2023年省際名校高考數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知，，，"是兩條不同的直線，mJ■平面a,貝！是的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.函數(shù)〃一一的圖象可能是下面的圖象（）

（x-2）

3.設(shè)全集U=凡集合/={x|x<l},N={x|x>2},貝！|@，M)cN=()

A.{x|x>2}B.{x|x>1}C.{x[l<x<2}D.{x|x>2)

4.已知復(fù)數(shù)z滿足i-z=3+2i(i是虛數(shù)單位)，則三=()

A.2+3iB.2—3zC.—2+3iD.-2-3/

5.a為正實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，—=2,則a=()

I

A.2B.73C.y/2D.1

6.某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的外接球表面積為（）

▽

伊女拓

A.124B.16萬(wàn)

C.24萬(wàn)

22

7.已知雙曲線C:0-馬=l（a>0力>0）的一個(gè)焦點(diǎn)為產(chǎn)，點(diǎn)A3是C的一條漸近線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，以AB

abz

為直徑的圓過(guò)尸且交。的左支于M,N兩點(diǎn)，若|MN|=2,AABb的面積為8,則C的漸近線方程為（）

A.y=±>]3xB.y=±——x

.3

C.y=±2xD.y=±-x

2

CCSX

8.函數(shù)/（力二古海的部分圖像大致為（

9.已知函數(shù)/（x）=lnx—@+a在xe[l,e]上有兩個(gè)零點(diǎn)，則〃的取值范圍是（）

10.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面a上，且AB//CD,若正方體的六個(gè)面所在的平面與直線

A.m=nB.加=〃+2C.m<nD.m+n<S

11.設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S.，若&=5,Sg=81,則()

A.23B.25C.28D.29

12.已知A，B是函數(shù)'一圖像上不同的兩點(diǎn)，若曲線y=/(x)在點(diǎn)A，8處的切線重合，則

xlnx-a,x>0

實(shí)數(shù)。的最小值是()

1I

A.-1B.——C.-D.1

22

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S.,q=2,S“=(1—!卜的也=log24,則數(shù)列1的前〃項(xiàng)和(,=.

92

14.已知尸(1,1)為橢圓?+與=1內(nèi)一定點(diǎn)，經(jīng)過(guò)P引一條弦，使此弦被P點(diǎn)平分，則此弦所在的直線方程為

15.雙曲線J/一/=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是,漸近線方程是.

16.已知二項(xiàng)式，x.(J的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為-160,貝加=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=aln(l+x),g(x)=；x3一3〃(力=，-1.

(1)當(dāng)年0時(shí)，f(x)<h(x)恒成立，求。的取值范圍；

(2)當(dāng)xVO時(shí)，研究函數(shù)戶(x)=h(x)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(3)求證：U也<賑<2222(參考數(shù)據(jù)：In1.1=0.0953).

10002699

18.(12分)已知函數(shù)/*)=二_^——(a>0).

x~-ax+\

(1)當(dāng)a=0時(shí)，試求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線；

(2)試討論函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間.

19.(12分)如圖，在三棱錐。一ABC中，AB1PC,M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)。在上，〃平面PAC,平面_L

平面PMC,ACPM為銳角三角形，求證：

(1)。是的中點(diǎn)；

(2)平面ABC_L平面PMC.

20.(12分)已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,且〃、凡、S,,成等差數(shù)列，^,=21og2(l+a?)-l.

(1)證明數(shù)列｛凡+1｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列也.｝中去掉數(shù)列)??｝的項(xiàng)后余下的項(xiàng)按原順序組成數(shù)列｛cj,求q+C2+…+《00的值.

7T1

21.(12分)如圖，在正四棱錐產(chǎn)一458中，AB=2,ZAPC=~,"為08上的四等分點(diǎn)，即-8P.

34

(1)證明：平面AMCJ■平面P8C；

(2)求平面PDC與平面4WC所成銳二面角的余弦值.

