數(shù)字信號處理王震宇張培珍編第二章課件

第二章離散時(shí)間信號與離散時(shí)間系統(tǒng)

Discrete-TimeSignalsandSystems課程名稱：數(shù)字信號處理任課教師：張培珍授課班級：信計(jì)1081-1082

2.1離散時(shí)間信號124532.5綜合實(shí)例2.4離散時(shí)間系統(tǒng)分析——差分方程

2.3離散時(shí)間系統(tǒng)2.2離散時(shí)間信號的運(yùn)算引言有關(guān)離散時(shí)間信號和離散時(shí)間系統(tǒng)的基本理論和基本概念是全書的基礎(chǔ)。時(shí)域連續(xù)信號——如果信號的自變量和函數(shù)值都是連續(xù)的，稱為時(shí)域連續(xù)信號.離散時(shí)間信號——如果信號的函數(shù)值連續(xù)，自變量為離散值，稱為離散時(shí)間信號，又稱為序列。離散時(shí)間信號與離散時(shí)間系統(tǒng)22.1離散時(shí)間信號離散時(shí)間信號的數(shù)學(xué)表示離散時(shí)間信號往往來源于對時(shí)域連續(xù)信號的采樣，假設(shè)采樣周期為T，采樣對象是時(shí)域連續(xù)信號x(t)，則可知采樣信號為簡化為序列來表示，即x(n)只在n為自然數(shù)時(shí)才有意義。x(n)代表第n個(gè)序列值，在數(shù)值上等于信號的采樣值。實(shí)際信號處理中，這些數(shù)字序列值按順序存放于存貯器中。注意離散時(shí)間信號與離散時(shí)間系統(tǒng)2離散時(shí)間信號也可以用集合來表示，如離散時(shí)間信號還可以使用圖形表示，如離散時(shí)間信號與離散時(shí)間系統(tǒng)22.1.2典型的離散時(shí)間信號——序列單位階躍序列Unitstepsequence單位階躍序列是單邊序列，如圖2.2所示，數(shù)學(xué)表達(dá)式為

圖2.2單位階躍序列的圖形表示

與u(t)相比較離散時(shí)間信號與離散時(shí)間系統(tǒng)2單位脈沖序列

Unitsample(impulse)sequence單位脈沖序列δ(n)只有n=0時(shí)存在值，其他時(shí)刻均為0，離散時(shí)間信號與離散時(shí)間系統(tǒng)2u(n)和δ(n)關(guān)系由于δ(n)具有的采樣性，因此其他離散時(shí)間信號也可以用δ(n)及其移位信號加權(quán)和表示，即離散時(shí)間信號與離散時(shí)間系統(tǒng)2斜變序列斜變序列與連續(xù)函數(shù)中的斜坡函數(shù)類似。但是卻沒有連續(xù)時(shí)間信號中斜坡函數(shù)同階躍函數(shù)之間的微分關(guān)系。

圖2.6斜變序列x(n)的圖形表示離散時(shí)間信號與離散時(shí)間系統(tǒng)2實(shí)指數(shù)序列Real-valuedexponentialsequence實(shí)指數(shù)序列的數(shù)學(xué)表達(dá)式為其中a為實(shí)數(shù)。當(dāng)時(shí)，序列是發(fā)散的。當(dāng)時(shí)，序列是收斂的。當(dāng)時(shí)，序列在一個(gè)象限。當(dāng)時(shí)，序列在兩個(gè)象限。x1(n)=1.25n

(b)x2(n)=0.75n

(c)x3(n)=(-1.25)n

(d)x4(n)=(-0.75)n離散時(shí)間信號與離散時(shí)間系統(tǒng)2復(fù)指數(shù)序列

Complex-valuedexponentialsequence復(fù)指數(shù)序列的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

