高等數(shù)學(xué)一微積分考試必過歸納總結(jié)要點(diǎn)重點(diǎn)

高數(shù)一串講教材所講主要內(nèi)容以下：一元函數(shù)微分學(xué)(第三章、第四章)第一章第二章高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)函數(shù)及極限和(一)微積分微積分其圖形連續(xù)（第六章）一元函數(shù)積分學(xué)（第五章）全書內(nèi)容可粗分為以下三大部分：第一部分函數(shù)極限與連續(xù)〔包含級(jí)數(shù)〕第二部分導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用〔包含多元函數(shù)〕第三部分積分計(jì)算及其應(yīng)用〔包含二重積分和方程〕第一部分函數(shù)極限與連續(xù)一、關(guān)于函數(shù)看法及特征的常有考試題型：1、求函數(shù)的自然定義域。2、判斷函數(shù)的有界性、周期性、單調(diào)性、奇偶性。3、求反函數(shù)。4、求復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式。二、極限與連續(xù)常有考試題型：1、求函數(shù)或數(shù)列的極限。2、觀察分段函數(shù)在分段點(diǎn)處極限能否存在，函數(shù)能否連續(xù)。3、函數(shù)的連續(xù)與中止。4、求函數(shù)的漸進(jìn)線。5、級(jí)數(shù)的性質(zhì)及等比級(jí)數(shù)。6、零點(diǎn)定理。每年必有的考點(diǎn)第三部分導(dǎo)數(shù)微分及其應(yīng)用常有考試題型：1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2、談?wù)摲侄魏瘮?shù)分段點(diǎn)的連續(xù)性與可導(dǎo)性。3、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，隱含數(shù)求導(dǎo)，參數(shù)方程求導(dǎo)；4、談?wù)摵瘮?shù)的單調(diào)性和凹凸性，求曲線的拐點(diǎn)；5、求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值；6、實(shí)質(zhì)問題求最值。每年必有的考點(diǎn)第四部分積分計(jì)算及應(yīng)用考試常有題型1、不定積分的看法與計(jì)算；2、定積分的計(jì)算；3、定積分計(jì)算平面圖形的面積；4、定積分計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積；5、無量限失常積分6、二重積分7、微分方程近來幾年考題中，積分計(jì)算的題目許多，并且也有必定的難度。第一部分函數(shù)極限與連續(xù)一、關(guān)于函數(shù)看法及特征的常有考試題型：1、求函數(shù)的自然定義域。2、判斷函數(shù)的有界性、周期性、單調(diào)性、奇偶性。3、求反函數(shù)。4、求復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式。例1..函數(shù)y=log2log3x的定義域是___________.知識(shí)點(diǎn)：定義域商定函數(shù)的定義域是使函數(shù)的分析表達(dá)式有意義的一的確數(shù)所構(gòu)成的數(shù)集。解要使根式函數(shù)有意義一定滿足log2log3x0，要使log2log3x0成立，只有l(wèi)og3x1，即x3.注：我們所求定義域的函數(shù)一般都是初等函數(shù)，而初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)，經(jīng)過有限次的＋－×÷運(yùn)算及有限次的復(fù)合獲取的函數(shù)稱為初等函數(shù)。這就需要我們把基本初等函數(shù)的定義域、值域等搞清楚?；境醯群瘮?shù)的性質(zhì)與圖形以下表所示(T表周期)：R(,)R(0,)名表達(dá)式定義域稱常數(shù)yCR函數(shù)隨而異，冪yx函但在R上數(shù)均有定義指yx數(shù)aa0函aR數(shù)1

圖形yC0xy=x3y=xy=x1/3y=x-1y=x-24.54yy=axy=ax3.532.520<a<11.51(0,1)0.50ox-0.500.511.522.5-2.5-2-1.5-1-0.5

特征有界，偶函數(shù)時(shí)在R單增；時(shí)在R單減．無界1單增．0a1單減．0．無界對(duì)ylogax數(shù)a0函數(shù)a1正弦ysinx函數(shù)余弦ycosx函數(shù)

RRR

yO(1,0)y1-/2/2-1y1-/2O/2-1y

y=logxaa>1x0<a<1y=logax3/22x3/22x

1單增．0a1單減．無界奇函數(shù)．T2．1．有界偶函數(shù)．T2．1．有界奇函數(shù)．正切ytanx函數(shù)余切ycotx函數(shù)

xk2Zxk,kZ

-/2OyO

T．/2x在每個(gè)周期內(nèi)單增，無界奇函數(shù)．T．x在每個(gè)周期內(nèi)單減．無界反正弦yarcsinx1,1函數(shù)反余弦yarccosx1,1函數(shù)反正切yarctanxR函數(shù)

y/2-1o1-/2y/2-1o1y/2o-/2y

奇函數(shù)．單增．xy2．有界單減．0y．有界x奇函數(shù)．單增．xy2．有界反余切yarccotxR函數(shù)

