人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)教學(xué)課件

最新人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)教學(xué)課件全冊(cè)第二十六章反比例函數(shù)26.1反比例函數(shù)26.1.1反比例函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解反比例函數(shù)的相關(guān)概念,會(huì)確定自變量的取值范圍3.能夠根據(jù)實(shí)際問(wèn)題寫(xiě)出反比例函數(shù)的解析式.2.會(huì)求反比例函數(shù)的解析式(重點(diǎn)、難點(diǎn))當(dāng)路程s=100m時(shí)，時(shí)間t(s)與速度v(m/s)的關(guān)系是：?jiǎn)栴}1

2016年里約奧運(yùn)會(huì)上，“閃電”博爾特延續(xù)傳奇，再度奪得百米金牌.那么他所用的時(shí)間t和速度v之間有著怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？觀察與思考vt=100或觀察與思考問(wèn)題2小明想要在家門(mén)前草原上圍一個(gè)面積約為15m2的矩形羊圈，那么羊圈的長(zhǎng)y（單位：m）和寬x（單位：m）之間有著什么樣的關(guān)系呢？當(dāng)面積S=15m2

時(shí)，長(zhǎng)y(m)與寬x(m)的關(guān)系是：

xy=15或反比例函數(shù)的概念問(wèn)題1：對(duì)于前面的兩個(gè)問(wèn)題，變量間具有函數(shù)關(guān)系嗎？問(wèn)題2：它們的解析式有什么共同特點(diǎn)？都具有______的形式，其中＿＿＿是常數(shù)．分式分子概念歸納形如（k≠0)也是反比例函數(shù)；而類似（k≠0)不是反比例函數(shù).注意形如y=

（k為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，稱為反比例函數(shù)。其中x是自變量，y是函數(shù)，自變量x的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù)。下列函數(shù)是不是反比例函數(shù)？若是，請(qǐng)指出k的值.是，k=3不是，它是正比例函數(shù)不是不是是，歸納總結(jié)例1:若函數(shù)

是反比例函數(shù)，求k的值，并寫(xiě)出該反比例函數(shù)的解析式.解：由題意得4-k2=0，且k-2≠0

，解得k=-2.因此該反比例函數(shù)的解析式為

.

1.已知函數(shù)

是反比例函數(shù)，則k必須滿足

.2.當(dāng)m

時(shí)，

是反比例函數(shù).k≠2且k≠-1=±1做一做因?yàn)閤作為分母，不能等于零，因此自變量x的取值范圍是所有非零實(shí)數(shù).

但是在實(shí)際問(wèn)題中，應(yīng)該根據(jù)具體情況來(lái)確定該反比例函數(shù)自變量的取值范圍.例如，在前面得到的

中，v的取值范圍是v＞0．思考反比例函數(shù)

(k≠0)的自變量x的取值范圍是什么呢？確定反比例函數(shù)的解析式例2.已知y是x的反比例函數(shù)，并且當(dāng)x=2時(shí)，y=6.（1）寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)x=4時(shí)，求y的值．解：（1）設(shè)，因?yàn)楫?dāng)x=2時(shí)，y=6，所以有，解得k=12，因此（2）當(dāng)x=4時(shí)，=3.

總結(jié)（1）求反比例函數(shù)的解析式常用待定系數(shù)法，先設(shè)其解析式為（k≠0），然后求出k

的值；（2）當(dāng)反比例函數(shù)的解析式確定以后，已知x（或y）的值，將其代入解析式中即可求得相應(yīng)的y（或x）的值.

解:因?yàn)榱庑蔚拿娣e等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)乘積的一半，所以.所以，它是反比例函數(shù).例3.如圖，已知菱形ABCD的面積為180，設(shè)它的兩條對(duì)角線AC，BD的長(zhǎng)分別為x，y.寫(xiě)出變量y與x之間的關(guān)系式，并指出它是什么函數(shù).ABCD建立簡(jiǎn)單的反比例函數(shù)模型例4.

人的視覺(jué)機(jī)能受運(yùn)動(dòng)速度的影響很大，行駛中司機(jī)在駕駛室內(nèi)觀察前方物體是動(dòng)態(tài)的，車(chē)速增加，視野變窄.當(dāng)車(chē)速為50km/h時(shí)，視野為80度，如果視野f（度）是車(chē)速v（km/h）的反比例函數(shù)，求f關(guān)于v的函數(shù)解析式，并計(jì)算當(dāng)車(chē)速為100km/h時(shí)視野的度數(shù).解：設(shè)（k≠0）.由v=50，f=80，得k=4000，所以.當(dāng)v=100km/h時(shí)，f=40度.反比例函數(shù)模型在物理學(xué)中應(yīng)用最為廣泛，一定條件下，公式中的兩個(gè)變量可能構(gòu)成反比例關(guān)系，進(jìn)而可以構(gòu)建反比例函數(shù)的數(shù)學(xué)模型.列出反比例函數(shù)解析式后，注意結(jié)合實(shí)際問(wèn)題寫(xiě)出自變量的取值范圍.方法歸納1.生活中有許多反比例函數(shù)的例子，在下面的實(shí)例中，x和y成反比例函數(shù)關(guān)系的有幾個(gè)？

（

）

（1）x人共飲水10kg，平均每人飲水ykg；（2）底面半徑為xm，高為ym的圓柱形水桶的體積為10m3；（3）用鐵絲做一個(gè)圓，鐵絲的長(zhǎng)為xcm，做成圓的半徑為ycm；（4）在水龍頭前放滿一桶水,出水的速度為x，放滿一桶水的時(shí)間y.A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)B當(dāng)堂練習(xí)2.下列函數(shù)，y是x的反比例函數(shù)的是（）A26.1.2反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)反比例函數(shù)的圖象又會(huì)是什么樣子呢?你還記得作函數(shù)圖象的一般步驟嗎？給反比例函數(shù)“照相”

回顧與思考2用圖象法表示函數(shù)關(guān)系時(shí),首先在自變量的取值范圍內(nèi)取一些值,列表、描點(diǎn)、連線(按自變量從小到大的順序,用一條平滑的曲線連接起來(lái)).當(dāng)容積為1000

m3時(shí),時(shí)間t與每小時(shí)水流量v之間的關(guān)系是：

（t>0）問(wèn)題某游泳池容積為1000m3，現(xiàn)在需要注滿水，每小時(shí)水流量v(m3/h)與時(shí)間t(h)之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？你能在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出這個(gè)函數(shù)圖象嗎？觀察與思考123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556yx123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556xy觀察這兩個(gè)函數(shù)圖象，它們有哪些共同特征.（1）每個(gè)函數(shù)圖象分別位于哪些象限？（2）在每一個(gè)象限內(nèi)，隨著x的增大，y如何變化？思考:1.反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)總結(jié)歸納2.反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)由兩條曲線組成，且分別位于第一、三象限它們與x軸、y軸都不相交由兩條曲線組成，且分別位于第二、四象限它們與x軸、y軸都不相交在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大圖象性質(zhì)圖象性質(zhì)C反比例函數(shù)y=

的圖象大致是（)yA.xyoB.xoD.xyoC.xyo當(dāng)堂練習(xí)例1.已知反比例函數(shù)

的圖象過(guò)點(diǎn)(-2，-3)，函數(shù)圖象上有兩點(diǎn)A(

)，B(5，y2)，則y1與y2的大小關(guān)系為()A.y1>y2B.y1=y2C.y1<y2D.無(wú)法確定C典例精析

例2.點(diǎn)(2，y1)和(3，y2)在函數(shù)

