向量組的線性關(guān)系詳解

向量組的線性關(guān)系詳解演示文稿現(xiàn)在是1頁(yè)\一共有17頁(yè)\編輯于星期六（優(yōu)選）向量組的線性關(guān)系現(xiàn)在是2頁(yè)\一共有17頁(yè)\編輯于星期六兩個(gè)向量之間最簡(jiǎn)單的關(guān)系是成比例。定義：如果向量組中存在一個(gè)向量可以由其余的向量線性表示，那么向量組稱為線性相關(guān)的。否則，該向量組中任一向量都不能由其它向量線性表示，此時(shí)則稱該向量組是線性無(wú)關(guān)的。如向量組：有從而是線性相關(guān)的?，F(xiàn)在是3頁(yè)\一共有17頁(yè)\編輯于星期六定義表明，在線性相關(guān)的向量組中至少可以建立一個(gè)有意義的線性運(yùn)算做成的等式關(guān)系；而當(dāng)向量組線性無(wú)關(guān)時(shí)，在該向量組上惟一能由線性運(yùn)算建立的等式關(guān)系為恒等式定義：向量組稱為線性相關(guān)，如果有不全為零的數(shù)使否則稱該向量組線性無(wú)關(guān)。兩個(gè)定義在s≥2時(shí)是一致，但第二個(gè)定義包含了只有一個(gè)向量的向量組情形?，F(xiàn)在是4頁(yè)\一共有17頁(yè)\編輯于星期六由定義易知：1）對(duì)單個(gè)向量構(gòu)成的向量組，若=0，則線性相關(guān)；

≠0則線性無(wú)關(guān)。2)若向量組的一個(gè)部分組線性相關(guān)，則該向量組必線性相關(guān)。對(duì)應(yīng)于線性無(wú)關(guān)則為：如果一向量組線性無(wú)關(guān)，那么它的任何一個(gè)非空的部分組也必線性無(wú)關(guān)。3)線性相關(guān)與無(wú)關(guān)性的判定可以歸結(jié)為求解齊次線性方程組問題。關(guān)于齊次線性方程組的基本結(jié)論是永遠(yuǎn)存在零解，因此只需判定該齊次線性方程組是否存在非零解即可。若存在則線性相關(guān)，不存在則線性無(wú)關(guān)?，F(xiàn)在是5頁(yè)\一共有17頁(yè)\編輯于星期六定理：向量組線性相關(guān)的充分必要條件是它所構(gòu)成的矩陣的秩小于向量個(gè)數(shù)m，即R(A)<m；向量組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是R(A)=m。例：已知討論向量組與的線性相關(guān)性。解：現(xiàn)在是6頁(yè)\一共有17頁(yè)\編輯于星期六從定理還可得：1)若向量個(gè)數(shù)大于其維數(shù)，則該向量組必相關(guān)；2)如果n維向量組線性無(wú)關(guān)，那么在每一個(gè)向量上的相同位置上添一個(gè)或多個(gè)分量所得到的更高維的向量組也線性無(wú)關(guān)；3)反之如果n維向量組線性相關(guān)，那么在每一個(gè)向量上減少一個(gè)或多個(gè)相同位置的分量所得到的低維的向量組也線性相關(guān)。現(xiàn)在是7頁(yè)\一共有17頁(yè)\編輯于星期六定理：矩陣的行初等變換不改變矩陣的列向量組間的線性關(guān)系?，F(xiàn)在是8頁(yè)\一共有17頁(yè)\編輯于星期六例：現(xiàn)在是9頁(yè)\一共有17頁(yè)\編輯于星期六由于行初等變換不改變矩陣的列向量組間的線性關(guān)系，從而由右端矩陣可知由右端矩陣還可得向量組線性無(wú)關(guān)等結(jié)論?，F(xiàn)在是10頁(yè)\一共有17頁(yè)\編輯于星期六二向量組間的相互線性表示與等價(jià)關(guān)系定義：設(shè)有兩個(gè)向量組及若B

組中的每個(gè)向量都能由向量組A

線性表示，則稱向量組B

能由向量組A線性表示。若向量組A

與向量組B

能相互表示，則稱向量組等價(jià)。1向量組間的線性表示與矩陣方程的關(guān)系單個(gè)向量由某組向量線性表示對(duì)應(yīng)于一個(gè)線性方程組有解；多個(gè)向量由某組向量線性表示則對(duì)應(yīng)于一組線性方程組有解?，F(xiàn)在是11頁(yè)\一共有17頁(yè)\編輯于星期六若記則向量組B能由向量組A表示意味著矩陣方程

AX=B有解；反之若矩陣方程有解，則

B的列向量組可由A的列向量組線性表示。定理：向量組能由向量組線性表示的充分必要條件是矩陣方程有解?，F(xiàn)在是12頁(yè)\一共有17頁(yè)\編輯于星期六2向量組的線性表示與等價(jià)的判定對(duì)向量組與若記定理：向量組能由向量組線性表示的充分必要條件是

R(A)=R(A,B).

注意：其另一個(gè)必要條件是R(A)≥R(B)。定理：向量組與向量組等價(jià)的充分必要條件是

R(A)=R(B)=R(A,B).現(xiàn)在是13頁(yè)\一共有17頁(yè)\編輯于星期六例：現(xiàn)在是14頁(yè)\一共有17頁(yè)\編輯于星期六三向量組線性相關(guān)性的判定定理：現(xiàn)在是15頁(yè)\一共有17頁(yè)\編輯于星期六推論1：如果向量組可以由向量組線性表出，且線性無(wú)關(guān)，那么s≥r.推論2：s個(gè)n維向量組成的向量組，當(dāng)維數(shù)n小于向量個(gè)數(shù)