簡諧振動的動力學特征

簡諧振動的動力學特征第一頁，共四十三頁，2022年，8月28日§1前言一、本章的基本內容及研究方法人們習慣于按照物質的運動形態(tài)，把經(jīng)典物理學分成力（包括聲）、熱、電、光等子學科。然而，某些形式的運動是橫跨所有這些學科的，其中最典型的要算振動和波了。在力學中有機械振動和機械波，在電學中有電磁振蕩和電磁波，聲是一種機械波，光則是一種電磁波。在近代物理中更是處處離不開振動和波，僅從微觀理論的基石——量子力學又稱波動力學這一點就可看出，振動和波的概念在近代物理中的重要性了。盡管在物理學的各個分支學科里振動和波的具體內容不同，在形式上它們卻具有極大的相似性。所以本章及下一章的意義絕不局限于力學，它將為學習整個物理學打基礎。振動是一類較普遍的現(xiàn)象。一般地，只要某一物理量在某一量值附近隨時間作周期性變化，都可稱為振動。振動雖然多第二頁，共四十三頁，2022年，8月28日種多樣，但遵從的基本規(guī)律是相同的。在振動中，最簡單、最基本的振動是簡諧振動，可以證明，任何復雜的振動都可以看作是不同頻率的簡諧振動的合成。因此，掌握簡諧振動的特征和規(guī)律非常重要，振動是波動的基礎，一切波動都是某種振動的傳播過程。本章的基本內容可分為三部分：第一，簡諧振動；第二，振動的合成與分解；第三，阻尼振動和受迫振動。主要是利用質點和剛體運動規(guī)律來研究振動這種特殊的而又具有普遍意義的運動形式。近30年來（1975年學術界才創(chuàng)造了“混沌”〈chaos〉一詞），人們不僅在自然界和實驗室中觀察到了許多混沌現(xiàn)象，而且認識到混沌產(chǎn)生的條件、所經(jīng)歷的途徑及其特征，在理論上發(fā)現(xiàn)了一些產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的普遍規(guī)律。目前對混沌現(xiàn)象的研究已經(jīng)成為一個跨學科的十分活躍的新方向，有人認為混沌理論是繼相對論、量子論之后，20世紀物理學的第三個重大的革命?；煦缡窃跊Q定性動力學系統(tǒng)中出現(xiàn)的一種貌似隨機的運動。第三頁，共四十三頁，2022年，8月28日二、本章的基本要求1、掌握簡諧振動的特征和規(guī)律，并能依據(jù)諧振動的動力學特征判斷振動是否為簡諧振動；2、掌握描述簡諧振動的三種方法：解析法、位移——時間圖線法及旋轉矢量法；3、學會分析同頻率、同方向和相互垂直的兩簡諧振動的合成；4、了解阻尼振動、受迫振動的特點和共振發(fā)生的條件；5、了解帶星號的基本內容。三、本章的思考題及練習題思考題：教材294頁；練習題：第四頁，共四十三頁，2022年，8月28日§2簡諧振動的動力學特征

一個物體經(jīng)過其平衡位置來回往復地運動，稱為機械振動。例如鐘擺的振動，弦管樂器中琴弦或空氣柱的振動，列車通過時橋梁的振動、固體內晶格離子的振動等，最簡單、最基本的振動是簡諧振動（simpleharmonicmotion）。動力學特征：（1）在怎樣的力（或力矩）的作用下物體作簡諧振動；（2）根據(jù)力（或力矩）和運動的關系，求出簡諧振動的動力學方程。