上，則y1

y2（填“>”“<”或“=”）.<例3.已知反比例函數(shù)，y隨x的增大而增大，求a的值.解：由題意得a2+a-7=-1，且a-1<0．

解得a=-3.2.下列關(guān)于反比例函數(shù)的三個(gè)結(jié)論：

(1)它的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1,12）和點(diǎn)（10，-1.2）；

(2)它的圖象在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；

(3)它的圖象在第二、四象限內(nèi).其中正確的是（填序號(hào)）．(1)(3)

１．已知反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限內(nèi)，則m的取值范圍是________.3.在反比例函數(shù)(k>0)的圖象上有兩點(diǎn)A(x1,

y1)，B(x2,y2)且x1>x2>0，則y1-y2

0.＜反比例函數(shù)kk>0k<0圖象性質(zhì)圖象位于第一、三象限圖象位于第二、四象限在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大課堂小結(jié)第二十六章反比例函數(shù)26.2實(shí)際問(wèn)題與反比例函數(shù)圓柱的煩惱----怎樣減肥

有一個(gè)圓柱王國(guó)，住滿了形形色色的圓柱，其中有一個(gè)底面積為10平方米，高為0.4米的圓柱A，膀大腰圓，威風(fēng)八面，自己以粗壯為美，可近來(lái)卻憂心忡忡，忽然變得自卑起來(lái)，探問(wèn)何因？原來(lái)其他苗條的圓柱都在嘲笑它。說(shuō)它太胖，愛(ài)美的圓柱A即想讓自己的空間優(yōu)勢(shì)不變（體積不變），又想讓自己變瘦，想變成10米高，它使出了渾身解數(shù)，也沒(méi)實(shí)現(xiàn)自己的愿望，聰明的同學(xué)，你能幫圓柱A解除煩惱嗎？A

某?？萍夹〗M進(jìn)行野外考察，途中遇到一片十幾米寬的爛泥濕地。為安全迅速通過(guò)這片濕地，他們沿著前進(jìn)路線鋪墊了若干木板，構(gòu)筑成一條臨時(shí)通道，從而順利完成任務(wù)。

當(dāng)人和木板對(duì)濕地的壓力一定時(shí)，隨著木板面積S（㎡）的變化，人和木板對(duì)地面的壓強(qiáng)P（Pa）將隨著變化。如果人和木板對(duì)濕地地面的壓力合計(jì)為600N，那么:

1.用含S的代數(shù)式表示P(Pa）.2.當(dāng)木板面積為0.2㎡時(shí)，壓強(qiáng)是多少？3.如果要求壓強(qiáng)為6000Pa,木板面積要多少？壓強(qiáng)=

市煤氣公司要在地下修建一個(gè)容積為104m3

的圓柱形煤氣儲(chǔ)存室.(1)儲(chǔ)存室的底面積S(單位:m2)與其深度d(單位:m)有怎樣的函數(shù)關(guān)系？

解：(1)根據(jù)圓柱體的體積公式,我們有S×d=變形得.

即儲(chǔ)存室的底面積S是其深度d的反比例函數(shù).例1把S=500代入

,得(2)公司決定把儲(chǔ)存室的底面積S定為500m2,施工隊(duì)施工時(shí)應(yīng)該向下掘進(jìn)多深？解:

如果把儲(chǔ)存室的底面積定為500m2

，施工時(shí)應(yīng)向地下掘進(jìn)20m深.解得d=20市煤氣公司要在地下修建一個(gè)容積為104m3

的圓柱形煤氣儲(chǔ)存室.(3)當(dāng)施工隊(duì)按(2)中的計(jì)劃掘進(jìn)到地下15m時(shí),碰上了堅(jiān)硬的巖石.為了節(jié)約建設(shè)資金,儲(chǔ)存室的底面積應(yīng)改為多少才能滿足需要(保留兩位小數(shù))？根據(jù)題意,把d=15代入,得解得S≈666.67

當(dāng)儲(chǔ)存室的深為15m時(shí),儲(chǔ)存室的底面積應(yīng)改為666.67m2

才能滿足需要.(3)當(dāng)施工隊(duì)按(2)中的計(jì)劃掘進(jìn)到地下15m時(shí),碰上了堅(jiān)硬的巖石.為了節(jié)約建設(shè)資金,儲(chǔ)存室的底面積應(yīng)改為多少才能滿足需要(保留兩位小數(shù))?解:

實(shí)際問(wèn)題

（數(shù)學(xué)模型）

當(dāng)S=500m2時(shí)求d

當(dāng)d=15m時(shí)求S小結(jié)

拓展圓柱體的體積公式永遠(yuǎn)也不會(huì)變

碼頭工人以每天30噸的速度往一艘輪船上裝載貨物,把輪船裝載完畢恰好用了8天時(shí)間.(1)輪船到達(dá)目的地后開(kāi)始卸貨,卸貨速度v(單位:噸/天)與卸貨時(shí)間t(單位:天)之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？

分析：根據(jù)裝貨速度×裝貨時(shí)間＝貨物的總量，可以求出輪船裝載貨物的總量；再根據(jù)卸貨速度＝貨物總量÷卸貨時(shí)間，得到v與t的函數(shù)關(guān)系式。例2

碼頭工人以每天30噸的速度往一艘輪船上裝載貨物,把輪船裝載完畢恰好用了8天時(shí)間.(1)輪船到達(dá)目的地后開(kāi)始卸貨,卸貨速度v(單位:噸/天)與卸貨時(shí)間t(單位:天)之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？

解:（1）設(shè)輪船上的貨物總量為k噸，則根據(jù)已知條件有k=30×8=240，

所以v與t的函數(shù)關(guān)系式為.

碼頭工人以每天30噸的速度往一艘輪船上裝載貨物,把輪船裝載完畢恰好用了8天時(shí)間.

(2)由于遇到緊急情況,船上的貨物必須在5日內(nèi)卸載完畢,那么平均每天要卸多少噸貨物？

結(jié)果可以看出，如果全部貨物恰好用5天卸完，則平均每天卸載48噸.

碼頭工人以每天30噸的速度往一艘輪船上裝載貨物,把輪船裝載完畢恰好用了8天時(shí)間.(2)由于遇到緊急情況,船上的貨物必須在5日內(nèi)卸載完畢,那么平均每天要卸多少噸貨物?

解:（2）把t=5代入

，得.

