高中數(shù)學(xué) 北師大版必修二《三角函數(shù)》 第3課時《弧度制》

3弧度制本節(jié)課選自《普通高中教科書·必修1》（北師大A版）第一章第3節(jié)《弧度制》.一、內(nèi)容與內(nèi)容解析1.內(nèi)容弧度制，弧度與角度的互化，弧長與面積公式.2.教學(xué)內(nèi)容分析弧度制是角度制之外另一種度量角度大小的單位制度.是用單位長度度量角度大小的一種方式.為建立能夠描述周期現(xiàn)象的一個函數(shù)，任意角的拓展及旋轉(zhuǎn)的定義對定義域做好了開發(fā)，但是高中階段函數(shù)是非空數(shù)集到非空數(shù)集的一種對應(yīng)，即更希望利用實數(shù)直接刻畫角度.以利于定義函數(shù)及與其他函數(shù)的運算與復(fù)合.所以首先要讓學(xué)生理解弧度制引入的必要性，其次是體會兩種不同的表達(dá)方式都可以揭示問題的本質(zhì).基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點為：了解弧度制的概念，掌握弧度與角度的互換.二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)（1）了解弧度制的概念，能進(jìn)行弧度制與角度制的互化（2）理解弧度制引入的必要性及在本單元中的作用，獲得用不同方法刻畫同一事物的經(jīng)驗.體會辯證統(tǒng)一的思想及數(shù)學(xué)的簡潔美.（3）在形成弧度制的概念及應(yīng)用的過程中，提升數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng).2.目標(biāo)解析學(xué)生達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：（1）理解并能夠進(jìn)行角度制與弧度制的互化（2）能想到用長度度量角的對應(yīng)方式，能理解單位圓的特殊性，通過合作的形式作出一弧度的角，數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)表達(dá)明顯提升.（3）通過數(shù)學(xué)史的閱讀與交流，對弧度制有了更深入的了解，進(jìn)一步體會弧度制在函數(shù)主題中的作用，數(shù)學(xué)分析能力得到提升.三、教學(xué)問題診斷分析在之前認(rèn)識角度時，都是用周角的作為單位，度量角度張開的大小，在上一節(jié)任意角的概念中，把角的概念拓展到了以終邊的旋轉(zhuǎn)形成的角.學(xué)生理解并掌握本節(jié)內(nèi)容主要有以下問題：教學(xué)問題一：為何不用角度制？小學(xué)與初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過角的概念，是由兩條射線圍成的平面圖形，度量角的方法也就是角度制.這里引入弧度的必要性是什么？解決方案：通過復(fù)習(xí)回顧，了解角度已經(jīng)得到了拓展，并完成了幾何到代數(shù)的對應(yīng).利用“單元——章節(jié)”目標(biāo)分析，我們要定義從非空實數(shù)集到非空實數(shù)集的一種對應(yīng)關(guān)系，并能夠進(jìn)行適當(dāng)?shù)倪\算，角度制單位與實數(shù)進(jìn)制不同，而且與實數(shù)運算會出現(xiàn)很強的“違和感”.教學(xué)問題二：如何用長度度量角？解決方案：分兩步.第一步完成對角度的轉(zhuǎn)換，第二步，仿照任意角的旋轉(zhuǎn)定義直接定義為弧度角.這樣作學(xué)生可以利用平面幾何中圓的形狀中，半徑，圓弧等要素去衡量角度的“開合”程度，最終找到一個與半徑，弧長都無關(guān)的數(shù)值進(jìn)行對應(yīng).實際上也是使用了轉(zhuǎn)化的思想.3.教學(xué)問題三：怎樣引導(dǎo)學(xué)生理解一弧度？解決方案：借助于信息技術(shù)工具，構(gòu)造單位圓，利用等于半徑長的線段“貼合”到圓周上，其弧的長度即為1個單位，其對應(yīng)的角則定義為1弧度.4.