2023屆河南省鄭州外國語中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動員5場比賽得分的莖葉圖如圖所示，已知甲得分的極差為32，乙得分的平均值為24，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．B．甲得分的方差是736C．乙得分的中位數(shù)和眾數(shù)都為26D．乙得分的方差小于甲得分的方差2．圖1是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制的一幅“勾股圓方圖”（又稱“趙爽弦圖”)，它是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形.受其啟發(fā)，某同學(xué)設(shè)計(jì)了一個圖形，它是由三個全等的鈍角三角形與中間一個小正三角形拼成一個大正三角形，如圖2所示，若，，則線段的長為（)A．3 B．3.5 C．4 D．4.53．“（）”是“函數(shù)是奇函數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．在正方體中，、分別是棱和的中點(diǎn)，為上底面的中心，則直線與所成的角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°5．在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若，則角（）A． B． C． D．6．設(shè)公差不為零的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若a2+A．10 B．11 C．12 D．137．過點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程是（）A． B．C． D．8．己知向量，，，則“”是“”的()A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件9．已知直線的方程為，則該直線的傾斜角為（）A． B． C． D．10．《趣味數(shù)學(xué)·屠夫列傳》中有如下問題：“戴氏善屠，日益功倍。初日屠五兩，今三十日屠訖，問共屠幾何？”其意思為：“有一個姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5兩肉，共屠了30天，問一共屠了多少兩肉？”（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知正實(shí)數(shù)x，y滿足2x+y=2，則xy的最大值為______.12．已知棱長都相等正四棱錐的側(cè)面積為，則該正四棱錐內(nèi)切球的表面積為________．13．已知二面角為60°，動點(diǎn)P、Q分別在面、內(nèi)，P到的距離為，Q到的距離為，則P、Q兩點(diǎn)之間距離的最小值為．14．設(shè)等比數(shù)列滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2…an的最大值為．15．球的內(nèi)接圓柱的表面積為，側(cè)面積為，則該球的表面積為_______16．將邊長為1的正方形ABCD沿對角線AC折起，使平面ACD⊥平面ABC，則折起后B，D兩點(diǎn)的距離為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝3，Sn＝1Sn﹣1+n（n≥1）（1）求出a1，a3的值，并證明：數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列；（1）設(shè)bn＝log1（a3n+1），數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Tn，求證：1≤18Tn＜1．18．在中，角的對邊分別為.已知（1）若，，求的面積；（2）若的面積為，且，求的值.19．已知等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．20．已知數(shù)列滿足，.(Ⅰ)求，的值，并證明：0<≤1；(Ⅱ)證明：；(Ⅲ)證明：.21．求過三點(diǎn)的圓的方程，并求這個圓的半徑和圓心坐標(biāo)．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)，綜合即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對于A，甲得分的極差為32，30+x﹣6=32，解得：x=8，A正確，對于B，甲得分的平均值為，其方差為，B錯誤；對于C，乙的數(shù)據(jù)為：12、25、26、26、31，其中位數(shù)、眾數(shù)都是26，C正確，對于D，乙得分比較集中，則乙得分的方差小于甲得分的方差，D正確；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖的應(yīng)用，涉及數(shù)據(jù)極差、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．2、A【解析】

設(shè)，可得，求得，在中，運(yùn)用余弦定理，解方程可得所求值．【詳解】設(shè)，可得，且，在中，可得，即為，化為，解得舍去），故選．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的余弦定理，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3、C【解析】若，則，函數(shù)為奇函數(shù)，所以充分性成立；反之，若函數(shù)是奇函數(shù)，則，即，因此必要性也是成立，所以“”是“函數(shù)是奇函數(shù)”充要條件，故選C.4、A【解析】

先通過平移將兩條異面直線平移到同一個起點(diǎn)，得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．【詳解】解：先畫出圖形，將平移到，為直線與所成的角，設(shè)正方體的邊長為，，，，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了異面直線及其所成的角，以及余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5、C【解析】

利用余弦定理求三角形的一個內(nèi)角的余弦值，可得的值，得到答案．【詳解】在中，因?yàn)?，即，利用余弦定理可得，又?所以，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)題設(shè)條件，合理利用余弦定理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、C【解析】

由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn=n(a1+an)【詳解】∵S13=117，∴13a1+a132=117，∴a1【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)求和前n項(xiàng)和公式及等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題。7、C【解析】

直接根據(jù)所給信息，利用排除法解題?！驹斀狻勘绢}作為選擇題，可采用排除法，根據(jù)圓心在直線上，排除B、D，點(diǎn)在圓上，排除A故選C【點(diǎn)睛】本題考查利用排除法選出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題。8、A【解析】

先由題意，得到，再由充分條件與必要條件的概念，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，若，則，所以；若，則，所以；綜上，“”是“”的充要條件.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查向量共線的坐標(biāo)表示，以及命題的充要條件的判定，熟記充分條件與必要條件的概念，以及向量共線的坐標(biāo)表示即可，屬于常考題型.9、B【解析】試題分析：直線的斜率，其傾斜角為．考點(diǎn)：直線的傾斜角．10、D【解析】

