高等數(shù)學(xué)難點總結(jié)及課后習(xí)題解讀

上冊：

函數(shù)（高等數(shù)學(xué)的主要研究對象）

極限：數(shù)列的極限（特殊）——函數(shù)的極限（一般）

極限的本質(zhì)是通過已知某一個量（自變量）的變化趨勢，去研究和探索另外i個量（因變量）

的變化趨勢

由極限可以推得的一些性質(zhì)：局部有界性、局部保號性……應(yīng)當(dāng)注意到，由極限所得到的性

質(zhì)通常都是只在局部范圍內(nèi)成立

在提出極限概念的時候并未涉及到函數(shù)在該點的具體情況，所以函數(shù)在某點的極限與函數(shù)在

該點的取值并無必然聯(lián)系

連續(xù)：函數(shù)在某點的極限等于函數(shù)在該點的取值

連續(xù)的本質(zhì)：自變量無限接近，因變量無限接近

導(dǎo)數(shù)的概念

本質(zhì)是函數(shù)增量與自變量增量的比值在自變量增量趨近于零時的極限，更簡單的說法是變化

率

微分的概念：函數(shù)增量的線性主要部分，這個說法有兩層意思，-、微分是一個線性近似,

二、這個線性近似帶來的誤差是足夠小的，實際上任何函數(shù)的增量我們都可以線性關(guān)系去近

似它，但是當(dāng)誤差不夠小時，近似的程度就不夠好，這時就不能說該函數(shù)可微分了

不定積分：導(dǎo)數(shù)的逆運算

什么樣的函數(shù)有不定積分

定積分：由具體例子引出，本質(zhì)是先分割、再綜合，其中分割的作用是把不規(guī)則的整體劃作

規(guī)則的許多個小的部分，然后再綜合，最后求極限，當(dāng)極限存在時，近似成為精確

什么樣的函數(shù)有定積分

求不定積分（定積分）的若干典型方法：換元、分部，分部積分中考慮放到積分號后面的部

分，不同類型的函數(shù)有不同的優(yōu)先級別，按反對幕三指的順序來記憶

定積分的幾何應(yīng)用和物理應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)里最重要的數(shù)學(xué)思想方法：微元法

微分和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：判斷函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性

微分中值定理，可從幾何意義去加深理解

泰勒定理：本質(zhì)是用多項式來逼近連續(xù)函數(shù)。要學(xué)好這部分內(nèi)容，需要考慮兩個問題：一、

這些多項式的系數(shù)如何求？二、即使求出了這些多項式的系數(shù)，如何去評估這個多項式逼近

連續(xù)函數(shù)的精確程度，即還需要求出誤差（余項），當(dāng)余項隨著項數(shù)的增多趨向于零時，這

種近似的精確度就是足夠好的

下冊（-）:

多元函數(shù)的微積分：將上冊的一元函數(shù)微積分的概念拓展到多元函數(shù)

最典型的是二元函數(shù)

極限：二元函數(shù)與?元函數(shù)要注意的區(qū)別，二元函數(shù)中兩點無限接近的方式有無限多種（?

元函數(shù)只能沿直線接近），所以二元函數(shù)存在的要求更高，即自變量無論以任何方式接近于

一定點，函數(shù)值都要有確定的變化趨勢

連續(xù)：二元函數(shù)和一元函數(shù)一樣，同樣是考慮在某點的極限和在某點的函數(shù)值是否相等

導(dǎo)數(shù)：上冊中已經(jīng)說過，導(dǎo)數(shù)反映的是函數(shù)在某點處的變化率（變化情況），在二元函數(shù)中，

一點處函數(shù)的變化情況與從該點出發(fā)所選擇的方向有關(guān)，有可能沿不同方向會有不同的變化

率，這樣引出方向?qū)?shù)的概念

沿坐標(biāo)軸方向的導(dǎo)數(shù)若存在，稱之為偏導(dǎo)數(shù)

通過研究發(fā)現(xiàn)，方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)存在一定關(guān)系，可用偏導(dǎo)數(shù)和所選定的方向來表示，即二

元函數(shù)的兩個偏導(dǎo)數(shù)已經(jīng)足夠表示清楚該函數(shù)在一點沿任意方向的變化情況

高階偏導(dǎo)數(shù)若連續(xù)，則求導(dǎo)次序可交換

微分：微分是函數(shù)增量的線性主要部分，這一本質(zhì)對一元函數(shù)或多元函數(shù)來說都一樣。只不

過若是二元函數(shù)，所選取的線性近似部分應(yīng)該是兩個方向自變量增量的線性組合，然后再考

慮誤差是否是自變量增量的高階無窮小，若是，則微分存在

僅僅有偏導(dǎo)數(shù)存在，不能推出用線性關(guān)系近似表示函數(shù)增量后帶來的誤差足夠小，即偏導(dǎo)數(shù)

