2019年泰州市初中數(shù)學(xué)教師解題比賽試題及答案

2019年泰州市初中數(shù)學(xué)青年教師解題比賽試題說明：1．本試卷共4頁，10大題，滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘；2．所有試題一律在答題紙上作答，尺規(guī)作圖請規(guī)范操作．1．（本題滿分10分）已知，求k的值．2．（本題滿分10分）關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）如果k是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程＝0與方程有一個(gè)相同的根，求此時(shí)m的值．3．（本題滿分10分）圖①是一幅藏寶圖，海島（圖①中空白處）上某處藏匿了寶藏，但沒有任何標(biāo)志，只有A、B兩塊天然巨石．通過查找資料知道，A、B兩塊巨石的直角坐標(biāo)分別是（2，1）和（6，6），藏寶地C的坐標(biāo)是（8，2）．請用尺規(guī)作圖在海島上確定藏寶地C的位置，并簡要說明確定點(diǎn)C位置的方法．（圖②是由相同的小正方形組成的網(wǎng)格，供選用）AAB①②4．（本題滿分15分）觀察下列等式：①=；②=；③=．解決下列問題：（1）根據(jù)上面3個(gè)等式的規(guī)律，寫出第⑤個(gè)式子，并通過計(jì)算進(jìn)行驗(yàn)證；（2）用含n（n為正整數(shù)）的等式表示上面各個(gè)等式的規(guī)律，并加以證明；（3）利用上述結(jié)果計(jì)算：+++…+．5．（本題滿分15分）城市許多街道相互垂直或平行，有時(shí)不能沿直線行走到達(dá)目的地，只能按直角拐彎的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標(biāo)系xOy．對兩點(diǎn)M（，）和N（，），用以下方式定義兩點(diǎn)間距離：d（M，N）＝||+||．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（―2，1），l是過點(diǎn)（0，3）且平行于x軸的一條直線，P為直線l上一點(diǎn)．（1）d（O，A）＝；（2）若d（A，P）＝3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；AxlyO（3）設(shè)原點(diǎn)O為快遞攬收點(diǎn)，A為快遞倉儲點(diǎn)，直線l是一條公路，今欲在公路l上修建一個(gè)快遞中轉(zhuǎn)中心P，快遞小哥們從點(diǎn)O處出發(fā)，按照“直角拐彎”的方式，將市民送來的快遞運(yùn)送到P處，再將從外地送來的快遞運(yùn)送到AxlyO6．（本題滿分15分）DABPCOGMN如圖，線段AB=a，∠ABG=60°，點(diǎn)P為射線BG上的一個(gè)動點(diǎn)，以AP為邊作菱形APCD，使∠APC=60°，且點(diǎn)C、D落在∠ABG內(nèi)部，過點(diǎn)A、P、C的⊙O與線段AB相交于點(diǎn)DABPCOGMN（1）求證：CM∥BG；（2）求線段CM的長；（3）求線段MN的最大值．7．（本題滿分15分）已知：如圖，正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD上兩個(gè)動點(diǎn)，且∠EAF=45°，EM⊥AC，F(xiàn)N⊥AC，點(diǎn)M、N為垂足，AE、AF交BD于點(diǎn)G、H．當(dāng)BG=3時(shí)，GH=5．（1）求正方形ABCD的邊長；（2）設(shè)AM=x，AN=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍．AABCDEGMNFH8．（本題滿分20分）已知：△ABC的內(nèi)切圓O與BC相切于點(diǎn)D，且BD=p，CD=q．（1）若，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．ADBCO60°（2）如圖，若∠A=60°，用含p、ADBCO60°9．（本題滿分20分）已知A（1，3）、B（3，-1）為平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)兩點(diǎn)．（1）過原點(diǎn)O作直線l，設(shè)點(diǎn)A、B到直線l的距離分別為、．①=，求l的函數(shù)表達(dá)式；②若點(diǎn)A、B在直線求l兩側(cè)，且+最大，求l的函數(shù)表達(dá)式；OA(1，3)xyB(3，-1)（2）若二次函數(shù)的頂點(diǎn)E在△OAB內(nèi)（包括邊界），點(diǎn)A、B到點(diǎn)OA(1，3)xyB(3，-1)10．（本題滿分20分）已知一次函數(shù)與二次函數(shù)（a<0）的圖像相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)C．