、除法、積的乘方和冪的乘方進行計算即可．【答案】解：A、a2?a3＝a5，故A錯誤；B、（﹣a2）3＝﹣a6，故B錯誤；C、a10÷a9＝a（a≠0），故C正確；D、（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝b2c2，故D錯誤；故選：C．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法、除法、積的乘方和冪的乘方，掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2019春?成安縣期中）下列運算正確的是（）A．（﹣2ab）?（﹣3ab）3＝﹣54a4b4 B．5x2?（3x3）2＝15x12 C．（﹣0.16）?（﹣10b2）3＝﹣b7 D．（2×10n）（×10n）＝102n【分析】A、原式先利用積的乘方運算法則計算，再利用單項式乘單項式法則計算得到結(jié)果，即可做出判斷；B、原式先利用積的乘方運算法則計算，再利用單項式乘單項式法則計算得到結(jié)果，即可做出判斷；C、原式先利用積的乘方運算法則計算，再利用單項式乘單項式法則計算得到結(jié)果，即可做出判斷；D、原式利用單項式乘單項式法則計算得到結(jié)果，即可做出判斷．【答案】解：A、（﹣2ab）?（﹣3ab）3＝（﹣2ab）?（﹣27a3b3）＝54a4b4，本選項錯誤；B、5x2?（3x3）2＝5x2?（9x6）＝45x8，本選項錯誤；C、（﹣0.16）?（﹣1000b6）＝160b6，本選項錯誤；D、（2×10n）（×10n）＝102n，本選項正確，故選：D．【點睛】此題考查了單項式乘單項式，以及積的乘方與冪的乘方，熟練掌握法則是解本題的關(guān)鍵．【考點2因式分解的概念】【方法點撥】因式分解：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫把這個多項式分解因式．分解因式是對多項式而言的，且分解的結(jié)果必須是整式的積的形式.分解因式時，其結(jié)果要使每一個因式不能再分解為止.?！纠?】（2019春?莘縣期末）下列從左到右的變形，是因式分解的是（）A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2 B．（y+1）（y﹣3）＝（3﹣y）（y+1） C．4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣zy）+z D．﹣8x2+8x﹣2＝﹣2（2x﹣1）2【分析】分別利用因式分解的定義分析得出答案．【答案】解：A、（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2，是整式的乘法運算，故此選項錯誤；B、（y+1）（y﹣3）≠（3﹣y）（y+1），不符合因式分解的定義，故此選項錯誤；C、4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣zy）+z，不符合因式分解的定義，故此選項錯誤；D、﹣8x2+8x﹣2＝﹣2（2x﹣1）2，正確．故選：D．【點睛】此題主要考查了因式分解的定義，正確把握定義是解題關(guān)鍵．【變式2-1】（2019春?邢臺期末）下列等式從左到右的變形，屬于因式分解的是（）A．a(chǎn)（x﹣y）＝ax﹣ay B．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1） C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D．x2+2x+1＝x（x+2）+1【分析】根據(jù)因式分解的意義即可判斷．【答案】解：因式分解是指將一個多項式化為幾個整式的乘積，故選：B．【點睛】本題考查因式分解的意義，解題的關(guān)鍵是正確理解因式分解的意義，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式2-2】（2019秋?西城區(qū)校級期中）下列各式從左到右的變形屬于分解因式的是（）A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 B．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x D．x2﹣1＝x（x﹣）【分析】分解因式就是把一個多項式化為幾個整式的積的形式．因此，要確定從左到右的變形中是否為分解因式，只需根據(jù)定義來確定．