單減．/20y．o有界x例2求函數(shù)f(x)ln(1x),x0.的值域解：由x0.可知1x1，所以ln(1x)0，故f(x)ln(1x),x0.的值域?yàn)閇0,)例3.1.以下函數(shù)中在所給的區(qū)間上是有界函數(shù)的為〔〕A．f(x)=11〔-1，0〕[0，1]B．f(x)=x1x1C．f(x)=ex(-∞，+∞)D．f(x)=lnx(0，+∞)知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的有界性注：函數(shù)的有界性是指值域的有界性。解：A當(dāng)0x1時(shí)，1x+1211，故f(x)=1在[0，1]上為有界函數(shù)。21x11x+1B．lim故f(x)=1在〔-1，0〕上為無界函數(shù)。=x-1x+1x1CD結(jié)合函數(shù)圖像判斷。例4、設(shè)函數(shù)f(x)是定義在(a,a)上的任意函數(shù)，證明：〔1〕、g(x)f(x)f(x),x(a,a)是偶函數(shù)〔2〕、g(x)f(x)f(x),x(a,a)是奇函數(shù)知識(shí)點(diǎn)：奇偶性假設(shè)關(guān)于任何x，恒有f(x)f(x)成立，則稱f(x)是奇函數(shù)。假設(shè)關(guān)于任何x，恒有f(x)f(x)成立，則稱f(x)是偶函數(shù)．奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱分析：因?yàn)間(x)是定義在對(duì)稱區(qū)間上，依據(jù)定義，只需證明：〔1〕g(x)g(x)〔2〕g(x)g(x)只證〔1〕：g(x)f(x)f((x))f(x)f(x)g(x)偶函數(shù)。例5、求函數(shù)ylog42log4x的反函數(shù).知識(shí)點(diǎn)：反函數(shù)求反函數(shù)的步驟是：先從函數(shù)yf(x)中解出xf1(y)，再置換x與y，就得反函數(shù)yf1(x)。解：由ylog42log4x11log4x，可得2(y1)log4x，所以x42y1，222上式中x與y的記號(hào)互換，即得反函數(shù)為y42x1例6．1.設(shè)f(x)=x3-x，(x)sin2x，則f[()]=()42D.2B.222.已知f(x+1)=x，則f(x)=________.知識(shí)點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)解：1.f(x)=sin32x-sin2xf()sin32()-sin2()0444答案：C2.令x1u,則xu，故由f(x1)2221x可得f(u)(u1)，即f(x)(x1).二、極限與連續(xù)常有考試題型：1、求函數(shù)或數(shù)列的極限。2、觀察分段函數(shù)在分段點(diǎn)處極限能否存在，函數(shù)能否連續(xù)。3、函數(shù)的連續(xù)與中止。4、求函數(shù)的漸進(jìn)線。5、級(jí)數(shù)的性質(zhì)及等比級(jí)數(shù)。6、零點(diǎn)定理。典型例題求極限方法總結(jié)：利用極限四則運(yùn)算、連續(xù)函數(shù)、重要極限、無量小代換、洛比達(dá)法規(guī)等例7．求lim2x23x5．x23x1知識(shí)點(diǎn)：假設(shè)函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，limf(x)f(x0)xx0解因?yàn)閘im(3x1)lim3xlim16170x2x2x2．lim2x23x5lim(2x23x5)71故3xx21)x21lim(3x7x2例8、lim2x213x2xlim2x212x2121解：limx22limx2x3x2x3xx32x2xx2知識(shí)點(diǎn)：一般地，設(shè)a00,b00,m,nN，則a0,n,a0xna1xn1anb0當(dāng)mlim0,當(dāng)mn,xb0xmb1xm1bm,當(dāng)mn.例9lim3n26n5___________3n2n3n2365解：lim6n5nn233n2lim23nn3n1n例10〔1〕、lim(1nx2)1cosx2008.1(2)lim1x0nn知識(shí)點(diǎn)：重要極限：11)x11lim(1e,lim(1t)te,u(x)0,lim(1u(x))u(x)e，xxt0x1an0,lim(1an)anen解:(1)11x2lim(1x2)1cosxlim[(1x2)x2]1cosxx0x01x2x2因?yàn)閘im[(1x2)x2]e，limlim22。x0x01cosxx0x2nn(2)求lim1nnnnn(n1)n(n1)解：limnlimn11lim11lim11n1n1nnn1nnn1nlim111nn

