中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)-與軸對稱相關(guān)的線段之和最短問題-有答案

與軸對稱相關(guān)的線段之和最短問題我們經(jīng)常在考試當(dāng)中看到求線段之和最小的問題，每當(dāng)我們看到這樣的題型，同學(xué)們從今往后就要高興了，因為我把它們出現(xiàn)的模型整理如下。首先來看下這幾個數(shù)學(xué)模型：模型1：兩點之間線段最短。要在l找點P，使得PA+PB最短，這模型最簡單，兩點之間線段最短。模型2：將軍飲馬問題。在l上找一點P，使得PA+PB最短，作對稱。其中BA’就是最短的值模型3：兩動點找三角形周長最小在OA，OB上找點M、N，使得△PMN周長最小，把P關(guān)于OA，OB分別作對稱，然后連接兩個對稱點，交點記為所求，然后周長最小值為P’P’’，模型4：兩動點加垂線段最短，在OA上找一點M，使得M到OB的距離與M到P的距離之和最短。作P關(guān)于OA的對稱點，然后在對稱點P’上作OB的垂線，交點即為所求，P’N就是最短值。模型4：如圖，點P，Q為∠MON內(nèi)的兩點，分別在OM，ON上作點A，B。使四邊形PAQB的周長最小?？偨Y(jié)一句話，要在哪找點，我們就關(guān)于誰作對稱！是不是很好理解？好吧！我們看看下面這些例題該怎樣套上我們的模型！題型1：直線類例題1．如圖，A、B兩個小集鎮(zhèn)在河流CD的同側(cè)，分別到河的距離為AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，現(xiàn)在要在河邊建一自來水廠，向A、B兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費用為每千米3萬，請你在河流CD上選擇水廠的位置M，使鋪設(shè)水管的費用最節(jié)省，并求出總費用是多少？作點B關(guān)于直線CD的對稱點B'，連接AB'，交CD于點M則AM+BM=AM+B'M=AB'，水廠建在M點時，費用最小如右圖，在直角△AB'E中，AE=AC+CE=10+30=40EB'=30所以：AB'=50總費用為：50×3=150萬例題2．求代數(shù)式eq\r(x2+1)+\r((4-x)2+4)（0≤x≤4）的最小值如右圖，AE的長就是這個代數(shù)式的最小值在直角△AEF中AF=3EF=4則AE=5所以，這個代數(shù)式的最小值是5題型2：角類例題3．如圖∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一點，PO=10，Q、P分別是OA、OB上的動點，求△PQR周長的最小值．分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點P1、P2，連接P1P2，交OA、OB于點Q，R，連接OP1，OP2，則OP=OP1=OP2=10且∠P1OP2=90°由勾股定理得P1P2=10eq\r(2)題型3：三角形類例題4．如圖，等腰Rt△ABC的直角邊長為2，E是斜邊AB的中點，P是AC邊上的一動點，則PB+PE的最小值為即在AC上作一點P，使PB+PE最小作點B關(guān)于AC的對稱點B'，連接B'E，交AC于點P，則B'E=PB'+PE=PB+PEB'E的長就是PB+PE的最小值在直角△B'EF中，EF=1，B'F=3根據(jù)勾股定理，B'E=eq\r(10)例題5．如圖，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC邊的中點，E是AB邊上一動點，則EC＋ED的最小值為_______。即是在直線AB上作一點E，使EC+ED最小作點C關(guān)于直線AB的對稱點C'，連接DC'交AB于點E，則線段DC'的長就是EC+ED的最小值。在直角△DBC'中DB=1，BC=2，根據(jù)勾股定理可得，DC'=eq\r(5)例題6．