質點在某位置所受的力（或沿運動方向受的力）等于零，則此位置稱為平衡位置。

若作用于質點的力總與質點相對于平衡位置的位移（線位第五頁，共四十三頁，2022年，8月28日移或角位移）成正比，且指向平衡位置，則此作用力稱線性回復力。

質點在線性回復力作用下圍繞平衡位置的運動叫簡諧振動。討論的步驟為：（1）先確定振動系統(tǒng)的平衡位置，并以平衡位置為坐標原點，建立坐標系；（2）讓振動系統(tǒng)偏離平衡位置，然后分析系統(tǒng)的受力情況，求出系統(tǒng)所受的合外力；（3）根據(jù)牛頓運動定律，導出簡諧振動的運動微分方程。一、彈簧振子的振動一端固定、質量可忽略、勁度系數(shù)為K的彈簧，在另一端固結一個質量為m的物體，就構成一個彈簧振子。把它平放在光滑水平面上。Ox第六頁，共四十三頁，2022年，8月28日式中，是由系統(tǒng)自身性質決定的常量。二階線性微分方程即為簡諧運動的動力學方程。二、單擺的擺動第七頁，共四十三頁，2022年，8月28日三、扭擺的擺動具體運動形式不同，但有完全相同的數(shù)學方程式。第八頁，共四十三頁，2022年，8月28日§3簡諧振動的運動學簡諧振動的運動學簡諧振動的運動學一、簡諧振動的運動學方程我們一般用來作討論。A和是待定常數(shù)，需要根據(jù)初始條件來決定，它就是簡諧振動的運動方程。下面簡要分析簡諧振動的三個特征量：周期（頻率）、振振幅和初相，這三個量完全確定一個簡諧振動。第九頁，共四十三頁，2022年，8月28日●周期●振幅物體離開平衡位置最大位移的絕對值。它的大小決定于振動的初始狀態(tài)。第十頁，共四十三頁，2022年，8月28日●初相在A和已知的前提下，還有一個量是十分重要的，那就是，這個量叫相位?！跋唷奔聪嗝驳囊馑?，在英文中是“phase”，意思是運動狀態(tài)，也就是它的位置和速度。是

注意：上式不能完全確定，有兩個可能的值，還需根據(jù)和的正、負判斷哪個值正確。二、簡諧振動的圖線和相軌跡時的相位，叫初相位，簡稱初相。第十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日[例題]質點作簡諧振動的曲線如圖所示，試根據(jù)圖推出該質點的振動式。t/s0241x/cm再由，在時，，從圖判知，v>0，即故在兩值中，只能取。又據(jù)圖有，代入振動式得[解]因，從圖得A=4，下面計算和。據(jù)圖有時，，代入振動式得第十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日再由時，，可知。故取于是求得質點的振動式為本題在計算過程中取的單位為rad/s，t的單位為s，的單位為rad，x和A的單位為cm。另一種描述運動狀態(tài)的方法是利用相平面——坐標和速度構成的坐標系。其上一點給出質點在某時刻的運動狀態(tài)，隨時間推移，質點運動狀態(tài)在相平面上的代表點移動而畫出曲線，稱相軌跡或相圖。位置和速度的關系曲線就是它的相圖第十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日簡諧振動為vvoxv絕大多數(shù)非線性微分方程的解不可能寫成解析形式，19世紀末，法國數(shù)學家、物理學家龐加萊（Poincare，1854~1912）另辟蹊徑,發(fā)明了相圖和拓撲學的方法。在相圖當中失去的是和隨時間變化的信息，得到的是有關動力學系統(tǒng)運動的全局信息。相圖的描述方法是非線性動力學里最基本的方法，在不求出解的情況下，通過直接考查微分方程的系數(shù)及其本身的結構去研究它的解的性質。龐加萊所開拓的這一新領域稱為微分方程的定性理論，至今有著深遠的影響。簡諧振動的相軌跡是橢圓，其形狀大小取決于初始條件。第十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日三、簡諧振動的矢量表示法現(xiàn)在討論用旋轉矢量的投影表示簡諧振動。討論振動合成等問題時，用這種方法很方便，如圖所示A為一長度保持不變的矢量，A的始點在x坐標軸的原點處，計時起點時，矢量與坐標軸夾角為，矢量A以角速度逆時針勻速轉動，因此，矢量A在任一瞬時與x軸夾角為，用x表示矢量在坐標軸上的投影，有可見，勻速旋轉矢量在坐標軸上的投影即表示一特定的簡諧振動的運動學方程。xxO第十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日在描述振動的物理量中，要數(shù)相位較抽象，但相位的概念又是很重要的。利用了振幅矢量圖，相位就被簡單表示成A對x軸的角度，A的方向不同，就代表相位不同，因此，在振幅矢量圖上要比較兩個簡諧振動的相位差就很方便。例如，對于沿x軸振動的兩個同頻率的簡諧振動：兩者的相位差（即初相差）可能有下列四種情況：OAx第十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日[例題]一質量為m，半徑為R的均勻細圓環(huán)懸掛在光滑支點上，由于某種原因圓環(huán)繞支點發(fā)生一小偏角，然后繞支點作往復擺動。求證細圓環(huán)作簡諧振動，并寫出它的運動學方程。OCCWWNyx[解]以細環(huán)為研究對象，受力如圖所示。當環(huán)心C在x軸上，力矩全為零，即為平衡位置。OC自Ox軸的偏角為，面對z軸逆時針為正，，可見環(huán)受到線性回復力矩的作用作簡諧振動，其方程為，顯然，當環(huán)逆時針擺至時，此刻開始計時，第十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日注：1）若沒有指定初始條件，常常選擇使初相的時刻為計時起點；2）寫出某系統(tǒng)的SHM運動學方程時，應指明相應的坐標系及計時起點；3）對于上題切不可認為細圓環(huán)起動時的擺角就是初位相。第十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日§4簡諧振動的能量轉換