x(n)的實(shí)部 (b)x(n)的虛部(c)x(n)的模 (d)x(n)的相位離散時(shí)間信號與離散時(shí)間系統(tǒng)2離散時(shí)間信號與離散時(shí)間系統(tǒng)2思考判斷、、是否為周期函數(shù)？離散時(shí)間信號與離散時(shí)間系統(tǒng)2離散時(shí)間信號與離散時(shí)間系統(tǒng)2離散時(shí)間信號與離散時(shí)間系統(tǒng)2相加Sumofsequence相乘Productofsequence離散時(shí)間信號與離散時(shí)間系統(tǒng)2翻褶Turnoverofsquence移位Shiftofsquence序列的相加和相乘：x1=[012343210];ns1=-2;x2=[22000-2-2];ns2=2;nf1=ns1+length(x1)-1;nf2=ns2+length(x2)-1;ny=min(ns1,ns2):max(nf1,nf2);xa1=zeros(1,length(ny));xa2=xa1;xa1(find((ny>=ns1)&(ny<=nf1)==1))=x1;xa2(find((ny>=ns2)&(ny<=nf2)==1))=x2;ya=xa1+xa2;yb=xa1.*xa2;subplot(2,2,1),stem(ny,xa1);ylabel('x1(n)')subplot(2,2,3),stem(ny,xa2);ylabel('x2(n)')subplot(2,2,2),stem(ny,ya);ylabel('x1(n)+x2(n)')subplot(2,2,4),stem(ny,yb);ylabel('x1(n)*x2(n)')離散時(shí)間信號與離散時(shí)間系統(tǒng)2解：(1)和序列z(n)=[3,1,6,1,1,5]，如圖2.11(a)所示；(2)積序列R(n)=[2,-2,8,0,0,6]，如圖2.11(b)所示；(3)當(dāng)m為2時(shí)，x(n)的右移序列w(n)=[2,-1,2,0,1,3]，如圖2.11(c)所示；(4)x(n)的翻轉(zhuǎn)序列t(n)=[3,1,0,2,-1,2]，如圖2.11(d)所示；(5)當(dāng)a為2時(shí)，x(an)=[2,2,1]，x(n)的波形壓縮x(an)如圖2.11(e)所示。離散時(shí)間信號與離散時(shí)間系統(tǒng)2離散時(shí)間信號與離散時(shí)間系統(tǒng)2-1012345y(n)n1/23/47/83/81/8結(jié)論：長度分別為N1，N2兩個(gè)序列的線形卷積結(jié)果序列長度為N1+N2-1離散時(shí)間信號與離散時(shí)間系統(tǒng)20123456798X(m)0123456798y(m)01-2-3-4--5-6-79-8y(-m)f(0)=101-2-3-4--5-6-79-8y(-m)01-2-3-4--5-6-79-8y(1-m)f(1)=2f(2)=3f(3)=4f(4)=5f(5)=3f(6)=1f(7)=-1f(8)=-3f(9)=-5f(10)=-4f(11)=-3f(12)=-2f(13)=-101-2-3-4--5-6-79-8y(2-m)01-2-3-4--5-6-79-8y(3-m)01-2-3-4--5-6-79-8y(4-m)01-2-3-4--5-6-79-8y(5-m)01-2-3-4--5-6-79-8y(6-m)01-2-3-4--5-6-79-8y(7-m)01-2-3-4--5-6-79-8y(8-m)01-2-3-4--5-6-79-8y(9-m)01-2-3-4--5-6-79-8y(10-m)01-2-3-4--5-6-79-8y(11-m)01-2-3-4--5-6-79-8y(12-m)01-2-3-4--5-6-79-8y(13-m)01-2-3-4--5-6-79-8y(14-m)離散時(shí)間信號與離散時(shí)間系統(tǒng)22.3離散時(shí)間系統(tǒng)設(shè)離散時(shí)間系統(tǒng)的輸入序列為x(n)，系統(tǒng)輸出序列用y(n)表示。設(shè)運(yùn)算關(guān)系用T[·]表示，輸出與輸入之間關(guān)系用下式表示y(n)=T[x(n)]，其框圖如圖2.12所示。

圖2.12輸出與輸入之間的關(guān)系

離散時(shí)間信號與離散時(shí)間系統(tǒng)2離散時(shí)間系統(tǒng)的線性

線性系統(tǒng)滿足疊加性和齊次性。

疊加性y1(n)+y2(n)=T[x1(n)]+T[x2(n)]=T[x1(n)+x2(n)]齊次性ay1(n)=aT[x1(n)]=T[ax1(n)] ay2(n)=aT[x2(n)]=T[ax2(n)] 線性 y(n)=T[ax1(n)+bx2(n)]=ay1(n)+by2(n) （其中a和ｂ均為常數(shù)）假設(shè)系統(tǒng)的輸入序列為x1(n)和x2(n)，輸出序列對應(yīng)為y1(n)和y2(n)，則有y1(n)=T[x1(n)]和y2(n)=T[x2(n)]成立。離散時(shí)間信號與離散時(shí)間系統(tǒng)2例2.2x(n)和y(n)分別表示系統(tǒng)的輸入和輸出，判斷系統(tǒng)y(n)=

