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第十三章冪級數(shù)解法本征值問題13.1二階常微分方程的冪級數(shù)解法13.1.1冪級數(shù)解法理論概述
用球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系對拉普拉斯方程、波動方程、輸運(yùn)方程進(jìn)行變量分離,就出現(xiàn)連帶勒讓德方程、勒讓德方程、貝塞爾方程、球貝塞爾方程等特殊函數(shù)方程.用其他坐標(biāo)系對其他數(shù)學(xué)物理偏微分方程進(jìn)行分離變量,還會出
微分方程.這向我們提出求解帶初始條件的線性二階?,F(xiàn)各種各樣的特殊函數(shù)方程.它們大多是二階線性常微分方程定解問題.不失一般性,我們討論復(fù)變函數(shù)的線性二階常微分方程
(13.1.1)其中
為復(fù)變數(shù),
為選定的點(diǎn),為復(fù)常數(shù).
這些線性二階常微分方程常常不能用通常的解法解出,但可用冪級數(shù)解法解出.所謂冪級數(shù)解法,就是在某個任意點(diǎn)的鄰域上,把待求的解表為系數(shù)待定的冪級數(shù),
代入方程以逐個確定系數(shù).定義13.1.1常點(diǎn)奇點(diǎn)
如果方程(13.1.1)的系數(shù)函數(shù)
和在選定的點(diǎn)的鄰域
中是解析的,則點(diǎn)方程(13.1.1)的常點(diǎn).
如果選定的點(diǎn)是或的奇點(diǎn),則點(diǎn)
叫作方程(13.1.1)的奇點(diǎn).叫作2.常點(diǎn)鄰域上的冪級數(shù)解定理定理13.1.1
若方程(13.1.1)的系數(shù)
關(guān)于線性二階常微分方程在常點(diǎn)鄰域上的級數(shù)解,有下面的定理.和為點(diǎn)的鄰域中的解析函數(shù),
則方程在這圓中存在唯一的解析解
滿足初始條件,其中是任意給定的復(fù)常數(shù).故可以把它表示為此鄰域上的泰勒級數(shù).
既然線性二階常微分方程在常點(diǎn)的鄰域上存在唯一的解析解,
(13.1.2)其中為待定系數(shù)
15.1.2常點(diǎn)鄰域上的冪級數(shù)解法勒讓德方程的求解注明:推導(dǎo)解的過程僅供了解求解的方法,讀者可直接參考其結(jié)論.由分離變量法得到了勒讓德方程,下面討論在鄰域上求解階勒讓德方程
即為
故方程的系數(shù)
在,單值函數(shù),均為有限值,它們必然在解析.
點(diǎn)故可設(shè)勒讓德方程具有是方程的常點(diǎn).根據(jù)常點(diǎn)鄰域上解的定理,解具有泰勒級數(shù)形式.(13.1.3)
泰勒級數(shù)形式的解,將其代入勒氏方程可得系數(shù)間的遞推關(guān)系(13.1.4)將它們代入解的表達(dá)式中,得到勒讓德方程解的形式(13.1.7)(13.1.6)其中
分別是偶次項(xiàng)和奇次項(xiàng)組成的級數(shù),
不是整數(shù)時,無窮級數(shù),容易求得其收斂半徑均為1
時,發(fā)散于無窮
是非負(fù)整數(shù)
遞推公式(13.1.4)
是偶數(shù)時,是一個次多項(xiàng)式,但函數(shù)
為在處發(fā)散至無窮的無窮級數(shù)
是奇數(shù)時,
是次多項(xiàng)式,而仍然是在處無界的無窮級數(shù).
是負(fù)整數(shù)時
一個是多項(xiàng)式,另一個是無界的無窮級數(shù)
所以不妨設(shè)
導(dǎo)出這個多項(xiàng)式的表達(dá)式,是非負(fù)整數(shù)(因在實(shí)際問題中一般總要求有界解).