22.(10分)已知ae(0,外,加仔兀)，cos〃=-；,sin(a+〃)=/.

(1)求sine的值；

(2)求tan[a+§)的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

當(dāng)J_平面a時(shí)，若/〃a”則“/L〃”成立，即充分性成立，

若/_1_機(jī)，貝!J/〃a或/ua,即必要性不成立，

則“/〃a”是"JL/n”充分不必要條件，

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)和定義是解決本題的關(guān)鍵.難度不大，屬于基礎(chǔ)題

2.C

【解析】

ln(x2-4x+4)inG-,、

因?yàn)樾?=1-----------L)勺,所以函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱，排除A,B.當(dāng)x<0時(shí)，

G-(x-2>

lnG-2)2>0,G-2)3<0,所以本)<0,排除D.選C.

3.A

【解析】

先求出為“，再與集合N求交集.

【詳解】

由已知，={x|x>l},又已="|%>2},所以電McN={x|x>2}.

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的基本運(yùn)算，涉及到補(bǔ)集、交集運(yùn)算，是一道容易題.

4.A

【解析】

把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.

【詳解】

初z。?爾3+2/(3+2/)(-?)-?

解：由/?z=3+2c,得2=------=--------；----=2—3/,

i-i"

?二1=2+33

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

5.B

【解析】

,Ja+，|=2/.\Ja~+1=2:.a=±Ga>O,.'.a=6,選B.

i

6.A

【解析】

由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面，結(jié)合直觀圖判斷外接球球心的位置，求出半徑，代

入求得表面積公式計(jì)算.

【詳解】

由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面，高為2,

底面為等腰直角三角形，斜邊長(zhǎng)為2加，如圖：

.?.AABC的外接圓的圓心為斜邊AC的中點(diǎn)。，OD1AC,且。Du平面S4C,

?.?S4=AC=2,

.??SC的中點(diǎn)。為外接球的球心，

半徑R=6，

夕卜接球表面積S=4;rx3=121.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了由三視圖求幾何體的外接球的表面積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征與數(shù)據(jù)

求得外接球的半徑是解答本題的關(guān)鍵.

7.B

【解析】

由雙曲線的對(duì)稱性可得50期=5刖療即8。=8,又|仞7|=且=2,從而可得C的漸近線方程.

【詳解】

設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為E',由雙曲線的對(duì)稱性，四邊形AEB/'是矩形，所以5l所=5m".，即。C=8,由

222

d+曠二廠22

</,得：丁=±生，所以|MN|=4-=2,所以。2=°,所以人=2,c=4,所以。=26，C的漸近

丁L°c

線方程為y=±@x.

3

故選B

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想與計(jì)算能力，屬于中檔題.

8.A

【解析】

根據(jù)函數(shù)解析式，可知“X)的定義域?yàn)閄WR,通過(guò)定義法判斷函數(shù)的奇偶性，得出〃T)=/(x),則/(X)為偶

函數(shù)，可排除C,。選項(xiàng)，觀察45選項(xiàng)的圖象，可知代入x=o,解得/(0)>0,排除3選項(xiàng)，即可得出答案.

【詳解】

解：因?yàn)?(力=尋7，

所以“X)的定義域?yàn)閤eR,

貝k(r)=亍七"藥二=A')，

乙I乙乙I乙

???/(x)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，排除c,。選項(xiàng)，

且當(dāng)x=0時(shí)，/(0)=1>0,排除8選項(xiàng)，所以A正確.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查由函數(shù)解析式識(shí)別函數(shù)圖象，利用函數(shù)的奇偶性和特殊值法進(jìn)行排除.

9.C

【解析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)a分類討論，分別求得函數(shù)/(x)的單調(diào)性及極值，結(jié)合端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行判斷求解.

【詳解】

?.?八尤)='+==W，xe［l,e］.

XXX

當(dāng)。之一1時(shí),/'(X)"),/(X)在［1,4上單調(diào)遞增，不合題意.