給我一個(gè)支點(diǎn)，我可以撬動(dòng)地球！

——阿基米德情景引入阻力臂阻力動(dòng)力臂動(dòng)力情景引入杠桿原理：【例3】小偉欲用雪撬棍撬動(dòng)一塊大石頭，已知阻力和阻力臂不變，分別為1200N和0.5m.(1)動(dòng)力F與動(dòng)力臂L有怎樣的函數(shù)關(guān)系?(2)當(dāng)動(dòng)力臂為1.5m時(shí),撬動(dòng)石頭至少需要多大的力?(3)若想使動(dòng)力F不超過(guò)題(2)中所用力的一半,則動(dòng)力臂至少要加長(zhǎng)多少?在我們使用撬棍時(shí),為什么動(dòng)力臂越長(zhǎng)就越省力？你知道了嗎？反比例函數(shù)在電學(xué)上，用電器的輸出功率P（瓦）.兩端的電壓U（伏）及用電器的電阻R（歐姆）有如下的關(guān)系：PR=U2思考：1.上述關(guān)系式可寫(xiě)成P＝＿＿＿＿＿2.上述關(guān)系式可寫(xiě)成R=___________例3：一個(gè)用電器的電阻是可調(diào)節(jié)的,其范圍為110～220Ω.已知電壓為220V,這個(gè)用電器的電路圖如圖.U(1)輸出功率P與電阻R有怎樣的函數(shù)關(guān)系?(2)用電器輸出功率的范圍多大?解:(1)根據(jù)電學(xué)知識(shí),當(dāng)U=220V時(shí),有即輸出功率P是電阻R的反比例函數(shù).解：從①式可以看出,電阻越大則功率越小.把電阻的最大值R=220Ω代入①式,則得到輸出功率的最小值因此,用電器的輸出功率在220W到440W之間.把電阻的最小值R=110Ω代入①式,得到輸出功率的最大值（W）（W）如圖，某玻璃器皿制造公司要制造一種容積為1升(1升＝1立方分米)的圓錐形漏斗．(1)漏斗口的面積S（cm2）與漏斗的深d（cm2）有怎樣的函數(shù)關(guān)系?(2)如果漏斗口的面積為100cm2，則漏斗的深為多少?實(shí)際問(wèn)題反比例函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決結(jié)合上例，想一想為什么收音機(jī)、臺(tái)燈的亮度以及電風(fēng)扇的轉(zhuǎn)速可以調(diào)節(jié)？收音機(jī)的音量、臺(tái)燈的亮度以及電風(fēng)扇的轉(zhuǎn)速是由用電器的輸出功率決定的，通過(guò)調(diào)整輸出功率的大小，就能調(diào)節(jié)收音機(jī)的音量、臺(tái)燈的亮度以及電風(fēng)扇的轉(zhuǎn)速。某廠從2014年起開(kāi)始投入技術(shù)改進(jìn)資金，經(jīng)技術(shù)改進(jìn)后其產(chǎn)品成本不斷降低，具體數(shù)據(jù)如下表：年度2014201520162017投入技改資金x(萬(wàn)元)2.5344.5產(chǎn)品的成本y(萬(wàn)元/件)7.264.54⑴認(rèn)真分析表格中的數(shù)據(jù)，確定這兩組數(shù)據(jù)之間的函數(shù)關(guān)系，

求出解析式。⑵按照這種規(guī)律，若2018年投入技改資金為5萬(wàn)元，預(yù)計(jì)生產(chǎn)成本每件比2017年降低多少萬(wàn)元？

某商場(chǎng)出售一批進(jìn)價(jià)為2元的賀卡，在市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)中發(fā)現(xiàn)賀卡的日銷(xiāo)售單價(jià)x元與日銷(xiāo)售量y之間有如下關(guān)系：（1）猜測(cè)并確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.（2）設(shè)經(jīng)營(yíng)此賀卡的日銷(xiāo)售利潤(rùn)為w元，試求出w與x之間的函數(shù)關(guān)系式？x（元）3456

y（個(gè)）20151210第二十七章相似27.1圖形的相似1.了解相似圖形和相似比的概念3.會(huì)根據(jù)條件判斷兩個(gè)多邊形是否相似(難點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)2.能根據(jù)多邊形相似進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算（重點(diǎn)）形狀、大小都相同的圖形稱為全等圖形。全等圖形：?jiǎn)栴}1下面圖片有什么特點(diǎn)？有什么關(guān)系？問(wèn)題2

多啦A夢(mèng)的2寸照片和4寸照片，它的形狀改變了嗎？大小呢？相似圖形一你從上述幾組圖片發(fā)現(xiàn)了什么？它們的形狀相同,大小不一定相等.相似圖形的概念：形狀相同的圖形叫做相似圖形.

（2）全等圖形是相似圖形的特殊情況.注意：（1）相似圖形的大小不一定相同.圖形的放大相似圖形的關(guān)系二探究歸納

兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作由另一個(gè)圖形放大或縮小得到.圖形的縮小兩個(gè)圖形相似圖形的縮小歸納你看到過(guò)哈哈鏡嗎？哈哈鏡中的形象與你本人相似嗎？(A)(B)(C)觀察與思考

放大鏡下的圖形和原來(lái)的圖形相似嗎？放大鏡下的角與原圖形中角是什么關(guān)系?練一練相似多邊形與相似比三A1B1C1D1E1F1ABCDEF問(wèn)題1：在這兩個(gè)多邊形中，是否有對(duì)應(yīng)相等的內(nèi)角？問(wèn)題2：在這兩個(gè)多邊形中，夾相等內(nèi)角的兩邊是否成比例？多邊形ABCDEF是顯示在電腦屏幕上的,而多邊形A1B1C1D1E1F1是投射到銀幕上的.合作探究符號(hào)語(yǔ)言（以四邊形為例）：∵四邊形ABCD∽四邊形A′B′C′D′,（相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等）

對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們長(zhǎng)度的比）與另兩條線段的比相等，如（即ad=bc）我們就說(shuō)這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．

3、兩個(gè)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比也叫做這兩個(gè)多邊形的相似比.形成認(rèn)識(shí)：2.相似多邊形的特征：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.任意兩個(gè)等邊三角形相似嗎？任意兩個(gè)正方形呢？任意兩個(gè)正n邊形呢？a1a2a3an…分析：已知等邊三角形的每個(gè)角都為60°,三邊都相等.所以滿足邊數(shù)相等，對(duì)應(yīng)角相等以及對(duì)應(yīng)邊的比相等.議一議…同理，任意兩個(gè)正方形都相似.歸納：任意兩個(gè)邊數(shù)相等的正多邊形都相似.a1a2a3an問(wèn)題：任意的兩個(gè)菱形（或矩形）是否相似？為什么？例1.如圖，四邊形ABCD和EFGH相似，求角α，β的大小和EH的長(zhǎng)度x.21cm24cmGEFHαx118°DABC18cm78°83°β在四邊形ABCD中，∠β＝360°－（78°＋83°＋118°）＝81°.∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°.解：四邊形ABCD和EFGH相似，它們的對(duì)應(yīng)角相等．由此可得典例精析

四邊形ABCD和EFGH相似，它們的對(duì)應(yīng)邊的比相等．由此可得解得x＝28cm.2.若△ABC與△A′B′C′相似，且AB：A′B′=1:2，

則△ABC與△A′B′C′的相似比是

，△A′B′C′與△ABC的相似比是

．2練一練1.下列圖形中能夠確定相似的是（）A.兩個(gè)半徑不相等的圓

B.所有的等邊三角形C.所有的等腰三角形

D.所有的正方形E.所有的等腰梯形

F.所有的正六邊形ABDF

1.觀察下面的圖形(a)~(g),其中哪些是與圖形(1)，(2)或（3）相似的？當(dāng)堂練習(xí)

2.如圖的兩個(gè)四邊形是否相似？╯800╰650╯800╮1250α╭36xy圖1353.填空：⑴如圖1是兩個(gè)相似的四邊形，

則x=

，y=

，α=

；⑵如圖2是兩個(gè)相似的矩形，x=

.2.5

1.5

90°22.5

302015x圖2相似圖形——形狀相同的圖形利用相似放大或縮小圖形判斷兩個(gè)圖形是否相似小結(jié)相似多邊形特征識(shí)別對(duì)應(yīng)角相等對(duì)應(yīng)邊成的比相等相似多邊形的特征和識(shí)別：第二十七章相似27.2相似三角形情境引入你能不通過(guò)測(cè)量快速將一根繩子分成兩部分，使得這兩部分的比是2:3？27.2.1相似三角形的判定將向下平移到如圖的位置，直線m,n與的交點(diǎn)分別為，，問(wèn)題2中的結(jié)論還成立嗎？計(jì)算試一試.如果將平移到其他位置呢？abcABCDEF兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。34x7已知兩條直線被三條平行線所截，截得的線段長(zhǎng)度如圖，你能求出x的值嗎?解：由已知條件可得：如圖4-8，直線a∥b∥c

，分別交直線m,n于

A1，A2，A3，B1，B2，B3.過(guò)點(diǎn)A1作直線n的平行線，分別交直線b，c于點(diǎn)C2，C3.圖4-9中有哪些成比例線段？推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.ABCDE∵DE∥AB例1如圖，在△ABC中，E，F(xiàn)分別是AB和AC上的點(diǎn)，且EF∥BC.