作簡諧振動的彈簧振子系統(tǒng)，在運動過程中，物體的速度和彈簧的長度都不斷變化，因而物體的動能和彈簧的彈性勢能也都在不斷變化。第十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日

彈簧振子的簡諧振動中的動能和勢能相互轉化，而總機械能守恒。沒有外力對系統(tǒng)作功，又不計摩擦和彈簧中發(fā)熱這類機械能的損耗，這是一個當然的結果。，振幅的大小反映了振動能量的大小即振動強度的大小，這就是振幅的物理意義！第二十頁，共四十三頁，2022年，8月28日§5簡諧振動的合成

關于簡諧振動合成的結論是下一章討論波的疊加的基礎，也是討論光的干涉和衍射時的依據(jù)，所以本節(jié)內容在波動現(xiàn)象的研討中具有重要意義。一、方向相同，頻率相同設兩振動互不影響，則由運動的合成可知，質點的合成運動仍在這一直線上，它離開平衡位置的位移為現(xiàn)在利用旋轉矢量法求出這個合成結果。第二十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日即A1、A2兩個矢量的合矢量在x軸上的投影就是x=x1+x2很容易分析：平行四邊形在旋轉中不變形，因而合矢量A的長度不變且以同樣的勻角速度旋轉。所以x可寫為時刻矢量A與x軸的夾角。xOQ2Q1QA1AA2第二十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日合振幅的大小不僅和兩個單獨簡諧振動（可稱為為分振動）的振幅有關而且和它們的相位差有關。有關的這一項稱為干涉項，這是一個非常重要的結果。舉兩個特例：（1）兩分振動同相，即（2）兩分振動反相，即這是合振幅最小的情形，振動減弱了。（3）兩分振動的相位差為其它值時，合振動的振幅二、方向相同，頻率不同第二十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日為了突出頻率不同引起的效果，設A1=A2=A，由旋轉矢量圖可知，A1、A2有不同的角速度，兩矢量間夾角將隨時間變化，矢量合成的平行四邊形也將不斷地隨時間變形，所以A的大小和角速度都是隨時間變化的，在x軸上的投影顯然不是簡諧振動。A1、A2夾角隨時間而變。每當或的整數(shù)倍，合成振幅最大（A1+A2），合成振動最強；每當?shù)钠鏀?shù)倍，合成振幅最小（|A1-A2|），合成振動最弱，這樣，頻率不同的兩個諧振動的合成振動時強時弱，那末，這種強弱變化是否有節(jié)奏？有這樣一些時刻，其時即A1

和A2重疊，上式就是取A1和A2重疊的時刻作為初始時刻，并把它們在這時刻同x軸夾角記作，在這時刻，合成振幅最大，為確定起見，設，于是A2將趕到A1前面去，A2領先的角度越來越大，經(jīng)過時間A2領先半圈，這時，合成振幅最小，又經(jīng)過A2領先一圈，再次和A1重疊，這時，合成振幅最大。然后就重復以上過程。第二十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日