【答案】解：A、是整式的乘法，故A不符合題意；B、x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），故B符合題意；C、沒把一個多項式化為幾個整式的積的形式，故C不符合題意；D、沒把一個多項式化為幾個整式的積的形式，故D不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了因式分解的意義．這類問題的關(guān)鍵在于能否正確應(yīng)用分解因式的定義來判斷；同時還要注意變形是否正確．【變式2-3】（2019春?瑤海區(qū)期末）下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（）A．﹣1＝（+1）（﹣1） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2） D．a(chǎn)x﹣ay﹣a＝a（x﹣y）﹣1【分析】根據(jù)因式分解是把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，可得答案．【答案】解：A、沒把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，故A錯誤；B、是整式的乘法，故B錯誤；C、把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，故C正確；D、沒把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，故D錯誤；故選：C．【點睛】本題考查了因式分解的意義，因式分解是把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式．【考點3冪的混合運算】【方法點撥】掌握冪的基本運算公式是解題的關(guān)鍵.【例3】（2019春?銅山區(qū)期中）計算：（1）（y2）3÷y6?y（2）y4+（y2）4÷y4﹣（﹣y2）2【分析】（1）先根據(jù)冪的乘方法則化簡，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法法則計算即可；（2）先根據(jù)冪的乘方與積的乘方法則化簡，再根據(jù)同底數(shù)冪的除法化簡，然后合并同類項即可．【答案】解：（1）（y2）3÷y6?y＝y(tǒng)6÷y6?y＝y(tǒng)；（2）y4+（y2）4÷y4﹣（﹣y2）2＝y(tǒng)4+y8÷y4﹣y4＝y(tǒng)4+y4﹣y4＝y(tǒng)4．【點睛】本題主要考查了冪的運算以及整式的加減，熟練掌握冪的運算法則是解答本題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2019春?海陵區(qū)校級月考）計算（1）x3?x5﹣（2x4）2+x10÷x2．（2）（﹣2x2）3+（﹣3x3）2+（x2）2?x2【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法和除法、積的乘方的法則計算即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、積的乘方的法則計算即可．【答案】解：（1）原式＝x8﹣4x8+x8＝﹣2x8（2）原式＝﹣8x6+9x6+x6＝2x6【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法和除法、積的乘方，熟記法則是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2019秋?資中縣月考）計算：（1）（m4）2+m5?m3+（﹣m）4?m4（2）x6÷x3?x2+x3?（﹣x）2．【分析】（1）直接利用冪的乘方運算法則以及同底數(shù)冪的乘法運算法則計算得出答案；（2）直接利用同底數(shù)冪的乘法運算法則計算得出答案．【答案】解：（1）原式＝m8+m8+m8＝3m8；（2）原式＝x6﹣3+2+x3?x2＝x5+x5＝2x5．【點睛】此題主要考查了冪的乘方運算以及同底數(shù)冪的乘除運算，正確掌握運算法則是解題關(guān)鍵．【變式3-3】（2019春?海陵區(qū)校級月考）計算（1）（﹣1）2019+（π﹣3.14）0﹣（）﹣1．（2）（﹣2x2y）3﹣（﹣2x3y）2+6x6y3+2x6y2【分析】（1）直接利用負指數(shù)冪的性質(zhì)、零指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡得出答案；（2）直接利用積的乘方運算法則以及合并同類項法則分別計算得出答案．【答案】解：（1）原式＝﹣1+1﹣3＝﹣3；（2）原式＝﹣8x6y3﹣4x6y2+6x6y3+2x6y2＝﹣2x6y3﹣2x6y2．【點睛】此題主要考查了實數(shù)運算以及積的乘方運算，正確化簡各式是解題關(guān)鍵．