（1）如果AE=7,FC=4，那么AF的長(zhǎng)是多少？（2）如果AB=10,AE=6，AF=5，那么FC的長(zhǎng)是多少？ABCEF如何不通過(guò)測(cè)量，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，快速將一根繩子分成兩部分，使這兩部分之比是2:3?ABCEDF相似三角形的相關(guān)概念三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,三條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形,叫做相似三角形(similartrianglec).相似三角形的各對(duì)應(yīng)角相等,各對(duì)應(yīng)邊成比例.相似比等于1的兩個(gè)三角形全等.注意：要把表示對(duì)應(yīng)角頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上.反之,寫(xiě)在對(duì)應(yīng)位置上的字母就是對(duì)應(yīng)角的頂點(diǎn)！由于相似三角形與其位置無(wú)關(guān),因此,能否弄清對(duì)應(yīng)是正確解答的前提和關(guān)鍵.判定三角形相似的方法判定兩個(gè)三角形相似的方法:兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似.類比三角形全等的判定方法:邊角邊(SAS)；角邊角(ASA)；角角邊(AAS)；邊邊邊(SSS)；斜邊直角邊(HL).你還能得出判定三角形相似的其他方法嗎?相似與全等類比—新化舊由角邊角(ASA)、角角邊(AAS)可知,有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；由邊邊邊(SSS)可知:有三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似；由邊角邊(SAS)可猜想:兩邊對(duì)應(yīng)成比例,且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似；由斜邊直角邊(HL)可猜想:斜邊直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似.我們已經(jīng)把前兩個(gè)猜想變?yōu)楝F(xiàn)實(shí),剩余的還有問(wèn)題嗎？問(wèn)題三:如果△ABC與△A′B′C′有一個(gè)角相等,且兩邊對(duì)應(yīng)成比例,那么它們一定相似嗎?(1)如果這個(gè)角是這兩邊的夾角,那么它們一定相似嗎?我們一起來(lái)動(dòng)手:畫(huà)△ABC與△A′B′C′使∠A=∠A′,設(shè)法比較∠B與∠B′的大小,∠C與∠C′的大小.△ABC與△A′B′C′相似嗎?說(shuō)說(shuō)你的理由.改變k值的大小(如1∶3),再試一試.通過(guò)上面的活動(dòng),你猜出了什么結(jié)論?判定三角形相似的方法兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似.如圖,在△ABC與△A′B′C′中,如果那么△ABC∽△A′B′C′.(兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似)CBAA′B′C′這又是一個(gè)用來(lái)判定兩個(gè)三角形相似的方法,但使用頻率不是很高,務(wù)必引起重視.且∠A=∠A′,圖中的△ABC∽△A′B′C′,你還能用其他方法來(lái)說(shuō)明其正確性嗎?且∠A=∠A′=45o,∴△ABC∽△A′B′C′(兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似).CBAA′B′C′解法2:如圖,設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,由勾股定理可得:問(wèn)題四:在Rt△ABC與Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=900,如果有一直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)成比例,那么它們一定相似嗎?我們一起來(lái)動(dòng)手:畫(huà)△ABC與△A′B′C′,使設(shè)法比較∠B與∠B′的大小,∠A與∠A′的大小.Rt△ABC與Rt△A′B′C′相似嗎?說(shuō)說(shuō)你的理由.改變k值的大小(如1∶3),再試一試.通過(guò)上面的活動(dòng),你猜出了什么結(jié)論?斜邊直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似.如圖,在Rt△ABC與Rt△A′B′C′中,如果那么△ABC∽△A′B′C′(斜邊直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似).CBAA′B′C′這是一個(gè)用來(lái)判定兩個(gè)直角三角形相似的方法,務(wù)必引起重視.我們重新來(lái)看問(wèn)題三:如果△ABC與△DEF有一個(gè)角相等,且兩邊對(duì)應(yīng)成比例,那么它們一定相似嗎?(2)如果這個(gè)角是這兩邊中一條邊的對(duì)角,那么它們一定相似嗎?小明和小穎分別畫(huà)出了下面的△ABC與△DEF:ABC5003.2cm4cm2cmDFE5001.6cm通過(guò)上面的活動(dòng),你猜出了什么結(jié)論?兩邊對(duì)應(yīng)成比例,且其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定相似.判定三角形相似的常用方法:兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似.兩邊對(duì)應(yīng)成比例,且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似.斜邊直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似.相似三角形的各對(duì)應(yīng)角相等,各對(duì)應(yīng)邊成比例.相似三角形對(duì)應(yīng)高的比,對(duì)應(yīng)角平分線的比,對(duì)應(yīng)中線的比,對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)的比都等于相似比.如圖:在△ABC和△DEF中，如果∠A=∠D,∠B=∠E,那么△ABC∽△DEF.ABCDEF那么△ABC∽△DEF.且∠A=∠D，那么△ABC∽△DEF.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),你有什么收獲和體會(huì)？你還有什么困惑？

?本課

小

結(jié)27.2.2相似三角形的性質(zhì)一、新課引入

思考：三角形中各種各樣的幾何量，例如三條邊的長(zhǎng)度，三個(gè)內(nèi)角的大小，高、中線、角平分線的長(zhǎng)度以及周長(zhǎng)、面積等，如果兩個(gè)三角形相似，那么它們的這些幾何量之間又有什么關(guān)系呢？1理解并初步掌握相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方能用三角形的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題23二、學(xué)習(xí)目標(biāo)

相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段的比都等于相似比三、探究新知

知識(shí)點(diǎn)一

相似三角形的周長(zhǎng)比1、如圖，△ABC∽△A′B′C′，探究下列問(wèn)題:(1)△ABC與△A′B′C′的對(duì)應(yīng)邊有什么關(guān)系？(2)若,則的比值是否等于,為什么？解:∵△ABC∽△A′B′C′,且相似比為,∴，

∴，

∴三、探究新知?dú)w納相似三角形的周長(zhǎng)的比等于______.用類似的方法，還可以得出：相似多邊形的周長(zhǎng)的比等于_______。練一練1、如果把一個(gè)三角形各邊同時(shí)擴(kuò)大為原來(lái)的5倍，那么它的周長(zhǎng)也擴(kuò)大為原來(lái)的____倍。相似比相似比5三、探究新知

2、如圖，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊AB、AC上的點(diǎn)，且DE∥BC，BD＝2AD，那么△ADE的周長(zhǎng)︰△ABC的周長(zhǎng)＝_______.1︰3三、探究新知