振動強度有節(jié)奏地時強時弱，這種現(xiàn)象叫作拍（beat）。一次強弱變化叫作一拍，每秒鐘的拍數(shù)叫作拍頻。每一拍的時間是即兩個分振動頻率之差。一種實際意義的情形：很接近，第二十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日隨時間變化緩慢得多，在經(jīng)一段較短的時間內看，后者經(jīng)歷了多次周期變化，而前者則幾乎沒有變，可看作“準簡諧振動”（quasi-SHM）。這是一種振幅有周期性變化的簡諧振動，振幅的平方正比于振動能量，所以，這種振動具有周期性的強弱變化——拍，單位時間內振動加強或減弱的次數(shù)稱為拍頻，同前面所得結果完全一樣！校正樂器，例如說校正鋼琴，往往拿待校的鋼琴同已校好的鋼琴作比較，彈奏兩架鋼琴的同一個音鍵，細聽有無拍的現(xiàn)象，如果聽得出有拍的現(xiàn)象，說明尚未校準，必須再校，使得拍頻越來越小直到拍完全消失為止，這一音鍵才算校準。三、方向垂直，頻率相同當一個質點同時參與相互垂直的兩個SHM時，一般說來第二十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日合成振動十分復雜，且軌跡是不穩(wěn)定的，但是當兩分振動頻率（或周期）成整數(shù)比時，其合振動才是穩(wěn)定的。有規(guī)則的李薩如圖形?，F(xiàn)在考慮。物體同時參與互相垂直的x向和y向的兩個同頻率的諧振動試求合成振動。這里說的合成振動并不是指x+y，因為x和y是互相垂直的兩方向上的偏離，它們是不能作代數(shù)相加的。事實上，物體既有x方向的偏離又有y方向的偏離，合成運動是在xy平面上進行的。說到合成振動，我們所關心的是xy平面上的軌跡，以及沿著軌跡怎樣運動。其實，上式可說是軌跡的參數(shù)方程式，消去參數(shù)t很容易得到軌跡方程式。不過，這里將采用另一方法即參考圓的方法第二十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日來研究合成振動。適當?shù)剡x定初始時刻可使上式里的。選取的情況為例，此時上式成為如圖，諧振動x可用參考圓C1上的勻速運動描寫，為了畫面的清晰，參考圓的圓心沒有放在坐標原點O，而是分別移到y(tǒng)軸上某個O1點和x軸上的某個O2點。xx參考圓C1參考圓C21234567812345678第二十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日周相差為其他數(shù)值的情況完全可以仿照上面的辦法求得合成振動，下圖給出某些結果。光是一種電磁波，如果光波里的電場強度作橢圓振動，就叫作橢圓偏振光，根據(jù)以上討論，橢圓偏振光可以分解為電場強度沿x方向作諧振動和沿y方向作諧振動的兩個成分，這兩個成分各叫作平面偏振光。第二十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日四、方向垂直，頻率不同在水平橫桿的A和B兩點各系一輕線，兩線在C點合并，下掛一小球。小球的x向擺動是以l1為擺長，y向的擺動則是以l2為擺長，這樣，小球在x向和y向的擺動頻率不相同。物體同時參與互相垂直的x向和y向的頻率不同的兩個諧振動這里也用參考圓的方法來研究合成振動。合成的軌跡與頻率之比和兩者的相位都有關系，圖形一般較為復雜，很難用數(shù)學式子表達，當兩者ABCDxyl1l2第三十頁，共四十三頁，2022年，8月28日的頻率成整數(shù)比時，軌跡是閉合的，運動是周期性的。這種圖形叫李薩如圖形（Lissajou’sfigures）?！?振動的分解

一般說來，實際振動不一定是簡諧振動，而是比較復雜的振動。與振動的合成相反，任一復雜振動都可分解為許多簡諧振動的疊加。確定任一振動所包含的各種簡諧振動的頻率和振幅稱為頻譜分析。對振動的頻譜分析是研究機械振動和電磁振動的重要手段之一。一方面我們可以在實驗室中利用示波器、分光計、攝譜儀等分析振動的頻譜，另一方面人們也在數(shù)學上建立了傅里葉變換，能從理論上提供計算一個復雜振動頻譜的方法，而且可借助計算機來完成。第三十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日例如，任何一個具有周期性的振動都可以分解為一系列簡諧振動的疊加，這些簡諧振動的頻率等于該周期振動頻率的整數(shù)倍。其中v0稱為基頻，2v0，3v0，…稱2倍頻、3倍頻等等。由于所包含的頻率取分立值，這類頻譜稱為離散譜。圖（a）是一個具體例子，圖中實線所代表的周期性振動可分解為基頻和3倍頻的兩個簡諧振動的疊加。而圖（b）則是一種“方波”振動信號，它所包含的簡諧振動成分就多了，這里用豎直線段在橫坐標上的位置代表所包含簡諧振動的頻率，豎直線高度代表所對應振幅，該圖稱為振動頻譜圖。v/v0OOOyyttA135圖（a）圖（b）圖（c）第三十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日對于非周期性振動，一般可分解為頻率在某一區(qū)域內取連續(xù)值的簡諧振動疊加。其頻譜呈連續(xù)譜，并以某一頻率為中心，且有最大振幅，大于或小于此頻率的振幅則相對較弱。通常將振幅減半在頻率軸上所對應的區(qū)間稱為振動的頻寬。圖（a）代表一個在時間上很短暫的振動，顯然這是非周期性振動，而圖（b）則是它的頻譜響應的大致情形。圖（a）圖（b）第三十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日§7阻尼振動