(n1)(n1)e

1例11.(1)limtanxsinkx(3)lim1cosx(4)limnsin(2007.10)x(2)limxx2x0x0x0n2n知識(shí)點(diǎn)：重要極限limsinx1,limsinu(x)1,limsinan1x0xu(x)0u(x)an0an解：(1)limtanxlimsinx1limsinx1111x0xx0xcosxx0xlimcosxx0(2)令ukx，x0等價(jià)于u0,sinkxlimsinkxklimsinuk1kklimxkxux0x0u01cosx2sin2xsin2x(3)limlim2limx2x2x2x0x0x022()2sinx21lim122x0x22sin(4)lim(nsin)lim2nn2nn222n例12．求極限〔1〕limln(1x2)〔2〕limex21sin3xcos2x)ln(1x)x01cosxx0(1知識(shí)點(diǎn)：利用等價(jià)無量小代換求函數(shù)極限。,',,'為無量小，且~',~'，則lim'lim'解：(1)因?yàn)閘n(1x2)~x2,1cosx~1x22所以limln(1x2)=limx2=2x01cosxx0122x〔2〕因?yàn)閑x21~x2，sin3x~3x，1cos2x~21(2x)22x2，ln(1x)~xex21sin3x23．所以limcos2x)ln(1x)limx(3x)x0(1x0(2x2)x2注：在使用等價(jià)無量小代換時(shí)，應(yīng)注意只好對(duì)乘除法代換，不可以對(duì)加減法代換，即只對(duì)極限中的各個(gè)因式進(jìn)行代換．記住以下幾個(gè)常用的等價(jià)無量小以及由此導(dǎo)出其他的等價(jià)無量小1、sinx~x,導(dǎo)出u(x)0時(shí)，sinu(x)~u(x)2、tanx~x,導(dǎo)出u(x)0時(shí)，tanu(x)~u(x)3、arcsinx~x，導(dǎo)出u(x)0時(shí)，arcsinu(x)~u(x)4、ex1~x，導(dǎo)出u(x)0時(shí)，eu(x)1~u(x)5、ln(1x)~x，導(dǎo)出u(x)0時(shí)，ln1u(x)~u(x)6、1cosx~x2，導(dǎo)出u(x)0時(shí)，1cosu(x)~u(x)222例13：(1)limx209.7(2)limxsinx09.4x0xexsinxxx21(3)lim(1x07.4〔4〕limx1x)tanx1lnxx12x1知識(shí)點(diǎn)：洛必達(dá)法規(guī)：使用洛必達(dá)法規(guī)一定判斷所求的極限是分式型的不決式、0．其他種類的不決式，0，00,0,1可轉(zhuǎn)變成分式型的未0定式，從而可以用洛必達(dá)法規(guī)解：(1)limx2(0)x0xexsinx0lim2xlim21excosx2exx0xexx0xexsinxxsinx〔2〕lim2xx11cosxlim1(1cosx)0lim2x2xxxx0)(3)lim(1x)tan(0x120lim(1x)limx1xx1cot21lim1x1lnx

1xlim2sin2x22x12csc22limxlnxx10lim1lnx10x1(x1)lnxx1x1lnxx1limlnxlimx11x111lnxx112xx2x例14．求極限〔1〕limexex2.2009.10(2)a0,b0,limlncosaxx01cosxx0lncosbx知識(shí)點(diǎn);等價(jià)無量小和洛比達(dá)法規(guī)結(jié)合解：〔1〕limexex2(0)x01cosx0limexe2x2limexexlim(exex)2x0xx0xx02limlncosax1(asinax)0(2)limcosax()x0lncosbxx01(bsinbx)0cosbxlimcosbxasinaxcosbxaaxa2limb2x0cosaxbsinbxx0cosaxbbxx例15tf(t)dt.設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，且f(0)=1，則lim0x0x2A.0B.1C.1D.22知識(shí)點(diǎn)：變上限函數(shù)求導(dǎo)求極限x(t)dttflimxf(x)limf(x)f(0)1解：lim0x2=x0x02xx0222例16sin2xx0x在x=0點(diǎn)連續(xù)，則k=．設(shè)函數(shù)f(x)=3x22xkx0知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)連續(xù)假設(shè)limf(x)f(x0)，則稱函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)。xx0分段函數(shù)在分段點(diǎn)點(diǎn)x0處連續(xù)yf(x)在點(diǎn)x0處既左連續(xù)又右連續(xù)。解：因?yàn)閥f(x)在點(diǎn)0處連續(xù)，所以limf(x)limsin2xlim2x2f(0)kx0x0xx0x例17．函數(shù)x1的中止點(diǎn)的個(gè)數(shù)為【】f(x)2x3)ex(x2(A)0個(gè)(B)1個(gè)(C)2個(gè)(D)3個(gè)知識(shí)點(diǎn)：判斷初等函數(shù)的中止點(diǎn)假如f(x)在點(diǎn)x0不連續(xù)，則稱x0是f(x)的中止點(diǎn)．●假設(shè)以下三種狀況之一成立，則x0是f(x)的中止點(diǎn)：i．f(x0)無定義(x0是無定義的孤立點(diǎn))ii．limf(x)不存在xx0iii．f(x0)有定義，limf(x)存在，但limf(x)f(x0)．xx0xx0●假設(shè)f(x)是含有分母的初等函數(shù)，則分母的零點(diǎn)是中止點(diǎn)．●假設(shè)f(x)是分段函數(shù)，則分段的分界點(diǎn)是可疑的中止點(diǎn)．解：將函數(shù)的分母做因式分解，則有f(x)x1．分母的零(x1)(xex2)點(diǎn)就是函數(shù)的中止點(diǎn)．可以看到分母的零點(diǎn)為x1,2，應(yīng)選擇C．注：對(duì)函數(shù)做因式分解是判斷函數(shù)零點(diǎn)的常用方法．例18．求曲線yln(2x)的水平漸近線和豎直漸近線xyf(x)x211x1yf(x)x1x2)知識(shí)點(diǎn)：假如limf(b或limxx則直線yfxb或b為曲線yxx

