2023年內蒙古包鐵第一中學高一數學第二學期期末考試試題含解析

2022-2023學年高一下數學期末模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如圖，設A、B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側，在所在河岸邊選定一點C，測出AC的距離為502m，∠ACB=45°，∠CAB=105A．100m B．50C．1002m2．若一個三角形，采用斜二測畫法作出其直觀圖，則其直觀圖的面積是原三角形面積的()A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍3．在空間四邊形中，，，，分別是，的中點，，則異面直線與所成角的大小為（）A． B． C． D．4．為了得到函數的圖像，可以將函數的圖像（）A．向右平移個長度單位 B．向左平移個長度單位C．向右平移個長度單位 D．向左平移個長度單位5．若，A點的坐標為，則B點的坐標為（）A． B． C． D．6．某學校禮堂有30排座位，每排有20個座位，一次心理講座時禮堂中坐滿了學生，會后為了了解有關情況，留下座位號是15的30名學生，這里運用的抽樣方法是（）A．抽簽法 B．隨機數法 C．系統(tǒng)抽樣 D．分層抽樣7．“結繩計數”是遠古時期人類智慧的結晶，即人們通過在繩子上打結來記錄數量.如圖所示的是一位農民記錄自己采摘果實的個數.在從右向左依次排列的不同繩子上打結，滿四進一.根據圖示可知，農民采摘的果實的個數是（）A．493 B．383 C．183 D．1238．已知，且，則（）A． B． C． D．9．在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B．C． D．10．直線被圓截得的劣弧與優(yōu)弧的長之比是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若三邊長分別為3，5，的三角形是銳角三角形，則的取值范圍為______.12．已知數列的前項和滿足，則______．13．已知等比數列的首項為，公比為，其前項和為，下列命題中正確的是______.（寫出全部正確命題的序號）（1）等比數列單調遞增的充要條件是，且；（2）數列：，，，……，也是等比數列；（3）；（4）點在函數（，為常數，且，）的圖像上.14．已知等差數列的公差為，且，其前項和為，若滿足，，成等比數列，且，則______，______.15．已知變量之間滿足線性相關關系，且之間的相關數據如下表所示：_____.12340.13.1416．設常數，函數，若的反函數的圖像經過點，則_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知等差數列滿足，且.（1）求數列的通項；（2）求數列的前項和的最大值.18．愛心超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫單位：有關如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份每天的最高氣溫數據，得到下面的頻數分布表：最高氣溫天數216362574（1）求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的頻率；（2）當六月份有一天這種酸奶的進貨量為450瓶時，求這一天銷售這種酸奶的平均利潤（單位：元）19．已知，，當為何值時：（1）與垂直；（2）與平行.20．已知曲線上的任意一點到兩定點、距離之和為，直線交曲線于兩點，為坐標原點．（1）求曲線的方程；（2）若不過點且不平行于坐標軸，記線段的中點為，求證：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；（3）若直線過點，求面積的最大值，以及取最大值時直線的方程．21．已知三棱柱中，平面ABC，，，M為AC中點.（1）證明:直線平面；（2）求異面直線與所成角的大小.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

計算出ΔABC三個角的值，然后利用正弦定理可計算出AB的值.【詳解】在ΔABC中，AC=502m，∠ACB=45°，由正弦定理得ABsin∠ACB=ACsin【點睛】本題考查正弦定理解三角形，要熟悉正弦定理解三角形對三角形已知元素類型的要求，考查運算求解能力，屬于基礎題.2、C【解析】

以三角形的一邊為x軸，高所在的直線為y軸，由斜二測畫法看三角形底邊長和高的變化即可．【詳解】以三角形的一邊為x軸，高所在的直線為y軸，由斜二測畫法知，三角形的底長度不變，高所在的直線為y′軸，長度減半，故三家性的高變?yōu)樵瓉淼膕in45°=，故直觀圖中三角形面積是原三角形面積的．故選C．【點睛】本題重點考查了斜二側畫法、平面圖形的面積的求解方法等知識，屬于中檔題．解題關鍵是準確理解斜二側畫法的內涵，與x軸平行的線段長度保持不變，與y軸平行的線段的長度減少為原來的一半．3、D【解析】

