2022-2023學(xué)年福建省莆田市渠橋第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2022-2023學(xué)年福建省莆田市渠橋第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)f（x）=（x﹣4）ex的單調(diào)遞減區(qū)間是（） A．（﹣∞，3） B．（3，+∞） C．（1，3） D．（0，3）參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性． 【專(zhuān)題】導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用． 【分析】求導(dǎo)，[（x﹣4）ex]′令導(dǎo)數(shù)小于0，得x的取值區(qū)間，即為f（x）的單調(diào)減區(qū)間． 【解答】解：f′（x）=[（x﹣4）ex]′=ex+（x﹣4）ex=ex（x﹣3）， 令f′（x）＜0得x＜3， ∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，3）． 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵． 2.已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為F（3，0），離心率等于，則C的方程是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專(zhuān)題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】設(shè)出雙曲線方程，利用雙曲線的右焦點(diǎn)為F（3，0），離心率為，建立方程組，可求雙曲線的幾何量，從而可得雙曲線的方程．【解答】解：設(shè)雙曲線方程為（a＞0，b＞0），則∵雙曲線C的右焦點(diǎn)為F（3，0），離心率等于，∴，∴c=3，a=2，∴b2=c2﹣a2=5∴雙曲線方程為．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程與幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3.已知拋物線，P是拋物線上一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，一個(gè)定點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5

B．6

C.7

D．8參考答案：B設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義可知|PF|=|PD|，∴要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小，當(dāng)D，P，A三點(diǎn)共線時(shí)|PA|+|PD|最小為5﹣（﹣1）=6，故選：B

4.將邊長(zhǎng)為3的正方體,分別以八個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn),各截去一個(gè)三條棱均為1的正三棱錐,則所剩幾何體的表面積為

(

)A.42

B.

C.

D.參考答案：B5.將石子擺成如圖的梯形形狀，稱(chēng)數(shù)列5，9，14，20，…為“梯形數(shù)”．根據(jù)圖形的構(gòu)成，此數(shù)列的第2016項(xiàng)與5的差，即a2016﹣5=（）A．2018×2014 B．2018×2013 C．1011×2015 D．1010×2012參考答案：C【考點(diǎn)】歸納推理．【分析】根據(jù)前面圖形中，編號(hào)與圖中石子的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，分析他們之間存在的關(guān)系，并進(jìn)行歸納，用得到一般性規(guī)律，即可求得結(jié)論．【解答】解：由已知的圖形我們可以得出圖形的編號(hào)與圖中石子的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系為：n=1時(shí)，a1=2+3=×（2+3）×2；n=2時(shí)，a2=2+3+4=×（2+4）×3；…由此我們可以推斷：an=2+3+…+（n+2）=[2+（n+2）]×（n+1）∴a2016﹣5=×[2+]×﹣5=1011×2015．故選C．6.設(shè)等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，則（

）A．2

B．4

C．

D．參考答案：C7.如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，，則AA1與平面AB1C1所成的角為（）A． B． C． D．參考答案：A【分析】建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，，∴建立以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC，AB，AA1分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：則A1（0，0，），A（0，0，0），B1（0，2，），C1（2，0，），則=（0，2，），=（2，0，），設(shè)平面AB1C1的法向量為=（x，y，z），=（0，0，），則?=2y+z=0，?=2x+z=0，令z=1，則x=﹣，y=﹣，即=（﹣，﹣，1），則AA1與平面AB1C1所成的角θ滿(mǎn)足sinθ=|cos＜，＞|==，則θ=，故選：A．8.橢圓的離心率等于（

）ks5uA．

B．

C．

D．2參考答案：C略9.為了普及環(huán)保知識(shí)，增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，某大學(xué)隨機(jī)抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識(shí)測(cè)試，得分（十進(jìn)制）如圖所示，假設(shè)得分值的中位數(shù)為，眾數(shù)為，平均值為，則（

）A．

B.

C.

D.