f()b或limf(x)，，xxbffxb或fx．b，(x)的水平漸近線xy假如limf(x)或limxaxa則直線xfx或ya為曲線xaxa

fxf(x)或limf(x)，xafx或fxf(x)的豎直漸近線．xa1yfxlimx11xln(2x)解：因?yàn)閤0ln(2x)lim20limx1，limxxx1x0xlimx12x0xx1ln(2x)limy所以yy110x為曲線2的水平漸近線，x1xlimx11ln(2x0為曲線yx2的水平豎直漸近線。x注意：豎直漸近線一般在中止點(diǎn)處存在。2n118求級(jí)數(shù)的和5例n0知識(shí)點(diǎn)：等比級(jí)數(shù)（幾何級(jí)數(shù)）aqn1aaqaq2aqn1n1當(dāng)q1時(shí),等比級(jí)數(shù)收斂;且aqn1aaqaq2aqn1aqn11當(dāng)q1時(shí)，等比級(jí)數(shù)發(fā)散．2n1223n1解：因?yàn)?2255555n02n1225所以n052315注意：收斂的必需條件：若un收斂，則limun0級(jí)數(shù)n0n三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：例20上連續(xù)，且f(0)=0,f(1)=1.證明：最少存在一點(diǎn)〔0，1〕，使f( )=1-.．設(shè)f(x)在[0,1]知識(shí)點(diǎn)零點(diǎn)定理假設(shè)f(x)在閉區(qū)間a,b連續(xù)，且f(a)f(b)0，則最少有一點(diǎn)(a,b)，使f( )0證明：.令F(x)f(x)1x，則F(x)在閉區(qū)間0,1連續(xù)，F(xiàn)(0)f(0)110，F(xiàn)(1)f(1)1110，則由零點(diǎn)定理最少有一點(diǎn)(0,1)，使F( )0,即f( )1。第二部分導(dǎo)數(shù)微分及其應(yīng)用常有考試題型：1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2、談?wù)摲侄魏瘮?shù)分段點(diǎn)的連續(xù)性與可導(dǎo)性。3、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，隱含數(shù)求導(dǎo)，參數(shù)方程求導(dǎo)；4、談?wù)摵瘮?shù)的單調(diào)性和凹凸性，求曲線的拐點(diǎn)；5、求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值；2n119求級(jí)數(shù)的和S5n06、實(shí)質(zhì)問題求最值。一、有關(guān)定義的題型例21設(shè)f′(0)=1，求limf(3t)f(t)x02t知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的定義f(x0)yxxlimylimf(x)f(x0)limf(x0x)f(x0).0x0xxx0xx0x0x解:limf(3t)f(t)limf(3t)x02tx03f(3t)f(0)1(f(t)lim3tlimx02x02例22．設(shè)f(x)=x21,0x1,3x3,1x2

f(0)(f(t)f(0))2tf(0))31tf(0)f(0)2f(0)222談?wù)撛摵瘮?shù)在x1處的連續(xù)性與可導(dǎo)性知識(shí)點(diǎn)：1、函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)既左連續(xù)又右連續(xù).2、函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)左導(dǎo)數(shù)f(x0)和右導(dǎo)數(shù)f(x0)都存在且相等3、分段函數(shù)在分段點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)可用導(dǎo)數(shù)的左右極限來獲取。解：因?yàn)閘im+f(x)lim+3x30f(1),lim-f(x)lim+x210f(1)x1x1x1x1所以f(x)在x1處連續(xù)因?yàn)閒(1)limf(x)lim(3x3)lim3=3x1x1x1f(1)limf(x)lim(x21)lim2x2x1x1x1f(1)f(1)，f(x)在x1處不行導(dǎo)總之，f(x)在x1處連續(xù)不行導(dǎo)1ex2,x0例23.設(shè)f(x)x，則f(0)0,x01ex2解：f(0)limf(x)f(0)limx0x0x0x0x01ex2lim1ex2limx2x21x0x0例24．求曲線yxx上點(diǎn)〔，〕處的切線是.e01知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，(x0)在幾何上表示曲線yf(x)在點(diǎn)M0(x0,f(x0))處f的切線的斜率．解：因?yàn)閥1ex所以曲線yxex在點(diǎn)〔0，1〕處的切線方程的斜率為y'x02,則曲線yxex在點(diǎn)〔0，1〕處的切線方程為y12(x0),即y2x1例25設(shè)函數(shù)f(x)在xa處可導(dǎo)，則f(x)在xa處〔C.〕2005年4月知識(shí)點(diǎn)：f(x)可導(dǎo)f(x)可微f(x)可導(dǎo)f(x)連續(xù)例26、假設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處自變量增量x=0.25，對(duì)應(yīng)函數(shù)增量y的線性主部為2，求函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值f(x0)2006年1月知識(shí)點(diǎn)：微分yf(x0x)f(x0)yAxo(x)dyAxf(x)dx解：因?yàn)?Axf(x0)dxf(x0)0.25所以f(x0)8二、有關(guān)導(dǎo)數(shù)計(jì)算的題型基本求導(dǎo)公式(C)0(x)x1(sinx)cosx(cosx)sinx(tanx)sec2x(cotx)csc2x(secx)secxtgx(cscx)cscxctgx(ax)axlna(ex)ex(logax)1(lnx)1xlnax(arcsinx)1(arccosx)11x2x21(arctanx)1(cotx)11x21x2導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算假設(shè)函數(shù)uu(x)，vv(x)都在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則有(ⅰ)(u(x)v(x))u(x)v(x)；(ⅱ)[u(x)v(x)]u(x)v(x)u(x)v(x)；(ⅲ)u(x)u(x)v(x)u(x)v(x)，v(x)0．v(x)v2(x)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)yf(u)及ug(x)可以復(fù)合成函數(shù)yf(g(x))，假設(shè)ug(x)在點(diǎn)x可導(dǎo)，且yf(u)在相應(yīng)的點(diǎn)ug(x)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)yf((x))在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且dy(( ))g( )，或dydydu，dxdudxdx初等函數(shù)的求導(dǎo)問題所有解決例27、求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。1)y=

