第四章系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)

第三章時(shí)域分析法

第一節(jié)引言

時(shí)域分析方法是根據(jù)系統(tǒng)的微分方程，采用拉氏變換法直接解出系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，再根據(jù)時(shí)間響應(yīng)來(lái)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、準(zhǔn)確性和快速性能。用時(shí)域分析系統(tǒng)性能具有直接、準(zhǔn)確、易于接受的特點(diǎn)，是經(jīng)典控制理論中進(jìn)行系統(tǒng)性能分析的一種重要方法。第一頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日第三章時(shí)域分析法

第二節(jié)典型輸入信號(hào)在時(shí)域進(jìn)行分析時(shí)，為了比較不同系統(tǒng)的控制性能，需要規(guī)定一些具有典型意義的輸入信號(hào)，建立分析比較的基礎(chǔ)，這些信號(hào)稱為控制系統(tǒng)的典型輸入信號(hào)。因?yàn)橄到y(tǒng)對(duì)典型輸入信號(hào)的響應(yīng)特性，與系統(tǒng)對(duì)實(shí)際輸入信號(hào)的響應(yīng)特性之間存在著一定的關(guān)系，所以采用典型輸入信號(hào)來(lái)評(píng)價(jià)系統(tǒng)的性能是合理的。第二頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日第三章時(shí)域分析法為便于進(jìn)行理論分析與試驗(yàn)研究，對(duì)典型輸入信號(hào)有如下要求：(1)能夠使系統(tǒng)工作在最不利的情況下；(2)形式簡(jiǎn)單，便于解析分析；(3)在實(shí)際中可以實(shí)現(xiàn)或近似實(shí)現(xiàn)。工程中經(jīng)常采用的典型輸入信號(hào)有單位脈沖函數(shù)、單位階躍函數(shù)、單位斜坡函數(shù)、諧和函數(shù)和單位加速度函數(shù)等。其數(shù)學(xué)描述與圖形如圖3-1所示。第三頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D3-1常用典型信號(hào)的函數(shù)及其圖形第四頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日第三章時(shí)域分析法

第三節(jié)一階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)由兩部分組成：瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。瞬態(tài)響應(yīng)是指系統(tǒng)從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過(guò)程。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是指當(dāng)時(shí)間t趨于無(wú)窮大時(shí)，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)。一階慣性系統(tǒng)是一階系統(tǒng)的典型代表，其傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式是：第五頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日第三章時(shí)域分析法一、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)單位階躍輸入Xi(t)=1(t)，對(duì)其進(jìn)行拉氏變換得，Xi(S)=1/S，則對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換，得

第六頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日第三章時(shí)域分析法

得出如下重要結(jié)論：

(1)一階系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，無(wú)振蕩；(2)系統(tǒng)響應(yīng)由兩部分組成，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)1(t)和瞬態(tài)響應(yīng)組成,瞬態(tài)響應(yīng)隨著時(shí)間的增加逐漸衰減為0；(3)經(jīng)過(guò)時(shí)間T曲線上升到穩(wěn)態(tài)值的0.632高度。反之，用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)出的時(shí)間響應(yīng)曲線到達(dá)穩(wěn)態(tài)值的0.632時(shí)所用的時(shí)間，即是一階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)T；第七頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日第三章時(shí)域分析法重要結(jié)論：(4)經(jīng)過(guò)時(shí)間3T-4T，響應(yīng)曲線已達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的95%-98%，可以認(rèn)為其調(diào)整過(guò)程已經(jīng)完成，故一般取調(diào)整時(shí)間為（3-4）T；(5)在t=0處，響應(yīng)曲線的切線斜率為1/T;(6)若通過(guò)實(shí)測(cè)某系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)yo(t)，將[1-yo(t)]標(biāo)在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙上，如果得出一條直線，則可判定該系統(tǒng)為一階環(huán)節(jié)。第八頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日第三章時(shí)域分析法

二、一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)

一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng).doc當(dāng)t充分大時(shí)，系統(tǒng)跟蹤單位斜坡輸入信號(hào)的誤差為T。顯然，慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)越小，則該環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)誤差越小。一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)是一條由零開始逐漸變?yōu)榈人僮兓那€，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入同斜率，但滯后一個(gè)時(shí)間常數(shù)，即存在跟蹤誤差，其數(shù)值大小也等于T。第九頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日第三章時(shí)域分析法