當(dāng)a?—e時(shí),f\x)<0,/(x)在［1,e］上單調(diào)遞減，也不合題意.

當(dāng)一e<a<—l時(shí)，則xe［l,-a)時(shí)，/,(x)<0,/(x)在［1,一。)上單調(diào)遞減，xe(-a,e］時(shí)，/(x)在

(―a,e］上單調(diào)遞增，又/⑴=0,所以“X)在x?l,e］上有兩個(gè)零點(diǎn)，只需/(e)=l-?+aNO即可，解得

1-e

e

綜上'"的取值范圍是—,-1

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題，考查了函數(shù)的單調(diào)性及極值問(wèn)題，屬于中檔題.

10.A

【解析】

根據(jù)題意，畫出幾何位置圖形，由圖形的位置關(guān)系分別求得相，〃的值，即可比較各選項(xiàng).

【詳解】

如下圖所示，CEu平面A6P。，從而CE//平面

易知CE與正方體的其余四個(gè)面所在平面均相交,

m=4,

?；EF//平面BP：Bi，痔//平面AQ24,且族與正方體的其余四個(gè)面所在平面均相交，

??〃=4,

?,?結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)可知，只有加二〃正確.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間幾何體中直線與平面位置關(guān)系的判斷與綜合應(yīng)用，對(duì)空間想象能力要求較高，屬于中檔題.

11.D

【解析】

由S,=81可求處=9,再求公差，再求解即可.

【詳解】

解：?.?{4}是等差數(shù)列

Sq=9%=81

;.%=9,又：/=5,

公差為d=4,

alQ=%+6d=29,

故選：D

【點(diǎn)睛】

考查等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、運(yùn)算求解能力和推理論證能力，是基礎(chǔ)題.

12.B

【解析】

先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出/（x）在A,B兩點(diǎn)處的切線方程，再利用兩直線斜率相等且縱截距相等，列出關(guān)系樹(shù),

從而得出a=；（x；—e2』），結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出最小值，即可選出正確答案.

【詳解】

解：當(dāng)xWO時(shí)，f（x）=x2+x+a,則/'（x）=2x+l；當(dāng)x〉0時(shí)，f（x）=x\nx-a

則T（x）=lnx+1.設(shè)4（%,/國(guó)））,3（孫/（々））為函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)，

當(dāng)王＜龍2＜0或0＜玉＜々時(shí)，尸（石）。/'（尤2），不符合題意，故玉＜0〈尤2.

則/（X）在A處的切線方程為y-（x；+X1+a）=（2xl+l）（x-x1）；

/（x）在3處的切線方程為y-工21nx2+。=（In9+1）（A：-X2）.由兩切線重合可知

Inx+1=2%j+1222x

2，整理得a=1(%,-e2M)(%,<0).不妨設(shè)g(x)=i(x-e)(x<0)

2

-X2-Q="玉

則g'(x)=x-e2',g"(x)=l-2e2*,由g"(x)=?？傻脁=glng

則當(dāng)x=：ln：時(shí)，g'(x)的最大值為g'(不也不］=不歷孑一不<0.

乙乙\乙乙J乙乙乙

貝!)8(*)=3(/—02，)在(-<?,0］上單調(diào)遞減，則“2g(0)=一；.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了推理論證能力，考查了函數(shù)與方程、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法.本題的

難點(diǎn)是求出。和x的函數(shù)關(guān)系式.本題的易錯(cuò)點(diǎn)是計(jì)算.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

【解析】

解：S“=1—￡卜M，〃N2時(shí)，S,i=(l-奈,，兩式作差，得竽=2,(〃22)，經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)得出數(shù)列｛4｝的通

項(xiàng)公式，進(jìn)而求得a,c”的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消求和即可.

