六年級(jí)+溶液與配比

PAGE|初一·數(shù)學(xué)·基礎(chǔ)-提高-精英·學(xué)生版|第1講第頁(yè)第八講濃度與配比第八講濃度與配比知識(shí)精講知識(shí)精講濃度問(wèn)題的內(nèi)容與我們實(shí)際的生活聯(lián)系很緊密，就知識(shí)點(diǎn)而言它包括小學(xué)所學(xué)2個(gè)重點(diǎn)知識(shí)：百分?jǐn)?shù)，比例。一、濃度問(wèn)題中的基本量溶質(zhì)：通常為鹽水中的“鹽”，糖水中的“糖”，酒精溶液中的“酒精”等溶劑：一般為水，部分題目中也會(huì)出現(xiàn)煤油等溶液：溶質(zhì)和溶液的混合液體。濃度：溶質(zhì)質(zhì)量與溶液質(zhì)量的比值。二、幾個(gè)基本量之間的運(yùn)算關(guān)系1、溶液=溶質(zhì)+溶劑2、三、解濃度問(wèn)題的一般方法1、尋找溶液配比前后的不變量，依靠不變量建立等量關(guān)系列方程2、十字交叉法：(甲溶液濃度大于乙溶液濃度)形象表達(dá)：注：十字交叉法在濃度問(wèn)題中的運(yùn)用也稱(chēng)之為濃度三角，濃度三角與十字交叉法實(shí)質(zhì)上是相同的．濃度三角的表示方法如下：3、列方程解應(yīng)用題也是解決濃度問(wèn)題的重要方法．例題精講例題精講模塊一、利用十字交叉即濃度三角進(jìn)行解題兩種溶液混合一次某種溶液由40克食鹽濃度15%的溶液和60克食鹽濃度10%的溶液混合后再蒸發(fā)50克兩種配置溶液共含食鹽40×15%+60×10%=12克，而溶液質(zhì)量為40+60-50=50克，所以這種溶液的濃度為12÷50=24%.現(xiàn)有濃度為10％的鹽水8千克，要得到濃度為20需蒸發(fā)掉4千克水，溶液的濃度變?yōu)?0有濃度為20％的鹽水300克，要配制成40％的鹽水，需加入濃度為70將兩種溶液的濃度分別放在左右兩側(cè)，重量放在旁邊，配制后溶液的濃度放在正下方，用直線(xiàn)相連；（見(jiàn)圖1）直線(xiàn)兩側(cè)標(biāo)著兩個(gè)濃度的差，并化成簡(jiǎn)單的整數(shù)比。所需溶液的重量比就是濃度差的反比；對(duì)“比”的理解應(yīng)上升到“份”，3份對(duì)應(yīng)的為300克，自然知道2份為200克了。需加入濃度為70％的鹽水 現(xiàn)有濃度為10％的鹽水20千克，在該溶液中再加入多少千克濃度為30％的鹽水，可以得到濃度為2210%與30%的鹽水重量之比為（30%-22%）：（22%-10%）=2：3，因此需要30%的鹽水20÷2×3=30克甲種酒精溶液中有酒精千克，水千克；乙種酒精溶液中有酒精千克，水千克；要配制成的酒精溶液千克，問(wèn)兩種酒精溶液各需多少千克？甲種酒精濃度為，乙種酒精濃度為，根據(jù)濃度三角，可知兩種酒精的質(zhì)量之比為：，由于配成的酒精溶液共7千克，因此需要甲種酒精千克，乙種酒精千克.將75％的酒精溶液32克稀釋成濃度為40稀釋時(shí)加入的水溶液濃度為0％（如果需要加入干物質(zhì)，濃度為100％），標(biāo)注數(shù)值的方法與例1相同。（見(jiàn)圖2），32÷8×7＝28，需加水28克。