（1）若∠AOB=90°，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，BC=9AC，求點(diǎn)B（2）過點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D．延長BD、AO相交于點(diǎn)Q，求證：DQ=CO；yxOACB（3）在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使CP平分∠APB?如果存在，說明點(diǎn)PyxOACB019年泰州市初中數(shù)學(xué)青年教師解題比賽試題答案1．（本題滿分10分）若，則，，，所以若，方法一：有=；方法二：有①，②，③，①+②+③得：，所以，故k的值為或．A′B′C′yxO①②ABCEF2．（本題滿分10分）（1）≤；（2）滿足≤的最大整數(shù)為2，此時(shí)方程①為，解得兩根為和2．把和2分別代入方程②解得和1，而方程②為一元二次方程，有≠A′B′C′yxO①②ABCEF3．（本題滿分10分）（1）在圖②的網(wǎng)格中建立如圖所示的直角坐標(biāo)系；（2）在該坐標(biāo)系中描出點(diǎn)A′（2，1）、B′（6，6），C′（8，2）；分別連接A′B′、B′C′、C′A′；（3）在圖①中，作∠BAE=∠A′，∠ABF=∠B′，射線AE與BF相交于點(diǎn)C．則C點(diǎn)就是藏寶地．4．（本題滿分15分）（1）=；（2）=（n為正整數(shù)）．證明如下：=====．（3）原式=+++…+=+++…+==．5．（本題滿分15分）（1）3；（2）設(shè)P（a，3），則d（A，P）＝|a+2|+|3-1|=3，解得a=-1或-3，∴P（-1，3）或（-3，3）；（3）d（O，P）+d（A，P）＝|a-0|+|3-0|+|a+2|+||3-1|=|a+2|+|a|+5=，顯然，當(dāng)時(shí)的最小值為7，當(dāng)時(shí)的最小值也為7，故d（O，P）+d（A，P）最小值為7，此時(shí)-2≤a≤0，即快遞中轉(zhuǎn)中心P建于公路l上橫坐標(biāo)在-2與0之間（包括-2與0）的所有位置都滿足要求．DABPCOGMN6．（本題滿分15分）（1）證明略；（2）連接PM，證△CPM≌△APB，從而有CM=AB=a；（3）設(shè)PB=MBDABPCOGMN所以，所以，所以MN==，故MN最大為．ABDGABDGPH（1）如圖①，因?yàn)椤螧AD=90°，AD=AB，故將△ADH繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ABP位置，連接PG，易證∠PBG=90°，所以；可證△APG≌△AHG，有PG=HG，所以，ABCDEMNF而當(dāng)BG=3時(shí)，GHABCDEMNF（2）如圖②，易證△AEM∽△AFD，△ABE∽△ANF，所以，，所以，有=，即，所以（）．8．（本題滿分20分）ADFCOqBEqpp（1）設(shè)AB=c，AC=b，⊙ADFCOqBEqpp由條件知：，由AE=AF得，所以，所以，所以，所以==即，所以△ABC為直角三角形．ADBCOFEH（2）如圖②，設(shè)⊙O的半徑為r，與AB、AC相切于點(diǎn)F、E，連接AO、BO、CO、OD、OE、OF，作CH⊥AB，易證OF⊥AB，OD⊥BC，OE⊥AC，則AF=AE=，BF=BD=p，CE=CD=q，所以ADBCOFEH而=++，所以=，整理得：，所以==．9．（本題滿分20分）（1）如圖①，滿足條件的直線l有兩條，一條是與AB平行，一條是經(jīng)過AB的中點(diǎn)P，表達(dá)式為或；（2）如圖②，作AG⊥l，BH⊥l，過點(diǎn)A作l′∥直線l，延長BG交l′于點(diǎn)G，則+=BG，根據(jù)垂線段最短有+=BP≤AB，顯然當(dāng)l′⊥AB時(shí)+最大，此時(shí)直線l恰好經(jīng)過AB的中點(diǎn)，故直線l的表達(dá)式為；yxOMd2d1ABNyxOl1l2d1d2d2d1ABPyxOl′ld2d1ABd1GHP①②③（3）二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)為S（，），設(shè)，，有，即S是直線上的動點(diǎn)．點(diǎn)S在△OAB內(nèi)，故S在直線與AB、OB交點(diǎn)間的線段上，AByxOMd2d1ABNyxOl1l2d1d2d2d1ABPyxOl′ld2d1ABd1GHP①②③10．（本題滿分20分）設(shè)直線AB表達(dá)式為，A、B的坐標(biāo)分別為（，）、（，）.（1）作AE⊥x軸、BF⊥x軸，E、F為垂足，易證△AOE∽△OBF，所以得=，從而=，由題意，，所以，因?yàn)閍<0，所以，所以二次函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，故點(diǎn)B（，）．（2）如圖②，在中，令x=0，有y=d，則CO=|d|；直線AO的關(guān)系式為=，令得，聯(lián)列直線AB與拋物線的關(guān)系式得，有，所以=，所以DQ=||=||=||=|d|．故有DQ=CO．yyxOAE