【考點4冪的逆向運算】【例4】（2019春?茂名期中）已知：xm＝4，xn＝8．（1）求x2m的值；（2）求xm+n的值；（3）求x3m﹣2n的值．【分析】（1）直接利用冪的乘方運算法則計算得出答案；（2）直接利用同底數(shù)冪的乘法運算法則計算得出答案；（3）直接利用冪的乘方運算法則以及同底數(shù)冪的除法運算法則計算得出答案．【答案】解：（1）∵xm＝4，xn＝8，∴x2m＝（xm）2＝16；（2）∵xm＝4，xn＝8，∴xm+n＝xm?xn＝4×8＝32；（3）∵xm＝4，xn＝8，∴x3m﹣2n＝（xm）3÷（xn）2＝43÷82＝1．【點睛】此題主要考查了整式的乘除運算，正確將原式變形是解題關(guān)鍵．【變式4-1】（2019春?天寧區(qū)校級期中）根據(jù)已知求值：（1）已知am＝2，an＝5，求am+n的值；（2）已知32×9m×27＝321，求m的值．【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則解答即可；（2）根據(jù)冪的乘方可得9m＝32m，27＝33，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則解答即可．【答案】解：（1）∵am＝2，an＝5，∴am+n＝am?an＝2×5＝10；（2）∵32×9m×27＝321，即32×2m×33＝321，∴2+2m+3＝21，解得m＝8．【點睛】本題主要考查了冪的乘方與積的乘方以及同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握冪的運算法則是解答本題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2019春?丹陽市期中）已知10x＝a，5x＝b，求：（1）50x的值；（2）2x的值；（3）20x的值．（結(jié)果用含a、b的代數(shù)式表示）【分析】（1）根據(jù)積的乘方的法則計算；（2）根據(jù)積的乘方（商的乘方）的法則計算；（3）根據(jù)積的乘方的法則計算．【答案】解：（1）50x＝10x×5x＝ab；（2）2x＝＝＝；（3）20x＝（＝＝．【點睛】本題考查了積的乘方，解題的關(guān)鍵是能夠熟練的運用積的乘方的法則．【變式4-3】（2019春?鹽都區(qū)月考）基本事實：若am＝an（a＞0，且a≠1，m、n都是正整數(shù)），則m＝n．試?yán)蒙鲜龌臼聦嵔鉀Q下面的兩個問題嗎？試試看，相信你一定行?、偃绻?×8x×16x＝222，求x的值；②如果2x+2+2x+1＝24，求x的值．【分析】①根據(jù)冪的乘方和同底數(shù)冪的乘法法則把原式變形為21+7x＝222，得出1+7x＝22，求解即可；②把2x+2+2x+1變形為2x（22+2），得出2x＝4，求解即可．【答案】解：①∵2×8x×16x＝2×23x×24x＝21+3x+4x＝21+7x＝222，∴1+7x＝22，∴x＝3；②∵2x+2+2x+1＝24，∴2x（22+2）＝24，∴2x＝4，∴x＝2．【點睛】此題考查了冪的乘方與積的乘方、同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握運算性質(zhì)和法則是解題的關(guān)鍵．【考點5整式化簡求值】【例5】（2018春?高新區(qū)校級期中）先化簡，再求值：[（2x+y）2+（2x+y）（y﹣2x）﹣6y]÷2y，其中x＝﹣，y＝3．【分析】根據(jù)完全平方公式、平方差公式、多項式除單項式的法則把原式化簡，代入計算即可．【答案】解：[（2x+y）2+（2x+y）（y﹣2x）﹣6y]÷2y＝（4x2+4xy+y2+y2﹣4x2﹣6y）÷2y＝（4xy+2y2﹣6y）÷2y＝2x+y﹣3，把x＝﹣，y＝3代入得：原式＝2×（﹣）+3﹣3＝﹣1．【點睛】本題考查的是整式的化簡求值，掌握整式的混合運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2018秋?南召縣期末）先化簡，再求值：當(dāng)|x﹣2|+（y+1）2＝0時，求[（3x+2y）（3x﹣2y）+（2y+x）（2y﹣3x）]÷4x的值．【分析】根據(jù)|x﹣2|+（y+1）2＝0可以起的x、y的值，然后將題目中所求式子化簡，再將x、y的值代入化簡后的式子即可解答本題．【答案】解：∵|x﹣2|+（y+1）2＝0，∴x﹣2＝0，y+1＝0，解得，x＝2，y＝﹣1，∴[（3x+2y）（3x﹣2y）+（2y+x）（2y﹣3x）]÷4x＝（9x2﹣4y2+4y2﹣6xy+2xy﹣3x2）÷4x＝（6x2﹣4xy）÷4x＝1.5x﹣y＝1.5×2﹣（﹣1）＝3+1＝4．