如圖，在等邊△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC上的一點，M是AD上的一點，且AE=2，求EM+EC的最小值因為點C關(guān)于直線AD的對稱點是點B，所以連接BE，交AD于點M，則ME+MD最小，過點B作BH⊥AC于點H，則EH=AH–AE=3–2=1，BH=eq\r(BC2-CH2)=eq\r(62-32)=3eq\r(3)在直角△BHE中，BE=eq\r(BH2+HE2)=eq\r((3\r(3))2+12)=2eq\r(7)題型4：正方形類例題7．如圖所示，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD＋PE的和最小，則這個最小值為（ ）A．2eq\r(3) B．2eq\r(6) C．3 D．eq\r(6)即在AC上求一點P，使PE+PD的值最小點D關(guān)于直線AC的對稱點是點B，連接BE交AC于點P，則BE=PB+PE=PD+PE，BE的長就是PD+PE的最小值BE=AB=2eq\r(3)例題8．在邊長為2㎝的正方形ABCD中，點Q為BC邊的中點，點P為對角線AC上一動點，連接PB、PQ，則△PBQ周長的最小值為____________㎝（結(jié)果不取近似值）.即在AC上求一點P，使PB+PQ的值最小因為點B關(guān)于AC的對稱點是D點，所以連接DQ，與AC的交點P就是滿足條件的點DQ=PD+PQ=PB+PQ故DQ的長就是PB+PQ的最小值在直角△CDQ中，CQ=1，CD=2根據(jù)勾股定理，得，DQ=eq\r(5)題型5：矩形類例題9．如圖，若四邊形ABCD是矩形，AB=10cm，BC=20cm，E為邊BC上的一個動點，P為BD上的一個動點，求PC+PD的最小值；作點C關(guān)于BD的對稱點C'，過點C'，作C'B⊥BC，交BD于點P，則C'E就是PE+PC的最小值直角△BCD中，CH=eq\f(20,\r(5))q\f(20,r\(5))錯誤！未定義書簽。直角△BCH中，BH=8eq\r(5)△BCC'的面積為：BH×CH=160所以C'E×BC=2×160則CE'=16題型6：菱形類例題10．如圖，若四邊形ABCD是菱形，AB=10cm，∠ABC=45°，E為邊BC上的一個動點，P為BD上的一個動點，求PC+PE的最小值；點C關(guān)于BD的對稱點是點A，過點A作AE⊥BC，交BD于點P，則AE就是PE+PC的最小值在等腰△EAB中，求得AE的長為5eq\r(2)題型7：直角梯形類例題11．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，點P在BC上移動，則當(dāng)PA+PD取最小值時，△APD中邊AP上的高為（）A、B、C、D、3作點A關(guān)于BC的對稱點A'，連接A'D，交BC于點P則A'D=PA'+PD=PA+PDA'D的長就是PA+PD的最小值S△APD=4在直角△ABP中，AB=4，BP=1根據(jù)勾股定理，得AP=eq\r(17)所以AP上的高為：2×eq\f(4,\r(17))=eq\f(8\r(17),17)題型8：圓類例題12．已知⊙O的直徑CD為4，∠AOD的度數(shù)為60°，點B是eq\o\ac(AD,\s\up10(︵))的中點，在直徑CD上找一點P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．即是在直線CD上作一點P，使PA+PB的值最小作點A關(guān)于CD的對稱點A'，連接A'B，交CD于點P，則A'B的長就是PA+PB的最小值連接OA'，OB，則∠A'OB=90°，OA'=OB=4根據(jù)勾股定理，A'B=4eq\r(2)例題13．如圖，MN是半徑為1的⊙O的直徑，點A在⊙O上，∠AMN＝30°，B為AN弧的中點，P是直徑MN上一動點，則PA＋PB的最小值為(

