2023年北京市中央民大附中數(shù)學(xué)高一下期末檢測模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在△ABC中，如果，那么cosC等于（）A． B． C． D．2．已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則數(shù)列的公比()A． B． C．或 D．以上都不對3．已知，，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的數(shù)等于（）A． B． C． D．5．正方體中，則異面直線與所成的角是A．30° B．45° C．60° D．90°6．一個盒子內(nèi)裝有大小相同的紅球、白球和黑球若干個，從中摸出1個球，若摸出紅球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或紅球的概率是（）A．0.3 B．0.55 C．0.7 D．0.757．不等式的解集為，則實數(shù)的值為（）A． B．C． D．8．《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學(xué)名著，由明代數(shù)學(xué)家程大位編著，它對我國民間普及珠算和數(shù)學(xué)知識起到了很大的作用，是東方古代數(shù)學(xué)的名著，在這部著作中，許多數(shù)學(xué)問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的.“九兒問甲歌”就是其中一首:一個公公九個兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七，借問小兒多少歲，各兒歲數(shù)要誰推，這位公公年齡最小的兒子年齡為（）A．8歲 B．11歲 C．20歲 D．35歲9．?dāng)?shù)列{an}的通項公式是an＝(n＋2)，那么在此數(shù)列中()A．a(chǎn)7＝a8最大 B．a(chǎn)8＝a9最大C．有唯一項a8最大 D．有唯一項a7最大10．已知，且，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．等比數(shù)列中前n項和為，且，，，則項數(shù)n為____________．12．?dāng)?shù)列滿足，則________.13．已知,且關(guān)于的方程有實數(shù)根，則與的夾角的取值范圍是______.14．函數(shù)的最小正周期是______．15．如圖所示，分別以為圓心，在內(nèi)作半徑為2的三個扇形，在內(nèi)任取一點，如果點落在這三個扇形內(nèi)的概率為，那么圖中陰影部分的面積是____________.16．已知、的取值如表所示：01342.24.34.86.7從散點圖分析，與線性相關(guān)，且，則______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)，.（1）求解不等式；（2）若，求的最小值.18．?dāng)?shù)列滿足：．（1）求證：為等比數(shù)列；（2）求的通項公式．19．設(shè)為正項數(shù)列的前項和，且滿足．（1）求證：為等差數(shù)列；（2）令，，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．20．已知函數(shù)在上的最大值為3.（1）求的值及函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;（2）若銳角中角所對的邊分別為，且，求的取值范圍.21．如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分別是AB，BB1的中點.（Ⅰ）證明：BC1//平面A1CD;（Ⅱ）設(shè)AA1=AC=CB=2，AB=2，求三棱錐C一A1DE的體積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】解：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4可設(shè)a=2k，b=3k，c=4k（k＞0）由余弦定理可得，CosC=,選D2、C【解析】

根據(jù)和可得，解得結(jié)果即可.【詳解】由得，所以，所以，所以，解得或故選：C.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式的基本量的運算，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知都大于1，把化成后可得的大小，從而可得的大小關(guān)系.【詳解】因為及都是上的增函數(shù)，故，，又，故，選B.【點睛】對數(shù)的大小比較，可通過尋找合適的單調(diào)函數(shù)來構(gòu)建大小關(guān)系，如果底數(shù)不統(tǒng)一，可以利用對數(shù)的運算性質(zhì)統(tǒng)一底數(shù).不同類型的數(shù)比較大小，應(yīng)找一個中間數(shù)，通過它實現(xiàn)大小關(guān)系的傳遞.4、B【解析】

模擬執(zhí)行循環(huán)體的過程，即可得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)程序框圖，模擬執(zhí)行如下：，滿足，，滿足，，滿足，，不滿足，輸出.故選：B.【點睛】本題考查程序框圖中循環(huán)體的執(zhí)行，屬基礎(chǔ)題.5、C【解析】連接A，易知：平行A，∴異面直線與所成的角即異面直線與A所成的角，連接，易知△為等邊三角形，

∴異面直線與所成的角是60°故選C6、D【解析】

由題意可知摸出黑球的概率，再根據(jù)摸出黑球，摸出紅球為互斥事件，根據(jù)互斥事件的和即可求解.【詳解】因為從中摸出1個球，若摸出紅球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，所以摸出黑球的概率是，因為從盒子中摸出1個球為黑球或紅球為互斥事件，所以摸出黑球或紅球的概率，故選D.【點睛】本題主要考查了兩個互斥事件的和事件，其概率公式，屬于中檔題.7、C【解析】

不等式的解集為，為方程的兩根，則根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可得，.故選C.考點：一元二次不等式；根與系數(shù)關(guān)系.8、B【解析】

九個兒子的年齡成等差數(shù)列，公差為1．【詳解】由題意九個兒子的年齡成等差數(shù)列，公差為1．記最小的兒子年齡為a1，則S9=9故選B．【點睛】本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用，解題關(guān)鍵正確理解題意，能用數(shù)列表示題意并求解．9、A【解析】，所以，令，解得n≤7，即n≤7時遞增，n＞7遞減，所以a1＜a2＜a3＜…＜a7＝a8＞a9＞….所以a7＝a8最大．本題選擇A選項.10、A【解析】