【點睛】本題考查整式的化簡求值、非負數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確整式化簡求值的方法，利用非負數(shù)的性質(zhì)解答．【變式5-2】（2019春?成都校級月考）已知將（x2+nx+3）（x2﹣2x﹣m）乘開的結(jié)果不含x3和x2項．（1）求m、n的值；（2）當(dāng)m、n取第（1）小題的值時，求（m﹣n）（m2+mn+n2）的值．【分析】（1）原式利用多項式乘以多項式法則計算，合并后根據(jù)乘開的結(jié)果不含x3和x2項，求出m與n的值即可；（2）原式利用多項式乘以多項式法則計算，把m與n的值代入計算即可求出值．【答案】解：（1）原式＝x4﹣2x3﹣mx2+nx3﹣2nx2﹣mnx+3x2﹣6x﹣3m＝x4+（n﹣2）x3+（3﹣m﹣2n）x2+（mn+6）x﹣3m，由乘開的結(jié)果不含x3和x2項，得到n﹣2＝0，3﹣m﹣2n＝0，解得：m＝﹣1，n＝2；（2）當(dāng)m＝﹣1，n＝2時，原式＝m3+m2n+mn2﹣m2n﹣mn2﹣n3＝m3﹣n3＝﹣1﹣8＝﹣9．【點睛】此題考查了多項式乘以多項式，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2019春?青羊區(qū)校級期中）若的積中不含x與x3項．（1）求m、n的值；（2）求代數(shù)式（﹣2m2n）2+（3mn）﹣1+m2017n2018．【分析】（1）原式利用多項式乘以多項式法則計算，整理后根據(jù)積中不含x和x3項，求出m與n的值；（2）原式利用冪的乘方與積的乘方，負整數(shù)指數(shù)冪法則變形，將各自的值代入計算即可求出值．【答案】解：（1）＝x4+（m﹣3）x3+（﹣3m+n﹣）x2+（mn+1）x﹣n，由積中不含x和x3項，得到m﹣3＝0，mn+1＝0，解得：m＝3，n＝﹣，（2）原式＝4m4n2++（mn）2017?n＝36﹣+＝36．【點睛】此題考查了多項式乘以多項式，以及負整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．【考點6分解因式】【方法點撥】先提取公因式，然后再看是不是平方差式或者完全平方式。而且一定要把各因式分解到不能再分為止！不能分解的不要死搬硬套.【例6】（2019秋?惠民縣期末）分解因式：（1）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2（2）8ab﹣8b2﹣2a2．【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【答案】解：（1）原式＝[（3x﹣2）+（2x+7）][（3x﹣2）﹣（2x+7）]＝（3x﹣2+2x+7）（3x﹣2﹣2x﹣7）＝（5x+5）（x﹣9）＝5（x+1）（x﹣9）；（2）原式＝﹣2（a2﹣4ab+4b2）＝﹣2（a﹣2b）2．【點睛】此題考查了提公因式與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2019春?婁底期中）因式分解：（1）2x（a﹣b）+3y（b﹣a）（2）x（x2﹣xy）﹣（4x2﹣4xy）【分析】（1）原式變形后，提取公因式即可得到結(jié)果；（2）原式提取公因式即可得到結(jié)果．【答案】解：（1）原式＝2x（a﹣b）﹣3y（a﹣b）＝（a﹣b）（2x﹣3y）；（2）原式＝x2（x﹣y）﹣4x（x﹣y）＝x（x﹣y）（x﹣4）．【點睛】此題考查了因式分解﹣提公因式法，熟練掌握提取公因式的方法是解本題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2018春?臨清市期末）因式分解：（1）3x2y﹣18xy2+27y3（2）x2（x﹣2）+（2﹣x）【分析】（1）直接提取公因式3y，進而運用完全平方公式分解因式得出答案；（2）直接提取公因式（x﹣2），進而運用平方差公式分解因式得出答案．【答案】解：（1）3x2y﹣18xy2+27y3＝3y（x2﹣6xy+9y2）＝3y（x﹣3y）2；（2）x2（x﹣2）+（2﹣x）＝（x﹣2）（x2﹣1）＝（x﹣2）（x+1）（x﹣1）．【點睛】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確運用公式是解題關(guān)鍵．【變式6-3】（2019秋?和平區(qū)期末）分解因式：（1）1﹣a2﹣b2﹣2ab；（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．【分析】（1）原式后三項提取﹣1，利用完全平方公式及平方差公式分解即可；（2）原式變形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【答案】解：（1）原式＝1﹣（a+b）2＝（1+a+b）（1﹣a﹣b）；（2）原式＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）＝（x﹣y）（3a+2b）?