【詳解】

解：.?4=(1-?>“+|,〃22時(shí)，5"_|=11-擊卜.，

兩式作差,得?！?(1一!卜"+1-11一，?>“，("22)

化簡(jiǎn)得“a=2,(〃之2),

檢驗(yàn)：當(dāng)n=l時(shí)，￡=4=5x4=2,4=4,^=2，所以數(shù)列｛%｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；?！?2",

b?=log2a?=log22"=n,

_]_]__1_

令+n〃+l'

1111111n

22334n〃+1n+\n+\

n

故填:

n+\

【點(diǎn)睛】

本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消求數(shù)列的前n項(xiàng)和，解題過(guò)程中需要注意n的范圍以及對(duì)特殊項(xiàng)的討論，側(cè)重

考查運(yùn)算能力.

14.x+2y-3=0

【解析】

設(shè)弦所在的直線與橢圓相交于4（石,%）、兩點(diǎn)，利用點(diǎn)差法可求得直線AB的斜率，進(jìn)而可求得直線的點(diǎn)

斜式方程，化為一般式即可.

【詳解】

設(shè)弦所在的直線與橢圓相交于A（%，x）、8（馬，%）兩點(diǎn),

X+赴「j

2一出玉+々=2

由于點(diǎn)P為弦的中點(diǎn)，貝!J,得〈

x+%=iJi+%=2'

2

22

玉;乂一1

42

由題意得《:,兩式相減得0,

42

五+五=1

42

所以‘直線鉆的斜率為之2（內(nèi)+9）2x2

4（y+%）4^22

所以，弦所在的直線方程為y—1=即x+2y—3=0.

故答案為：x+2y-3=0.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用弦的中點(diǎn)求弦所在直線的方程，一般利用點(diǎn)差法，也可以利用韋達(dá)定理設(shè)而不求法來(lái)解答，考查計(jì)算能

力，屬于中等題.

15.（0,±V2）y=±x

【解析】

b

通過(guò)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求解C,即可得到所求的結(jié)果.

a

【詳解】

由雙曲線可得〃=］,b=l,貝隈=&，

所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,土行)，

漸近線方程為：y=±x.

故答案為：(o,±V2)；y=±x.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查了運(yùn)算能力，屬于容易題.

16.2

【解析】

在二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令.、的暮指數(shù)等于0,求出廠的值，即可求得常數(shù)項(xiàng)，再根據(jù)常數(shù)項(xiàng)等于-16。求得實(shí)數(shù)”的

值.

【詳解】

:?二項(xiàng)式伽c.的展開(kāi)式中的通項(xiàng)公式為7.*/=4’一巴

X

令6-2r=0,求得，，=3,可得常數(shù)項(xiàng)為160,■,-a=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)(—8/］；(2)見(jiàn)解析；(3)見(jiàn)解析

【解析】

(1)令H(x)=h(x)-f(x)=ex-1-aln(x+1)(x>0),求得導(dǎo)數(shù)，討論a>l和aWL判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，由恒成

立思想可得a的范圍；(2)求得F(x)=h(x)-g(x)的導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，判斷F(x)的單調(diào)性，討論吐-1,a

>-1,F(x)的單調(diào)性和零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)由(1)知，當(dāng)a=l時(shí)，ex>l+ln(x+1)對(duì)x>0恒成立，令》=志；由(2)

知，當(dāng)a=-l時(shí)，e'>；r+x+i對(duì)xvo恒成立，令》=-'，結(jié)合條件，即可得證.

【詳解】

(I)解：令H(x)=h(x)-f(x)=ex-1-aln(x+1)(x>0),

則H'(x)=ex―77(x^0).

x+1

①若aS,則號(hào)-H'(x)>0,H(x)在［0,+oo)遞增，

x+1

H(x)>H(0)=0,即f(x)<h(x)在[0,+oo)恒成立，滿足，所以agl；

②若a>LHr(x)=ex-^-^[0,+oo)遞增，H*(x)>H'(0)=1-a,且1-a<0,

且x—>+8時(shí)，H1(x)—>+co,貝歸xo￡(0,+co),

使(xo)=0進(jìn)而H(x)在[0,xo)遞減，在(xo,+o))遞增，

所以當(dāng)x￡(0,xo)時(shí)H(x)<H(0)=0,

即當(dāng)x￡(0,xo)時(shí)，f(x)>h(x),不滿足題意，舍去；

綜合①，②知a的取值范圍為(-8,1].