)A

2eq\r(2)

B

eq\r(2)

C

1

D

2即在MN上求一點P，使PA+PB的值最小作點A關(guān)于MN的對稱點A'，連接A'B，交MN于點P，則點P就是所要作的點A'B的長就是PA+PB的最小值連接OA'、OB，則△OA'B是等腰直角三角形所以A'B=eq\r(2)題型9：一次函數(shù)類例題14．在平面直角坐標(biāo)系中，有A（3，－2），B（4，2）兩點，現(xiàn)另取一點C（1，n），當(dāng)n=______時，AC+BC的值最小．點C（1，n），說明點C在直線x=1上，所以作點A關(guān)于直線x=1的對稱點A'，連接A'B，交直線x=1于點C，則AC+BC的值最小設(shè)直線A'B的解析式為y=kx+b，則-2=-k+b2=4k+b解得：k=(4/5)b=-(6/5)所以：y=(4/5)x-(6/5)當(dāng)x=1時，y=-(2/5)故當(dāng)n=-(2/5)時，AC+BC的值最小例題15．一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x、y軸分別交于點A（2，0），B（0，4）．（1）求該函數(shù)的解析式；（2）O為坐標(biāo)原點，設(shè)OA、AB的中點分別為C、D，P為OB上一動點，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值時P點坐標(biāo)．(1)由題意得：0=2x+b4=b解得k=-2，b=4，所以y=-2x+4(2)作點C關(guān)于y軸的對稱點C'，連接C'D，交y軸于點P則C'D=C'P+PD=PC+PDC'D就是PC+PD的最小值連接CD，則CD=2，CC'=2在直角△C'CD中，根據(jù)勾股定理C'D=2eq\r(2)求直線C'D的解析式，由C'(-1，0)，D(1，2)所以，有0=-k+b2=k+b解得k=1，b=1，所以y=x+1當(dāng)x=0時，y=1，則P(0，1)題型10：二次函數(shù)類例題16．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（-2，0），連結(jié)0A，將線段OA繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)120。，得到線段OB.（1）求點B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過A、O、B三點的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△BOC的周長最?。咳舸嬖?，求出點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.（注意：本題中的結(jié)果均保留根號）(1)B(1，eq\r(3))(2)eqy=\f(\r(3),3)x2+\f(2\r(3),3)x(3)因為點O關(guān)于對稱軸的對稱點是點A，則連接AB，交對稱軸于點C，則△BOC的周長最小eqy=\f(\r(3),3)x2+\f(2\r(3),3)x，當(dāng)x=-1時，y=eq\f(\r(3),3)所以C(-1，eq\f(\r(3),3))例題17．如圖，拋物線y＝x2＋bx－2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，且A(－1，0)．（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo)；（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；（3）點M(m,0)是x軸上的一個動點，當(dāng)MC＋MD的值最小時，求m的值．(1)y=eq\f(1,2)x2-\f(3,2)-2

(3)作點C關(guān)于x軸的對稱點C’，連接C’D，交x軸于點M，則MC+MD的值最小，求出直線C’D的解析式，即可得到M點的坐標(biāo)eqm=\f(24,41)方法點撥：此類試題往往以角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標(biāo)軸、拋物線等為背景，但都有一個“軸對稱性”的圖形共同點，解題時只有從變化的背景中提取出“建泵站問題”的數(shù)學(xué)模型，再通過找定直線的對稱點把同側(cè)線段和轉(zhuǎn)換為異側(cè)線段和，利用“兩點之間線段最短”，實現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”即可解決。有時問題是求三角形周長或四邊形周長的最小值，一般此時會含有定長的線段，依然可以轉(zhuǎn)化為“建泵站問題”。例題18．如圖，在直角坐標(biāo)系中，A，B，C的坐標(biāo)分別為（-1，0），（3，0），（0，3），過A，B，C三點的拋物線的對稱軸為直線l，D為直線l上的一個動點，(1)求拋物線的解析式；(2)求當(dāng)AD+CD最小時點D的坐標(biāo)；(3)以點A為圓心，以AD為半徑作圓A；①證明：當(dāng)AD+CD最小時，直線BD與圓A相切；②寫出直線BD與圓A相切時，點D的另一個坐標(biāo)。(2)連接BC，交直線l于點D，則DA+DC=DB+DC=BC，BC的長就是AD+DC的最小值BC：y=-x+3則直線BC與直線x=1的交點D(1，2)，例題19．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交于點A（-1，