（3a﹣2b）．【點睛】此題考查了因式分解﹣分組分解法，以及提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．【考點7利用因式分解求值】【例7】已知4x2+y2﹣4x+10y+26＝0，求6x﹣y的值．【分析】已知等式利用完全平方公式變形，利用非負數(shù)的性質(zhì)求出x與y的值，代入原式計算即可求出值．【答案】解：∵4x2+y2﹣4x+10y+26＝4（x﹣）2+（y+5）2＝0，∴x＝，y＝﹣5，則原式＝3+1＝4．【點睛】此題考查了因式分解﹣運用公式法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2019秋?崇明縣期中）已知x+y＝4，x2+y2＝14，求x3y﹣2x2y2+xy3的值．【分析】首先由x+y＝4，得到（x+y）2＝16，然后利用完全平方公式得到x2+y2+2xy＝16，而x2+y2＝14，由此可以求出xy的值，再把x3y﹣2x2y2+xy3提取公因式xy，最后代入已知數(shù)據(jù)計算即可求解．【答案】解：∵x+y＝4，∴（x+y）2＝16，∴x2+y2+2xy＝16，而x2+y2＝14，∴xy＝1，∴x3y﹣2x2y2+xy3＝xy（x2﹣2xy+y2）＝14﹣2＝12．【點睛】此題主要考查了因式分解的運用，有公因式時，要先考慮提取公因式；注意運用整體代入法求解．【變式7-2】（2019秋?西城區(qū)校級期中）已知m2＝n+2①，n2＝m+2②，其中m≠n．求m3﹣2mn+n3的值．【分析】根據(jù)因式分解的方法即可求出答案．【答案】解：①﹣②得：m2﹣n2＝n﹣m∴（m+n）（m﹣n）＝n﹣m，∵m≠n，∴m+n＝﹣1∴原式＝m（m2﹣n）+n（n2﹣m）＝2m+2n＝﹣2【點睛】本題考查因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練運用因式分解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式7-3】利用分解因式求值．（1）已知：x+y＝1，，利用因式分解求：x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2的值．（2）已知a+b＝2，ab＝2，求的值．【分析】（1）所求式子提取公因式x+y后變形，將x+y與xy的值代入計算即可求出值；（2）所求式子提取公因式后，利用完全平方公式分解因式，將a+b與ab的值代入計算即可求出值．【答案】解：（1）x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2＝x（x+y）[（x﹣y）﹣（x+y）]＝﹣2xy（x+y），當(dāng)x+y＝1，xy＝﹣時，原式＝﹣2×（﹣）×1＝1；（2）原式＝ab（a+b）2，當(dāng)a+b＝2，ab＝2時，原式＝×2×4＝4．【點睛】此題考查了因式分解的應(yīng)用，將所求式子進行適當(dāng)?shù)淖冃问墙獗绢}的關(guān)鍵．【考點8利用乘法公式求值】【例8】（2019春?新津縣校級月考）已知m﹣n＝3，mn＝2，求：（1）（m+n）2的值；（2）m2﹣5mn+n2的值．【分析】（1）根據(jù)完全平方公式得到（m+n）2＝m2+n2+2mn＝（m﹣n）2+4mn即可解題；（2）根據(jù)完全平方公式得到m2﹣5mn+n2＝（m+n）2﹣7mn即可解題．【答案】解：∵m﹣n＝3，mn＝2，∴（1）（m+n）2＝m2+n2+2mn＝（m﹣n）2+4mn＝9+8＝17；（2）m2﹣5mn+n2＝（m+n）2﹣7mn＝9﹣14＝﹣5．【點睛】本題考查了完全平方公式的運用，解題的關(guān)鍵是正確運用（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn．【變式8-1】（2019春?杭州期末）已知a﹣b＝7，ab＝﹣12．（1）求a2b﹣ab2的值；（2）求a2+b2的值；（3）求a+b的值．【分析】（1）直接提取公因式ab，進而分解因式得出答案；（2）直接利用完全平方公式進而求出答案；（3）直接利用（2）中所求，結(jié)合完全平方公式求出答案．【答案】解：（1）∵a﹣b＝7，ab＝﹣12，∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝﹣12×7＝﹣84；（2）∵a﹣b＝7，ab＝﹣12，∴（a﹣b）2＝49，∴a2+b2﹣2ab＝49，∴a2+b2＝25；（3）∵a2+b2＝25，∴（a+b）2＝25+2ab＝25﹣24＝1，∴a+b＝±1．