知識(shí)點(diǎn)二相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、面積的比1、已知，如圖，△ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分別是△ABC與△A′B′C′的高.（1）相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比與相似比有什么關(guān)系?寫(xiě)出推導(dǎo)過(guò)程.相等三、探究新知

解:(1)∵△ABC∽△A′B′C′，∴，∠B=∠B′.又∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，∴∠ADB=∠A′D′B′=90°，∴△ABD∽△A′B′D′，∴.結(jié)論:相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于_____.相似比

（2）相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線，對(duì)應(yīng)角的平分線的比值與相似比有什么關(guān)系？結(jié)論:

相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線，對(duì)應(yīng)角的平分線的比等于______.(3)若=，則的比值與有什么關(guān)系？結(jié)論:

相似三角形的面積的比等于___________.相等相似比相似比的平方用類似的方法，可以把兩個(gè)相似多邊形分成若干對(duì)相似三角形，因此可以得出：相似多邊形的面積的比等于___________.2、如圖，在ΔABC和ΔDEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，ΔABC的周長(zhǎng)是24，面積是12，求ΔDEF的周長(zhǎng)和面積.相似比的平方EFDABC解：∵AB=2DE，AC=2DF，∴.∵∠A=∠D，∴ΔABC∽ΔDEF.設(shè)ΔDEF的周長(zhǎng)為x，面積為y.又∵ΔABC的周長(zhǎng)是24，面積是12，∴，，∴x=12，y=3，∴ΔDEF的周長(zhǎng)是12，面積是3.EFDABC1、兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)高的長(zhǎng)分別是6cm和18cm，若較大三角形的周長(zhǎng)是42cm，面積是12cm2，則較小三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)___cm，面積為_(kāi)___cm2.2、在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面積分別為4和9，求△ABC的面積.14F解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴∠AED=∠C，∠A=∠CEF，∴△ADE∽△EFC.而S△ADE=4，S△EFC=9，∴，，∴，∴S△ABC=.F四、歸納小結(jié)

1、相似三角形周長(zhǎng)、對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線的比等于______.2、相似三角形的面積的比等于_

________。3、學(xué)習(xí)反思：____________________。

相似比相似比的平方五、強(qiáng)化訓(xùn)練1、連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段把三角形截成的一個(gè)小三角形與原三角形的周長(zhǎng)比等于____，面積比等于____.2、如果兩個(gè)相似三角形面積的比為3∶5，那么它們的相似比為_(kāi)______，周長(zhǎng)的比為_(kāi)_______.

3、在一張復(fù)印出來(lái)的紙上,一個(gè)多邊形的一條邊由原圖中的2cm變成了6cm，這次復(fù)印的放縮比例是多少？這個(gè)多邊形的面積發(fā)生了怎樣的變化？解：∵比例是6∶2=3∶1，∴這次復(fù)印的放縮比例是300%.又∵面積比是9∶1，∴這個(gè)多邊形的面積擴(kuò)大到原來(lái)的9倍.

4、如圖，在正方形網(wǎng)格上有△A1B1C1和△A2B2C2，這兩個(gè)三角形相似嗎？如果相似，求出△A1B1C1和△A2B2C2的面積比.解：相似（△A1B1C1∽△A2B2C2）∵，

∴.教學(xué)目標(biāo)1.會(huì)應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)和判定解決實(shí)際問(wèn)題．2.利用相似三角形解決實(shí)際問(wèn)題中不能直接測(cè)量的物體的長(zhǎng)度的問(wèn)題，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想.重點(diǎn)：運(yùn)用相似三角形解決實(shí)際問(wèn)題.難點(diǎn)：在實(shí)際問(wèn)題中建立數(shù)學(xué)模型.27.2.3相似三角形應(yīng)用舉例新課引入

如圖，A，B兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端，小張想測(cè)量出A，B間的距離，但由于受條件限制無(wú)法直接測(cè)量，你能幫他想出一個(gè)可行的測(cè)量辦法嗎？測(cè)量辦法：在池塘外取一點(diǎn)C，使它可以直接看到A，B兩點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)AC，BC，在AC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D，在BC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使（k為正整數(shù)）.測(cè)量出DE的長(zhǎng)度.然后根據(jù)相似三角形的有關(guān)知識(shí)求出A，B兩點(diǎn)間的距離.CDE如果，且測(cè)得DE的長(zhǎng)為50m，則A，B兩點(diǎn)間的距離為多少？∵

，∠ACB=∠DCE，∴

△ABC∽△DEC．∴．∵

DE=50m，∴

AB=2DE=100m.CDE例題探究OABA′B′在用步槍瞄準(zhǔn)靶心時(shí)，要使眼睛（O）、準(zhǔn)星（A）、靶心點(diǎn)（B）在同一條直線上.在射擊時(shí)，李明由于有輕微的抖動(dòng)，致使準(zhǔn)星A偏離到A′，如圖.已知OA=0.2m，OB=50m，AA′=0.0005m，求李明射擊到的點(diǎn)B′偏離靶心點(diǎn)B的長(zhǎng)度BB′（近似地認(rèn)為AA′∥BB′）.解：∵

AA′∥BB′，∴

△OAA′∽△OBB′．∴

．∵OA=0.2m，OB=50m，AA′=0.0005m，∴BB′=0.125m.答：李明射擊到的點(diǎn)B′偏離靶心點(diǎn)B的長(zhǎng)度BB′為0.125m.課堂練習(xí)1.如圖，某路口欄桿的短臂長(zhǎng)為1m，長(zhǎng)臂長(zhǎng)為6m.當(dāng)短臂端點(diǎn)下降0.5m時(shí)，長(zhǎng)臂端點(diǎn)升高多少米？ABOCD2.如圖，小紅同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測(cè)量樹(shù)的高度AB，她調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上．已知紙板的兩條直角邊DE=80cm，EF=40cm，測(cè)得AC=1.5m，CD=8m，求樹(shù)高AB．課堂小結(jié)相似三角形的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面：

測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的距離,常構(gòu)造相似三角形求解.1.測(cè)高（不能直接使用皮尺或刻度尺量的）2.測(cè)距（不能直接測(cè)量的兩點(diǎn)間的距離）

測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例”的原理解決.第二十七章相似27.3位似教學(xué)目標(biāo)1.理解位似圖形在坐標(biāo)系中的作圖方法及坐標(biāo)規(guī)律.2.能按要求作出簡(jiǎn)單的平面圖形運(yùn)動(dòng)后的圖形以及對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)變化.重點(diǎn)：位似圖形在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)規(guī)律.難點(diǎn)：位似圖形的準(zhǔn)確作圖，動(dòng)手實(shí)踐能力的落實(shí).新課引入下圖是運(yùn)用幻燈機(jī)（點(diǎn)Ｏ表示光源）把幻燈片上的一只小狗放映到屏幕上的示意圖，這兩個(gè)圖形之間有什么關(guān)系？o這兩個(gè)圖形的形狀相同，但大小不同，它們是相似圖形.

分別在左、右兩個(gè)小狗的頭頂上取一點(diǎn)A,A′;再分別在狗尾巴尖上取一點(diǎn)B,B′.oB′BA′A發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A,A′與點(diǎn)O在一條直線上.點(diǎn)B,B′與點(diǎn)O在一條直線上.分別量出線段OA，OA′,OB，OB′的長(zhǎng)度，計(jì)算(精確到0.1)：

繼續(xù)在左、右兩只小狗上找出一些對(duì)應(yīng)點(diǎn)，考察每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)是否都與點(diǎn)Ｏ在一條直線上；

計(jì)算每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)O所連的線段比，看它們是否與上述，相等.