存在不一定有微分存在

若偏導(dǎo)數(shù)存在，且連續(xù)，則微分一定存在

極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)和可微的關(guān)系在多元函數(shù)情形里比一元函數(shù)更為復(fù)雜

極值：若函數(shù)在一點取極值，且在該點導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）存在，則此導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）必為零

所以，函數(shù)在某點的極值情況，即函數(shù)在該點附近的函數(shù)增量的符號，由二階微分的符號判

斷。對一元函數(shù)來說，二階微分的符號就是二階導(dǎo)數(shù)的符號，對二元函數(shù)來說，二階微分的

符號可由相應(yīng)的二次型的正定或負(fù)定性判斷。

級數(shù)斂散性的判別思路：首先看通項是否趨于零，若不趨于零則發(fā)散。若通項趨于零，看是

否正項級數(shù)。若是正項級數(shù)，首先看能否利用比較判別法，注意等比級數(shù)和調(diào)和級數(shù)是常用

來作比較的級數(shù)，若通項是連乘形式，考慮用比值判別法，若通項是乘方形式，考慮用根值

判別法。若不是正項級數(shù)，取絕對值，考慮其是否絕對收斂，絕對收斂則必收斂。若絕對值

不收斂，考察般項，看是否交錯級數(shù)，用萊布尼茲準(zhǔn)則判斷。若不是交錯級數(shù)，只能通過

最根本的方法判斷，即看其前n項和是否有極限，具體問題具體分析。

比較判別法是充分必要條件，比值和根值法只是充分條件，不是必要條件。

函數(shù)項級數(shù)情況復(fù)雜，一般只研究累級數(shù)。阿貝爾定理揭示了嘉級數(shù)的重要性質(zhì)：收斂區(qū)域

存在一個收斂半徑。所以對界級數(shù)，關(guān)鍵在于求出收斂半徑，而這可利用根值判別法解決。

逐項求導(dǎo)和逐項積分不改變基級數(shù)除端點外的區(qū)域的斂散性，端點情況復(fù)雜，需具體分析。

一個函數(shù)能展開成幕級數(shù)的條件是：存在任意階導(dǎo)數(shù)。展開后的基級數(shù)能收斂于原來函數(shù)的

條件是：余項（誤差）要隨著項數(shù)的增加趨于零。這與泰勒展開中的結(jié)論一致。

微分方程：不同種類的方程有不同的常見解法，但理解上并無難處。

下冊（二）

定積分、二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分都可以概率為一種類型的

積分，從物理意義上來理解是某個空間區(qū)域（直線段、平面區(qū)域、立體區(qū)域、曲線段、曲面

區(qū)域）的質(zhì)量，其中被積元可看作區(qū)域的微小單元，被積函數(shù)則是該微小單元的密度

這些積分最終都是轉(zhuǎn)化成定積分來計算

第二類曲線積分的物理意義是變力做功（或速度環(huán)量），第二類曲面積分的物理意義是流量

在研究上述七類積分的過程中，發(fā)現(xiàn)其實被積函數(shù)都是空間位置點的函數(shù)，于是把這種以空

間位置作為自變量的函數(shù)稱為場函數(shù)

場函數(shù)有標(biāo)量場和向量場，一個向量場相當(dāng)于三個標(biāo)量場

場函數(shù)在一點的變化情況由方向?qū)?shù)給出，而方向?qū)?shù)最大的方向，稱為梯度方向。梯度是

一個向量，任何方向的方向?qū)?shù)，都是梯度在這個方向上的投影，所以悌度的模是方向?qū)?shù)