【點睛】此題主要考查了完全平方公式以及提取公因式法分解因式，正確應(yīng)用完全平方公式是解題關(guān)鍵．【變式8-2】（2019春?邵東縣期中）已知有理數(shù)m，n滿足（m+n）2＝9，（m﹣n）2＝1，求下列各式的值．（1）mn；（2）m2+n2﹣mn．【分析】（1）已知等式利用完全平方公式化簡，相減即可求出mn的值；（2）已知等式利用完全平方公式化簡，相加即可求出m2+n2的值．【答案】解：（m+n）2＝m2+n2+2mn＝9①，（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝1②，（1）①﹣②得：4mn＝8，則mn＝2；（2）①+②得：2（m2+n2）＝10，則m2+n2＝5．所以m2+n2﹣mn＝5﹣2＝3．【點睛】此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2019春?杭州期中）已知（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，求下列式子的值：（1）a2+b2；（2）6ab．【分析】（1）直接利用完全平方公式將原式展開，進而求出a2+b2的值；（2）直接利用（1）中所求，進而得出ab的值，求出答案即可．【答案】解：（1）∵（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，∴a2+2ab+b2＝5，a2﹣2ab+b2＝3，∴2（a2+b2）＝8，解得：a2+b2＝4；（2）∵a2+b2＝4，∴4+2ab＝5，解得：ab＝，∴6ab＝3．【點睛】此題主要考查了完全平方公式，正確應(yīng)用完全平方公式是解題關(guān)鍵．【考點9因式分解探究題】【例9】（2018秋?江漢區(qū)校級月考）閱讀材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m，n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0．∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∵（m﹣n）2≥0，（n﹣4）2≥0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：（1）已知：x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值；（2）已知：△ABC的三邊長a，b，c都是正整數(shù)，且滿足：a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0，求△ABC的最大邊c的值；（3）已知：a﹣5b+2c＝20，4ab+8c2+20c+125＝0，直接寫出a的值．【分析】（1）把已知條件變形為（x+y）2+（y+1）2＝0，利用非負數(shù)性質(zhì)得出x，y的值，即可求得2x+y的值；（2））先把a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0變形為（a﹣6）2+（b﹣8）2＝0，得出a＝6，b＝8，再根據(jù)組成三角形的條件得出c的范圍，然后根據(jù)c是正整數(shù)就可以確定△ABC的最大邊c的值；（3）由a﹣5b+2c＝20，得a＝5b﹣2c+20，代入4ab+8c2+20c+125＝0再配方求得b，c的值，進而得出a的值．【答案】解：（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1＝0，∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）＝0，∴（x+y）2+（y+1）2＝0，∴x+y＝0，y+1＝0，∴x＝1，y＝﹣1，∴2x+y＝2﹣1＝1，即2x+y的值是1．（2）∵a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0，∴（a2﹣12a+36）+（b2﹣16b+64）＝0，∴（a﹣6）2+（b﹣8）2＝0，∴a﹣6＝0，b﹣8＝0，∴a＝6，b＝8，∵8﹣6＜c＜8+6，c≥8，c為正整數(shù)，∴8≤c＜14，∴△ABC的最大邊c的值可能是8、9、10、11、12、13．（3）∵a﹣5b+2c＝20，∴a＝5b﹣2c+20，∵4ab+8c2+20c+125＝0，∴4（5b﹣2c+20）b+8c2+20c+125＝0，∴20b2﹣8bc+80b+8c2+20c+125＝0，∴（2b﹣2c）2+（4b+10）2+（2c+5）2＝0，∴b＝c＝，∴a＝12.5．