一般地，取定一個(gè)點(diǎn)O，如果一個(gè)圖形G上每一個(gè)點(diǎn)P對(duì)應(yīng)于另一個(gè)圖形G′上的點(diǎn)P′，且滿足：（1）直線PP′經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)O，（2），其中k是非零常數(shù)，當(dāng)k>0時(shí)，點(diǎn)P′在射線OP上，當(dāng)k<0時(shí)，點(diǎn)P′在射線OP的反向延長(zhǎng)線上.

那么稱圖形G與圖形G′是位似圖形．這個(gè)點(diǎn)Ｏ叫作位似中心，常數(shù)ｋ叫作位似比.如圖連接AB，A′B′，可以得到下圖，則AB∥A′B′嗎？oBAB′A′∵

，

∠AOB=∠A′OB′，∴

△OAB∽△OA′B′.∴

∠OAB=∠OA′B′.∴AB∥A′B′.如何證明利用位似可以把一個(gè)圖形進(jìn)行放大或縮小.

兩個(gè)圖形位似，則這兩個(gè)圖形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行（或在同一條直線上）.ABA′C′B′CO例1利用位似把△ABC縮小為原來(lái)的一半.1、在三角形外選一點(diǎn)O；2、過(guò)點(diǎn)O分別作射線OA、OB、OC；3、在OA、OB、OC上分別選取A′、B′、C′，使OA′/OA=1/2、OB′/OB=1/2、OC′/OC=1/2；步驟：4、順次連結(jié)A′、B′、C′，所得圖形就是所求作的圖形.OABCA’B’C’BA’C’B’CO利用位似把△ABC縮小為原來(lái)的一半.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△AOB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（2，4），

O（0，0），

B（6，0）.將各個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別縮小為原來(lái)的1/2，所得到的圖形與原圖形是位似圖形嗎？將各頂點(diǎn)的坐標(biāo)都乘1/2，依次得點(diǎn)A′（1，2），O（0，0），B′（3，0），依次連接點(diǎn)A′，O，B′，得△A′OB′，如圖.A′B′將各個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，所得到的圖形與原圖形是位似圖形嗎？將各頂點(diǎn)的坐標(biāo)都乘2，依次得點(diǎn)A″（4，8），O（0，0），B″（12，0），依次連接點(diǎn)A″，O，B″，得到△A″OB″，如圖.

數(shù)學(xué)上可以證明，一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)，所得到的圖形與原圖形是以坐標(biāo)原點(diǎn)為位似中心的位似圖形.

在平面直角坐標(biāo)系中，如果以坐標(biāo)原點(diǎn)為位似中心，位似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k.xyo例2在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),畫(huà)出它的一個(gè)以原點(diǎn)O為位似中心,相似比為1/2的位似圖形.A′(-3,3),B′(-4,1),C′(-2,0),D′(-1,2)BACDA′B′C′D′課堂練習(xí)ODABCA'B'C'D'ODABC1.把四邊形

ABCD縮小為原來(lái)的?.課堂小結(jié)位似圖形的概念：

如果兩個(gè)圖形不僅形狀相同,而且每組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn),那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形,這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心,這時(shí)的相似比又稱為位似比.位似圖形的性質(zhì)：位似圖形上的任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比.第二十八章銳角三角函數(shù)28.1銳角三角函數(shù)

直角三角形ABC可以簡(jiǎn)記為Rt△ABC，你能說(shuō)出各條邊的名稱嗎？┓C斜邊c鄰邊對(duì)邊abC┓AB

某商場(chǎng)有一自動(dòng)扶梯，其傾斜角為30°，高為7m，扶梯的長(zhǎng)度是多少?BAC┓30°7m實(shí)際問(wèn)題

在上面的問(wèn)題中，如果高為10m，扶梯的長(zhǎng)度是多少？

已知等腰直角三角形ABC，∠C=90°，計(jì)算∠A的對(duì)邊與斜邊的比，你能得出什么結(jié)論？ABC┓在Rt△ABC中,∠C＝90°．當(dāng)∠A＝30°時(shí),當(dāng)∠A＝45°時(shí),固定值固定值

在直角三角形中，對(duì)于銳角A的每一個(gè)確定的值，其對(duì)邊與斜邊的比值也是唯一確定的嗎？想一想所以＝＝Rt△AB1C1∽R(shí)t△AB2C2∽R(shí)t△AB3C3

所以，在直角三角形中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí)，不論三角形的大小如何，∠A的對(duì)邊與斜邊的比是一個(gè)固定值．

觀察右圖中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，∠A的對(duì)邊與斜邊有什么關(guān)系？

在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦（sine），記作sinA，即一個(gè)角的正弦表示定值、比值、正值．知識(shí)要點(diǎn)正弦

在直角三角形中，

對(duì)于銳角A的每一個(gè)確定的值，其鄰邊與斜邊、對(duì)邊與鄰邊的比值也是唯一確定的嗎？想一想

在直角三角形中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí)，不管三角形的大小如何，∠A的對(duì)邊與斜邊的比，∠A的鄰邊與斜邊的比，∠A的對(duì)邊與鄰邊的比都是一個(gè)固定值．歸納

在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦（cosine），記作cosA，即一個(gè)角的余弦表示定值、比值、正值．知識(shí)要點(diǎn)余弦

在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切（tangent），記作tanA，即一個(gè)角的正切表示定值、比值、正值．知識(shí)要點(diǎn)正切

銳角三角函數(shù)銳角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的銳角三角函數(shù)（trigonometricfunctionofacuteangle）知識(shí)要點(diǎn)

1．sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定義的，∠A是銳角(注意數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造直角三角形)．

2．sinA、cosA、tanA是一個(gè)比值（數(shù)值）．

3．sinA、cosA、tanA的大小只與∠A的大小有關(guān)，而與直角三角形的邊長(zhǎng)無(wú)關(guān)．提示1、如圖1，在Rt△MNP中，∠N＝90゜.

∠P的對(duì)邊是_________,∠P的鄰邊是___________;

∠M的對(duì)邊是________,∠M的鄰邊是___________.2、設(shè)Rt△ABC，∠C＝90゜，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，根據(jù)下列所給條件求∠B的三個(gè)三角函數(shù)值.

a=5，c=13.小練習(xí)在直角三角形中共有五個(gè)元素：邊a,b,c,銳角∠A,∠B.這五個(gè)元素之間有如下等量關(guān)系：ABCcab(1)三邊之間關(guān)系：a2+b2=c2(勾股定理)

(2)銳角之間關(guān)系：∠A+∠B=90°(3)邊角之間關(guān)系：課堂小結(jié)第二十八章銳角三角函數(shù)28.2解直角三角形及其應(yīng)用28.2.1解直角三角形導(dǎo)入新課復(fù)習(xí)引入ACBcba(1)三邊之間的關(guān)系:a2+b2=_____；(2)銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=_____；(3)邊角之間的關(guān)系：sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____.