的最大值

梯度方向是函數(shù)變化最快的方向，等位面方向是函數(shù)無變化的方向，這兩者垂直

梯度實際上一個場函數(shù)不均勻性的量度

梯度運算把一個標(biāo)量場變成向量場

一條空間曲線在某點的切向量，便是該點處的曲線微元向量，有三個分量，它建立了第一類

曲線積分與第二類曲線積分的聯(lián)系

一張空間曲面在某點的法向量，便是該點處的曲面微元向量，有三個分量，它建立了第一類

曲血積分和第二類曲面積分的聯(lián)系

物體在一點處的相對體積變化率由該點處的速度場決定，其值為速度場的散度

散度運算把向量場變成標(biāo)量場

散度為零的場稱為無源場

高斯定理的物理意義：對散度在空間區(qū)域進行體積分，結(jié)果應(yīng)該是這個空間區(qū)域的體枳變化

率，同時這種體積變化也可看成是在邊界上的流量造成的，故兩者應(yīng)該相等。即高斯定理把

一個速度場在邊界上的積分與速度場的散度在該邊界所圍的閉區(qū)域上的體積分聯(lián)系起來

無源場的體積變化為零，這是容易理解的，相當(dāng)于既無損失又無補充

物體在一點處的旋轉(zhuǎn)情況由該點處的速度場決定，其值為速度場的旋度

旋度運算把向量場變成向量場

旋度為零的場稱為無旋場

斯托克斯定理的物理意義：對旋度在空間曲面進行第二類曲面積分，結(jié)果應(yīng)該表示的是這個

曲面的旋轉(zhuǎn)快慢程度，同時這種旋轉(zhuǎn)也可看成是邊界上的速度環(huán)量造成的，故兩者應(yīng)該相等。

即斯托克斯定理把一個速度場在邊界上形成的環(huán)量與該邊界所圍的曲面的第二類曲面積分

聯(lián)系起來。該解釋是從速度環(huán)量的角度出發(fā)得到的，比高斯定理要難，不強求掌握。

無旋場的速度環(huán)量為零，這相當(dāng)于一個區(qū)域沒有旋轉(zhuǎn)效應(yīng)，這是容易理解的

格林定理是斯托克斯定理的平面情形

進一步考察無旋場的性質(zhì)

旋度為零，相當(dāng)于對旋度作的第二類曲面積分為零——即等號后邊的第二類曲線積分為零，

相當(dāng)于該力場圍繞一閉合空間曲線作做的功為零——即從該閉合曲線上任選一點出發(fā)，積分

與路徑無關(guān)——相當(dāng)于所得到的曲線積分結(jié)果只于終點的選擇有關(guān)，與路徑無關(guān)，可看成終

點的函數(shù)，這是?個場函數(shù)（空間位置的函數(shù)），稱為勢函數(shù)——所得的勢函數(shù)的梯度正好

就是原來的力場——因為力場函數(shù)是連續(xù)的，所以勢函數(shù)有全微分

簡單的概括起來就是：無旋場——積分與路徑無關(guān)——梯度場——有勢場——全微分

要注意以上這些說法之間的等價性

三定理（GaussStokesGreen）的向量形式和分量形式都要熟悉

基礎(chǔ)階段的復(fù)習(xí)是以課本為主，主要任務(wù)兩個，一是學(xué)習(xí)知識點（定義、定理、公式）并理

解它們，二是完成一定的課后習(xí)題以檢驗自己對知識點的掌握程度。

很多人在學(xué)習(xí)中都容易忽視課本，覺得比起那些專門的參考資料，課本上的習(xí)題實際上是沒

什么值得關(guān)注的，但其實不然，一套經(jīng)典的教材，它所配的習(xí)題很多都有值得我們?nèi)ネ诰虻?/p>

地方。

那么接下來我就說說我對我們用的教材上課后習(xí)題的解讀，希望能給同學(xué)們提示。因為高數(shù)

的題目比較多，而我感覺每章的總習(xí)題有著更好的總結(jié)性，所以主要就說說總習(xí)題一到十二

里我感覺值得注意的一些題目吧。

總習(xí)題一：

I是填空題，是考察與極限有關(guān)的一些概念，這個是很重要的，要掌握好。而且?guī)缀趺空碌?/p>

總習(xí)題都設(shè)了填空題，均與這些章節(jié)的重要概念有關(guān)。所以每章的總習(xí)題里的填空題所涉及

的知識點，比如誰是誰的什么條件之類，務(wù)必要搞清楚。

2是無窮小的階的比較

3、4、5、6是與函數(shù)有關(guān)的題目，這個是學(xué)好高數(shù)的基礎(chǔ)，但卻不是高數(shù)側(cè)重的內(nèi)容，熟

悉即可

7用定義證明極限，較難，一般來說能理解極限的概念就可以了

8典型題，求各種類型極限，重要，6個小題各代表對類型，其實求極限的題目基本跳不

出這六種框架了

9典型題，選擇合適的參數(shù)，使函數(shù)連續(xù)，用連續(xù)的定義即可

10典型題，判斷函數(shù)的間斷點類型，按間斷點的分類即可

11較難的極限題，這里是要用到夾逼原理，此類題目技巧性強，體會一下即可

12證明零點存在的問題，要用到連續(xù)函數(shù)介值定理，重要的證明題型之一，必需掌握

13該題目給出了漸近線的定義以及求法，要作為一個知識點來掌握，重要

綜上，第一章總習(xí)題要著重掌握的是1、2、8、9、10、12、13題

總習(xí)題二：

1填空題，不多說了，重點

2非常好的一道題目，考察了與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的?些說法，其中的干擾項(B〉(C)設(shè)置的比較

巧妙，因為平時我們一般只注意到導(dǎo)數(shù)在某點存在的條件是左右導(dǎo)數(shù)都存在且相等，容易忽

視另一個重要條件：函數(shù)必須要在該點連續(xù)，否則何來可導(dǎo)？而(B)(C)項的問題正是在

于即使其中的極限存在，也不能保證函數(shù)在該點連續(xù)，因為根本就沒出現(xiàn)f(a),所以對f(x)

在a處的情況是不清楚的。而對(A)項來說只能保證右導(dǎo)數(shù)存在。只有(D)項是能確實

的推出可導(dǎo)的

3物理應(yīng)用現(xiàn)在基本不要求了

4按定義求導(dǎo)數(shù)，不難，應(yīng)該掌握

5常見題型，判斷函數(shù)在間斷點處的導(dǎo)數(shù)情況，按定義即可

6典型題，討論函數(shù)在間斷點處的連續(xù)性和可導(dǎo)性，均按定義即可

7求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算層面的考察，第二章學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容