（難度等級(jí)※）濃度為10％，重量為80克的糖水中，加入多少克水就能得到濃度為8混合成含鹽為的溶液30升，拿這30升溶液與開(kāi)始時(shí)混合而成的含鹽的溶液混合，將得到含鹽的溶液，可知這兩種溶液的體積之比為，所以第一次混合而成的溶液體積為升，所以第一次混合時(shí)含鹽的溶液取了升。純酒精含量分別為、的甲、乙兩種酒精混合后的純酒精含量為．如果每種酒精都多取克，混合后純酒精的含量變?yōu)椋蠹住⒁覂煞N酒精原有多少克？原來(lái)混合時(shí)甲、乙的質(zhì)量比是：，現(xiàn)在混合時(shí)甲、乙的質(zhì)量比是：．由于原來(lái)甲、乙的質(zhì)量差現(xiàn)在甲、乙的質(zhì)量差，所以原來(lái)甲的質(zhì)量是該質(zhì)量差的倍，現(xiàn)在甲的質(zhì)量是該質(zhì)量差的倍．于是多取的克與對(duì)應(yīng)．所以，質(zhì)量差(克)，原來(lái)甲的質(zhì)量是克，原來(lái)乙的質(zhì)量是克．甲瓶中酒精的濃度為，乙瓶中酒精的濃度為，兩瓶酒精混合后的濃度是．如果兩瓶酒精各用去升后再混合，則混合后的濃度是．問(wèn)原來(lái)甲、乙兩瓶酒精分別有多少升？根據(jù)題意，先從甲、乙兩瓶酒精中各取5升混合在一起，得到10升濃度為的酒精溶液；再將兩瓶中剩下的溶液混合在一起，得到濃度為的溶液若干升．再將這兩次混合得到的溶液混合在一起，得到濃度是的溶液．根據(jù)濃度三角，兩次混合得到的溶液的量之比為：，所以后一次混合得到溶液升．這40升濃度為的溶液是由濃度為和的溶液混合得到的，這兩種溶液的量的比為：，所以其中濃度為的溶液有升，濃度為的溶液有升．所以原來(lái)甲瓶酒精有升，乙瓶酒精有升．(法1)不妨設(shè)甲、乙兩種酒精各取千克，則混合后的濃度為，含純酒精千克；又知，千克甲酒精與千克乙酒精，混合后的濃度為，含純酒精千克．相差千克，說(shuō)明千克乙酒精中含純酒精千克，則乙酒精中純酒精的百分比為，那么甲酒精中純酒精百分比為.(法2)甲、乙兩種酒精各取千克，則混合后的濃度為，而這種混合溶液，再混上千克的乙酒精就能獲得的混合溶液，由于混合的質(zhì)量比是，由十字交叉法，乙溶液的濃度為，又因?yàn)橥瑯佣嗟募追N酒精溶液和乙種溶液能配成的溶液，所以甲溶液濃度為.(2008年第六屆“走美”六年級(jí)初賽)、兩杯食鹽水各有40克，濃度比是．在中加入60克水，然后倒入中________克．再在、中加入水，使它們均為100克，這時(shí)濃度比為．在中加入60克水后，鹽水濃度減少為原來(lái)的，但溶質(zhì)質(zhì)量不變，此時(shí)兩杯鹽水中的鹽的質(zhì)量比仍然為，中的鹽占所有鹽的質(zhì)量的，但最終狀態(tài)下中的鹽占所有鹽的質(zhì)量的，也就是說(shuō)中的鹽減少了，所以從中倒出了的鹽水到A，即25克．（三）三種溶液混合多次有甲、乙、丙三個(gè)容器，容量為毫升．甲容器有濃度為的鹽水毫升；乙容器中有清水毫升；丙容器中有濃度為的鹽水毫升．先把甲、丙兩容器中的鹽水各一半倒入乙容器攪勻后，再把乙容器中的鹽水毫升倒入甲容器，毫升倒入丙容器．這時(shí)甲、乙、丙容器中鹽水的濃度各是多少？列表如下：甲濃度溶液開(kāi)始第一次第二次乙丙濃度溶液濃度溶液所以此時(shí)甲容器中鹽水的濃度是，乙容器中濃度是，丙容器中濃度是．小結(jié)：在做有關(guān)濃度的應(yīng)用題時(shí)，為了弄清楚溶質(zhì)質(zhì)量、溶液質(zhì)量的變化，尤其是變化多次的，常用列表的方法，使它們之間的關(guān)系一目了然．