問(wèn)題

如圖，在Rt△ABC中，共有六個(gè)元素（三條邊，三個(gè)角），其中∠C=90°，那么其余五個(gè)元素之間有怎樣的關(guān)系呢？c290°講授新課已知兩邊解直角三角形一如圖，在Rt△ABC中，（1）根據(jù)∠A＝75°，斜邊AB＝6，你能求出這個(gè)直角三角形的其他元素嗎？ABCα6=75°互動(dòng)探究如圖，在Rt△ABC中，（2）根據(jù)AC＝2.4，斜邊AB＝6，你能求出這個(gè)直角三角形的其他元素嗎？ABCα62.4在直角三角形中，除直角外有5個(gè)元素（即3條邊、2個(gè)銳角），只要知道其中的2個(gè)元素（至少有1個(gè)是邊），就可以求出其余的3個(gè)未知元素.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過(guò)程，叫作解直角三角形.已知一邊及一銳角解直角三角形二典例精析例2

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20,解這個(gè)直角三角形(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位).ABCb=20ca35°解：例3

如圖，已知AC=4，求AB和BC的長(zhǎng)．解析：作CD⊥AB于點(diǎn)D，根據(jù)三角函數(shù)的定義，在Rt△ACD，Rt△CDB中，即可求出CD，AD，BD的長(zhǎng)，從而得解．在Rt△CDB中，∵∠DCB=∠ACB-∠ACD=45°，D解：如圖，作CD⊥AB于點(diǎn)D.在Rt△ACD中，∵∠A=30°，∴∠ACD=90°-∠A=60°，∴BD=CD=2，已知一銳角三角函數(shù)值解直角三角形三例4

如圖，在Rt△ABC

中，∠C=90°，cosA=，BC=5，試求AB的長(zhǎng).解：ACB設(shè)∴AB的長(zhǎng)為在解直角三角形中，已知一邊與一銳角三角函數(shù)值，一般可結(jié)合方程思想求解.練一練1.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，則AB=（）A．4B．6C．8D．10D2.如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC于點(diǎn)E，EC=4，sinB＝，則菱形的周長(zhǎng)是（）A．10B．20C．40D．28C圖②當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖②，BC=BD+CD=12+5=17.圖①解：∵cos∠B=，∴∠B=45°.當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖①，∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5，∴BC=BD-CD=12-5=7.∴BC的長(zhǎng)為7或17.當(dāng)三角形的形狀不確定時(shí)，一定要注意分類討論.例5

在△ABC中，AB=，AC=13，cos∠B=，求BC的長(zhǎng).當(dāng)堂練習(xí)2.如圖，在Rt△ABC中，斜邊BC上的高AD=3，cosB=，則AC的長(zhǎng)為（）A．3B．3.75C．4.8D．5B1.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，則BC的長(zhǎng)是（）

D3.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6，∠BAC的平分線，解這個(gè)直角三角形.DABC6解：因?yàn)锳D平分∠BAC，4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根據(jù)下列條件解直角三角形.（1）a=30,b=20；解：根據(jù)勾股定理得ABCb=20a=30c在Rt△ABC中，∠C＝90°，根據(jù)下列條件解直角三角形.

(2)∠B＝72°，c=14.ABCbac=14解：5.如圖，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC.DABC解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D.在△ACD中，∠C=45°，AC=2，∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°=.在△ABD中，∠B=30°，∴BD=∴BC=CD+BD=解直角三角形依據(jù)解法:只要知道五個(gè)元素中的兩個(gè)元素（至少有一個(gè)是邊），就可以求出余下的三個(gè)未知元素勾股定理兩銳角互余銳角的三角函數(shù)課堂小結(jié)28.2.2應(yīng)用舉例——什么是仰角、俯角？如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題？——什么是坡度、坡比？——如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題？

在進(jìn)行測(cè)量時(shí)，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角.

在修路、挖河、開(kāi)渠和筑壩時(shí)，設(shè)計(jì)圖紙上都要注明斜坡的傾斜程度．如圖，坡面的鉛直高度(h)和水平長(zhǎng)度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，記作i，即

.

坡度通常寫(xiě)成1:m的形式，如

i＝1:6．坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，有

顯然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．＝

tanα．

1、學(xué)生探究：在RtΔABC中，若∠C=90°，問(wèn)題1：兩銳角∠A、∠B有什么關(guān)系？問(wèn)題2：三邊a、b、c的關(guān)系如何？問(wèn)題3：∠A與邊的關(guān)系是什么？2、數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)運(yùn)用解直角三角形有下面兩種情況：（1）已知兩條邊求直角三角形中的其他元素；（2）已知一邊及一角求直角三角形中的其他元素.例1如圖，一棵大樹(shù)在一次強(qiáng)烈的地震中于離地面5米處折斷倒下，樹(shù)頂落在離樹(shù)根12米處，大樹(shù)在折斷之前高多少？解：利用勾股定理可以求出折斷后倒下部分的長(zhǎng)度為13+5=18（米）答：大樹(shù)在折斷之前高為18米.5m12m例2如圖，在相距2000米的東、西兩座炮臺(tái)A、B處同時(shí)發(fā)現(xiàn)入侵?jǐn)撑濩，炮臺(tái)A測(cè)得敵艦C在它的南偏東400的方向，炮臺(tái)B測(cè)得敵艦C在它的正南方，試求敵艦與兩炮臺(tái)的距離.（精確到1米）ADCB4002000例3如圖，為了測(cè)量旗桿的高度BC，在離旗桿底部10米的A處，用高1.50米的測(cè)角儀DA測(cè)得旗桿頂端C的仰角α=52°.求旗桿BC的高.

解：在Rt△CDE中，CE=DE×tanα=AB×tanα=10×tan52°≈12.80.BC=BE+CE=DA+CE≈1.50+12.80=14.3.答：旗桿BC的高度約為14.3米.1.(1)如圖，一輛消防車(chē)的梯子長(zhǎng)為18m，與水平面間的夾角為60°，如果這輛消防車(chē)的高度為2m，求梯子可達(dá)到的高度．AC=100m(2)我軍某部在一次野外訓(xùn)練中，有一輛坦克準(zhǔn)備通過(guò)一座小山，已知山腳和山頂?shù)乃骄嚯x為100米，山高為100米，如果這輛坦克能夠爬30°的斜坡，試問(wèn)：它能不能通過(guò)這座小山？AC100米100米B2.（1）某貨船沿正北方向航行，在點(diǎn)A處測(cè)得燈塔C在北偏西30°，船以每小時(shí)20海里的速度航行2小時(shí)，到達(dá)點(diǎn)B后，測(cè)得燈塔C在北偏西60°方向，請(qǐng)問(wèn)當(dāng)這艘貨船到達(dá)C的正東方向時(shí)，船距燈塔C有多遠(yuǎn)？（2）如圖，某電信部門(mén)計(jì)劃修建一條連接B、C兩地的電纜，測(cè)量人員，在山腳A點(diǎn)測(cè)得B、C兩地的仰角分別為30°、45°，在B地測(cè)得C地的仰角為60°．已知C地比A地高200米，電纜BC至少長(zhǎng)多少米？3.(1)植樹(shù)節(jié)，某班同學(xué)決定去坡度為1︰2的山坡上種樹(shù)，要求株距（相鄰兩樹(shù)間的水平距離）是6m，則斜坡上相鄰兩樹(shù)間的坡面距離為

.（2）某人沿著坡角為45°的斜坡走了310m，則此人的垂直高度增加了________m.