8求二階導(dǎo)數(shù)，同上題

9求高階導(dǎo)數(shù)，需注意總結(jié)規(guī)律，難度稍大，體會思路即可

10求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，重要，?？碱}型

11求參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)，同樣是?？碱}型

12導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用，重要題型

13、14、15不作要求

綜上，第二章總習(xí)題需重點掌握的題目是1、2、4、5、6、7、8、10、11>12

第三章的習(xí)題都比較難，需要多總結(jié)和體會解題思路

總習(xí)題三

1零點個數(shù)的討論問題，典型題，需掌握

2又一道設(shè)置巧妙的題目，解決方法有很多，通過二階導(dǎo)的符號來判斷函數(shù)增量與導(dǎo)數(shù)、微

分的大小關(guān)系，07年真題就有一道題目由此題改造而來，需重點體會

3舉反例，隨便找個有跳躍點的函數(shù)即可

4中值定理和極限的綜合應(yīng)用，重要題目，主要從中體會中值定理的妙處

5零點問題，可用反證法結(jié)合羅爾定理，也可正面推證，確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可，此題

非典型題

6、7、8中值定理典型題，要證明存在零點，可構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，再利用羅爾定理，此

類題非常重要，要細(xì)心體會解答給出的方法

9非常見題型，了解即可

10羅必達(dá)法則應(yīng)用，重要題型，重點掌握

11不等式，一般可用導(dǎo)數(shù)推征，典型題

12、13極值及最值問題，需要掌握，不過相對來說多元函數(shù)的這類問題更重要些

14、15、16不作要求

17非常重要的一道題目，設(shè)計的很好，需要注意題目條件中并未給出「可導(dǎo)，故不能連用

兩次洛必達(dá)法則，只能用一次洛必達(dá)法則再用定義，這是此題的亮點

18無窮小的階的比較，一是可直接按定義，二是可將函數(shù)泰勒展開，都能得到結(jié)果，此題

考察的是如何判斷兩個量的階的大小，重要

19對凹凸性定義的推廣，用泰勒公式展開到二階可較方便的解決，此題可看作泰勒公式應(yīng)

用的一個實例，重在體會其思想

20確定合適的常數(shù)，使得函數(shù)為給定的無窮小量，典型題，且難度不大

綜上，第三章總習(xí)題需要重點掌握的是1、2、4、6、7、8、10、II、12、13、17、18、20

第四章沒有什么可說的重點，能做多少是多少吧……

積分的題目是做不完的。

當(dāng)然，如果你以那種不破樓蘭終不還的決心和氣勢，最終把所有題目搞定了，這還是值得恭

喜的，盡管可能這會花掉很多時間，但仍然是值得的……因為這有效的鍛煉了思維。

總習(xí)題五

1填空，重要，但第（2）、（3）問涉及廣義積分，不作要求

2典型題，前3題用定積分定義求極限，需重點掌握，尤其是要體會如何把和式改寫為相應(yīng)

的積分式，積分區(qū)間和被積函數(shù)如何定，這個是需要適當(dāng)?shù)木毩?xí)才能把握好的，后2題涉及

積分上限函數(shù)求導(dǎo)，也是常見題型

3分別列出三種積分計算中最可能出現(xiàn)的錯誤，需細(xì)心體會，重要

4利用定積分的估值證明不等式，技巧性較強

5兩個著名不等式的積分形式，不作強制要求，了解即可

6此題證明要用5題中的柯西不等式，不作要求

7計算定積分，典型題

8證明兩個枳分相等，可用一般方法，也可利用二重積分的交換積分次序，設(shè)計巧妙的重點

題目

9同樣是利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，只不過對象變得比?般函數(shù)復(fù)雜，是積分上限函數(shù)，但本質(zhì)

和第三章的類似題目無區(qū)別，不難掌握

10分段求積分，典型題

11證明積分第一中值定理，要用到連續(xù)函數(shù)的介值定理，難度高于積分中值定理的證明，

可作為提高和鍛煉性質(zhì)的練習(xí)

綜上，總習(xí)題五需要重點掌握的題目是1、2、3、7、8、9、10

定積分的應(yīng)用一塊的考察，現(xiàn)在更偏重的是幾何應(yīng)用

1物理應(yīng)用，跳過

2所涉及到的圖形較為復(fù)雜，是兩個圓，其中第二個是旋轉(zhuǎn)了一定角度的圓，不易看出，此

題可作為一個提高性質(zhì)的練習(xí)