在甲、乙、丙三缸酒精溶液中，純酒精的含量分別占、和，已知三缸酒精溶液總量是千克，其中甲缸酒精溶液的量等于乙、丙兩缸酒精溶液的總量．三缸溶液混合后，所含純酒精的百分?jǐn)?shù)將達(dá)．那么，丙缸中純酒精的量是多少千克？(法1)方程法．設(shè)丙缸酒精溶液的重量為千克，則乙缸為千克．根據(jù)純酒精的量可列方程：，解得，所以丙缸中純酒精的量是(千克)．(法2)濃度三角法．由于甲缸酒精溶液為50千克，乙、丙兩缸酒精溶液合起來(lái)也是50千克，所以如果將乙、丙兩缸酒精溶液混合，得到的酒精溶液的濃度為．那么乙、丙兩缸酒精溶液的量之比為：，而它們合起來(lái)共50千克，所以丙缸酒精溶液有千克，丙缸中純酒精的量是(千克)．已知三種混合物由三種成分、、組成，第一種僅含成分和，重量比為；第二種只含成分和，重量比為；第三種只含成分和，重量之比為.以什么比例取這些混合物，才能使所得的混合物中、和，這三種成分的重量比為？注意到第一種混合物中、重量比與最終混合物的、重量比相同，均為.所以，先將第二種、第三種混合物的、重量比調(diào)整到，再將第二種、第三種混合物中、與第一種混合物中、視為單一物質(zhì).最終配成的物質(zhì)；第二種混合物不含,的含量為，第三種混合物不含,的含量為，所以倍第三種混合物含為，倍第二種混合物含為，即第二種、第三種混合物的重量比為；于是此時(shí)含有，，即,而最終混合物中，所以第一種混合物的質(zhì)量與后兩種混合質(zhì)量和之比為，所以三種混合物的重量比為.、、三個(gè)試管中各盛有克、克、克水．把某種濃度的鹽水克倒入中，充分混合后從中取出克倒入中，再充分混合后從中取出克倒入中，最后得到的鹽水的濃度是．問(wèn)開(kāi)始倒入試管中的鹽水濃度是百分之幾？整個(gè)過(guò)程中鹽水濃度在下降．倒入中后，濃度變?yōu)樵瓉?lái)的；倒入中后，濃度變?yōu)橹械?；倒入中后，濃度變?yōu)橹械模詫?duì)于一開(kāi)始倒入中的鹽水濃度可以用倒推的方法，，即一開(kāi)始倒入中的鹽水濃度為．有兩種溶液，甲溶液的酒精濃度為，鹽濃度為，乙溶液中的酒精濃度為，鹽濃度為．現(xiàn)在有甲溶液千克，那么需要多少千克乙溶液，將它與甲溶液混和后所得的溶液的酒精濃度和鹽濃度相等?一千克甲種溶液中含有酒精0.1千克，鹽0.3千克，鹽比酒精多0.2千克；而一千克乙種溶液中含有酒精0.5千克，鹽0.1千克，鹽比酒精少0.4千克．所以只需要0.5千克的乙種酒精將其與甲溶液混合后所得溶液中兩種物質(zhì)含量相等，即濃度相等．有兩種溶液，甲溶液的酒精濃度為，鹽濃度為，乙溶液中的酒精濃度為，鹽濃度為．現(xiàn)在有甲溶液千克，那么需要多少千克乙溶液，將它與甲溶液混和后所得的溶液的酒精濃度和鹽濃度相等?要使得混合所得的溶液的酒精濃度和鹽濃度相等，那么其中所含的酒精的量和鹽的量應(yīng)該相等。1千克甲溶液中含有酒精千克，含有鹽千克，鹽比酒精多千克，所以還應(yīng)該加入千克的酒精，而這部分酒精由濃度為的乙溶液提供，每千克乙溶液含有酒精千克，所以添入千克乙溶液就能使混合溶液中兩種濃度相等.有兩種溶液，甲溶液的酒精濃度為，鹽濃度為，乙溶液中的酒精濃度為，鹽濃度為．現(xiàn)在有甲溶液千克，那么需要多少千克乙溶液，將它與甲溶液混和后所得的溶液的酒精濃度是鹽濃度的3倍？可以這樣來(lái)看，將溶液中的水剔出或者說(shuō)蒸發(fā)掉，那么所得到的溶液就是鹽溶在酒精中．