小結(jié)解直角三角形有下面兩種情況：(1)已知兩條邊求直角三角形中的其他元素.(2)已知一邊及一角求直角三角形中的其他元素.(3)理解仰角、俯角的概念，能將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題.(4)知道坡度、坡角的概念，能利用解直角三角形的知識(shí)，解決與坡度、坡角有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。第二十九章投影與視圖29.1投影第1課時(shí)平行投影與中心投影1.能結(jié)合具體例子說(shuō)明有關(guān)什么是投影，什么是投影線和投影面等概念學(xué)習(xí)目標(biāo)2.理解平行投影和中心投影的概念(重點(diǎn)、難點(diǎn))3.通過(guò)例子來(lái)解釋說(shuō)明投影的分類觀察下列圖片你發(fā)現(xiàn)了什么共同點(diǎn)？圖片引入投影的概念一觀察與思考思考：你知道物體與影子有什么關(guān)系嗎？投影所在的平面叫做投影面．照射光線叫做投影線投影面投影投影線

一般地，用光線照射物體，在某個(gè)平面（地面、墻壁等）上得到的影子叫做物體的投影.概念歸納把下列物體與它們的投影用線連接起來(lái)：練一練平行投影與中心投影二

有時(shí)光線是一組互相平行的射線，例如探照燈光的一束光中的光線.平行投影由平行光線形成的投影叫做平行投影．

例如，物體在太陽(yáng)光的照射下形成的影子（簡(jiǎn)稱日影）就是平行投影．日影的方向可以反映時(shí)間，我國(guó)古代的計(jì)時(shí)器日晷，就是根據(jù)日影來(lái)觀測(cè)時(shí)間的．例1：某校墻邊有甲、乙兩根木桿.已知乙桿的高度為1.5m.(1)某一時(shí)刻甲木桿在陽(yáng)光下的影子如下圖，你能畫(huà)出此時(shí)乙木桿的影子嗎？（甲）（乙）ADD'BEE'(2)當(dāng)乙木桿移動(dòng)到什么位置時(shí)，其影子剛好不落在墻上？（甲）（乙）ADD'BEE'(3)在(2)的情況下,如果測(cè)得甲、乙木桿的影子長(zhǎng)分別為1.24m和1m,那么你能求出甲木桿的高度嗎?（甲）（乙）ADD'BEE'解：因?yàn)椤鰽DD'∽△BEE',所以所以甲木桿的高度為1.86m.

皮影戲是利用燈光的照射，把影子的影態(tài)反映在銀幕（投影面）上的表演藝術(shù)．皮影例如：物體在燈泡發(fā)出的光照射下形成影子就是中心投影．

由同一點(diǎn)（點(diǎn)光源）發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影．中心投影請(qǐng)你分別指出下面的例子屬于什么投影？（1）平行投影（2）中心投影（3）平行投影（4）中心投影練一練例2：確定下圖燈泡所在的位置.解：過(guò)一根木桿的頂端及其影子的頂端畫(huà)一條直線，再過(guò)另一根木桿的頂端及其影子的頂端畫(huà)一條直線，兩線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O就是燈泡的位置.O平行投影和中心投影小組討論：如圖，平行投影和中心投影有什么區(qū)別和聯(lián)系呢?區(qū)別聯(lián)系平行投影投影線互相平行，形成平行投影都是物體在光線的照射下，在某個(gè)平面內(nèi)形成的影子.（即都是投影）中心投影

投影線集中于一點(diǎn)，形成中心投影

DB當(dāng)堂練習(xí)2.小玲和小芳兩人身高相同，兩人站在燈光下的不同位置，已知小玲的影子比小芳的影子長(zhǎng)，則可以判斷小芳離燈光較______.（填“遠(yuǎn)”或“近”）.3.將一個(gè)三角形放在太陽(yáng)光下，它所形成的投影的形狀是_______________．近三角形或線段1.下圖中物體的影子，不正確的是()

ABCD5.小亮在上午8時(shí)、9時(shí)30分、10時(shí)、12時(shí)四次到室外的陽(yáng)光下觀察廣場(chǎng)的旗桿隨太陽(yáng)轉(zhuǎn)動(dòng)的情況，無(wú)意之中，他發(fā)現(xiàn)這四個(gè)時(shí)刻廣場(chǎng)的旗桿在地面上的影子的長(zhǎng)度各不相同，那么影子最長(zhǎng)的時(shí)刻為（）

A.上午12時(shí)

B.上午10時(shí)

C.上午9時(shí)30分

D.上午8時(shí)

D4.晚上，人在馬路上走過(guò)一盞路燈的過(guò)程中，其影子長(zhǎng)度的變化情況是()A．先變短后變長(zhǎng)

B．先變長(zhǎng)后變短C．逐漸變短

D．逐漸變長(zhǎng)A6.小華在不同時(shí)間于天安門(mén)前拍了幾幅照片，下面哪幅照片是小華在下午拍攝的？（天安門(mén)是坐北向南的建筑.）7.確定圖中路燈燈泡的位置，并畫(huà)出小趙在燈光下的影子．√平行投影與中心投影投影的概念課堂小結(jié)平行投影與中心投影投影作圖第2課時(shí)正投影1.掌握線段、平面圖形的正投影規(guī)律學(xué)習(xí)目標(biāo)2.以正方體為例，掌握其與投影面的兩種不同位置下形成的正投影的形狀和大小3.掌握幾種基本幾何體的正投影(重點(diǎn)、難點(diǎn))1．物體的影子在正北方，則太陽(yáng)在物體的()A．正北B．正南C．正西D．正東2．太陽(yáng)發(fā)出的光照在物體上是______，車(chē)燈發(fā)出的光照在物體上是______．（）A.中心投影，平行投影B.平行投影，中心投影C.平行投影，平行投影D.中心投影，中心投影BB復(fù)習(xí)引入正投影的概念及性質(zhì)一(1)(2)(3)圖中表示一塊三角尺在光線照射下形成投影，其中圖（1）與圖（2）（3）的投影線有什么區(qū)別？圖（2）（3）的投影線與投影面的位置關(guān)系有什么區(qū)別？中心投影平行投影平行投影觀察與思考圖（3）中投影線垂直照射投影面（即投影線正對(duì)著投影面），我們也稱這種情形為投影線垂直于投影面．圖（2）中，投影線斜著照射投影面；(1)(2)(3)像圖（3）這樣，投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影．如圖，把一根直的細(xì)鐵絲（記為線段AB）放在三個(gè)不同位置；pABA1B1ABABA3(B3)B2A2三種情形下鐵絲的正投影各是什么形狀？（1）鐵絲平行于投影面；（2）鐵絲傾斜于投影面；（3）鐵絲垂直于投影面（鐵絲不一定要與投影面有交點(diǎn)）．合作探究（1）當(dāng)線段AB平行于投影面α?xí)r，它的正投影是線段A1B1，線段與它的投影的大小關(guān)系為AB_____A1B1；（2）當(dāng)線段AB傾斜于投影面α?xí)r，它的正投影是線段A2B2，線段與它的投影的大小關(guān)系為AB______A2B2；（3）當(dāng)線段AB垂直于投影面α?xí)r，它的正投影是一個(gè)________．通過(guò)觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)：=>點(diǎn)A3(B3)

αABA1B1ABABA3(B3)B2A2結(jié)論如圖，把一塊正方形硬紙板P（記為正方形ABCD）放在三個(gè)不同位置：（1）紙板平行于投影面；（2）紙板傾斜于投影面；（3）紙板垂直于投影面．三種情形下紙板的正投影各是什么形狀？觀察與思考ABCDA'B'C'D'ABCDA'B'C'D'ABCDA'(B')D'(C')q（3）當(dāng)