1ln2x

.2009.1

arctanx2)3

3)sinnx

sinn

xsinx導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算,復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：逐層求導(dǎo)，外層求導(dǎo)，內(nèi)層不動(dòng)。解：1)y1(1ln2x)2lnx(lnx)lnx21ln2x21ln2xx1ln2x2〕3arctanx(3arctanx)sinx3arctanx(sinx)sinxsin2x3arctanxln3(arctanx)sinx3arctanxcosx3arctanxln3sinxcosx)sin2xsin2(1x2x3)(sinnxsinnx)(sinnx)(sinnx)cosnx(nx)nsinn1x(sinx)ncosnxnsinn1xcosx例28、求以下函數(shù)的微分(1)ylntanx(2)yf(lnx)2知識(shí)點(diǎn):求微分dyf(x)dx解：〔1〕因?yàn)閐yx1x12xxdx(lntan2)tanx(tan2)tanxsec2(2)2211111所以dy1xx(x)x2xsinxdx22tan2sinxtancos2cos222〔2〕設(shè)：ulnx，則;yf(u)，故y'f'(lnx)(lnx)'f'(lnx)1x所以dyf(lnx)1dxx例29、求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1〔1〕設(shè)yxx,求y(1).2005.11x212x-1ln1arctan〔2〕y2x13,x1,2007.6x3知識(shí)點(diǎn)：當(dāng)冪指函數(shù)求導(dǎo)，或當(dāng)函數(shù)是多個(gè)因式相乘時(shí)，采納對(duì)數(shù)求導(dǎo)法11解(1)yxx，兩邊取對(duì)數(shù)：lnylnxx兩邊關(guān)于x求導(dǎo)：111(lnx)1lnx1yx2lnxx2x2yx12lnx12)11212)yy(xx(lnxy(1)1xxxx(2)因?yàn)?x1212x-11112x-1ylnarctanlnx1ln(x2x1)arctan,x2x16333633y1111(2x-1)1123x16x2(2x-1)2x1313312x-123(x1)6(x2x1)3(2x-1)2例30、設(shè)ysin2x,求y(n)知識(shí)點(diǎn)：高階導(dǎo)數(shù)，熟記以下高階導(dǎo)數(shù)公式(sinx)(n)sin(xn).(cosx)(n)cos(xn).(ax)(n)axlnna.22(ex)(n)ex(x)(n)n(n1)21n!解：y(sin2x)sin(2x)(2x)2sin(2x).,22y(2sin(2x2))2sin(2x22)(2x2)22sin(2x22)所以y(n)2nsin(2xn)2例31求zx23xyy2在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù)。知識(shí)點(diǎn)：偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算fx(x0,y0)limf(x0x,y0)f(x0,y0).x0xfy(x0,y0)limf(x0,y0y)f(x0,y0).y0y解法：z2x3y,z3x2yxy則z8,z7x(1,2)y(1,2)例32、求函數(shù)zln(1x2y2))當(dāng)x1,y2時(shí)的全微分.2005年1月知識(shí)點(diǎn)：全微分dzpfx(x0,y0)dxfy(x0,y0)dy0解：z2xy2,z2yy2,x1x2y1x2dzzdxzdy2xy2dx2yy2dyxy1x21x2z2x1,z2y2xx1,y21x2y2x1,y23yx1,y21x2y2x1,y23所以dzx1,y2zdxzdy1dx2dyxx1,y2yx1,y233注意：假如求非詳盡點(diǎn)的全微分，只需求出偏導(dǎo)函數(shù)，帶入全微分公式即可：例33、zxexyy,求2zxy解：zexyxyexy，2zxexyxexyx2yexyxxy例34設(shè)方程x2y2z2yez確立隱函數(shù)zz(x,y),求zx,zy知識(shí)點(diǎn)：隱含數(shù)求導(dǎo)二元方程F(x,y)0確立一個(gè)一元的隱函數(shù)yf(x),且dyFxdxFyF(x,y,z)=0確立二元函數(shù)z=z(x,y)，且：zFx，zFyxFzyFz解：令F(x,y,z)x2y2z2yez原方程即為F(x,y,z)0Fx2x，F(xiàn)y2yezFz2zyezzxFx2xzyFy2yezFz2zyezFz2zyez注：使用公式時(shí)，將方程表示為F(x,y,z)0或F(x,y)0三、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用1、導(dǎo)數(shù)和微分在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用邊沿函數(shù)：在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，一個(gè)經(jīng)濟(jì)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)稱為該函數(shù)的邊沿函數(shù)．彈性函數(shù):經(jīng)濟(jì)函數(shù)yf(x)彈性函數(shù)Ey以下定義：yExEylimyxlimyxf(x)Exx0xyx0xyx注意：1〕yf(x)在x點(diǎn)可導(dǎo)，在x點(diǎn)的彈性就存在。2〕Ey=xf(x)Exxx0yxx0例351．已知生產(chǎn)某商品x個(gè)的邊沿收益為30-2xA．30-2x2B．30-x2C．30x-2x2D．30x-x2知識(shí)點(diǎn)：q表示某產(chǎn)品產(chǎn)量，C(q),R(q),L(q)分別表示成本函數(shù)、收益函數(shù)和收益函數(shù)，則邊沿成本MC=C(q)邊沿收益MR=R(q)邊沿收益ML=L(q)明顯：L(q)R(q)C(q)L(q)R(q)C(q)=MR—MC解：因?yàn)?30xx2)302x，答案為D.供應(yīng)價(jià)格彈性與需求價(jià)格彈性1、設(shè)SS(p)是市場(chǎng)對(duì)某一種商品的供應(yīng)函數(shù)，此中p為商品價(jià)格，S為市場(chǎng)供應(yīng)量，則：ESpS(p)-------供應(yīng)價(jià)格彈性EpS2、設(shè)DD(p)是市場(chǎng)對(duì)某一種商品的需求函數(shù)，此中p為商品價(jià)格，D為市場(chǎng)需求量，則：EDpD(p)------需求價(jià)格彈性EpD注意，當(dāng)p0時(shí)D0，所以DD(p)lim0p0p負(fù)號(hào)保證：ED0，需求價(jià)格彈性總是正數(shù)。Ep例36.設(shè)某商品的需求函數(shù)為D(p)a-bp，此中p表示商品價(jià)格，D為需求量，a、b為正常數(shù)，則需求量對(duì)價(jià)格的彈性ED〔〕EPbbA.B.abpabpbpD.bpC.bpbpaa解：EDpD'(p)p(b)pbEPDabpabp2、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)形態(tài)方面的應(yīng)用理論基礎(chǔ)：微分中值定理函數(shù)的凹凸性，單調(diào)性，極值最值例37函數(shù)f(x)x24x5在區(qū)間[0,4]能否滿足羅爾定理的條件，假設(shè)滿足，求出使f( )0的點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)：、羅爾定理假設(shè)函數(shù)f(x)滿足：(1)在閉區(qū)間[a,b]連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)可導(dǎo)(3)f(a)f(b)，則在(a,b)內(nèi)最少存在一點(diǎn)，使f( )0拉格朗日(Lagrange)中值定理假設(shè)函數(shù)f(x)滿足：在閉區(qū)間[a,b]連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)可導(dǎo)則在(a,b)內(nèi)最少存在一點(diǎn)，使f( )f(b)f(a)ba解：f(x)在[0,4]連續(xù)且可導(dǎo)，又f(0)f(4)5．故f(x)在[0,4]滿足羅爾定理的條件．因?yàn)閒(x)2x4．令f(x)0，得x2，即點(diǎn)2．例38.函數(shù)ye-xx在區(qū)間(-1,1)內(nèi)〔〕2005年1月A.單調(diào)減小B.單調(diào)增添C.不增不減D.有增有減知識(shí)點(diǎn)：設(shè)函數(shù)yf(x)在[a,b]上連續(xù)，在(1)、假設(shè)在(a,b)內(nèi)f(x)0，則yf(x)在[a,b](2)、假設(shè)在(a,b)內(nèi)f(x)0，則yf(x)在[a,b]