【點睛】（1）此題主要考查了因式分解方法的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：用因式分解的方法將式子變形時，根據(jù)已知條件，變形的可以是整個代數(shù)式，也可以是其中的一部分．（2）此題還考查了三角形的三條邊之間的關(guān)系，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：任意兩邊之和大于第三邊；任意兩邊之差小于第三邊．【變式9-1】（2017春?靖江市校級期中）在理解例題的基礎(chǔ)上，完成下列兩個問題：例題：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0．求m和n的值．解：因為m2+2mn+2n2﹣6n+9＝（m2+2mn+n2）+（n2﹣6n+9）＝（m+n）2+（n﹣3）2＝0所以m+n＝0，n﹣3＝0即m＝﹣3．n＝3問題：（1）若x2+2xy+2y2﹣4y+4＝0，求xy的值．（2）若a、b、c是△ABC的長，滿足a2+b2＝10a+8b﹣41，c是△ABC中最長邊的邊長，且c為偶數(shù)，那么c可能是哪幾個數(shù)？【分析】（1）根據(jù)題目中的例題的解答方法可以求得x、y的值，從而可以求得xy的值；（2）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)和三角形兩邊之和大于第三邊，可以求得長的取值范圍，由c是△ABC中最長邊的邊長，且c為偶數(shù)，從而可以得到c的值．【答案】解：（1）∵x2+2xy+2y2﹣4y+4＝0，∴x2+2xy+2y2﹣4y+4＝x2+2xy+y2+y2﹣4y+4＝（x+y）2+（y﹣2）2＝0，∴x+y＝0，y﹣2＝0，解得，x＝﹣2，y＝2，∴xy＝（﹣2）×2＝﹣4；（2）∵a2+b2＝10a+8b﹣41，∴a2+b2﹣10a﹣8b+41＝0，∴（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，∴a﹣5＝0，b﹣4＝0，解得，a＝5，b＝4，∵ABC中最長邊的邊長，且c為偶數(shù)，∴5＜c＜5+4，即5＜c＜9，∴c＝6或c＝8，即c可能是6或8．【點睛】本題考查配方法的應(yīng)用、非負數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用非負數(shù)的性質(zhì)和配方法解答．【變式9-2】（2019春?上虞區(qū)期末）閱讀下列材料，然后解答問題：問題：分解因式：x3+3x2﹣4．解答：把x＝1代入多項式x3+3x2﹣4，發(fā)現(xiàn)此多項式的值為0，由此確定多項式x3+3x2﹣4中有因式（x﹣1），于是可設(shè)x3+3x2﹣4＝（x﹣1）（x2+mx+n），分別求出m，n的值，再代入x3+3x2﹣4＝（x﹣1）（x2+mx+n），就容易分解多項式x3+3x2﹣4．這種分解因式的方法叫“試根法”．（1）求上述式子中m，n的值；（2）請你用“試根法”分解因式：x3+x2﹣16x﹣16．【分析】（1）先找出一個x的值，進而找出一個因式，再將多項式設(shè)成分解因式的形式，即可得出結(jié)論；（2）先找出x＝﹣1時，得出多項式的值，進而找出一個因式，再將多項式設(shè)成分解因式的形式，即可得出結(jié)論．【答案】解：（1）把x＝1代入多項式x3+3x2﹣4，多項式的值為0，∴多項式x3+3x2﹣4中有因式（x﹣1），于是可設(shè)x3+3x2﹣4＝（x﹣1）（x2+mx+n）＝x3+（m﹣1）x2+（n﹣m）x﹣n，∴m﹣1＝3，n﹣m＝0，∴m＝4，n＝4，（2）把x＝﹣1代入x3+x2﹣16x﹣16，多項式的值為0，∴多項式x3+x2﹣16x﹣16中有因式（x+1），于是可設(shè)x3+x2﹣16x﹣16＝（x+1）（x2+mx+n）＝x3+（m+1）x2+（n+m）x﹣n，∴m+1＝1，n+m＝﹣16，∴m＝0，n＝﹣16，∴x3+x2﹣16x﹣16＝（x+1）（x2﹣16）＝（x+1）（x+4）（x﹣4）【點睛】此題是分解因式，主要考查了試根法分解因式的理解和掌握，解本題的關(guān)鍵是理解試根法分解因式．【變式9-3】（2018秋?雨花區(qū)校級月考）教科書中這樣寫道：“我們把多項式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻?，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等．