參考答案：D10.設(shè)m，n是不同的直線，α、β、γ是不同的平面，有以下四個(gè)命題：①；②；③；④其中正確的命題是()A．①④

B．②③

C．①③

D．②④參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.圓在點(diǎn)（3，-4）處的切線方程為_(kāi)________________。參考答案：略12.已知函數(shù)滿(mǎn)足：，＝3，則＋＋＋的值等于____________.（用含的式子表示）參考答案：略13.下面的程序運(yùn)行后的結(jié)果為_(kāi)_________(其中：“（a+j）mod

5”表示整數(shù)(a+j)除以5的余數(shù)）參考答案：014.3名醫(yī)生和6名護(hù)士被分配到3所學(xué)校為學(xué)生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士，不同的分配方法共有

種（用數(shù)字作答）。參考答案：540略15.如圖，E是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1上的一點(diǎn)，且BD1∥平面B1CE，則異面直線BD1與CE所成角的余弦值為_(kāi)_____．參考答案：不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，如圖，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，平面，則為直線與所成的角，在中，，故答案為.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查異面直線所成的角，屬于難題.求異面直線所成的角主要方法有兩種：一是向量法，根據(jù)幾何體的特殊性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系后，分別求出兩直線的方向向量，再利用空間向量夾角的余弦公式求解；二是傳統(tǒng)法，利用平行四邊形、三角形中位線等方法找出兩直線成的角，再利用平面幾何性質(zhì)求解.

16.設(shè)點(diǎn)P為圓C：上任意一點(diǎn)，Q為直線任意一點(diǎn)，則線段PQ長(zhǎng)度的取值范圍是______________.參考答案：17.觀察數(shù)列

，

，

，

，……，的規(guī)律，它的第6項(xiàng)是______.參考答案：(注：填亦可)三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.

如圖，直三棱柱中，

，，.(Ⅰ)證明：；（Ⅱ）求二面角的正切值。

參考答案：證明（Ⅰ）∵三棱柱為直三棱柱∴……4即，又∴…….5又因?yàn)椤唷?6在中，，………..11在中，

，∴二面角的正切值為……………1319.已知命題P：對(duì)m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立；命題q：不等式x2+ax+2＜0有解，若p∨q、￢q都是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；函數(shù)恒成立問(wèn)題．【分析】若p∨q、￢q都是真命題，則q為假命題，p為真命題，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】（本小題滿(mǎn)分12分）解：∵m∈[﹣1，1]，∴∈[2，3]對(duì)m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立，可得a2﹣5a﹣3≥3∴a≥6或a≤﹣1．故命題p為真命題時(shí)，a≥6或a≤﹣1…又命題q：不等式x2+ax+2＜0有解，∴△=a2﹣8＞0，即a＞2，或a＜﹣2，…∵p∨q、￢q都是真命題∴q為假命題，p為真命題從而命題q為假命題時(shí)，﹣2a≤2，…∴命題p為真命題，q為假命題時(shí)，a的取值范圍為﹣2a≤﹣1…20.已知．（1）求函數(shù)f(x)在定義域上的最小值；（2）求函數(shù)f(x)在上的最小值；（3）證明：對(duì)一切，都成立.參考答案：（1）（2）（3）見(jiàn)解析【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間，可得極小值和最小值；（2）討論時(shí)，時(shí)，運(yùn)用單調(diào)性，即可得到所求最小值；（3）問(wèn)題等價(jià)于證明．由（1）設(shè)，求出導(dǎo)數(shù)，求出最大值即可．【詳解】解：（1）由得，令，得．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．可得最小值為（2）當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)所以（3）問(wèn)題等價(jià)于證明．由（1）知的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，設(shè)，則，易知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到．從而對(duì)一切，都有成立．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和最值，注意運(yùn)用分類(lèi)討論的方法和構(gòu)造函數(shù)的方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．21.（本小題滿(mǎn)分13分）泉州市組織群眾性登清源山健身活動(dòng),招募了名師生志愿者,現(xiàn)將所有志愿者按年齡情況分為等六組,其頻率分布直方圖如下圖所示:已知之間的志愿者共人.（1）求和之間的志愿者人數(shù);（2）已知和之間各有名數(shù)學(xué)教師，現(xiàn)從這兩個(gè)組中各選取人擔(dān)任接待工作,設(shè)兩組的選擇互不影響,求兩組選出的人中都至少有名數(shù)學(xué)教師的概率?（3）組織者從之間的志愿者(其中共有名女教師，其余全為男教師)中隨機(jī)選取名擔(dān)任后勤保障工作,其中女教師的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考答案：解:（1）設(shè)頻率分布直方圖中個(gè)組的頻率分別為，所以,……………2分由題意而所以,之間的志愿者人數(shù)…………2分（2）之間有人……………5分設(shè)從之間取人擔(dān)任接待工作,其中至少有1名數(shù)學(xué)教師的事件