3重點題，積分的幾何應(yīng)用和極值問題相結(jié)合，常考題型之一

4旋轉(zhuǎn)體體積，需注意的是繞哪條線形成的旋轉(zhuǎn)體，所繞的軸不同的話，結(jié)果不同

5求弧長，非典型題，了解即可

6、7、8均為物理應(yīng)用，不作要求，有興趣的不妨一試

綜上，總習(xí)題六實際上就2、3、4題需要引起注意

第七章空間解析幾何，只對數(shù)一的同學(xué)有要求，數(shù)二三四的就直接pass吧

總習(xí)題七

1填空，向量代數(shù)的基本練習(xí)，必不可少

2、3、4、5都是平面向量幾何的題目，不太重要，不過適當(dāng)練習(xí)可以培養(yǎng)起用向量的方式

來思考問題的習(xí)慣

7、8、9、10、11都是與向量有關(guān)的運算，包括加（減），數(shù)乘、點積（相應(yīng)的意義是一個

向量在另一個向量的投影）、兩向量的夾角、叉積（相應(yīng)的意義是平行四邊形的面積），要通

過這些題目熟悉向量的各種運算，重要

12用證明題的形式來考察對混合積的掌握，需掌握

13按定義寫點的軌跡方程，解析幾何中的常見題，了解基本做法即可

14旋轉(zhuǎn)曲面相關(guān)題目，非常重要，要搞清楚繞某一軸旋轉(zhuǎn)后的旋轉(zhuǎn)曲面寫法

15、16求平面的方程，順帶可復(fù)習(xí)平面方程的類型，這類問題的解決辦法一般是先從立體

幾何中考慮，想到做法再翻譯成解析幾何的語言，重在思路的考察，需多加練習(xí)

17求直線方程，同上題

18解析幾何與極值的混合問題，也是一類典型題

19、20考察投影曲線和投影面，這部分知識是多重積分計算的基礎(chǔ)，要重點掌握

21畫出曲面所圍的立體圖形，有一定難度，是對空間想象能力的鍛煉，盡量都掌握

綜上，總習(xí)題七需重點掌握的題目是1、7、8、9、10、11、12、14、15、16、17、18、19、

20

下冊的內(nèi)容有很多數(shù)二數(shù)三數(shù)四不考，因此我在解讀習(xí)題時盡量標(biāo)注出是數(shù)一要求的，大家

平時也多查查考綱或者翻翻計劃，這樣對于哪些考哪些不考就更清楚了。

總習(xí)題八：

1填空，很重要

2選擇，著重考查一條說法，偏導(dǎo)數(shù)存在未必可微，這個是無論數(shù)幾都需要的，還有就是偏

導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用，這個只數(shù)一要求

3基本題，求二元函數(shù)的定義域和極限，因為是初等函數(shù)，直接用“代入法''求極限就可以了

4典型題，判斷極限存在性，考察如果證明一個二元函數(shù)的極限是不存在的（常用方法是取

兩條路徑）

5典型題，求偏導(dǎo)數(shù)，注意在連續(xù)區(qū)間內(nèi)按求導(dǎo)法則求，在間斷點處只能按定義求

6求高階偏導(dǎo)數(shù)，到二階的題目需要熟練掌握

7微分的概念，簡單題目，直接按微分和增量的定義即可

8重點題型，對一個二元函數(shù)，考察其在某點的連續(xù)性、偏導(dǎo)存在情況和可微性，務(wù)必熟練

此類題目

9、10、11、12復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t，重點題型，要多加練習(xí)的一類題目，復(fù)合函數(shù)

中哪些自變量是獨立的，哪些是不獨立的，還有各自對應(yīng)關(guān)系，判斷好這些是解題的關(guān)鍵

13、14分別是極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)情形下偏導(dǎo)數(shù)的兒何應(yīng)用，數(shù)要求

15、16方向?qū)?shù)相關(guān)題目，該知識點與第十一章聯(lián)系密切，重要，數(shù)?要求

17、18多元函數(shù)的極值問題，典型題，且通常都是結(jié)合條件極值來考，這類題目一定要熟

練，其中08年真題中一道極值題目就是把17題中的柱面改成錐面，其它完全一樣，由此可

見對課本要重新重視。

綜上，總習(xí)題八需要重點掌握的題目是1、2、4、5、6、8、9、10、11、12、13（數(shù)）、

14（數(shù)一）、15（數(shù)一）、16（數(shù)一）、17、18

第九章的內(nèi)容中，二重積分以外的內(nèi)容是數(shù)二三四不要求的，就不在題號后一一寫明了

總習(xí)題九

1選擇題，實際是考察多重積分的對稱性，屬于典型題，在多重積分的情況下，對稱性的應(yīng)

用比定積分要復(fù)雜，重要，第（1）小問是三重積分，只數(shù)一要求，第（2）小問是二重積分

2、3基本題型，計算二重積分或者是交換二重積分的順序，需要熟練掌握

4利用交換積分次序證明等式，體會一下方法即可

5基本題型，利用極坐標(biāo)計算二重積分，實際上在計算多重積分時本就要求根據(jù)不同的積分

區(qū)域選擇合適的隹標(biāo)系，這是一個基本能力，重要

6確定三重積分的積分區(qū)域，比較鍛煉空間想象能力的?類題，重要

7計算三重積分，基本題型，仍然要注意區(qū)域不同，所選坐標(biāo)系不同

8重積分的幾何應(yīng)用，從二重積分的角度，或者從三重積分的角度都可以求解，此題要求數(shù)