三、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng).doc

一階系統(tǒng)的典型輸入響應(yīng)特性與時(shí)間常數(shù)密切相關(guān)，時(shí)間常數(shù)越小、單位脈沖響應(yīng)的衰減越快，單位階躍響應(yīng)的調(diào)整時(shí)間越小，單位斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差及滯后時(shí)間也越小。

例3-1

p79第十頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日第三章時(shí)域分析法

第四節(jié)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)分析第十一頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日4-1控制系統(tǒng)的時(shí)域指標(biāo)控制系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)，是根據(jù)系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下的時(shí)間響應(yīng)——單位階躍響應(yīng)確定的，通常以h(t)表示。實(shí)際應(yīng)用的控制系統(tǒng)，多數(shù)具有阻尼振蕩的階躍響應(yīng)，如圖4-1所示：所謂時(shí)域分析法，就是在時(shí)間域內(nèi)研究控制系統(tǒng)性能的方法，它是通過(guò)拉氏變換直接求解系統(tǒng)的微分方程，得到系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，然后根據(jù)響應(yīng)表達(dá)式和響應(yīng)曲線分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。第十二頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日第十三頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日一.上升時(shí)間tr響應(yīng)曲線從零首次上升到穩(wěn)態(tài)值h(∞)所需的時(shí)間，稱為上升時(shí)間。對(duì)于響應(yīng)曲線無(wú)振蕩的系統(tǒng)，tr是響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時(shí)間。延遲時(shí)間td:響應(yīng)曲線第一次到達(dá)終值一半所需的時(shí)間。二.峰值時(shí)間tp響應(yīng)曲線超過(guò)穩(wěn)態(tài)值h(∞)達(dá)到第一個(gè)峰值所需的時(shí)間。三.調(diào)節(jié)時(shí)間ts在穩(wěn)態(tài)值h(∞)附近取一誤差帶，通常取第十四頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日響應(yīng)曲線開始進(jìn)入并保持在誤差帶內(nèi)所需的最小時(shí)間，稱為調(diào)節(jié)時(shí)間。ts越小，說(shuō)明系統(tǒng)從一個(gè)平衡狀態(tài)過(guò)渡到另一個(gè)平衡狀態(tài)所需的時(shí)間越短。四.超調(diào)量σ%響應(yīng)曲線超出穩(wěn)態(tài)值的最大偏差與穩(wěn)態(tài)值之比。即第十五頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日超調(diào)量表示系統(tǒng)響應(yīng)過(guò)沖的程度，超調(diào)量大，不僅使系統(tǒng)中的各個(gè)元件處于惡劣的工作條件下，而且使調(diào)節(jié)時(shí)間加長(zhǎng)。五.振蕩次數(shù)N在調(diào)節(jié)時(shí)間以內(nèi)，響應(yīng)曲線穿越其穩(wěn)態(tài)值次數(shù)的一半。tr,tp和ts表示控制系統(tǒng)反映輸入信號(hào)的快速性，而σ%和N反映系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程的平穩(wěn)性。即系統(tǒng)的阻尼程度。其中ts和σ%是最重要的兩個(gè)動(dòng)態(tài)性能的指標(biāo)。第十六頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日4-2一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)一.一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第十七頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日結(jié)構(gòu)圖和閉環(huán)極點(diǎn)分布圖為：T表征系統(tǒng)慣性大小的重要參數(shù)。二.一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)第十八頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日第十九頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日曲線第二十頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日例1.一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示，若kt=0.1,試求系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間ts，如果要求ts0.1秒。試求反饋系數(shù)應(yīng)取多大？第二十一頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)第二十二頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日三.一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)第二十三頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日單位斜坡響應(yīng)曲線如圖所示：引入誤差的概念：當(dāng)時(shí)間t趨于無(wú)窮時(shí)，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的實(shí)際穩(wěn)態(tài)值與給定值之差。即：tTTr(t)=tc(t)0第二十四頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日一階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)存在穩(wěn)態(tài)誤差ess=t-(t-T)=T從曲線上可知，一階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)具有和輸入相同的斜率，只要在時(shí)間上滯后T,這就存在著ess=T的穩(wěn)態(tài)誤差。第二十五頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日4-3二階系統(tǒng)分析一.二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型以前講過(guò)的位置隨動(dòng)系統(tǒng)，就是一個(gè)典型的二階系統(tǒng)。結(jié)構(gòu)圖可以簡(jiǎn)化為-第二十六頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日第二十七頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日得到二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式,即：式中，ξ為系統(tǒng)的阻尼比wn為無(wú)阻尼振蕩頻率，簡(jiǎn)稱固有頻率（也稱自然振蕩頻率）第二十八頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日閉環(huán)特征方程為：其特征根即為閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為1.當(dāng)0<ξ<1時(shí)，此時(shí)系統(tǒng)特征方程具有一對(duì)負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)具有衰減振蕩特性，稱為欠阻尼狀態(tài)。(如圖a)第二十九頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日第三十頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日2.當(dāng)ξ=1時(shí)，特征方程具有兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根，稱為臨界阻尼狀態(tài)。（如圖b）3.當(dāng)ξ>1時(shí)，特征方程具有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根，稱為過(guò)阻尼狀態(tài)。（如圖c）4.當(dāng)ξ=0時(shí)，系統(tǒng)有一對(duì)共軛純虛根，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)作等幅振蕩，稱為無(wú)阻尼或零阻尼狀態(tài)。（如圖d）下面，分過(guò)阻尼（包括臨界阻尼）和欠阻尼（包括零阻尼）兩種情況，來(lái)研究二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。第三十一頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日二、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)1、過(guò)阻尼情況。當(dāng)ξ>1時(shí)，二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根，這時(shí)閉環(huán)傳遞函數(shù)可寫為第三十二頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日式中：過(guò)阻尼二階系統(tǒng)可以看作兩個(gè)時(shí)間常數(shù)不同的一階系統(tǒng)的串聯(lián)。當(dāng)系統(tǒng)的輸入信號(hào)為單位階躍函數(shù)時(shí)，第三十三頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日則系統(tǒng)的輸出量為拉氏反變換得：第三十四頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日