簡諧振動是一種等幅振動，它是不計阻力作用的理想情況。實際上，振動系統(tǒng)總要受到各種阻力，系統(tǒng)在振動中要克服阻力做功并消耗自身能量。因此，如果沒有能量補充，振動的振幅就要衰減。系統(tǒng)在回復力和阻力作用下發(fā)生的減幅振動稱為阻尼振動。從數(shù)學上講，任何形式的周期振動都可通過傅里葉級數(shù)分解成一系列不同頻率、不同振幅的諧振動之和；而非周期振動可通過傅里葉積分把它展成無數(shù)個頻率連續(xù)分布的諧振動。第三十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日系統(tǒng)能量的消耗，一方面是由于系統(tǒng)與外界或系統(tǒng)內部的摩擦使振動能量轉變?yōu)闊崮埽硪环矫嬉灿捎谡駝酉蛲鈧鞑?，以波的形式向周圍輻射能量。這兩種情況分別稱摩擦阻尼和輻射阻尼，通常為簡單起見，可把輻射阻尼當作摩擦阻尼處理，即認為振動物體受到一個較大的阻力。在物體振動速度不大時，它所受到的阻力大小通常與速率成正比。是對應無阻尼時系統(tǒng)振動的固有圓頻率，稱為阻尼系數(shù)。可用試探法求得解為：第三十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日初始振幅A與初始相位是兩個積分常數(shù)。一、欠阻尼狀態(tài)條件：，上解有意義，它描寫一種振動，振幅隨時間而衰減，其“圓頻率”從降到，其“周期”相應地拉長，因振幅不斷減小，已經(jīng)不是嚴格意義下的周期運動，所以“圓頻率”、“周期”等詞加上引號。為量度振幅衰減的快慢，通過引用某個時刻的x值與一個“周期”T之后的x值之比的對數(shù)表示，稱為對數(shù)減縮。越大，T也較大，即越大，振動衰減得越快。二、臨界阻尼狀態(tài)條件：，“周期”即振第三十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日動的特點完全消失。事實上，雖然回復力使物體向平衡位置移動，但由于阻尼太強，向平衡位置移動并不能加速，反而減速，所以只能逐漸逼近平衡位置，不可能越過平衡位置，也就不能振動。三、過阻尼狀態(tài)條件：“圓頻率”為虛數(shù)，“周期”T也為虛數(shù)，即根本不發(fā)生振動，而且逼近平衡位置比臨界阻尼來得更慢。臨界阻尼過阻尼欠阻尼Oxt第三十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日如果希望系統(tǒng)在較長的一段時間內保持振動，那就應使阻尼因子小，例如，傅科擺必須維持較長時間的擺動，才能夠顯示出地球的自轉，為此應使小。因為擺球橫截面（擺球半徑）2，而擺球體積（擺球半徑）3，所以擺球半徑，這是說，傅科擺的擺球要做得大一些，并且最好用密度比較大的材料制做。如果并不希望系統(tǒng)長時間振動，那就應使阻尼因子適當大一些，最好是臨界阻尼。例如，天平的指針老是擺動不停，或者萬用電表的指針老是擺動不停，讀取讀數(shù)就太花時間了。這就應加進適當?shù)淖枘帷Ｔ谂R界阻尼的情況下，指針較快地逼近正確的讀數(shù)。在過阻尼的情況下，指針也逼近正確的讀數(shù)，