0）和點B（0，-5）．（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）已知該函數(shù)圖象的對稱軸上存在一點△AB點(1)y=x2–4x-5(2)BC：y=x-5P(2，-3)例題20．已知等腰三角形ABC的兩個頂點分別是A(0，1)、B(0，3)，第三個頂點C在x軸的正半軸上．關(guān)于y軸對稱的拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A、D(3，－2)、P三點，且點P關(guān)于直線AC的對稱點在x軸上．(1)求直線BC的解析式；(2)求拋物線y＝ax2＋bx＋c的解析式及點P的坐標(biāo)；(3)設(shè)M是y軸上的一個動點，求PM＋CM的取值范圍．(1)以點A為圓心，AB為半徑作圓，交x軸的正半軸于點C，在直角△ACO中OA=1，AC=2根據(jù)勾股定理，得OC=eq\r(3)故C(eq\r(3)，0)設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，則3=b0=eq\r(3)k+b解得k=-eq\r(3)，b=3(2)因為拋物線關(guān)于y軸對稱，所以設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+c，則1=c-2=9a+c解得a=-eq\f(1,3)，c=1在直角△ACO中AC=2，OA=1，則∠ACO=30°在直角△BCO中OC=eq\r(3)，OB=3，則∠BCO=60°所以CA是∠BCO的角平分線即直線BC和x軸關(guān)于直線AC對稱因為點P關(guān)于直線AC的對稱點在ｘ軸上故點P應(yīng)在直線BC和拋物線上，則有方程組y=-eq\r(3)x+3y=-eq\f(1,3)x2+1解得x1=eq\r(3)y1=0x2=2eq\r(3)y2=-3所以P(eq\r(3)，0)，或(2eq\r(3)，-3)(3)當(dāng)點M在y軸上運動時，PM+CM沒有最大值，只有最小值，所以求PM+CM的取值范圍，就是要求PM+CM的最小值當(dāng)點P與點C重合時，即Ｐ（eq\r(3)，０）點M在原點，PM+CM的值最小，PM+CM=2eq\r(3)所以PM+CM≥2eq\r(3)當(dāng)點P(2eq\r(3)，-3)時作點C關(guān)于y軸的對稱點E，過點P作x軸的垂線，垂足為F在直角△EFP中，EF=3eq\r(3)，PF=3根據(jù)勾股定理，得EP=6所以PM+CM的最小值是6，則PM+CM≥6題型11：建橋選址類例題21．如圖，村莊A、B位于一條小河的兩側(cè)，若河岸a、b彼此平行，現(xiàn)在要建設(shè)一座與河岸垂直的橋CD，問橋址應(yīng)如何選擇，才能使A村到B村的路程最近？作法：設(shè)a、b的距離為r。①把點B豎直向上平移r個單位得到點B'；②連接AB'，交a于C；③過C作CDb于D；④連接AC、BD。證明：∵BB'∥CD且BB'＝CD，∴四邊形BB'CD是平行四邊形，∴CB'＝BD∴AC＋CD＋DB＝AC＋CB'＋B'B＝AB'＋B'B在a上任取一點C'，作C'D'，連接AC'、D'B，C'B'同理可得AC'＋C'D'＋D'B＝AC'＋C'B'＋B'B而AC'＋C'B'>AB'∴AC＋CD＋DB最短。本題是研究AC＋CD＋DB最短時的C、D的取法，而ＣＤ是定值，所以問題集中在研究AC＋DB最小上。但AC、DB不能銜接，可將BD平移B1C處，則AC＋DB可轉(zhuǎn)化為AC＋CB'，要使AC＋CB'最短，顯然，A、C、B'三點要在同一條直線上。題型12：立體圖形例題22．桌上有一個圓柱形玻璃杯（無蓋），高為12厘米，底面周長18厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口3厘米的A處有一滴蜜糖，一只小蟲從桌上爬至杯子外壁，當(dāng)它正好爬至蜜糖相對方向離桌面3厘米的B處時，突然發(fā)現(xiàn)了蜜糖。