2023年浙江省之江教育聯(lián)盟數(shù)學(xué)高一下期末統(tǒng)考試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．某中學(xué)高一從甲、乙兩個(gè)班中各選出7名學(xué)生參加2019年第三十屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽，他們?nèi)〉贸煽兊那o葉圖如圖，其中甲班學(xué)生成績的平均數(shù)是84，乙班學(xué)生成績的中位數(shù)是83，則的值為（）A．4 B．5 C．6 D．72．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知，，，則B為（）A． B．或 C． D．或3．在1和19之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，若這個(gè)數(shù)中第一個(gè)為，第個(gè)為，當(dāng)取最小值時(shí)，的值是（）A．4 B．5 C．6 D．74．直線過點(diǎn)，且與以為端點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線斜率的取值范圍是（）A． B． C． D．5．將數(shù)列中的所有項(xiàng)排成如下數(shù)陣:其中每一行項(xiàng)數(shù)是上一行項(xiàng)數(shù)的倍，且從第二行起每-行均構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，記數(shù)陣中的第列數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為，為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則等于()A． B． C． D．6．甲、乙兩人在相同的條件下各打靶6次，每次打靶的情況如圖所示（虛線為甲的折線圖），則以下說法錯(cuò)誤的是（）A．甲、乙兩人打靶的平均環(huán)數(shù)相等B．甲的環(huán)數(shù)的中位數(shù)比乙的大C．甲的環(huán)數(shù)的眾數(shù)比乙的大D．甲打靶的成績比乙的更穩(wěn)定7．一個(gè)鐘表的分針長為，經(jīng)過分鐘，分針掃過圖形的面積是()A． B． C． D．8．某校進(jìn)行了一次消防安全知識競賽，參賽學(xué)生的得分經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如圖的頻率分布直方圖，若得分在的有60人，則參賽學(xué)生的總?cè)藬?shù)為（）A．100 B．120 C．150 D．2009．如圖，飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)，已知飛機(jī)的高度為海拔20000m，速度為900km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0°，經(jīng)過80s后又看到山頂?shù)母┙菫?5A．5000(3+1)C．5000(3-3)10．已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S1=1，A．32 B．54 C．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．?dāng)?shù)列滿足，，則___________．12．在四面體中，平面ABC，，若四面體ABCD的外接球的表面積為，則四面體ABCD的體積為_______．13．已知，，若，則實(shí)數(shù)的值為__________．14．在邊長為2的正△ABC所在平面內(nèi)，以A為圓心，為半徑畫弧，分別交AB，AC于D，E.若在△ABC內(nèi)任丟一粒豆子，則豆子落在扇形ADE內(nèi)的概率是________．15．若，則______（用表示）.16．已知圓上有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為3，則半徑的取值范圍是________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知圓與軸交于兩點(diǎn)，且（為圓心），過點(diǎn)且斜率為的直線與圓相交于兩點(diǎn)（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）若，求的取值范圍；（Ⅲ）若向量與向量共線（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的值18．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最大值以及取得最大值時(shí)的集合；（2）若函數(shù)的遞減區(qū)間.19．已知向量的夾角為60°，且.（1）求與的值；（2）求與的夾角.20．在中，角所對的邊分別為．（1）若，求角的大?。唬?）若是邊上的中線，求證：．21．下表中的數(shù)據(jù)是一次階段性考試某班的數(shù)學(xué)、物理原始成績：用這44人的兩科成績制作如下散點(diǎn)圖：學(xué)號為22號的同學(xué)由于嚴(yán)重感冒導(dǎo)致物理考試發(fā)揮失常，學(xué)號為31號的同學(xué)因故未能參加物理學(xué)科的考試，為了使分析結(jié)果更客觀準(zhǔn)確，老師將兩同學(xué)的成績（對應(yīng)于圖中兩點(diǎn)）剔除后，用剩下的42個(gè)同學(xué)的數(shù)據(jù)作分析，計(jì)算得到下列統(tǒng)計(jì)指標(biāo)：數(shù)學(xué)學(xué)科平均分為110.5，標(biāo)準(zhǔn)差為18.36，物理學(xué)科的平均分為74，標(biāo)準(zhǔn)差為11.18，數(shù)學(xué)成績與物理成績的相關(guān)系數(shù)為，回歸直線（如圖所示）的方程為.（1）若不剔除兩同學(xué)的數(shù)據(jù)，用全部44人的成績作回歸分析，設(shè)數(shù)學(xué)成績與物理成績的相關(guān)系數(shù)為，回歸直線為，試分析與的大小關(guān)系，并在圖中畫出回歸直線的大致位置；（2）如果同學(xué)參加了這次物理考試，估計(jì)同學(xué)的物理分?jǐn)?shù)（精確到個(gè)位）；（3）就這次考試而言，學(xué)號為16號的同學(xué)數(shù)學(xué)與物理哪個(gè)學(xué)科成績要好一些？（通常為了比較某個(gè)學(xué)生不同學(xué)科的成績水平，可按公式統(tǒng)一化成標(biāo)準(zhǔn)分再進(jìn)行比較，其中為學(xué)科原始分，為學(xué)科平均分，為學(xué)科標(biāo)準(zhǔn)差）．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