2x(n)+3是否是線性的。

解令y1(n)=

2x1(n)+3和y2(n)=

2x2(n)+3。對于線性系統(tǒng)，根據(jù)疊加性，有y(n)=T[x1(n)+x2(n)]=2T[x1(n)+x2(n)]+3=2x1(n)+2x2(n)+3然而y1(n)+y2(n)=

[2x1(n)+3]+

[2x2(n)+3]=2x1(n)+2x2(n)+6因此，y(n)≠y1(n)+y2(n)，故該系統(tǒng)不是線性的。離散時(shí)間信號與離散時(shí)間系統(tǒng)2離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)不變性

若輸入為x(n)，輸出為y(n)，則當(dāng)輸入為x(n-n0)時(shí)，輸出為y(n-n0)。

即，若時(shí)不變系統(tǒng)有y(n)=T[x(n)]，則

y(n-n0)=T[x(n-n0)]， 其中n0為任意整數(shù)。例2.3x(n)和y(n)分別表示系統(tǒng)的輸入和輸出，系統(tǒng)y(n)=

2x(n)+3是否是時(shí)不變的。

解對于系統(tǒng)y(n)=

2x(n)+3來說，由于y(n-n0)=

2x(n-n0)+3=T[x(n-n0)]故該系統(tǒng)是時(shí)不變的。離散時(shí)間信號與離散時(shí)間系統(tǒng)2例2.4x(n)和y(n)分別表示系統(tǒng)的輸入和輸出，系統(tǒng)y(n)=x(n)cos(ωn+1)是不是時(shí)不變的。解對于系統(tǒng)y(n)=x(n)cos(ωn+1)來說，由于y(n-n0)=x(n-n0)cos[ω(n-n0)+1]然而T[x(n-n0)]=x(n-n0)cos[ωn+1]因此，y(n-n0)≠T[x(n-n0)]，故該系統(tǒng)不是時(shí)不變的。離散時(shí)間信號與離散時(shí)間系統(tǒng)2離散時(shí)間系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性

因果系統(tǒng)，是指某時(shí)刻的輸出只取決于此刻以及該時(shí)刻以前時(shí)刻的輸入的系統(tǒng)。即，n=n0的輸出y(n0)取決于n≤n0的輸入x(n)|n≤n0例如y(n)=x(-n)是非因果系統(tǒng)，因n<0的輸出決定于n>0時(shí)的輸入。線性時(shí)不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件為h(n)=0，n<0。所謂穩(wěn)定系統(tǒng)，是指有界的輸入產(chǎn)生有界的輸出的系統(tǒng)。即，若|x(n)|≤M<∞，則|y(n)|≤P<∞離散時(shí)間信號與離散時(shí)間系統(tǒng)2系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷對分析系統(tǒng)具有十分重要意義。線性時(shí)不變系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件是

即單位脈沖響應(yīng)是絕對可和的。離散時(shí)間信號與離散時(shí)間系統(tǒng)2例2.5某線性時(shí)不變系統(tǒng)，其單位脈沖響應(yīng)為，試討論其是否是因果的、穩(wěn)定的系統(tǒng)。 解(1)因?yàn)闀r(shí)，，所以該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)。(2)因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定，當(dāng)時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定。離散時(shí)間信號與離散時(shí)間系統(tǒng)2離散時(shí)間系統(tǒng)一個(gè)系統(tǒng)的輸入與輸出信號都是離散的時(shí)間信號。

離散時(shí)間系統(tǒng)的描述離散時(shí)間系統(tǒng)通常采用差分方程來描述。

一個(gè)線性的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)總可以用線性微分方程來表達(dá)。其N階線性常系數(shù)差分方程的一般形式：離散時(shí)間信號與離散時(shí)間系統(tǒng)2常系數(shù)線性差分方程求解方法

迭代法、時(shí)域經(jīng)典法(齊次解+特解)、離散卷積法、z變換法 例2.6設(shè)差分方程，其中，。利用迭代法求輸出序列。解當(dāng)n<0時(shí)，y(n)=0當(dāng)n=0時(shí)，當(dāng)n=1時(shí)，當(dāng)n=2時(shí)，以此類推，因此得到離散時(shí)間信號與離散時(shí)間系統(tǒng)2例2.7系統(tǒng)的差分方程，且，，設(shè)激勵(lì)。求響應(yīng)序列