問小蟲至少爬多少厘米才能到達(dá)蜜糖所在的位置。析：展開圖如圖所示，作A點關(guān)于杯口的對稱點A’。則BA’=eq\r(92+122)=15厘米例題23．一只螞蟻欲從圓柱形桶外的A點爬到桶內(nèi)的B點處尋找食物，已知點A到桶口的距離AC為12cm，點B到桶口的距離BD為8cm，CD的長為15cm，那么螞蟻爬行的最短路程是多少？展開圖如右圖所示，作點B關(guān)于CD的對稱點B’，連接AB’，交CD于點P，則螞蟻爬行路線A→P→B為最短，且AP+PB=AB+PB’，在直角△AEB’中，AE=CD=12，EB’=ED+DB’=AC+BD=12+8=20由勾股定理知，AB’=25所以，螞蟻爬行的最短路程是25cm:例題24．如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM⑴求證：△AMB≌△ENB；⑵①當(dāng)M點在何處時，AM＋CM的值最??；②當(dāng)M點在何處時，AM＋BM＋CM的值最小，并說明理由；⑶當(dāng)AM＋BM＋CM的最小值為eq\r(3)+1時，求正方形的邊長.(2)①連接AC，交BD于點M，則AM+CM的值最?、谶B接CE交BD于點M，則AM+BM+CM的值最小∵AM=EN，BM=NM，∴AM+BM+CM=EN+NM+MC=EC根據(jù)“兩點之間，線段最短”，可知EN+NM+MC=EC最短(3)過點E作CB的延長線的垂線，垂足為F設(shè)正方形ABCD的邊長為2x則在直角△BEF中，∠EBF=30°，所以，EF=x，根據(jù)勾股定理：BF=eq\r(3)x在直角△CEF中，根據(jù)勾股定理：CE2=EF2+FC2得方程：eq(\r(3)+1)2=x2+(\r(3)x+2x)2解得：x=eq\f(\r(2),2)所以：2x=eq\r(2)分析：本題在最短矩離這一問題中，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，綜合考查學(xué)生幾何、代數(shù)知識的運用能力。整個過程充分顯示了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)新知的一般過程：認(rèn)知——論證——應(yīng)用。本題的難點在距離最小。第一小問設(shè)計由簡單的三角形全等的證明讓學(xué)生得出邊之間的相等關(guān)系，這里隱藏著由旋轉(zhuǎn)角60°得出的等邊三角形，從而得出BM=MN；第二小問設(shè)計的是一個探究過程，讓學(xué)生綜合學(xué)習(xí)過的基本數(shù)學(xué)知識進(jìn)行探索，看學(xué)生對“兩點之間，線段最短”的掌握，要求學(xué)生具備轉(zhuǎn)化能力，建模能力等；第三小問的設(shè)計主要是將所探究的結(jié)論進(jìn)行運用，拓展，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想理念。整個過程體現(xiàn)了特殊問題中的一般規(guī)律，是數(shù)學(xué)知識和問題解決方法的一種自然回歸。是近幾年中考壓軸題的基本模型。五.垂線段最短型例題25．如圖，在銳角△ABC中，AB=eq4\r(2)，∠BAC＝45°，∠BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是____．作點B關(guān)于AD的對稱點B'，過點B'作B'E⊥AB于點E，交AD于點F，則線段B'E的長就是BM＋ＭＮ的最小值在等腰Rt△AEB'中，根據(jù)勾股定理得到，B'E=4例題26．如圖，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一點M、N，使BM+MN的值最小，則這個最小值