二三四考生也掌握

9、10、11是重積分的物理應(yīng)用，不作要求

綜上，總習(xí)題九需要重點掌握的題目是1、2、3、5、6、7、8

第十章的內(nèi)容全部針對數(shù)一

總習(xí)題十

1填空，相關(guān)知識點是兩類線、面積分之間的聯(lián)系，重要

2選擇，考察的是第一類曲面積分的對稱性，與重積分的對稱性類同，重點題型。需要注意,

第二類線、面積分與第?類會有所不同，因為第二類線、面積分的被積元也有符號，這是和

第類線、面積分的區(qū)別

3計算曲線積分，基本題型，需要多加練習(xí)，六個小題基本覆蓋了曲線積分計算題的類型

4計算曲面積分，基本題型，要求同上題。注意在計算線、面積分時，方法很多，常用的有

直接轉(zhuǎn)化成定積分或二重積分，或用Green公式，Guass定理，在用這兩個定理時又要注意

其成立的條件是所圍區(qū)域不能有奇點，甚至不是閉區(qū)域要先補線或者補面，此類題目一定要

熟練掌握

5全微分的相關(guān)等價說法，典型題，順帶可回顧一下與全微分有關(guān)的一系列等價命題

6、7線面積分的物理應(yīng)用，不作要求

8證明，涉及的知識點多，覆蓋面廣，通過此題的練習(xí)可回憶和鞏固線面積分的幾乎所有知

識點（把梯度和方向?qū)?shù)包括進來了），推薦掌握

9從流量的角度出發(fā)理解第二類曲面積分，基本題型

10用Stokes定理積分空間曲線積分，基本題型，01年考過

綜上，總習(xí)題十需要重點掌握的題目是1、2、3、4、5、8、9、10

第卜章是級數(shù)，數(shù)二數(shù)四不要求，其中傅立葉級數(shù)對數(shù)三無要求

總習(xí)題十一

1填空，涉及級數(shù)斂散性的相關(guān)說法，重要

2判斷正項級數(shù)的收斂性，典型題，綜合應(yīng)用比較、比值、根值三種方法，在用比較判別法

時實際就是比較兩個通項是否同階無窮小，這樣可讓思路更清晰

3抽象級數(shù)的概念題，重點題型之一，要利用級數(shù)收斂的相關(guān)性質(zhì)判斷

4設(shè)置了陷阱的概念題，因為比較判別法只對正項級數(shù)成立，也是重點題型之一

5判斷級數(shù)的絕對收斂和條件收斂，典型題，通過這些練習(xí)來加強對這類題目的熟練度

6利用收斂級數(shù)的通項趨于零這一說法來判斷極限，體會方法即可

7求募級數(shù)的收斂域，典型題，要多加練習(xí)，注意搞清楚收斂域、收斂半徑、收斂區(qū)域的區(qū)