教學(xué)問題四：怎樣讓學(xué)生體會本節(jié)在“主題—單元—章節(jié)”整體設(shè)計中的地位和作用？解決方案：通過本節(jié)的小結(jié)和課后思維導(dǎo)圖的任務(wù)布置，讓學(xué)生了解本節(jié)在本單元中的地位和作用，進(jìn)而對整個知識體系和思想體系理解更加深刻.基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點為：弧度制的建立與應(yīng)用.四、教學(xué)支持條件分析教學(xué)過程中，為了探究弧長與半徑的比值為一個固定的常數(shù)，可以使用幾何畫板軟件進(jìn)行直觀演示，在單位圓中做一個單位的弧長所對的圓心角的弧度數(shù)為1弧度時，可以使用geogebra作圖軟件進(jìn)行演示，并展示“皮尺繞圓”案例，為了展示更豐富的內(nèi)容，主要采用課件和希沃白板的展示功能.五、教學(xué)過程的設(shè)計與實施環(huán)節(jié)一【情境導(dǎo)入】情境1：設(shè)計動畫，現(xiàn)實世界中對長度，面積，體積的度量，都是以先引入一個單位線段，進(jìn)而以它為單位對其他線段或曲線進(jìn)行測量.情境2：設(shè)計一個自行車的主動輪通過鏈條帶動從動輪的動畫，讓學(xué)生觀察兩個輪子帶動相同長度的鏈條，轉(zhuǎn)過的角度有怎樣的關(guān)系.（設(shè)計意圖：通過相同鏈條的長度對兩個半徑不同的圓轉(zhuǎn)過的角度不同，讓學(xué)生思考弧長與哪些因素有關(guān)，進(jìn)而為轉(zhuǎn)換度量角的方式作鋪墊）環(huán)節(jié)二【合作探究】探究1：在平面圓中，設(shè)，，圓弧的長為，則之間有怎樣的關(guān)系？【師生活動】學(xué)生：由弧長公式可知.教師：那么圓心角的大小與那些變量有關(guān)？學(xué)生：與圓心角的度數(shù)和圓的半徑有關(guān).教師：為了建立與圓心角的弧度數(shù)之間的關(guān)系，我們減少變量，對代數(shù)式作一下變形，得到，這樣就得到圓心角的大小，只與弧長和半徑的比值有關(guān).探究2：我們該如何定義弧度的角？教師：既然是一個與圓心角有關(guān)，而且是一個唯一確定的量，我們怎樣定義弧度的角的大小比較合適？學(xué)生：是否可以考慮當(dāng)時，即等于半徑的弧長所對的圓心角定義為弧度？教師：早在1748年，數(shù)學(xué)家歐拉就直接用的值來度量角，并稱之為弧度制.你們的想法與偉人不謀而合.（設(shè)計意圖：通過復(fù)習(xí)舊知識，引出新知識.同時為引入單位圓，用等于一個單位長度的弧長對應(yīng)一弧度角的實驗做好引導(dǎo)準(zhǔn)備）.探究3：我們該如何作出弧度的角，進(jìn)而用它來度量其它的角？學(xué)生實驗：學(xué)生用準(zhǔn)備好的硬紙板圓（抽象為單位圓），用繩子量出等于半徑的線段長，然后再把繩子貼合到圓周上，就作出了弧度的角.教師：通過ggb動畫演示，單位圓中弧度的角的形成過程.（設(shè)計意圖：通過學(xué)生小組實驗，在合作中理解用長度“度量”角的含義，并初步感知一弧度與角度之間的對應(yīng)關(guān)系，突破難點）.教師：接下來，在半徑為1的圓中，弧長已知的情況下，大家一起回答該弧所對的圓心角的弧度數(shù).弧長分別為和所對的圓心角的弧度數(shù)分別是多少？學(xué)生：1弧度，2弧度教師：如果是順時針轉(zhuǎn)動個單位長度呢？學(xué)生：弧度教師：這樣我們就完成了用單位長度去度量角的任務(wù)，實際上，這樣按逆時針或者是順時針旋轉(zhuǎn)超過一周，就可以通過轉(zhuǎn)過的弧長，像“皮尺”一樣量出任意角的弧度數(shù).（設(shè)計意圖：因為角度已經(jīng)推廣到了任意角度，在做實驗的基礎(chǔ)上，學(xué)生可能會認(rèn)為弧度只能和之間的角度對應(yīng)，通過“皮尺繞圓”模型，把推廣后的角度也和對應(yīng)的弧長建立聯(lián)系，為后續(xù)的互化做好鋪墊）.探究4：角度制與弧度制都是角的度量制，兩者之間如何換算？