勾股定理知識點(diǎn)總結(jié)及練習(xí)ok

勾股定理知識總結(jié)一．基礎(chǔ)知識點(diǎn)：1：勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊222c的平方。（即：a+b＝c）要點(diǎn)詮釋：勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（在ABC中，C90，則ca2b2，bc2a2，ac2b2）2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊3）利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問題2：勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長：a、b、c，則有關(guān)系a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。要點(diǎn)詮釋：勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)應(yīng)注意：（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最長邊長為：c；222是否具有相等關(guān)系，若222（2）驗(yàn)證c與a+bc＝a+b，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形222222（若c>a+b，則△ABC是以∠C為鈍角的鈍角三角形；若c<a+b，則△ABC為銳角三角形）。（定理中a，b，c及a2b2c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長a，b，c滿足a2c2b2，那么以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊）3：勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān)。4：互逆命題的概念如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。規(guī)律方法指導(dǎo)1．勾股定理的證明實(shí)際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化證明的。2．勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關(guān)系的題目。3．勾股定理在應(yīng)用時(shí)一定要注意弄清誰是斜邊誰直角邊，這是這個(gè)知識在應(yīng)用過程中易犯的主要錯(cuò)誤。4.勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長222a，b，c有下列關(guān)系：a+b＝c，?那么這個(gè)三角形是直角三角形；該逆定理給出判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的判定方法．5.?應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形的過程主要是進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，通過學(xué)習(xí)加深對“數(shù)形結(jié)合”的理解．我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題叫做互逆命題。 如果把其中一個(gè)叫做原命題， 那么另一個(gè)叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）5：勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是①圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改變②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下：方法一：4SS正方形EFGHS正方形ABCD，41ab(ba)2c2，化簡可證．2方法二：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為S41ab22c2abc2大正方形面積為S(ab)2a22abb2所以a2b2c2方法三：S梯形1(ab)(ab)，S梯形2SADESABE21ab1c2，化簡222得證

DCHGFb aA c BbaaccbbccaabDCHEGFbaAcBAaDcbcEaBbC6：勾股數(shù)①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a2b2c2中，a，b，c為正整數(shù)時(shí)，稱a，b，c為一組勾股數(shù)②記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；C7,24,25等③用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：22nn1,2n,n12,n為正整（nABD數(shù)）；222n2222n,m，n為正整數(shù)）2n1,2n2n,2n1（n為正整數(shù)）mn,2mn,mn（m二、經(jīng)典例題精講題型一：直接考查勾股定理例１.在ABC中，C90．⑴已知AC6，BC8．求AB的長⑵已知AB17，AC15，求BC的長分析：直接應(yīng)用勾股定理a2b2c2解：⑴ABAC2BC210⑵BCAB2AC28題型二：利用勾股定理測量長度例題1如果梯子的底端離建筑物 9米，那么 15米長的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米？解析：這是一道大家熟知的典型的 “知二求一”的題。把實(shí)物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型后， .已知斜邊長和一條直角邊長，求另外一條直角邊的長度，可以直接利用勾股定理！根據(jù)勾股定理2222222所以AC=12.AC+BC=AB,即AC+9=15,所以AC=144,例題C的長是

2 如圖（8），水池中離岸邊 D點(diǎn)0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端

1.5米的C處，直立長著一根蘆葦，出水部分B恰好落到 D點(diǎn)，并求水池的深度 AC.

B解析：同例題

1一樣，先將實(shí)物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖

2. 由題意可知△

ACD中,∠ACD=90°,在

Rt△ACD中，只知道

CD=1.5，這是典型的利用勾股定理

“知二求一”的類型。題型三：勾股定理和逆定理并用——例題3如圖3，正方形ABCD中，E是

BC邊上的中點(diǎn)，

F是

AB上一點(diǎn)，且FB

1AB那么△DEF是直角三角形嗎？為什么？4題型四：利用勾股定理求線段長度——例題4如圖4，已知長方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在邊CD上取一點(diǎn)E，將△ADE折疊使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F，求CE的長.解析：解題之前先弄清楚折疊中的不變量。合理設(shè)元是關(guān)鍵。，注：本題接下來還可以折痕的長度和求重疊部分的面積。題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直——例題5如圖5，王師傅想要檢測桌子的表面AD邊是否垂直與AB邊和CD邊，他測得AD=80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD邊與AB邊垂直嗎？怎樣去驗(yàn)證AD邊與CD邊是否垂直？解析：由于實(shí)物一般比較大，長度不容易用直尺來方便測量。我們通常截取部分長度來驗(yàn)證。如圖4，矩形ABCD表示桌面形狀，在AB上截取AM=12cm,在AD上截取AN=9cm(想想為什么要設(shè)為這兩個(gè)長度？)，連結(jié)MN，測量MN的長度。2 2 2①如果MN=15,則AM+AN=MN,所以AD邊與AB邊垂直；②如果MN=a≠15,則92+122=81+144=225, a2≠225,即92+122≠a2，所以∠A不是直角。利用勾股定理解決實(shí)際問題——例題6有一個(gè)傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高 4.5米的墻上，任何東西只要移至5米以內(nèi)，燈就自動(dòng)打開，一個(gè)身高 1.5米的學(xué)生，要走到離門多遠(yuǎn)的地方燈剛好打開？解析：首先要弄清楚人走過去， 是頭先距離燈 5米還是腳先距離燈 5米，可想而知應(yīng)該是頭先距離燈5米。轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖6所示，A點(diǎn)表示控制燈，BM表示人的高度，BC∥MN,BC⊥AN當(dāng)頭（B點(diǎn)）距離A有5米時(shí)，求BC的長度。已知AN=4.5米,所以AC=3米，由勾股定理，可計(jì)算BC=4米.即使要走到離門4米的時(shí)候燈剛好打開。題型六：旋轉(zhuǎn)問題：例1、如圖，△ABC是直角三角形，BC是斜邊，將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，能與△ACP′重合，若AP=3，求PP′的長。變式1：如圖，P是等邊三角形 ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=2,PB=2 3,PC=4,求△ABC的邊長.分析：利用旋轉(zhuǎn)變換，將△ BPA繞點(diǎn)B逆時(shí)針選擇60°，將三條線段集中到同一個(gè)三角形中，根據(jù)它們的數(shù)量關(guān)系，由勾股定理可知這是一個(gè)直角三角形 .變式2、如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC上的點(diǎn)，且∠EAF=45°，試探究BE2、CF2、EF2間的關(guān)系，并說明理由.題型七：關(guān)于翻折問題例1、如圖，矩形紙片ABCD的邊AB=10cm，BC=6cm，E為BC上一點(diǎn)，將矩形紙片沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)G處，求BE的長.變式：如圖，AD是△ABC的中線，∠ADC=45°，把△ADC沿直線AD翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C’的位置，BC=4,求BC’的長.題型八：關(guān)于勾股定理在實(shí)際中的應(yīng)用 ：例1、如圖，公路MN和公路PQ在P點(diǎn)處交匯，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160米，點(diǎn)A到公路MN的距離為80米，假使拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100米以內(nèi)會(huì)受到噪音影響，那么拖拉機(jī)在公路 MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到影響，請說明理由；如果受到影響，已知拖拉機(jī)的速度是18千米/小時(shí)，那么學(xué)校受到影響的時(shí)間為多少？題型九：關(guān)于最短性問題例5、如右圖1－19，壁虎在一座底面半徑為 2米，高為4米的油罐的下底邊沿 A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的 B處有一只害蟲，便決定捕捉這只害蟲，為了不引起