(a,b)上可導(dǎo)，上單調(diào)增添；上單調(diào)減少。解：因?yàn)閥e-x1(e-x1)0,x(1,1)所以應(yīng)入選A例39.試確立函數(shù)yexx1的單調(diào)區(qū)間。知識(shí)點(diǎn)：求單調(diào)區(qū)間一階導(dǎo)數(shù)為零〔駐點(diǎn)〕或不存在的點(diǎn)可能恰好是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)，這些分界點(diǎn)將函數(shù)的定義域分劃成假設(shè)干個(gè)部分單調(diào)區(qū)間。解：函數(shù)的定義域?yàn)?,)，且yex1當(dāng)x(,0)時(shí)，y0，故函數(shù)在(,0)上單調(diào)減少；當(dāng)x(0,)時(shí)，y0，故函數(shù)在(0,)上單調(diào)增添。故(,0)為單調(diào)遞加區(qū)間，(0,)為單調(diào)增區(qū)間。例40．求曲線yx3x2x1的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)：曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)f(x)0時(shí)，曲線為凹的，f(x)0，曲線為凸的。確立曲線拐點(diǎn)的方法：1、求出f(x)在區(qū)間I上為零或不存在的點(diǎn)；2、這些點(diǎn)將區(qū)間I劃分成假設(shè)干個(gè)部分區(qū)間，而后觀察f(x)在每個(gè)部分區(qū)間上的符號(hào)，確立曲線yf(x)的凹凸性；3、假設(shè)在兩個(gè)相鄰的部分區(qū)間上，曲線的凹凸性相反，則此分界點(diǎn)是拐點(diǎn)；假設(shè)在兩個(gè)相鄰的部分區(qū)間上，曲線的凹凸性同樣，則此分界點(diǎn)不是拐點(diǎn)。解：y'3x22x1,y"6x2,x1時(shí)，y"0。3當(dāng)x1時(shí),y"，故原曲線的凹區(qū)間為1，33當(dāng)x1時(shí)y"，故原曲線的凸區(qū)間為1，30316故曲線的拐點(diǎn)是，27例41．求函數(shù)y=x-ln(1+x)的極值.知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的極值，駐點(diǎn)〔導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)〕連續(xù)函數(shù)的極值點(diǎn)必是駐點(diǎn)和不行導(dǎo)的點(diǎn)求函數(shù)的極值的步驟：先求出駐點(diǎn)和不行導(dǎo)點(diǎn)〔可疑的極值點(diǎn)〕，再利用第一充分條件，第二充分條件判斷可疑點(diǎn)能否為極值點(diǎn)．第一充分條件設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域U(x0,)內(nèi)連續(xù)，在去心鄰域oU(x0,)內(nèi)可導(dǎo)，(1)、當(dāng)x(x0,x0)時(shí),f(x)，0x(x0,x0)時(shí),f(x)0，則f(x0)為f(x)的極大值(2)、x(x0,x0)時(shí),f(x)0，當(dāng)x(x0,x0)時(shí),f(x)0，則f(x0)為f(x)的極小值第二充分條件設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處擁有二階導(dǎo)數(shù)，且f(x0)0,f(x0)0，則(1)、當(dāng)f(x0)0時(shí)，函數(shù)f(x)在x0處獲得極大值；(2)、當(dāng)f(x0)0時(shí)，函數(shù)f(x)在x0處獲得極小值。解：yxln(1x)，定義域：(1,)y11x1xx11x1,y"1x22x1x令y0時(shí)，x0,y"x00，所以x=0是函數(shù)的極小值點(diǎn),而函數(shù)的極小值為0.例42求f(x)x2x在區(qū)間[0,2]上的最大值與最小值．知識(shí)點(diǎn)：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值。方法：1、先求區(qū)間內(nèi)部可疑的極值點(diǎn)2、計(jì)算區(qū)間端點(diǎn)和內(nèi)部可疑極值點(diǎn)的函數(shù)值。3、比較函數(shù)值大小，確立最大值和最小值。解f(x)121111,x0．2xx令f(x)0，得駐點(diǎn)x1．因?yàn)閒(0)0,f(1)1,f(2)222，比較可知，f(x)在[0,2]上的最大值為f(0)0，最小值為f(1)1。例43．證明：當(dāng)x0時(shí)，1x1x。22知識(shí)點(diǎn)：利用單調(diào)性證明不等式。。證明：令f(x)1x(1x)，2則f(x)11110，f( )1x(1x)單調(diào)遞減，1x22222所以當(dāng)x0，f(x)f(0)，即1x1x.2．.已知某廠生產(chǎn)x件某產(chǎn)品的成本為C25000200x12x.40(1)要使均勻成本最小,應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品?2005年1(2)如產(chǎn)品以每件500元銷售,要使收益最大,應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品?知識(shí)點(diǎn)：實(shí)質(zhì)問題：1〕求出目標(biāo)函數(shù)，寫出定義域?！城螵?dú)一駐點(diǎn)?！秤蓪?shí)質(zhì)意義和駐點(diǎn)獨(dú)向來接判斷最值狀況。解：(1)均勻成本函數(shù)為C(x)250002001x.x0x40則C(x)250001，令C(x)0得x1000x240由實(shí)質(zhì)意義和駐點(diǎn)獨(dú)一可知，當(dāng)生產(chǎn)1000產(chǎn)品時(shí)，均勻成本最小。(2)收益函數(shù)L(x)500x(25000200x1x2).40L(x)5002001x3001x令L(x)0得x60002020由實(shí)質(zhì)意義和駐點(diǎn)獨(dú)一可知，當(dāng)生產(chǎn)6000產(chǎn)品時(shí)，收益最大.第三部分積分計(jì)算及應(yīng)用考試常有題型1、不定積分的看法與計(jì)算；2、定積分的計(jì)算；3、定積分計(jì)算平面圖形的面積；4、定積分計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積；5、無量限失常積分6、二重積分7、微分方程一、不定積分例45．設(shè)sinxC，則f(x)=______________.f(x)dxx知識(shí)點(diǎn)：不定積分的看法與性質(zhì)假如F(x)f(x)或dF(x)f(x)dx，函數(shù)F(x)就稱為f(x)一個(gè)原函數(shù)，f(x)得全體原函數(shù)為f(x)dxdF(x)F(x)C解：f(x)sinxxcosxsinxxx2例462x(ex5)dx.知識(shí)點(diǎn)：不定積分的計(jì)算：運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)1[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx性質(zhì)2