(事實(shí)上這種情況不符合物理規(guī)律，但這只是假設(shè))．這時(shí)的處理后甲溶液鹽濃度為，處理后乙溶液的鹽濃度為，需要配置的溶液的鹽濃度為，由這些得出的條件使用十字交叉法得到兩種處理后溶液的質(zhì)量比應(yīng)該為：。一千克原甲溶液中有的處理后甲溶液，即千克，所以另需要千克的處理后乙溶液，而每千克原乙溶液中含有的處理后乙溶液，即千克，所以只需要千克的乙溶液就能構(gòu)成千克的處理后乙溶液．所以需要千克的乙溶液．模塊二、列方程解濃度問(wèn)題使用甲種農(nóng)藥每千克要兌水20千克，使用乙種農(nóng)藥每千克要兌水40千克。根據(jù)農(nóng)科院專(zhuān)家的意見(jiàn)，把兩種農(nóng)藥混合使用能提高藥效。現(xiàn)有兩種農(nóng)藥共5千克，要配藥水140設(shè)甲種農(nóng)藥x千克，則乙種農(nóng)藥（5-x）千克。列方程：甲、乙兩瓶鹽水，甲瓶鹽水的濃度是乙瓶鹽水的倍．將克甲瓶鹽水與克乙瓶鹽水混合后得到濃度為的新鹽水，那么甲瓶鹽水的濃度是多少？設(shè)乙瓶鹽水的濃度是，甲瓶鹽水的濃度是，有，解得，即甲瓶鹽水的濃度是．甲、乙兩只裝滿(mǎn)硫酸溶液的容器，甲容器中裝有濃度為的硫酸溶液600千克，乙容器中裝有濃度為的硫酸溶液400千克．各取多少千克分別放入對(duì)方容器中，才能使這兩個(gè)容器中的硫酸溶液的濃度一樣？由于交換前后兩容器中溶液的重量均沒(méi)有改變，而交換一定量的硫酸溶液其目的是將原來(lái)兩容器中溶液的濃度由不同變?yōu)橄嗤医粨Q前后兩容器內(nèi)溶液的重量之和也沒(méi)有改變，根據(jù)這個(gè)條件可以先計(jì)算出兩容器中的溶液濃度達(dá)到相等時(shí)的數(shù)值，從而再計(jì)算出應(yīng)交換的溶液的量．甲容器中純硫酸的質(zhì)量為(千克)；乙容器中純硫酸的質(zhì)量為(千克)；兩容器中純硫酸的質(zhì)量和為千克，硫酸溶液的質(zhì)量和為千克．兩容器中溶液互換后濃度為，所以應(yīng)交換的硫酸溶液的量為：(千克)．另解：假設(shè)各取千克放入對(duì)方容器中，那么兩種混合溶液中兩種硫酸溶液的質(zhì)量比相等，即，解得，即各取240千克．甲容器中有濃度為的鹽水克，乙容器有濃度為的鹽水克．分別從甲和乙中取出相同重量的鹽水，把從甲中取出的倒入乙中，把從乙中取出的倒入甲中．現(xiàn)在甲、乙容器中鹽水濃度相同．問(wèn)：從甲(乙)容器取出多少克鹽水倒入了另一個(gè)容器中？由于兩種鹽水互換后濃度相等，而在互換的過(guò)程中鹽的總質(zhì)量是不變的，所以互換后鹽水的濃度為，而甲容器中原來(lái)濃度為，所以相互倒了(克)．另解：由于兩種溶液的濃度不同，而混合后得到的溶液的濃度相同，只能是相混合的兩種溶液的量的比是相等的．這一點(diǎn)與兩人各用兩種速度走一段路程而平均速度相同中的兩種速度的路程比、以及含銅率不同的兩種合金熔煉成含銅率相同的合金(見(jiàn)第7講相關(guān)例題)中兩種合金的質(zhì)量比是相似的．假設(shè)相互倒了克，那么甲容器中是由克的鹽水和克的鹽水混合，乙容器中是由克的鹽水和的鹽水混合，得到相同濃度的鹽水，所以，解得．十字交叉法的證明過(guò)程：設(shè)甲、乙兩瓶溶液的質(zhì)量分別為和，濃度分別為和（），將兩瓶溶液混合后所得的溶液濃度為，求證：．