(II)解：依題意得F(x)=h(xAg(x)二一-14/+k&<0),貝!JF(x)=ex-x2+a,

貝(JF"(x)=e、-2x>0在(-oo,0)上恒成立，故F(x)=e、-x2+a在(-8,0)遞增,

所以P(x)<F*(0)=l+a,且x--8時(shí)，F(xiàn)*(x)—>-oo；

①若1+aWO,BPa<-1,則F(x)<F*(0)=l+a<0,

故F(x)在(-8,0)遞減，所以F(x)>F(0)=0,F(x)在(-oo,0)無(wú)零點(diǎn)；

②若l+a>0,即a>-L則mxjE(《。，0)使F'(xj)=0，

進(jìn)而F(x)在(Q,xj)遞減，在(x0‘，0)遞增，F(xiàn)(x。')<F(0)=0，

x2

且XT-8時(shí)'p(x)=(e-l)(x-3a)^+0°>

o

F(x)在(YO,X。')上有一個(gè)零點(diǎn)，在卜0‘，0)無(wú)零點(diǎn)，

故F(x)在(-8,0)有一個(gè)零點(diǎn).

綜合①②，當(dāng)aS-1時(shí)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)a>-l時(shí)有一個(gè)零點(diǎn).

(III)證明：由(I)知，當(dāng)a=l時(shí)，ex>l+In(x+1)對(duì)x>0恒成立，

1

令占'則2＞1+】皿1,。953瑞即盟＞1095

1000

由（H）知，當(dāng)a=T時(shí),巳入」+x+l對(duì)xV0恒成立,

令V，則3號(hào)點(diǎn)3如需,所以％＜微

故有黯（聽(tīng)＜瑞?

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)零點(diǎn)存在定理的運(yùn)用，考查分類討論思想方法，以及運(yùn)算能力和推理能

力，屬于難題.對(duì)于函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，它和方程的根的問(wèn)題，和兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題是同一個(gè)問(wèn)題，可以互相轉(zhuǎn)化；

在轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)時(shí)，如果是一個(gè)常函數(shù)一個(gè)含自變量的函數(shù)，注意讓含有自變量的函數(shù)式子盡量簡(jiǎn)單一些.

18.(1)y=x+i；(2)見(jiàn)解析

【解析】

(D對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，可以求出曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,7(0))處的切線，利用直線的斜截式方程可以求出曲線的切線

方程;

(2)對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，對(duì)實(shí)數(shù)”進(jìn)行分類討論，可以求出函數(shù)Ax)的單調(diào)區(qū)間.

【詳解】

(D當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)镽,二

(廠+1)

所以切線方程為y=x+i；

c，_ox+1_2X+Q)e，―(Q+2)X+1+Q)_D(x_(Q+1))

—OX+iyfx2-ax+\y(%2_QX+1)2

當(dāng)。=0時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)镽,/(?=/,,\22°，,/(,在/上單調(diào)遞增

(x+1)

當(dāng)ae(0,2)時(shí)，?.?△=02一4<0,“2-6+1>0恒成立，函數(shù)定義域?yàn)镽,又。+1>1,「./(幻在(7,1)單調(diào)遞增,

(1,1+a)單調(diào)遞減，(1+a,+8)單調(diào)遞增

當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)?-8,1)。(1,+8),f(x)="(X13)/Q)在(F,1)單調(diào)遞增,(1,3)單調(diào)遞減，(3,+8)

(1)

單調(diào)遞增

當(dāng)ae(2,+o。)時(shí)，...A=a2-4>0設(shè)/-分+1=0的兩個(gè)根為%，%且不<馬，由韋達(dá)定理易知兩根均為正根，且

0<%,<1<x2,所以函數(shù)的定義域?yàn)?ro,xJU(W，+°°)，又對(duì)稱軸％=￡<"+1，且

(a+1)--a(a+1)+1=a+2>();./<a+1,

???/(X)在(一8,%),(4/)單調(diào)遞增，(1,占),(%2，。+1)單調(diào)遞減，(1+。，+°。)單調(diào)遞增

【點(diǎn)睛】

本題考查了曲線切線方程的求法，考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查了分類思想.