響應(yīng)曲線如圖：起始速度小，然后上升速度逐漸加大，到達(dá)某一值后又減小，響應(yīng)曲線不同于一階系統(tǒng)。過(guò)阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)主要是調(diào)節(jié)時(shí)間ts，根據(jù)公式求ts的表達(dá)式很困難，一般用計(jì)算機(jī)計(jì)算出的曲線確定ts。第三十五頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日過(guò)阻尼二階系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間特性第三十六頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日從曲線可以看出，當(dāng),(臨界阻尼）時(shí)，,當(dāng)，時(shí)，當(dāng)，時(shí)，由此可見，當(dāng)，二階系統(tǒng)可近似等效為一階系統(tǒng)，調(diào)節(jié)時(shí)間可用3T1來(lái)估算。當(dāng)時(shí)，臨界阻尼二階系統(tǒng)，則

則臨界阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為

過(guò)阻尼二階系統(tǒng)的響應(yīng)較緩慢，實(shí)際應(yīng)用的控制系統(tǒng)一般不采用過(guò)阻尼系統(tǒng)。第三十七頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日2.欠阻尼情況當(dāng)0<ξ<1,二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征根為Wn無(wú)阻尼振蕩頻率或固有頻率，也叫自然振蕩頻率。第三十八頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日

當(dāng)系統(tǒng)輸入為單位階躍信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)的輸出量為第三十九頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日曲線：第四十頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日

欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線是按指數(shù)規(guī)律衰減到穩(wěn)定值的，衰減速度取決于特征值實(shí)部-ξwn的大小，而衰減振蕩的頻率，取決于特征根虛部wd的大小。角的定義第四十一頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日第四十二頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日上圖繪出了不同ξ值下，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。直觀地看，ξ越大，超調(diào)量σ%越小，響應(yīng)的振蕩性越弱，平穩(wěn)性越好；反之，ξ越小，振蕩性越強(qiáng)，平穩(wěn)性越差。當(dāng)ξ＝0時(shí)，系統(tǒng)的零阻尼響應(yīng)為：等幅振蕩曲線，振蕩頻率為wnwn稱為無(wú)阻尼振蕩頻率。另外，若ξ過(guò)大，如，系統(tǒng)響應(yīng)遲緩，調(diào)節(jié)時(shí)間ts長(zhǎng)，快速性差；若ξ過(guò)小，雖然響應(yīng)的起始速度較快，tr和tp小，但振蕩強(qiáng)烈，響應(yīng)曲線衰減緩慢，調(diào)節(jié)時(shí)間ts亦長(zhǎng)。第四十三頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日具體討論欠阻尼二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。1.上升時(shí)間tr