甲溶液中溶質(zhì)的質(zhì)量為，乙溶液中的溶質(zhì)質(zhì)量為，則混和溶液中的溶質(zhì)質(zhì)量為，所以混合溶液的濃度為，所以，即，，可見(jiàn)．也可以這樣來(lái)理解；由于甲溶液濃度比乙溶液濃度高，兩瓶溶液混合后，濃度變?yōu)橄嗤喈?dāng)于甲溶液拿出了的溶質(zhì)給乙溶液，乙溶液則得到了的溶質(zhì)，所以，得到．在濃度為的鹽水中加入一定量的水,則變?yōu)闈舛鹊男氯芤?在這種新溶液中加入與前次加入的水量相等的鹽,溶液濃度變?yōu)?求.不妨設(shè)原來(lái)的鹽水為100克，加入的水(或)鹽重克,可列方程：，可得；，可得；解得，．(2007年第五屆“希望杯”一試六年級(jí))一杯鹽水，第一次加入一定量的水后，鹽水的含鹽百分比變?yōu)?；第二次又加入同樣多的水，鹽水的含鹽百分比變?yōu)椋坏谌卧偌尤胪瑯佣嗟乃?，鹽水的含鹽百分比將變?yōu)?。抓住題中不變量鹽的重量．假設(shè)第一次加入水后鹽水的重量為克，鹽的重量為克，第二次加水后的總重量為克，這樣就可得出加水量是克，第三次加水后的重量是克，這時(shí)的鹽水的含鹽百分比是．瓶中裝有濃度為的酒精溶液克，現(xiàn)在又分別倒入克和克的、兩種酒精溶液，瓶中的濃度變成了．已知種酒精溶液濃度是種酒精溶液濃度的倍，那么種酒精溶液的濃度是百分之幾？(法1)方程法．新倒入純酒精：(克)．設(shè)種酒精溶液的濃度為，則種為．根據(jù)新倒入的純酒精量，可列方程：，解得，即種酒精溶液的濃度是．(法2)濃度三角法．設(shè)種酒精溶液的濃度為，則種為．根據(jù)題意，假設(shè)先把100克種酒精和400克種酒精混合，得到500克的酒精溶液，再與1000克的酒精溶液混合，所以、兩種酒精混合得到的酒精溶液的濃度為．根據(jù)濃度三角，有，解得．故種酒精溶液的濃度是．一個(gè)賣(mài)牛奶的人告訴兩個(gè)小學(xué)生：這兒的一個(gè)鋼桶里盛著水，另一個(gè)鋼桶里盛著牛奶，由于牛奶乳脂含量過(guò)高，必須用水稀釋才能飲用．現(xiàn)在我把桶里的液體倒入桶，使其中液體的體積翻了一番，然后我又把桶里的液體倒進(jìn)桶，使桶內(nèi)的液體體積翻番．最后，我又將桶中的液體倒進(jìn)桶中，使桶中液體的體積翻番．此時(shí)我發(fā)現(xiàn)兩個(gè)桶里盛有同量的液體，而在桶中，水比牛奶多出升．現(xiàn)在要問(wèn)你們，開(kāi)始時(shí)有多少水和牛奶，而在結(jié)束時(shí)，每個(gè)桶里又有多少水和牛奶？假設(shè)一開(kāi)始桶中有液體升，桶中有升．第一次將桶的液體倒入桶后，桶有液體升，桶剩升；第二次將桶的液體倒入桶后，桶有液體升，桶剩升；第三次將桶的液體倒入桶后，桶有液體升，桶剩升．由此時(shí)兩桶的液體體積相等，得，，．現(xiàn)在還不知道桶中裝的是牛奶還是水，可以將稀釋牛奶的過(guò)程列成下表：桶桶原桶液體：原桶液體原桶液體：原桶液體初始狀態(tài)第一次桶倒入桶第二次桶倒入桶第三次桶倒入桶由上表看出，最后桶中的液體，原桶液體與原桶液體的比是，而題目中說(shuō)“水比牛奶多升”，所以原桶中是水，原桶中是牛奶．因?yàn)樵谥校啊毕喈?dāng)于1升，所以2個(gè)單位相當(dāng)于1升．由此得到，開(kāi)始時(shí)，桶中有升水，桶中有升牛奶；結(jié)束時(shí)，桶中有3升水和1升牛奶，桶中有升水和升牛奶．