平移兩條異面直線到相交，根據余弦定理求解.【詳解】如圖所示：設的中點為，連接，所以，則是所成的角或其補角，又根據余弦定理得：，所以，異面直線與所成角的為，故選D.【點睛】本題考查異面直線所成的角和余弦定理.注意異面直線所成的角的取值范圍是.4、D【解析】

根據三角函數的圖象平移的原則，即左加右減，即可得答案．【詳解】由，可以將函數圖象向左平移個長度單位即可，故選：D．【點睛】本題考查三角函數的平移變換，求解時注意平移變換是針對自變量而言的，同時要注意是由誰變換到誰.5、A【解析】

根據向量坐標的求解公式可求.【詳解】設，因為A點的坐標為，所以.所以，即.故選：A.【點睛】本題主要考查平面向量坐標的運算，側重考查數學運算的核心素養(yǎng).6、C【解析】抽名學生分了組（每排為一組），每組抽一個，符合系統(tǒng)抽樣的定義故選7、C【解析】

根據題意將四進制數轉化為十進制數即可.【詳解】根據題干知滿四進一,則表示四進制數,將四進制數轉化為十進制數,得到故答案為:C.【點睛】本題以數學文化為載體，考查了進位制等基礎知識，注意運用四進制轉化為十進制數，考查運算能力，屬于基礎題．8、D【解析】

首先根據，求得，結合角的范圍，利用平方關系，求得，利用題的條件，求得，之后將角進行配湊，使得，利用正弦的和角公式求得結果.【詳解】因為，所以，因為，所以.因為，，所以，所以，故選D.【點睛】該題考查的是有關三角函數化簡求值問題，涉及到的知識點有同角三角函數關系式，正弦函數的和角公式，在解題的過程中，注意時刻關注角的范圍.9、C【解析】

畫出長方體,將平移至,則,則即為異面直線與所成角,由余弦定理即可求解.【詳解】根據題意,畫出長方體如下圖所示:將平移至,則即為異面直線與所成角,,由余弦定理可得故選:C【點睛】本題考查了長方體中異面直線的夾角求法,余弦定理在解三角形中的應用,屬于基礎題.10、A【解析】

計算出圓心到直線的距離，根據垂徑定理，結合銳角三角函數關系，可以求出劣弧所對的圓心角的度數，根據弧度制的定義，這樣就可以求出劣弧與優(yōu)弧的長之比.【詳解】圓心O到直線的距離為：，直線被圓截得的弦為AB,弦AB所對的圓心角為，弦AB的中點為C，由垂徑定理可知：，所以，劣弧與優(yōu)弧的長之比為：，故本題選A.【點睛】本題考查了圓的垂徑定理、點到直線距離公式、弧長公式，考查了數學運算能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由三邊長分別為3，5，的三角形是銳角三角形，若5是最大邊，則，解得范圍，若是最大邊，則，解得范圍，即可得出．【詳解】解：由三邊長分別為3，5，的三角形是銳角三角形，若5是最大邊，則，解得．若是最大邊，則，解得．綜上可得：的取值范圍為．故答案為：．【點睛】本題考查了不等式的性質與解法、余弦定理、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．12、5【解析】

利用求得，進而求得的值.【詳解】當時，，當時，，當時上式也滿足，故的通項公式為，故.【點睛】本小題主要考查已知求，考查運算求解能力，屬于基礎題.13、（3）【解析】