別

8求慕級數(shù)的和函數(shù)，典型題，重要，一般求和函數(shù)都不用直接法而用間接法，即通過對通

項作變形（逐項積分或求導(dǎo)等），再利用已知的常見函數(shù)的展開式得到結(jié)果，注意求出和函

數(shù)不要忘記相應(yīng)的收斂域。

9利用構(gòu)造某級數(shù)來求數(shù)項級數(shù)的和，也是一類重要題型

10耨函數(shù)展開為幕級數(shù)，與8是互為反問題，仍是多用間接展開法，方法上異曲同工，需

要熟練掌握，同樣注意不要忘記收斂域

11、12傅立葉級數(shù)的相關(guān)題目，基本題，此類題目記得相應(yīng)的系數(shù)表達(dá)式就可解決，一般

來說至少要掌握周期為pi的情形。注意傅氏級數(shù)展開的系數(shù)公式難記，只能平時多加回顧,

還有不要忽略了在非連續(xù)點展開后的傅氏級數(shù)的收斂情況（即狄利赫萊收斂定理）

綜上，總習(xí)題H^一需要重點掌握的題目是1、2、3、4、5、7、8、9、10、11

第十二章微分方程，二階以上的方程對數(shù)四不作要求，下面不再詳細(xì)說明

總習(xí)題十二

1填空，涉及微分方程理論的若干說法，基本題，第（2）問只數(shù)一要求

2通過解的形式觀察出相應(yīng)的微分方程，典型題，其中第（2）問更重要

3、4求解不同類型的微分方程，通過這些題目的練習(xí)，基本對各種方程的解法有一定了解,

同時也培養(yǎng)了一些解題思路和技巧，重要。其中涉及到全微分方程的幾個小題只數(shù)一有要求

5微分方程的幾何應(yīng)用，基本題

6微分方程的物理應(yīng)用，不作要求

7由積分方程推導(dǎo)微分方程，典型題，要求掌握

8用變量代換化簡微分方程，典型題，只對數(shù)一有要求，注意在代換過程中要搞清楚變量和

變量的對應(yīng)關(guān)系

9涉及微分方程基本理論的題目，非常見題型，但可體會其出題思路

10歐拉方程的練習(xí)，數(shù)一要求基礎(chǔ)階段的復(fù)習(xí)是以課本為主，主要任務(wù)兩個，一是學(xué)習(xí)知

識點（定義、定理、公式）并理解它們，二是完成一定的課后習(xí)題以檢驗自己對知識點的掌

握程度。

很多人在學(xué)習(xí)中都容易忽視課本，覺得比起那些專門的參考資料，課本上的習(xí)題實際上是沒

什么值得關(guān)注的，但其實不然，一套經(jīng)典的教材，它所配的習(xí)題很多都有值得我們?nèi)ネ诰虻?/p>

地方。

那么接下來我就說說我對我們用的教材上課后習(xí)題的解讀，希望能給同學(xué)們提示。因為高數(shù)

的題目比較多，而我感覺每章的總習(xí)題有著更好的總結(jié)性，所以主要就說說總習(xí)題一到十二

里我感覺值得注意的一些題目吧。

總習(xí)題一：

1是填空題，是考察與極限有關(guān)的一些概念，這個是很重要的，要掌握好。而且?guī)缀趺空碌?/p>

總習(xí)題都設(shè)了填空題，均與這些章節(jié)的重要概念有關(guān)。所以每章的總習(xí)題里的填空題所涉及

的知識點，比如誰是誰的什么條件之類，務(wù)必要搞清楚。

2是無窮小的階的比較

3、4、5、6是與函數(shù)有關(guān)的題目，這個是學(xué)好高數(shù)的基礎(chǔ)，但卻不是高數(shù)側(cè)重的內(nèi)容，熟

悉即可

7用定義證明極限，較難，一般來說能理解極限的概念就可以了

8典型題，求各種類型極限，重要，6個小題各代表一種類型，其實求極限的題目基本跳不

出這六種框架了

9典型題，選擇合適的參數(shù)，使函數(shù)連續(xù)，用連續(xù)的定義即可

10典型題，判斷函數(shù)的間斷點類型，按間斷點的分類即可

11較難的極限題，這里是要用到夾逼原理，此類題目技巧性強，體會一下即可

12證明零點存在的問題，要用到連續(xù)函數(shù)介值定理，重要的證明題型之?，必需掌握

13該題目給出了漸近線的定義以及求法，要作為一個知識點來掌握，重要

綜上，第一章總習(xí)題要著重掌握的是1、2、8、9、10、12、13題

總習(xí)題二：

1填空題，不多說了，重點

2非常好的一道題目，考察了與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的?些說法，其中的干擾項(B)(C)設(shè)置的比較

巧妙，因為平時我們一般只注意到導(dǎo)數(shù)在某點存在的條件是左右導(dǎo)數(shù)都存在且相等，容易忽

視另一個重要條件：函數(shù)必須要在該點連續(xù)，否則何來可導(dǎo)？而(B)(C)項的問題正是在

于即使其中的極限存在，也不能保證函數(shù)在該點連續(xù)，因為根本就沒出現(xiàn)f(a),所以對f(x)

在a處的情況是不清楚的。而對(A)項來說只能保證右導(dǎo)數(shù)存在。只有(D)項是能確實

的推出可導(dǎo)的

3物理應(yīng)用現(xiàn)在基本不要求了

4按定義求導(dǎo)數(shù)，不難，應(yīng)該掌握

5常見題型，判斷函數(shù)在間斷點處的導(dǎo)數(shù)情況，按定義即可

6典型題，討論函數(shù)在間斷點處的連續(xù)性和可導(dǎo)性，均按定義即可

7求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算層面的考察，第二章學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容

8求二階導(dǎo)數(shù)，同上題

9求高階導(dǎo)數(shù)，需注意總結(jié)規(guī)律，難度稍大，體會思路即可

10求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，重要，?？碱}型

11求參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)，同樣是?？碱}型

12導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用，重要題型

13、14、15不作要求

綜上，第二章總習(xí)題需重點掌握的題目是1、2、4、5、6、7、8、10、11、12

第三章的習(xí)題都比較難，需要多總結(jié)和體會解題思路

總習(xí)題三

1零點個數(shù)的討論問題，典型題，需掌握

2又一道設(shè)置巧妙的題目，解決方法有很多，通過二階導(dǎo)的符號來判斷函數(shù)增量與導(dǎo)數(shù)、微

分的大小關(guān)系，07年真題就有一道題目由此題改造而來，需重點體會

3舉反例，隨便找個有跳躍點的函數(shù)即可

4中值定理和極限的綜合應(yīng)用，重要題目，主要從中體會中值定理的妙處

5零點問題，可用反證法結(jié)合羅爾定理，也可正面推證，確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可，此題