由均值和中位數(shù)定義求解．【詳解】由題意，，由莖葉圖知就是中位數(shù)，∴，∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖，考查均值與中位數(shù)，解題關(guān)鍵是讀懂莖葉圖．2、C【解析】

根據(jù)正弦定理得到，再根據(jù)知，得到答案.【詳解】根據(jù)正弦定理：，即，根據(jù)知，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)正弦定理求角度，多解是容易發(fā)生的錯(cuò)誤.3、B【解析】

設(shè)等差數(shù)列公差為,可得,再利用基本不等式求最值,從而求出答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為,則,從而,此時(shí),故,所以,即,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取“=”,又,解得,所以,所以,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列和不等式的綜合運(yùn)用,需要學(xué)生對所學(xué)知識融會貫通,靈活運(yùn)用.4、C【解析】

求出,判斷當(dāng)斜率不存在時(shí)是否滿足題意，滿足兩數(shù)之外；不滿足兩數(shù)之間．【詳解】，當(dāng)斜率不存在時(shí)滿足題意，即【點(diǎn)睛】本題主要考查斜率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

先確定為第11行第2個(gè)數(shù)，由可得，最后根據(jù)從第二行起每一行均構(gòu)成公比為的等比數(shù)列即可得出結(jié)論．【詳解】∵其中每一行項(xiàng)數(shù)是上一行項(xiàng)數(shù)的倍，第一行有一個(gè)數(shù)，前10行共計(jì)個(gè)數(shù)，即為第11行第2個(gè)數(shù)，又∵第列數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為，，∴當(dāng)時(shí)，，∴第11行第1個(gè)數(shù)為108，∴，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是為第11行第2個(gè)數(shù)，屬于中檔題．6、C【解析】甲：8,6,8,6,9,8，平均數(shù)為7.5，中位數(shù)為8，眾數(shù)為8；乙：4,6,8,7,10,10，平均數(shù)為7.5，中位數(shù)7.5，眾數(shù)為10；所以可知錯(cuò)誤的是C。故選C。7、B【解析】

分析題意可知分針掃過圖形是扇形，要求這個(gè)扇形的面積需要得到扇形的圓心角和半徑，再代入扇形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】經(jīng)過35分鐘，分針走了7個(gè)大格，每個(gè)大格則分鐘走過的度數(shù)為鐘表的分針長為10分針掃過圖形的面積是故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了求扇形面積，結(jié)合公式需要求出扇形的圓心角和半徑，較為基礎(chǔ)8、C【解析】

根據(jù)頻率分布直方圖求出得分在的頻率，即可得解.【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖可得：得分在的頻率0.35，得分在的頻率0.3，得分在的頻率0.2，得分在的頻率0.1，所以得分在的頻率0.05，得分在的頻率為0.4，有60人，所以參賽學(xué)生的總?cè)藬?shù)為60÷0.4=150人.故選：C【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)頻率分布直方圖求某組的頻率，根據(jù)頻率分布直方圖的特征計(jì)算小矩形的面積，根據(jù)總面積之和為1計(jì)算未知數(shù)，結(jié)合頻率頻數(shù)計(jì)算總?cè)藬?shù).9、C【解析】分析：先求AB的長，在△ABC中，可求BC的長，進(jìn)而由于CD⊥AD，所以CD=BCsin∠CBD，故可得山頂?shù)暮０胃叨龋斀猓喝鐖D，∠A=30°，∠ACB=45°，

AB=900×80×13600∴在△ABC中，BC=102∵CD⊥AD，=102sin30點(diǎn)睛：本題以實(shí)際問題為載體，考查正弦定理的運(yùn)用，關(guān)鍵是理解俯角的概念，屬于基礎(chǔ)題．10、C【解析】

利用前n項(xiàng)和Sn的性質(zhì)可求S【詳解】設(shè)Sna+b=116a+4b=16a+8b，故a=1b=0，故S6【點(diǎn)睛】一般地，如果an為等差數(shù)列，Sn為其前（1）若m,n,p,q∈N*,m+n=p+q，則am（2）Sn=n（3）Sn=An（4）Sn二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解析】

利用遞推公式求解即可.【詳解】由題得.故答案為2【點(diǎn)睛】本題主要考查利用遞推公式求數(shù)列中的項(xiàng)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

設(shè),再根據(jù)外接球的直徑與和底面外接圓的一條直徑構(gòu)成直角三角形求解進(jìn)而求得體積即可.【詳解】設(shè),底面外接圓直徑為.易得底面是邊長為3的等邊三角形.則由正弦定理得.又外接球的直徑與和底面外接圓的一條直徑構(gòu)成直角三角形有.又外接球的表面積為,即.解得.故四面體體積為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了側(cè)棱垂直于底面的四面體的外接球問題.需要根據(jù)題意建立底面三角形外接圓的直徑和三棱錐的高與外接球直徑的關(guān)系再求解.屬于中檔題.13、【解析】

