第四章函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分1515講概念

第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念第四章函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分一.導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的背景二.導(dǎo)數(shù)的概念三.導(dǎo)數(shù)存在的必要條件四.函數(shù)的增量與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系一.導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的背景

1.

物理背景2.幾何背景1.物理背景在真空中,當(dāng)時(shí)間由t變到t+t時(shí),自由非勻速運(yùn)動(dòng)物體的速度問題落體所經(jīng)過的路程為例1物體由t到t+t一段的平均速度是求物體在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度

vt,就是令t0的極限過程：從物理學(xué)看,當(dāng)t0時(shí),應(yīng)該有這是否也說明了一個(gè)什么問題?

平面曲線上切線的概念割線PQ切線PT切點(diǎn)2.數(shù)學(xué)背景—

平面曲線的切線問題沿曲線趨近于點(diǎn)

A時(shí)的極限位置.平面曲線y=f(x)的切線：曲線在點(diǎn)

A(x0,y0)處的切線AT

為過曲線上點(diǎn)

A的任意一條割線AA’

當(dāng)點(diǎn)

A’(x0+x,y0+y)定義切線方程:其中,(1)建立一個(gè)函數(shù)關(guān)系y=f(x)xI.(2)求函數(shù)由x0到x0+x的平均變化率：解決與速度變化或變化率相關(guān)問題的步驟:(3)求

x0的極限：小結(jié)二.導(dǎo)數(shù)的概念設(shè)函數(shù)f(x)在

U(x0)有定義,且

x0+xU(x0).則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)

x0處可導(dǎo),極限值a稱為

f(x)在如果極限存在,點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù).記為定義1.導(dǎo)數(shù)的定義k0為常數(shù).如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)

x0處可導(dǎo),則設(shè)函數(shù)f(x)在[x0,x0+)內(nèi)有定義,若存在,則稱a為f(x)在點(diǎn)x0處的右導(dǎo)數(shù).記為2.左、右導(dǎo)數(shù)定義設(shè)函數(shù)f(x)在(x0–,

x0]內(nèi)有定義,若存在,則稱a為f(x)在點(diǎn)x0處的左導(dǎo)數(shù).記為定義定理好像見過面??！3.導(dǎo)函數(shù)若x(a,b),函數(shù)

f(x)皆可導(dǎo),則說

f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).這時(shí)

f(x)是關(guān)于x的一個(gè)新函數(shù),稱之為f(x)在(a,b)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù).通常我們?nèi)苑Q之為f(x)在(a,b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)：定義函數(shù)在點(diǎn)x0I處的導(dǎo)數(shù):若f(x)在

(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且

存在,則稱

f(x)在[a,b]上可導(dǎo),f

(x)稱為

f(x)在

[a,b]上的導(dǎo)函數(shù),簡稱為導(dǎo)數(shù).

先求導(dǎo)、后代值.定義4.導(dǎo)數(shù)的幾何意義此時(shí),切線方程為:函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)f

(x0)就是對應(yīng)的平面曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,y0)處的切線的斜率

k:yOxx0y=cf

(x0)=0yOxf

(x0)=x0Oxyx0yOxx0f

(x0)不存在f

(x0)不存在切線平行于x軸：曲線y=f(x)在點(diǎn)x0處的切線可能平行于x軸、垂直于x軸、或不存在,所反映出的導(dǎo)數(shù)值是：切線垂直于x軸：（曲線為連續(xù)曲線）在點(diǎn)

x0處無切線：f

(x0)不存在.在任意一點(diǎn)

x處,有在點(diǎn)(1,

1)

處故所求切線方程為：求曲線y=x2上任意一點(diǎn)處切線的斜率,并求在點(diǎn)

(1,1)

處的切線方程.即

y=2x–1.y–1=2(x–1),例2解三.導(dǎo)數(shù)存在的必要條件設(shè)f(x)在點(diǎn)

x0可導(dǎo),即有于是故函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)的必要條件是它在點(diǎn)

x0連續(xù).只是必要條件！定理y=|x|在點(diǎn)x=0連續(xù),但不可導(dǎo).故f

(0)不存在.y=|x|Oxy例3解在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性和可導(dǎo)性.又當(dāng)nN時(shí),函數(shù)在在點(diǎn)x=0處連續(xù).例4解當(dāng)n=1時(shí),不存在,故n=1時(shí),函數(shù)在x=0處不可導(dǎo).當(dāng)n>1時(shí),故n>1時(shí),函數(shù)在

x=0處可導(dǎo).其導(dǎo)數(shù)為f(x)在x=0處可導(dǎo),從而f(x)=1+bx,x≤0e–x,x>0f(0)=1f(x)在x=0處連續(xù),f(0)=a.例5解設(shè)a+bx,x≤0求

a,b之值.e–x,x>0y=在x=0可導(dǎo),由可導(dǎo)性：故b=–1,此時(shí)函數(shù)為f(x)=1x,x≤0e–x,x>0四.函數(shù)的增量與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可表示為

y=f'(x0)x

+o(x).若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0

處有

(

有限

)

導(dǎo)數(shù)

f(x0),則函數(shù)f(x)在該點(diǎn)的增量y=f(x0+x)f(x0),定理得故證由則函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處有若函數(shù)f