學(xué)生：我想到的是剛才的單位圓，其圓心角是，其弧長也就是周長，“皮尺”量出來是弧度，所以弧度.教師：對剛才的“皮尺”模型印象深刻啊，把周角分別用角度和弧度表示，就解決了換算的問題.兩邊同時除以2，即.那么他們的換算關(guān)系都可以自己的出來了吧？學(xué)生：，.教師：以后我么只要抓住這個等量關(guān)系，就比較容易進(jìn)行角度與弧度的換算，弧度的單位可以省略不寫.（設(shè)計意圖：通過學(xué)生探究，自然得到互化的橋梁，突出重點）.環(huán)節(jié)三【典例分析】例1（1）把化成弧度；（2）把化成弧度解答：（1）（2）例2（1）把化成度；（2）把化成度解答：（1）..（設(shè)計意圖：通過例題講解，及時鞏固學(xué)習(xí)成果）.環(huán)節(jié)四【拓展探究】探究5：弧度制下，扇形的弧長，半徑，面積和圓心角有怎樣的關(guān)系？教師：前面我們都是在半徑為的情況下分析弧長度量角度的關(guān)系，本題半徑不是1，弧長與圓心角的弧度數(shù)有什么關(guān)系呢？學(xué)生：根據(jù)幾何相似關(guān)系顯然學(xué)生：根據(jù)代數(shù)關(guān)系，，，所以.教師：兩位同學(xué)分別從我們這節(jié)課的內(nèi)容出發(fā)，兩個角度得到了弧長、半徑及圓心角的弧度數(shù)之間的關(guān)系，但是是不是忘記咱們角度已經(jīng)拓展了，最終應(yīng)該是.學(xué)生：同理扇形的面積.教師：這個面積公式和我們以前學(xué)的那個圖形面積公式類似？學(xué)生：和三角形面積公式類似.如果弧長比較小，是不是扇形可以看作三角形？教師：你是怎樣想到的？真是非常好的數(shù)學(xué)直覺.我們看下面的圖形.當(dāng)每一個都趨近無窮小時，就可以看成是三角形，而扇形的面積就可以看成個小三角形的面積之和.所以有.（設(shè)計意圖：在弧度制下計算弧長與面積，體會把角度統(tǒng)一到“長度”度量體系下的便捷性，進(jìn)一步讓學(xué)生感受弧度制引入的必要性）.環(huán)節(jié)五【課堂練習(xí)】練習(xí)1：（北師大教材第12頁練習(xí)第1,2節(jié)選）將下列角度與弧度互化.（2）（3）練習(xí)2：（北師大版教材課后練習(xí)8）設(shè)扇形的弧長為，半徑為，求這個扇形的面積.環(huán)節(jié)六【課堂小結(jié)】1.知識提升：弧度制的定義，與角度制的互化，扇形的弧長與面積公式.2.能力提升：用數(shù)學(xué)的眼光看問題，并用對應(yīng)的思想完成了“用長度度量角”的想法，并動手實踐完成了單位弧度.3.素養(yǎng)提升：數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算4.章節(jié)目標(biāo)任務(wù)進(jìn)度：，根據(jù)上述鏈條為三角函數(shù)的定義做好了準(zhǔn)備，弧度不僅是另一種度量角度的方式，更重要的是把自變量與實數(shù)一一對應(yīng)起來，完成了高中函數(shù)定義的準(zhǔn)備，并能夠參與到各種運算當(dāng)中，不會出現(xiàn)如很違和的情況.（設(shè)計意圖：通過小結(jié)的復(fù)習(xí)與提升，突出本節(jié)課的知識、能力、素養(yǎng)的提升，并進(jìn)一步說明本節(jié)課在課時——單元——章節(jié)——主題中的作用，突出整體性）.作業(yè)布置基礎(chǔ)作業(yè)：課后練習(xí)A組第2，6題發(fā)展作業(yè)：歐拉在著作《無窮小分析概論》中引入弧度制，使得角度與函數(shù)值可以直接運算，并且可以與其他函數(shù)進(jìn)行各種運算和復(fù)合，形成了諸如三角級數(shù)、調(diào)和分析等獨立的數(shù)學(xué)分支，請同學(xué)們課下查閱資料，了解歐拉、傅里葉等數(shù)學(xué)家在三角函數(shù)上的貢獻(xiàn).七、板書設(shè)計3弧度制弧度二、弧度與角度的互化（希沃白板）三、扇形的弧長與面積八、教學(xué)評價與反思本節(jié)課是前面三節(jié)形成的一個“