根據(jù)題意，得到該屠戶每天屠的肉成等比數(shù)列，記首項(xiàng)為，公比為，前項(xiàng)和為，由題中熟記，以及等比數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意，該屠戶每天屠的肉成等比數(shù)列，記首項(xiàng)為，公比為，前項(xiàng)和為，所以，，因此.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的應(yīng)用，熟記等比數(shù)列的求和公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由基本不等式可得，可求出xy的最大值.【詳解】因?yàn)?，所以，故，?dāng)且僅當(dāng)時，取等號.故答案為.【點(diǎn)睛】利用基本不等式求最值必須具備三個條件：①各項(xiàng)都是正數(shù)；②和（或積）為定值；③等號取得的條件.12、【解析】

根據(jù)側(cè)面積求出正四棱錐的棱長，畫出組合體的截面圖，根據(jù)三角形的相似求得四棱錐內(nèi)切球的半徑，于是可得內(nèi)切球的表面積．【詳解】設(shè)正四棱錐的棱長為，則，解得．于是該正四棱錐內(nèi)切球的大圓是如圖△PMN的內(nèi)切圓，其中，．∴．設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，由∽，得，即，解得，∴內(nèi)切球的表面積為．【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑．13、【解析】

如圖

分別作于A,于C,于B,于D,

連CQ,BD則,,

又

當(dāng)且僅當(dāng),即點(diǎn)A與點(diǎn)P重合時取最小值.

故答案選C.【點(diǎn)睛】14、【解析】試題分析：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由得，，解得.所以，于是當(dāng)或時，取得最大值.考點(diǎn)：等比數(shù)列及其應(yīng)用15、【解析】

設(shè)底面半徑為，圓柱的高為，根據(jù)圓柱求得和的值，進(jìn)而利用圓柱的軸截面求得球的半徑，利用球的表面積公式，即可求解．【詳解】由題意，設(shè)底面半徑為，圓柱的高為，則圓柱的底面面積為，解得，側(cè)面積，解得，則圓柱的軸截面是邊長分別為4和3的矩形，其對角線長為5，所以外接球的半徑為，所以球的表面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓柱的表面積和側(cè)面積公式的應(yīng)用，以及球的表面積公式應(yīng)用，其中解答中正確理解空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16、1.【解析】

取AC的中點(diǎn)E，連結(jié)DE，BE，可知DE⊥AC，由平面ACD⊥平面ABC，可得DE⊥平面ABC，DE⊥BE，而，再結(jié)合ABCD是正方形可求出.【詳解】取AC的中點(diǎn)E，連結(jié)DE，BE，顯然DE⊥AC，因?yàn)槠矫鍭CD⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC，所以DE⊥BE，而，所以，.【點(diǎn)睛】本題考查了空間中兩點(diǎn)間的距離，把空間角轉(zhuǎn)化為平面角是解決本題的關(guān)鍵.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（1）見解析【解析】

（1）可令求得的值；再由數(shù)列的遞推式，作差可得，可得數(shù)列為首項(xiàng)為1，公比為1的等比數(shù)列；（1）由（1）求得，，再由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，可得，再由不等式的性質(zhì)即可得證．【詳解】（1）當(dāng)時，，即，∴，當(dāng)時，，即，∴，∵，∴，，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為1的等比數(shù)列.（1）由（1）可知，所以，所以，，，,所以,所以,即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推式的運(yùn)用，考查等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式、求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．18、（1）；（2）．【解析】

（1）先根據(jù)計(jì)算出與，再利用余弦定理求出b邊，最后利用求出答案；（2）利用正弦定理將等式化為變得關(guān)系，再利用余弦定理化為與的關(guān)系式，再結(jié)合面積求出c的值．【詳解】解：（1）因?yàn)椋裕?，所以．因?yàn)?，，且，所以，解得，所以．?）因?yàn)?，由正弦定理，得．又，所以．又，得，所以，所以．【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）（2）【解析】

（1）先設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中條件求出公差，即可得出通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)前項(xiàng)和公式，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）依題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，又，所以公差，所以．?）由（1）知，，所以【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列，熟記等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.20、(Ⅰ)見證明；(Ⅱ)見證明；(Ⅲ)見證明【解析】

（I）直接代入計(jì)算得，利用得從而可證結(jié)論；（II）證明，即可；（III）由（II）可得，即，，應(yīng)用累加法可得，從而證得結(jié)論．【詳解】解：(Ⅰ)由已知得，.因?yàn)樗?所以又因?yàn)樗耘c同號.又因?yàn)椋?所以.(Ⅱ)因?yàn)橛忠驗(yàn)?，所?同理又因?yàn)?，所以綜上，(Ⅲ)證明：由(Ⅱ)可得所以，即所以，，...，累加可得所以由(Ⅱ)可得所以，即所以，，...，累加可得所以即綜上所述.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推公式，考查數(shù)列中的不等式證明．第（I）問題關(guān)鍵是證明數(shù)列是遞減數(shù)列，第（II）問題是用作差法證明，第（III）問題是在第（II）問基礎(chǔ)上用累加法求和（先求）．21、（x﹣4）2+（y+3）2=21，圓的半徑為【解析】

設(shè)出圓的一般方程，把代入所設(shè),得到關(guān)于的方程組，求解,即可求得圓的一般