方法一：時(shí)域經(jīng)典解法求齊次解。由于特征方程為，故特征根為，則齊次解為求特解。由題知激勵(lì)是指數(shù)序列形式，可設(shè)特解為將其代入差分方程得離散時(shí)間信號與離散時(shí)間系統(tǒng)2(3)求全解。根據(jù)齊次解和特解，其全解為由于給定的條件是激勵(lì)之前的系統(tǒng)初始狀態(tài)和，對以后有影響，由此遞推出初值y(0)和y(1)，并求出系數(shù)C1和C2。由原差分方程得，當(dāng)n=0時(shí)，；當(dāng)n=1時(shí)，。即初始值，。代入全解有離散時(shí)間信號與離散時(shí)間系統(tǒng)2解得

所以系統(tǒng)的全解為

離散時(shí)間信號與離散時(shí)間系統(tǒng)2方法二：離散卷積法求解零輸入響應(yīng)。在零輸入情況下，響應(yīng)滿足齊次方程，解的形式為

而齊次方程的特征根和，則有解得離散時(shí)間信號與離散時(shí)間系統(tǒng)2（2）求解零狀態(tài)響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng)是滿足非齊次方程，且初始狀態(tài)全部為零的解，即解得所以離散時(shí)間信號與離散時(shí)間系統(tǒng)2一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程為y(n)+0.5y(n-1)-0.3y(n-2)+0.2y(n-3)=0.75x(n)+x(n-1)-0.6x(n-2)-0.4x(n-3)，(1)判斷該系統(tǒng)是否是線性系統(tǒng)；(2)判斷該系統(tǒng)是否是時(shí)不變系統(tǒng)；(3)求出該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)并判斷系統(tǒng)是否是穩(wěn)定系統(tǒng)。

綜合實(shí)例2解：(1)設(shè)對于兩個(gè)不同的輸入信號x1(n)和x2(n)，系統(tǒng)的輸出分別為y1(n)和y2(n)。對于x1(n)和x2(n)的線性疊加信號x(n)=4x1(n)-3x2(n)，系統(tǒng)的輸出為y(n)。用Matlab仿真該系統(tǒng)，并計(jì)算輸入x1(n)、x2(n)和x(n)的輸出y1(n)、y2(n)和y(n)，判斷y(n)和4y1(n)-3y2(n)是否相等。綜合實(shí)例2n=0:50;a=4;b=-3;x1=cos(2*pi*0.1*n);%設(shè)置x1(n)x2=cos(2*pi*0.4*n);%設(shè)置x2(n)x=a*x1+b*x2;%x(n)num=[0.751-0.6-0.4];den=[10.5-0.30.2];y1=filter(num,den,x1);%計(jì)算輸出y1(n)y2=filter(num,den,x2);%計(jì)算輸出y2(n)y=filter(num,den,x);%計(jì)算輸出y(n)yt=a*y1+b*y2;subplot(2,1,1)stem(n,y);ylabel('振幅');title('y=T[ax1(n)+bx2(n)]');subplot(2,1,2)stem(n,yt);ylabel('振幅')title('y’=ay1(n)+by2(n)')xlabel('時(shí)間序號n');綜合實(shí)例2由圖可以看出T[ax1(n)+bx2(n)]=ay1(n)+by2(n)，故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。

綜合實(shí)例2解：(2)設(shè)對于兩個(gè)輸入信號x1(n)和x2(n)=x1(n-10)，系統(tǒng)的輸出分別為y1(n)和y2(n)。用Matlab仿真該系統(tǒng)，并計(jì)算輸入x1(n)、x2(n)的輸出y1(n)和y2(n)，判斷y1(n-10)和y2(n)是否相等。

綜合實(shí)例2n=0:50;D=10;x=4*cos(2*pi*0.1*n)-3*cos(2*pi*0.4*n);%設(shè)置x1(n)xd=[zeros(1,D)x];%設(shè)置x2(n)=x1(n-10)num=[0.751-0.6-0.4];den=[10.5-0.30.2];y1=filter(num,den,x);%計(jì)算輸出y1(n)y2=filter(num,den,xd);%計(jì)算輸出y2(n)d=[zeros(1,D)y1]-y2;%計(jì)算y1(n-10)和y2(n