kf(x)dxkf(x)dx(k為非零常數(shù))基本積分表為前提10dxC2kdxkxC(k為常數(shù))，3xdx1x1C(1)，41dxlnxC1x51dxarctanxC61arcsinxC1x21dxx27cosxdxsinxC，8sinxdxcosxC，9sec2xdx1xdxtanxC，10csc2xdx1dxcotxC，cos2sin2x11secxtanxdxsecxC，12cscxcotxdxcscxC，13axdx1axC，14exdxexC，lna解：2x(x5)d[(2)x52x)dxexe(2e)xdx52xdxxx(2e)2C5ln(2e)ln22xex5ln21Cln2注意：計(jì)算不定積分必定不要遺漏常數(shù)C。例47(1)12cos2dx(2)2dx(3)2dxxxx2x2x3x2〔4〕dx.82xx2知識(shí)點(diǎn)：不定積分的第一換元積分法〔湊微分法〕解：(1)12cos2dx1cos2d21sin2C。xx2xx2x(2)dxdxd(x1)22x2(x1)21(x1)2arctan(x1)C。x1(3)dxdx1dx1dxx23x2(x1)(x2)x2x11d(x2)1d(x1)lnx2lnx1Clnx2Cx2x1x1dxdxdx1x1(4)382xx29(x1)2arcsin.+C1x1233注意：常有的湊微分公式f(axb)dx1f(axb)d(axb),(a0)af(ex)exdxf(ex)dex；f(lnx)dxf(lnx)dlnxx；f(cosx)sinxdxf(cosx)dcosx；f(sinx)cosxdxf(sinx)dsinx；f(tanx)sec2xdxf(tanx)dtanx；f(arctanx)dxf(arctanx)darctanxx21；f11dxf1d1xx2xx例48.〔1〕求不定積分x3x2dx.〔〕2dx221x（x）知識(shí)點(diǎn)：不定積分第二換元法解：〔1〕令3x2=t，則x=t22=2tdt3,dx3x3x2dxt222tdt3t32t4t2dt2t52t3C929535323x2223x22C593注意：假設(shè)被積函數(shù)中含有naxb的式子，取換元tnaxb．〔2〕x11,則dxt2dtt所以dx1dttdt1dt2t21t2+C=22）11t2221t2x（1x）1t（tt21C12x注意：當(dāng)分母次數(shù)比分子次數(shù)高于1時(shí)，可以采納倒代換。例49求不定積分〔1〕lnx〔〕xxdx2xedx知識(shí)點(diǎn)：分部積分法分部積分時(shí)的固定模式udvuvvdu。1）xnexdxxndex2）xnexdxxndex3）xncosxdxxndsinx4）xnsinxdxxndcosx5)xalnxdx1lnxdxa16）narctanxdx1arctanxdxn1a1xn17)xnarcsinxdx1arcsinxdxn1n1解：〔1〕nlnxdx2lnxdx2xlnx8）xx1arccosxdxn1n1arccosxdx