由定義知：tr為輸出響應(yīng)第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需時(shí)間，所以應(yīng)取n=1。第四十四頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)wn一定時(shí)，ξ越小，tr越??；當(dāng)ξ一定時(shí)，wn越大，tr越小。2.峰值時(shí)間tp①②第四十五頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)①式兩邊求導(dǎo)，并令其=0，得：代入得：第四十六頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日∴第四十七頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日tp為輸出響應(yīng)達(dá)到第一個(gè)峰值所對(duì)應(yīng)的時(shí)間所以應(yīng)取n=1。于是當(dāng)wn一定時(shí)，ξ越小，tp越??；當(dāng)ξ一定時(shí)，wn越大，tp越小。3.超調(diào)量σ%第四十八頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日所以超調(diào)量是阻尼比ξ的函數(shù)，與無(wú)阻尼振蕩頻率wn的大小無(wú)關(guān)。第四十九頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日σ%與ξ的關(guān)系曲線第五十頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日

ξ增大，σ%減小，通常為了獲得良好的平穩(wěn)性和快速性，阻尼比ξ取在0.4-0.8之間,相應(yīng)的超調(diào)量25%-2.5%。4.調(diào)節(jié)時(shí)間ts根據(jù)定義：不易求出ts，但可得出wnts與ξ的關(guān)系曲線：第五十一頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日第五十二頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日調(diào)節(jié)時(shí)間不連續(xù)的示意圖ξ值的微小變化可引起調(diào)節(jié)時(shí)間ts顯著的變化。第五十三頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)ξ=0.68（5%誤差帶）或ξ=0.76（2%誤差帶），調(diào)節(jié)時(shí)間ts最短。所以通常的控制系統(tǒng)都設(shè)計(jì)成欠阻尼的。曲線的不連續(xù)性，是由于ξ值的微小變化可引起調(diào)節(jié)時(shí)間顯著變化而造成的。近似計(jì)算時(shí)，常用阻尼正弦振蕩的包絡(luò)線衰減到誤差帶之內(nèi)所需時(shí)間來(lái)確定ts。當(dāng)ξ<=0.8時(shí),常把這一項(xiàng)去掉。寫成即

第五十四頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日

在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí),

ξ通常由要求的最大超調(diào)量決定,而調(diào)節(jié)時(shí)間則由無(wú)阻尼振蕩頻率wn來(lái)決定?？山票硎緸椋簝蛇吶?duì)數(shù),得：第五十五頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日5.振蕩次數(shù)NN的定義:在調(diào)節(jié)時(shí)間內(nèi),響應(yīng)曲線穿越其穩(wěn)態(tài)值次數(shù)的一半。

Td為阻尼振蕩的周期。第五十六頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日例1:已知單位反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)的輸入量為單位階躍函數(shù),試計(jì)算放大器增益KA=200時(shí),系統(tǒng)輸出響應(yīng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。當(dāng)KA增大到1500時(shí)或減小到KA=13.5,這時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)如何?第五十七頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日解:系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為:第五十八頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日則根據(jù)欠阻尼二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的計(jì)算公式,可以求得:第五十九頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日由此可見,KA越大,ξ越小,wn越大,tp越小,б%越大,而調(diào)節(jié)時(shí)間ts無(wú)多大變化。系統(tǒng)工作在過(guò)阻尼狀態(tài),峰值時(shí)間,超調(diào)量和振蕩次數(shù)不存在,而調(diào)節(jié)時(shí)間可將二階系統(tǒng)近似第六十頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日為大時(shí)間常數(shù)T的一階系統(tǒng)來(lái)估計(jì),即:調(diào)節(jié)時(shí)間比前兩種KA大得多,雖然響應(yīng)無(wú)超調(diào),但過(guò)渡過(guò)程緩慢,曲線如下：第六十一頁(yè)，共六十九頁(yè)，2022年，8月28日

KA增大，tp減小，tr減小，可以提高響應(yīng)的快速性，但超調(diào)量也隨之增加，僅靠調(diào)節(jié)放大器的增益，即比例調(diào)節(jié)，難以兼顧系統(tǒng)的快速性和平穩(wěn)性，為了改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，可采用比例－微分控制或速度反饋控制，即對(duì)