根據遞增數列的概念，以及等比數列的通項公式，充分條件與必要條件的概念，可判斷（1）；令，為偶數，可判斷（2）；根據等比數列的性質，直接計算，可判斷（3）；令，結合題意，可判斷（4），進而可得出結果.【詳解】（1）若等比數列單調遞增，則，所以或，故且不是等比數列單調遞增的充要條件；（1）錯；（2）若，為偶數，則，，因等比數列中的項不為，故此時數列，，，……，不成等比數列；（2）錯；（3），所以（3）正確；（4）若，則，若點在函數的圖像上，則，因，，故不能對任意恒成立；故（4）錯.故答案為：（3）【點睛】本題主要考命題真假的判定，熟記等比數列的性質，以及等比數列的通項公式與求和公式即可，屬于?？碱}型.14、2【解析】

由，可求出，再由，，成等比數列，可建立關系式，求出，進而求出即可.【詳解】由，可知，即，又，，成等比數列，所以，則，即，解得或，因為，所以，，所以.故答案為：2；.【點睛】本題考查等比數列的性質，考查等差數列前項和的求法，考查學生的計算求解能力，屬于基礎題.15、【解析】

根據回歸直線方程過樣本點的中心，代入數據即可計算出的值.【詳解】因為，，所以，解得.故答案為：.【點睛】本題考查根據回歸直線方程過樣本點的中心求參數，難度較易.16、1【解析】

反函數圖象過（2，1），等價于原函數的圖象過（1，2），代點即可求得．【詳解】依題意知：f（x）＝lg（x+a）的圖象過（1，2），∴l(xiāng)g（1+a）＝2，解得a＝1．故答案為：1【點睛】本題考查了反函數，熟記其性質是關鍵，屬基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）144【解析】

（1）把帶入通項式即可求出公差，從而求出通項。（2）根據（1）的結果以及等差數列前項和公式即可。【詳解】（1）設公差為，則則則（2）由等差數列求和公式得則所以當時，有最大值144【點睛】本題主要考查了等差數列的通項以及等差數列的前和公式，屬于基礎題18、（1）；（2）460元.【解析】

（1）根據表中的數據，求得最高氣溫位于區(qū)間和最高氣溫低于20的天數，利用古典概型的概率計算公式，即可求得相應的概率；（2）分別求出溫度不低于、溫度在，以及溫度低于時的利潤及相應的概率，即可求解這一天銷售這種酸奶的平均利潤，得到答案．【詳解】（1）根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：）有關．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶，如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為300瓶，如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶，得到最高氣溫位于區(qū)間和最高氣溫低于20的天數為，所以六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的頻率．（2）當溫度大于等于時，需求量為500瓶，利潤為：元，當溫度在時，需求量為300瓶，利潤為：元，當溫度低于時，需求量為200瓶，利潤為：元，平均利潤為【點睛】本題主要考查了古典概型及其概率的計算，以及概率的實際應用，其中解答中認真審題，熟練應用古典概型及其概率的計算公式，以及平均利潤的計算方法是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．19、（1）；（2）【解析】

根據向量坐標運算計算得到與的坐標（1）由垂直關系得到數量積為，可構造方程求得；（2）由向量平行的坐標表示可構造方程求得.【詳解】，（1）由與垂直得：，解得：（2）由與平行得：，解得：【點睛】本題考查平面向量平行和垂直的坐標表示；關鍵是能夠明確兩向量垂直可得；兩向量平行可得.20、（1）（2）證明見解析；（3）或【解析】

（1）利用橢圓的定義可知曲線為的橢圓，直接寫出橢圓的方程．（2）設直線，設，聯立直線方程與橢圓方程，通過韋達定理求解KOM，然后推出直線OM的斜率與的斜率的乘積為定值．（3）設直線方程是與橢圓方程聯立，根據面積公式，代入根與系數的關系，利用換元和基本不等式求最值.【詳解】（1）由題意知曲線是以原點為中心，長軸在軸上的橢圓，設其標準方程為，則有，所以，∴.（2）證明：設直線的方程為，設則由可得，即∴，∴，，，∴直線的斜率與的斜率的乘積=為定值（3）點，由可得，，解得∴設當時，取得最大值.此時，即所以直線