第四講場論初步

第四講場論初步第一頁，共二十九頁，2022年，8月28日2.場論初步第二頁，共二十九頁，2022年，8月28日等值面、方向?qū)?shù)與梯度梯度：是矢量，方向為電位變化最陡的方向，即最大方向?qū)?shù)的方向，大小變化最大方向的變化率，即最大方向?qū)?shù)第三頁，共二十九頁，2022年，8月28日梯度grad=的表達式第四頁，共二十九頁，2022年，8月28日標量場梯度的物理意義矢量總之：位函數(shù)的梯度是一矢量，其方向為位變化最陡的方向，大小為位變化最大方向上的變化率。第五頁，共二十九頁，2022年，8月28日充分描述了場空間變化特征標量場的梯度充分描述了標量場在空間變化的特征:

場中任一點（x,y,z）沿任一方向的變化率（即方向?qū)?shù)）是不一樣的。最大變化率（即最大方向?qū)?shù)）的方向就是梯度的方向，最大變化率（即最大方向?qū)?shù)）就是梯度的大小。在任一方向l0

的投影（·l0）就是該方向的變化率（即該方向的方向?qū)?shù)）。因此梯度是描述標量場隨空間變化特性非常好的一個物理量。經(jīng)過梯度運算，可由一個標量場得到一個矢量場第六頁，共二十九頁，2022年，8月28日矢量場的通量通量的定義：場矢量A沿有向曲面S的曲面積分。第七頁，共二十九頁，2022年，8月28日矢量場通量的物理意義如定義An為矢量A在面元法線n方向的投影，則A·ds=Ands；若把A理解為流體的流速，則Ands就表示穿過ds的流量，這就是叫通量的原因。對于閉曲面S，取其外側(cè)為正，則表示A從S流出的通量表示？>0時，<0時，=0時，表示有凈流量流出，存在流體源表示有凈流量流入，存在流體負源表示沒有凈流量流出，無凈流體源第八頁，共二十九頁，2022年，8月28日散度divA=·A取一立方體單元，體積為V＝xyz,考慮x方向分量第九頁，共二十九頁，2022年，8月28日散度divA第十頁，共二十九頁，2022年，8月28日散度定理第十一頁，共二十九頁，2022年，8月28日拉普拉斯算符2場量梯度的散度拉氏算符2·第十二頁，共二十九頁，2022年，8月28日矢量場A沿有向閉合曲線l的環(huán)量矢量場A在閉合線上的線積分定義為A沿l的環(huán)量第十三頁，共二十九頁，2022年，8月28日旋度CurlA環(huán)量面密度A沿正l方向的環(huán)量與面積S在M點處保持以n為法線方向條件下，以任意方式推向M點時，其極限為：這稱為矢量場A在M點處沿n方向的環(huán)量面密度，它是一個與方向有關(guān)的量。第十四頁，共二十九頁，2022年，8月28日旋度CurlA的定義與標量場中梯度與方向?qū)?shù)之間的關(guān)系類似，梯度在某一方向上的投影就是該方向的方向?qū)?shù)；當n方向與CurlA方向一致時，得到最大環(huán)量在密度。第十五頁，共二十九頁，2022年，8月28日旋度CurlA的計算CBAyz0Dlyz矢量場旋度在一個面積元上的計算第十六頁，共二十九頁，2022年，8月28日旋度CurlA的計算(1)當矩形ABCD0時，即y,z0,這時Ay，Az近似為常數(shù)，則：因此第十七頁，共二十九頁，2022年，8月28日旋度CurlA的計算(2)同理：第十八頁，共二十九頁，2022年，8月28日斯托克斯定理有限面積S分解成面元Sn（0），由旋度定義，則有：左邊為：右邊為：相鄰面元交界線上的線積分相互抵消第十九頁，共二十九頁，2022年，8月28日矢量場的分類第二十頁，共二十九頁，2022年，8月28日矢量場的分類(1)第二十一頁，共二十九頁，2022年，8月28日亥姆霍茲定理一個矢量場的性質(zhì)由激發(fā)場的源來確定源有兩類：散度源（通量源）旋度源（渦旋源）Q:若已知一個矢量場的散度或旋度，能否唯一確定該矢量場？A:能！這就是亥姆霍茲定理如果在體積V內(nèi)的矢量場A的散度和旋度已知，在V的邊界S上A的值也已知，則在V內(nèi)任一點A的值能唯一確定。（證明略去）據(jù)此定理，任一矢量場A能分解為一個無旋場和一個無源場之和。第二十二頁，共二十九頁，2022年，8月28日產(chǎn)生場的源(r,t)、J(r,t)怎么表示？產(chǎn)生場的源(r,t)、J(r,t)或其對應(yīng)復(fù)量(r)、J(r)的表示 體電荷密度 v(r) C/m3

面電荷密度 s(r) C/m2

線電荷密度 l(r) C/m

點電荷 Q C

體電流密度 Jv(r)=v·v A/m2

面電流密度 Js(r)=s·v A/m

線電流密度 Jl(r)=l·v A

半導體中 Jc=ve

v=v

eE=eE（電子導電）

Jc=vh

v=v

hE=hE（空穴導電）BYBY:第二十三頁，共二十九頁，2022年，8月28日矢量運算的幾個恒等關(guān)系由梯度、散度、旋度和拉氏算符的定義，可推導出以下矢量運算恒等關(guān)系：第二十四頁，共二十九頁，2022年，8月28日例題1-9證明：直角坐標系下(A)(·A)-2A解：第二十五頁，共二十九頁，2022年，8月28日例題1-10第二十六頁，共二十九頁，2022年，8月28日例題1-10(1)第二十七頁，共二十九頁，2022年，8月28日小結(jié)、復(fù)習復(fù)習要點算符既是矢量，又有微分運算功能。作用于一標量場可得到一矢量場。作用于一矢量場A，如進行點積運算得到一標量場·A，如果進行一矢積運算可得到一矢量A。標量場的梯度grad是一矢量，其模為最大方向?qū)?shù)，方向為場最大變化率方向

grad=矢量場A的散度divA反映矢量場的通量體密度，是一標量。divA=·A，矢量場A的旋度CurlA反映矢量場的環(huán)量面密