把系數(shù)遞推公式(13.1.4)改寫成(13.1.8)于是可由多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)系數(shù)來表示其它各低階項(xiàng)系數(shù)這樣取主要是為了使所得多項(xiàng)式在處取值為1,即實(shí)現(xiàn)歸一化.可得系數(shù)的一般式為(13.1.10)因此,我們得出結(jié)論:是非負(fù)偶數(shù)時,勒讓德方程有解(13.1.11)是正奇數(shù)時,勒讓德方程有解(13.1.12)對上述討論進(jìn)行綜合,若用表示不大于的整數(shù)部分,用大寫字母寫成統(tǒng)一形式解(13.1.13)經(jīng)過計(jì)算后,可以通過對數(shù)函數(shù)及勒讓德多項(xiàng)式表示出,所以第二類勒讓德函數(shù)的一般表達(dá)式為(13.1.15)特別地(13.1.16)可以證明這樣定義的,其遞推公式和的遞推公式具有相同的形式.而且在一般情況下勒讓德方程的通解為兩個獨(dú)立解的線性疊加(13.1.17)但是在滿足自然邊界(即要求定解問題在邊界上有限)的形式容易看出,它在端點(diǎn)處是無界的,故必須取常數(shù).從而勒讓德方程的解就只有第一類勒讓德函數(shù)即勒讓德多項(xiàng)式:
(2)當(dāng)為整數(shù)時,勒讓德方程的通解為,其中稱為第一類勒讓德函數(shù)(即勒讓德多項(xiàng)式),
稱為第二類勒讓德函數(shù).為整數(shù),且要求在自然邊界條件下(即要求在有界解的情況下)求解,則勒讓德方程的解只有第一
類勒讓德函數(shù)即勒讓德多項(xiàng)式.因?yàn)榈诙惱兆尩潞瘮?shù)在閉區(qū)間上是無界的.13.1.3奇點(diǎn)鄰域的級數(shù)解法:貝塞爾方程的求解前一章分離變量法中,我們引出了貝塞爾方程,本節(jié)我我們來討論這個方程的冪級數(shù)解法.按慣例,仍以表示自變量,以表示未知函數(shù),則階貝塞爾方程為(13.1.18)將(13.1.19)及其導(dǎo)數(shù)代入(13.1.18)后,得化簡后寫成要使上式恒成立,必須使得各個次冪的系數(shù)為零,從而得下列各式:(13.1.20)(13.1.21)(13.1.22)由(13.1.20)得;代入(13.1.21),得.現(xiàn)暫取,代入(13.1.22)得(13.1.23)因?yàn)?,由?3.1.23)知:都可以用表示,即由此知(13.1.19)的一般項(xiàng)為是一個任意常數(shù),令取一個確定的值,就得(13.1.18)的一個特解.我們把取作這樣選取與后面將介紹的貝塞爾函數(shù)的母函數(shù)有關(guān)運(yùn)用下列恒等式使分母簡化,從而,使(13.1.19)中一般項(xiàng)的系數(shù)變成(13.1.24)
以(13.1.24)代入(13.1.19)得到貝塞爾方程(13.1.18)的一個特解用級數(shù)的比值判別式(或稱達(dá)朗貝爾判別法)可以判定這個級數(shù)在整個數(shù)軸上收斂.這個無窮級數(shù)所確定的函數(shù),稱為階第一類貝塞爾函數(shù),記作(13.1.25)至此,就求出了貝塞爾方程的一個特解另外,當(dāng)即取負(fù)值時,用同樣方法可得貝塞爾方程(13.1.18)的另一特解(13.1.26)比較(13.1.25)與(13.1.26)可見,只需在(13.1.25)的右端把換成,即可得到(13.1.26).故不論是正數(shù)還是負(fù)數(shù),總可以用(13.1.25)統(tǒng)一地表達(dá)第一類貝塞爾函數(shù).討論:(1)當(dāng)不為整數(shù)時,例如為分?jǐn)?shù)階貝塞爾函數(shù):等,當(dāng)時,故這兩個特解與是線性無關(guān)的,由齊次線性常微分方程的通解構(gòu)成法知道,(13.1.18)的通解為(13.1.28)其中,為兩個任意常數(shù).根據(jù)系數(shù)關(guān)系,且由達(dá)朗貝爾比值法故級數(shù)和的收斂范圍為(2)當(dāng)為正整數(shù)或零時(注:以下推導(dǎo)凡用
即表整數(shù)),故有(13.1.27)稱為整數(shù)階貝塞爾函數(shù).易得需注意在取整數(shù)的情況下,和線性相關(guān),這是因?yàn)?由于是零或正整數(shù),只要,則是零或負(fù)整數(shù),而對于零或負(fù)整數(shù)的函數(shù)為無窮大,所以上面的級數(shù)實(shí)際上只從開始.若令,則從零開始,故可見正、負(fù)階貝塞爾函數(shù)只相差一個常數(shù)因子這時貝塞爾方程的通解需要求出與之線性無關(guān)的另一個特解.我們定義第二類貝塞爾函數(shù)(又稱為諾依曼函數(shù))為是一個特解,它既滿足貝塞爾方程,又與線性無關(guān).這樣我們可以得到其中,為歐拉常數(shù).可以證明這個函數(shù),確實(shí)是貝塞爾方程的一個特解,而且是與線性無關(guān)的(因?yàn)楫?dāng)時,為有限值,而為無窮大).綜述:(1)當(dāng),即不取整數(shù)時,其貝塞爾方程的通解可表示為(2)不論是否為整數(shù),貝塞爾方程的通解都可表示為其中為任意常數(shù),為任意實(shí)數(shù).
15.2施圖姆-劉維爾本征值問題
從數(shù)學(xué)物理偏微分方程分離變量法引出的常微分方程往往還附有邊界條件,這些邊界條件可以是明確寫出來的,也可以是沒有寫出來的所謂自然邊界條件.滿足這些邊界條件的非零解使得方程的參數(shù)取某些特定值.這些特定值叫做本征值(或特征值、或固有值),相應(yīng)的非零解叫做本征函數(shù)(特征函數(shù)、固有函數(shù).求本征值和本征函數(shù)的問題叫做本征值問題.
常見的本征值問題都可以歸結(jié)為施圖姆(J.C.F.Sturm)-劉維爾(J.Liouville)本征值問題,本節(jié)就討論具有普遍意義的施圖姆-劉維爾本征值問題.15.2.1施圖姆-劉維爾本征值問題定義13.2.1施圖姆-劉維爾型方程通常把具有形式(13.2.1)的二階常微分方程叫作施圖姆-劉維爾型方程,簡稱施-劉型方程.研究二階常微分方程的本征值問題時,對于一般的二階常微分方程通常乘以適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),就可以化成施圖姆-劉維爾型方
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