例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如求代數(shù)式2x2+4x﹣6的最小值.2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知當(dāng)x＝﹣1時，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝．（2）當(dāng)a，b為何值時，多項式2a2+3b2﹣4a+12b+18有最小值，并求出這個最小值．（3）當(dāng)a，b為何值時，多項式a2﹣4ab+5b2﹣4a+4b+27有最小值，并求出這個最小值．【分析】（1）根據(jù)閱讀材料，先將m2﹣4m﹣5變形為m2﹣4m+4﹣9，再根據(jù)完全平方公式寫成（m﹣2）2﹣9，然后利用平方差公式分解即可；（2）利用配方法將多項式a2+b2﹣4a+6b+18轉(zhuǎn)化為（a﹣2）2+（b+3）2+5，然后利用非負數(shù)的性質(zhì)進行解答；（3）利用配方法將多項式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27轉(zhuǎn)化為（a﹣b﹣1）2+（b﹣3）2+17，然后利用非負數(shù)的性質(zhì)進行解答．【答案】解：（1）m2﹣4m﹣5＝m2﹣4m+4﹣9＝（m﹣2）2﹣9＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3）＝（m+1）（m﹣5）．故答案為（m+1）（m﹣5）；（2）2a2+3b2﹣4a+12b+18＝2（a2﹣2a）+3（b2+4b）+18＝2（a2﹣2a+1）+3（b2+4b+4）+5＝2（a﹣1）2+3（b+2）2+5，當(dāng)a＝1，b＝﹣2時，2a2+3b2﹣4a+12b+18有最小值，最小值為5；（3）∵a2﹣4ab+5b2﹣4a+4b+27＝a2﹣4a（b+1）+4（b+1）2+（b﹣2）2+19＝（a﹣2b﹣2）2+（b﹣2）2+19，∴當(dāng)a＝6，b＝2時，多項式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27有最小值19．【點睛】此題考查了因式分解的應(yīng)用，以及非負數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．【考點10乘法公式探究題】【例10】（2019春?東臺市期中）如圖1是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成的一個“回形”正方形（如圖2）．（1）圖2中的陰影部分的面積為；（2）觀察圖2請你寫出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關(guān)系是；（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論，若x+y＝5，x?y＝，則x﹣y＝；（4）實際上通過計算圖形的面積可以探求相應(yīng)的等式．如圖3，你有什么發(fā)現(xiàn)？．【分析】（1）陰影部分為邊長為（b﹣a）的正方形，然后根據(jù)正方形的面積公式求解；（2）在圖2中，大正方形有小正方形和4個矩形組成，則（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（3）由（2）的結(jié)論得到（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，再把x+y＝5，x?y＝得到（x﹣y）2＝16，然后利用平方根的定義求解；（4）觀察圖形得到邊長為（a+b）與（3a+b）的矩形由3個邊長為a的正方形、4個邊長為a、b的矩形和一個邊長為b的正方形組成，則有（a+b）?（3a+b）＝3a2+4ab+b2．【答案】解：（1）陰影部分為邊長為（b﹣a）的正方形，所以陰影部分的面積（b﹣a）2；（2）圖2中，用邊長為a+b的正方形的面積減去邊長為b﹣a的正方形等于4個長寬分別a、b的矩形面積，所以（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（3）∵（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，而x+y＝5，x?y＝，∴52﹣（x﹣y）2＝4×，∴（x﹣y）2＝16，∴x﹣y＝±4；（4）邊長為（a+b）與（3a+b）的矩形面積為（a+b）（3a+b），它由3個邊長為a的正方形、4個邊長為a、b的矩形和一個邊長為b的正方形組成，∴（a+b）?（3a+b）＝3a2+4ab+b2．故答案為（b﹣a）2；（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；±4；（a+b）?（3a+b）＝3a2+4ab+b2．【點睛