19.(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；

【解析】

(1)推導(dǎo)出由用是AB的中點(diǎn)，能證明。是8P有中點(diǎn).

(2)作CNLPM于前N,推導(dǎo)出CN，平面QA6,從而CN_LAB,由A3LPC,能證明A3,平面PMC,由

此能證明平面ABC±平面PMC.

【詳解】

證明：(1)在三棱錐P—ABC中，

?.?何￡)〃平面PAC,平面/VLBc平面R4C=PA,

MDu平面B鉆，

MD//PA,

在AR43中，是AB的中點(diǎn)，二。是8P有中點(diǎn).

(2)在三棱錐P—ABC中，?.?△CPM是銳角三角形，

，在ACPM中，可作CV_LPM于點(diǎn)N,

平面PAB_L平面PMC,平面A48c平面PMC=PM,

CNu平面PMC,CN_L平面Q46,

???ABu平面RW,av_LAfi,

ABrPC,CNQPC=C,

AB_L平面PMC,

?jABu平面CAB,二平面ABC_L平面PMC.

【點(diǎn)睛】

本題考查線段中點(diǎn)的證明，考查面面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算

求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

20.(1)證明見(jiàn)解析，。，=2"-1；(2)11202.

【解析】

⑴由〃，an,S“成等差數(shù)列，可得S“+〃=2a“，S,,”+(a-1)=2%_|,兩式相減，由等比數(shù)列的定義可得｛4+1｝

是等比數(shù)列，可求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

(2)由(1)中的可求出"，根據(jù)/和勿求出數(shù)列｛4｝,也,｝中的公共項(xiàng)，分組求和，結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)

列的求和公式，可得答案.

【詳解】

(1)證明：因?yàn)?，an,S“成等差數(shù)列，所以S“+〃=24,①

所以S“_1+(〃一1)=2a“_|(n>2).?

①一②，得+1=2。“一2a,I，所以%+1=2(4T+1)(“22).

又當(dāng)”=1時(shí)，S[+l=2q,所以4=1,所以q+1=2,

故數(shù)列｛4+1｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，

所以％+1=2-2"T=2",即?！?2"-1.

(2)根據(jù)(1)求解知，4=21og2(l+2"—l)—l=2〃—l,々=1,所以%「2=2,

所以數(shù)列｛4｝是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.

又因?yàn)?=1,4=3,%=7,%=15,%=31,4=63,a7=127,/=255,

3=127,%)6=211,偽07=213,

所以G+c2H---1■G0c=(b[+b2-\---HZ7I07)—(a]+<?2H---1■%)

107x(1+213)一[(2"+…+2，).7卜吟型一臀+7

2

=1072-28+9=11202.

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列的定義，考查分組求和，屬于中檔題.

21.(1)答案見(jiàn)解析.(2)叵

7

【解析】

(1)根據(jù)題意可得P8=PO=PA=PC=20，在△QW中，利用余弦定理可得然后同理可得

CM±PB,利用面面垂直的判定定理即可求解.

UUU

(2)以。為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，求出面PDC的法向量為勺，AMC的法向量為〃j利用空間向量的數(shù)量積即可

求解.

【詳解】

⑴由AB=2=AC=20

由ZAPC=qnP4=PC=4C=2V^

因?yàn)槭钦睦忮F，故PB=PD=PA=PC=2五

于是BM=叵,PM=-y/2

22

由余弦定理，在△PAB中，設(shè)NAP3=6

PA2+PB2-AB23

cos。=

2PAPB4

再用余弦定理，在中，

7

AM2=