有，兩個(gè)桶，分別盛著水和某含量的酒精溶液．先把桶液體倒入桶，使桶中的液體翻番；再將桶液體倒入桶，使桶中的液體翻番．此時(shí)，，兩桶的液體體積相等，并且桶的酒精含量比桶的酒精含量高．問(wèn)：最后桶中的酒精含量是多少？因?yàn)樽詈笸暗木凭扛哂谕?，所以一開(kāi)始桶盛的是酒精溶液．設(shè)一開(kāi)始桶中有液體，桶中有．第一次從桶倒入桶后，桶有，桶剩；第二次從桶倒入桶，桶有，桶剩．由，得．再設(shè)開(kāi)始桶中有純酒精，則有水．將酒精稀釋過(guò)程列成表(如圖)：由題意知，，解得．所以最后桶中的酒精含量是．桶桶純酒精：水純酒精：水初始狀態(tài)第一次桶倒入桶第二次桶倒入桶、、三瓶鹽水的濃度分別為、、，它們混合后得到克濃度為的鹽水．如果瓶鹽水比瓶鹽水多克，那么瓶鹽水有多少克？設(shè)瓶鹽水有克，則瓶鹽水為克，瓶鹽水為()克．則，解得．所以瓶鹽水為：(克)．模塊三、濃度三角解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題（難度等級(jí)※※※）某班有學(xué)生48人，女生占全班的37.5％，后來(lái)又轉(zhuǎn)來(lái)女生若干人，這時(shí)人數(shù)恰好是占全班人數(shù)的40％，問(wèn)轉(zhuǎn)來(lái)幾名女生？濃度差之比1∶24，48÷24×1=2人,重量之比24∶1這是一道變換單位“1”的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題需抓住男生人數(shù)這個(gè)不變量，如果按濃度問(wèn)題做，就簡(jiǎn)單多了。轉(zhuǎn)來(lái)2名女生。小明到商店買(mǎi)紅、黑兩種筆共66支．紅筆每支定價(jià)5元，黑筆每支定價(jià)9元．由于買(mǎi)的數(shù)量較多，商店就給予優(yōu)惠，紅筆按定價(jià)付錢(qián)，黑筆按定價(jià)付錢(qián)，如果他付的錢(qián)比按定價(jià)少付了，那么他買(mǎi)了紅筆多少支？濃度倒三角的妙用．紅筆按優(yōu)惠，黑筆按優(yōu)惠，結(jié)果少付，相當(dāng)于按優(yōu)惠，可類(lèi)似濃度問(wèn)題進(jìn)行配比，得到紅、黑兩種筆的總價(jià)之比為，而紅、黑兩種筆的單價(jià)分別為5元和9元，所以這兩種筆的數(shù)量之比為，所以他買(mǎi)了支紅筆．通過(guò)以上例題，我們可以看出，只要我們?cè)诮忸}時(shí)善于抓住事物間的聯(lián)系，進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化，就能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，找到解決問(wèn)題的巧妙方法。有兩包糖，每包糖內(nèi)都裝有奶糖，水果糖和巧克力糖．已知：⑴第一包糖的粒數(shù)是第二包的；⑵在第一包糖中，奶糖占，在第二包糖中，水果糖占；⑶巧克力在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占的百分比的兩倍．當(dāng)兩包糖合在一起時(shí)，巧克力糖占，那么，水果糖所占的百分比等于多少？由于第一包糖的粒數(shù)是第二包糖的，不妨設(shè)設(shè)第二包有糖塊，則第一包有糖塊．設(shè)巧克力