非典型題

6、7、8中值定理典型題，要證明存在零點，可構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，再利用羅爾定理，此

類題非常重要，要細(xì)心體會解答給出的方法

9非常見題型，了解即可

10羅必達(dá)法則應(yīng)用，重要題型，重點掌握

11不等式，一般可用導(dǎo)數(shù)推征，典型題

12、13極值及最值問題，需要掌握，不過相對來說多元函數(shù)的這類問題更重要些

14、15、16不作要求

17非常重要的一道題目，設(shè)計的很好，需要注意題目條件中并未給出「可導(dǎo)，故不能連用

兩次洛必達(dá)法則，只能用一次洛必達(dá)法則再用定義，這是此題的亮點

18無窮小的階的比較，一是可直接按定義，二是可將函數(shù)泰勒展開，都能得到結(jié)果，此題

考察的是如何判斷兩個量的階的大小，重要

19對凹凸性定義的推廣，用泰勒公式展開到二階可較方便的解決，此題可看作泰勒公式應(yīng)

用的?個實例，重在體會其思想

20確定合適的常數(shù)，使得函數(shù)為給定的無窮小量，典型題，且難度不大

綜上，第三章總習(xí)題需要重點掌握的是1、2、4、6、7、8、10、II、12、13、17、18、20

第四章沒有什么可說的重點，能做多少是多少吧……

積分的題目是做不完的。

當(dāng)然，如果你以那種不破樓蘭終不還的決心和氣勢，最終把所有題目搞定了，這還是值得恭

喜的，盡管可能這會花掉很多時間，但仍然是值得的……因為這有效的鍛煉了思維。

總習(xí)題五

1填空，重要，但第(2)、(3)問涉及廣義積分，不作要求

2典型題，前3題用定積分定義求極限，需重點掌握，尤其是要體會如何把和式改寫為相應(yīng)

的積分式，積分區(qū)間和被積函數(shù)如何定，這個是需要適當(dāng)?shù)木毩?xí)才能把握好的，后2題涉及

積分上限函數(shù)求導(dǎo)，也是常見題型

3分別列出三種積分計算中最可能出現(xiàn)的錯誤，需細(xì)心體會，重要

4利用定積分的估值證明不等式，技巧性較強

5兩個著名不等式的積分形式，不作強制要求，了解即可

6此題證明要用5題中的柯西不等式，不作要求

7計算定積分，典型題

8證明兩個積分相等，可用一般方法，也可利用二重積分的交換積分次序，設(shè)計巧妙的重點

題目

9同樣是利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，只不過對象變得比?般函數(shù)復(fù)雜，是積分上限函數(shù)，但本質(zhì)

和第三章的類似題目無區(qū)別，不難掌握

10分段求積分，典型題

11證明積分第一中值定理，要用到連續(xù)函數(shù)的介值定理，難度高于積分中值定理的證明，

可作為提高和鍛煉性質(zhì)的練習(xí)

綜上，總習(xí)題五需要重點掌握的題目是1、2、3、7、8、9、10

定積分的應(yīng)用一塊的考察，現(xiàn)在更偏重的是幾何應(yīng)用

1物理應(yīng)用，跳過

2所涉及到的圖形較為復(fù)雜，是兩個圓，其中第二個是旋轉(zhuǎn)了一定角度的圓，不易看出，此

題可作為一個提高性質(zhì)的練習(xí)

3重點題，積分的幾何應(yīng)用和極值問題相結(jié)合，?？碱}型之一

4旋轉(zhuǎn)體體積，需注意的是繞哪條線形成的旋轉(zhuǎn)體，所繞的軸不同的話，結(jié)果不同

5求弧長，非典型題，了解即可

6、7、8均為物理應(yīng)用，不作要求，有興趣的不妨一試

綜上，總習(xí)題六實際上就2、3、4題需要引起注意

第七章空間解析幾何，只對數(shù)一的同學(xué)有要求，數(shù)二三四的就直接pass吧

總習(xí)題七

1填空，向量代數(shù)的基本練習(xí)，必不可少

2、3、4、5都是平面向量幾何的題目，不太重要，不過適當(dāng)練習(xí)可以培養(yǎng)起用向量的方式

來思考問題的習(xí)慣

7、8、9、10、11都是與向量有關(guān)的運算，包括加（減），數(shù)乘、點積（相應(yīng)的意義是一個

向量在另一個向量的投影）、兩向量的夾角、叉積（相應(yīng)的意義是平行四邊形的面積），要通

過這些題目熟悉向量的各種運算，重要

12用證明題的形式來考察對混合積的掌握，需掌握

13按定義寫點的軌跡方程，解析幾何中的常見題，了解基本做法即可

14旋轉(zhuǎn)曲面相關(guān)題目，非常重要，要搞清楚繞某一軸旋轉(zhuǎn)后的旋轉(zhuǎn)曲面寫法

15、16求平面的方程