利用共線向量等價(jià)條件列等式求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】，，且，，因此，，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查利用共線向量來求參數(shù)，解題時(shí)要充分利用共線向量坐標(biāo)表示列等式求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

由三角形ABC的邊長為2不難求出三角形ABC的面積，又由扇形的半徑為，也可以求出扇形的面積，代入幾何概型的計(jì)算公式即可求出答案．【詳解】由題意知，在△ABC中，BC邊上的高AO正好為，∴圓與邊CB相切，如圖．S扇形＝×××＝，S△ABC＝×2×2×＝，∴P＝＝.【點(diǎn)睛】本題考查面積型幾何概型概率的求法，屬基礎(chǔ)題.15、【解析】

直接利用誘導(dǎo)公式化簡求解即可．【詳解】解：，則，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，三角函數(shù)化簡求值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

由圓上有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為3，先求出圓心到直線的距離，得到不等關(guān)系式，即可求解．【詳解】由題意，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，則圓心到直線的距離為，又因?yàn)閳A上有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為3，則，解得，即圓的半徑的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中合理應(yīng)用圓心到直線的距離，結(jié)合圖象得到半徑的不等關(guān)系式是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】

（Ⅰ）由圓的方程得到圓心坐標(biāo)和；根據(jù)、為等腰直角三角形可知，從而得到，解方程求得結(jié)果；（Ⅱ）設(shè)直線方程為；利用點(diǎn)到直線距離公式求得圓心到直線距離；由垂徑定理可得到，利用可構(gòu)造不等式求得結(jié)果；（Ⅲ）直線方程與圓方程聯(lián)立，根據(jù)直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)可根據(jù)得到的取值范圍；設(shè)，，利用韋達(dá)定理求得，并利用求得，即可得到；利用向量共線定理可得到關(guān)于的方程，解方程求得滿足取值范圍的結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）由圓得：圓心，由題意知，為等腰直角三角形設(shè)的中點(diǎn)為，則也為等腰直角三角形，解得：（Ⅱ）設(shè)直線方程為：則圓心到直線的距離：由，，可得：，解得：的取值范圍為：（Ⅲ）聯(lián)立直線與圓的方程：消去變量得：設(shè)，，由韋達(dá)定理得：且，整理得：解得：或，與向量共線，，解得：或不滿足【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，涉及到圓的方程的求解、垂徑定理的應(yīng)用、平面向量共線定理的應(yīng)用；求解直線與圓位置關(guān)系綜合應(yīng)用類問題的常用方法是靈活應(yīng)用圓心到直線的距離、直線與圓方程聯(lián)立，韋達(dá)定理構(gòu)造方程等方法，屬于?？碱}型.18、（1）當(dāng)時(shí)，的最大值為（2）【解析】

（1）化簡根據(jù)正弦函數(shù)的最值即可解決，（2）根據(jù)（1）的化簡結(jié)果，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可解決?！驹斀狻拷猓?1)因?yàn)?，所以所以的最大值為，此時(shí)（2）由（1）得得即減區(qū)間為【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的最值與單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題。19、（1），；（2）.【解析】

（1）根據(jù)，即可得解；（2）根據(jù)公式計(jì)算求解.【詳解】（1）由題向量的夾角為60°，所以，，；（2），所以【點(diǎn)睛】此題考查平面向量數(shù)量積，根據(jù)定義計(jì)算兩個(gè)向量的數(shù)量積，求向量的模長和根據(jù)數(shù)量積與模長關(guān)系求向量夾角.20、（1）；（2）見解析【解析】

（1）已知三邊的關(guān)系且有平方，考慮化簡式子構(gòu)成余弦定理即可。（2）觀察結(jié)論形似余弦定理，通過，則互補(bǔ)，則余弦值互為相反數(shù)聯(lián)系?！驹斀狻浚?）∵，∴∴由余弦定理，得，∴∵，∴，∵，∴（2）設(shè)，，則在中，由余弦定理，得在中，同理，得∵，∴，∵，∴，∴【點(diǎn)睛】解三角形要注意觀察題干條件所給的形式，出現(xiàn)邊長平方一般會考慮用到余弦定理。正弦定理和余弦定理是我們解三角形的兩大常用工具，需要熟練運(yùn)用。21、（1），理由見解析（2）81（3）【解析】

（1）不剔除兩同學(xué)的數(shù)據(jù)，44個(gè)數(shù)據(jù)會使回歸效果變差，從而得到，描出回歸直線即可；（2）將x=125代入回歸直線方程，即可得到答案；（3）利用題目給出的標(biāo)準(zhǔn)分計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)論.【詳解】(1)，說明理由可以是：①離群點(diǎn)A,B會降