根據(jù)，，利用平方關(guān)系得到，再利用商數(shù)關(guān)系得到，最后用兩和的正切求解.【詳解】因為，，所以，所以，所以．故選：A【點睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和兩角和的正切公式，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、6【解析】

利用等比數(shù)列求和公式求得，再利用通項公式求解n即可【詳解】，代入，，得，又，得．故答案為：6【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式及求和公式的基本量計算，熟記公式準確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題12、【解析】

根據(jù)題意可求得和的等式相加，求得，進而推出，判斷出數(shù)列是以6為周期的數(shù)列，進而根據(jù)求出答案?！驹斀狻繉⒁陨蟽墒较嗉拥脭?shù)列是以6為周期的數(shù)列，故【點睛】對于遞推式的使用，我們可以嘗試讓取或，又得一個遞推式，將兩個遞推式相加或者相減來找規(guī)律，本題是一道中等難度題目。13、【解析】

先由得出，再根據(jù)即可求出與的夾角的取值范圍.【詳解】因為關(guān)于的方程有實數(shù)根，所以，即，設(shè)與的夾角為，所以，因為，所以，即與的夾角的取值范圍是【點睛】本題主要考查平面向量的夾角公式的應(yīng)用等，屬基礎(chǔ)題.14、【解析】

由二倍角的余弦函數(shù)公式化簡解析式可得，根據(jù)三角函數(shù)的周期性及其求法即可得解．【詳解】．由周期公式可得：．故答案為【點睛】本題主要考查了二倍角的余弦函數(shù)公式的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，屬于基本知識的考查．15、【解析】

先求出三塊扇形的面積,再由概率計算公式求出的面積,進而求出陰影部分的面積.【詳解】∵,∴三塊扇形的面積為:,設(shè)的面積為,∵在內(nèi)任取一點,點落在這三個扇形內(nèi)的概率為,,∴圖中陰影部分的面積為:,故答案為:.【點睛】本題主要考查幾何概型的應(yīng)用,屬于幾何概型中的面積問題,難度不大.16、【解析】

根據(jù)數(shù)據(jù)表求解出，代入回歸直線，求得的值.【詳解】根據(jù)表中數(shù)據(jù)得：，又由回歸方程知回歸方程的斜率為截距本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查利用回歸直線求實際數(shù)據(jù)，關(guān)鍵在于明確回歸直線恒過，從而可構(gòu)造出關(guān)于的方程.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或（2）【解析】

（1）對x分類討論解不等式得解；（2）由題得，再利用基本不等式求函數(shù)的最小值.【詳解】解：（1）當(dāng)時，，解得.當(dāng)時，，解得.所以不等式解集為或.（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.【點睛】本題主要考查分式不等式的解法，考查基本不等式求函數(shù)的最值，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）見解析（2）【解析】

（1）證明和的比是定值，即得；（2）由（1）的通項公式入手，即得。【詳解】（1）由題得，，即有，相鄰兩項之比為定值3，故為公比的等比數(shù)列；（2）因為為等比數(shù)列，且，則有，整理得的通項公式為.【點睛】本題考查等比數(shù)列的概念，以及求數(shù)列的通項公式，是基礎(chǔ)題。19、（1）見解析（2）【解析】

（1）根據(jù)與的關(guān)系，再結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可證明；（2）由（1）可求出，采用裂項相消法求出，要恒成立，只需即可求出．【詳解】（1）由題知：，當(dāng)?shù)茫?，解得：?dāng)，①②得：，即．是以為首項，為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）知：所以即．【點睛】本題主要考查與的關(guān)系，等差數(shù)列的定義，裂項相消法以及恒成立問題的解法的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題．20、（1）,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.【解析】

（1）運用降冪公式和輔助角公式，把函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)解析式形式，根據(jù)已知，可以求出的值，再結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;（2）由（1）結(jié)合已知，可以求出角的值，通過正弦定理把問題的取值范圍轉(zhuǎn)化為兩邊對角的正弦值的比值的取值范圍，結(jié)合已知是銳角三角形，三角形內(nèi)角和定理，最后求出的取值范圍.【詳解】解：（1）由已知，所以因此令得因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（2）由已知，∴由得，因此所以因為為銳角三角形，所以，解得因此，那么【點睛】本題考查了降冪公式、輔助角公式，考查了正弦定理，考查了正弦型三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)學(xué)運算能力.21、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解析】試題分析：（Ⅰ）連接AC1交A1C于點F，則DF為三角形ABC1的中位線，故DF∥BC1．再根據(jù)直線和平面平行的判定定理證得BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）由題意可得此直三棱柱的底面ABC為等腰直角三角形，由D為AB的中點可得CD⊥平面ABB1A1．求得CD的值，利用勾股定理求得A1D、DE和A1E的值，可得A1D⊥DE．進而求得S△A1DE的值，再根據(jù)三棱錐C-A1DE的體積為?S△A1DE?CD，運算求得結(jié)果試題解析：（1）證明：連結(jié)AC1交A1C于點F，則F為AC1中點又D是AB中點，連結(jié)DF，則BC1∥DF．3分因為DF