1xdxx2xlnx21dx2xlnx4xCx〔2〕xexdxxdexexxexdxexxexC注意：不定積分的幾種計(jì)算方法有時(shí)需要結(jié)合使用，并且也可以移植到定積分的計(jì)算。二定積分牛頓(Newton)－萊布尼茨(Leibniz)公式b(x)bF(b)F(a)f(x)dxFaa例50正弦曲線的一段y=sinx(0xπ)與xA.1B.2C.3D.4知識(shí)點(diǎn)：定積分的幾何意義解：Ssinxdx(cosx)020例513x1dx0知識(shí)點(diǎn)：被積函數(shù)含有絕對(duì)值的定積分11|dx31|dx．解：由定積分的區(qū)間可加性，原積分|x|x01在區(qū)間[0,1]上，x10，從而|x1|1x；在區(qū)間[1,3]上，x10，從而|x1|x1．1x)dx31)dx125．原積分(1(x0122注：關(guān)于含有絕對(duì)值的定積分，應(yīng)利用積分的區(qū)間可加性脫掉絕對(duì)值號(hào)。23例52計(jì)算定積分〔1〕4x2dx?！?〕01

dxxx3知識(shí)點(diǎn)：定積分的換元計(jì)算換元必?fù)Q限，下限對(duì)下限，上限對(duì)上限解：〔1〕代替換x2sint，則x0t0,x2t，2原積分24cos2t2costdt42cos2tdt00422(t21sin2t)02。(1cos2t)dt20〔2〕令xt，則x1t1,x3t331

dx32tdt3dt2arctant13xx3tt32t261111x例53計(jì)算定積分21dx.21x2知識(shí)點(diǎn)：對(duì)稱區(qū)間上定積分偶倍奇零設(shè)f(x)在[a,a]上連續(xù)，證明：(1)假設(shè)f(x)為奇函數(shù)，則a0f(x)dx；a(2)假設(shè)f(x)為偶函數(shù)，則a2af(x)dxf(x)dx．a(chǎn)01x解：21dx0.21x2例54設(shè)F(x)1tdt,求F(x)2006年1月tex知識(shí)點(diǎn)：變上限函數(shù)。當(dāng)被積函數(shù)f(x)連續(xù)時(shí)，變限函數(shù)1xF(x)f(x)dt,G(x)f(x)dt,可導(dǎo)，x1且F(x)f(x),G(x)f(x)解：F(x)xex三失常積分例55、以下失常積分中發(fā)散的是A．exdxB.1dxC1dx.D.1dxx201201exlnxxbb知識(shí)點(diǎn):無量限失常積分f()limf(x)dxlimF(x)lim(F()(a))axdxbbbbFaaf(x)dxF(x)alimF(x)F(a)ax解：exd