八年級數(shù)學全等三角形新課講義完整版(全8講)

八年級數(shù)學全等三角形新課講義全面完整版目錄第目錄第一講全等三角形概念及其性質(zhì)第二講全等三角形的判定（SSS）第三講全等三角形的判定（SAS）第四講全等三角形的判定（ASA、AAS）第五講全等三角形的判定（HL）第六講全等三角形的判定綜合第七講角平分線的性質(zhì)第八講全等三角形復習測試第一講全等三角形概念及其性質(zhì)知識要點全等三角形的有關(guān)概念1）能夠完全重合的兩個圖形叫做形。2）能夠完全重合的兩個三角形叫做全等形。ABABCDEF3）全等三角形表示方法：“全等”用“≌”表示，讀作“全等于”，如△ABC≌△DEF。4）對應元素：①對應頂點：點A與點D，點B與點E，點C與點F是對應頂點②對應邊：AB與DE，AC與DF，BC與EF是對應邊③對應角：∠A與∠D，∠B與∠E，∠C與∠F是對應角當兩個三角形全等時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上，如右圖所示，△ABC和△DEF全等，是，記作△ABC≌△DEF。其中，。2、常見的全等三角形的基本圖形有平移型、旋轉(zhuǎn)型和翻折型。（1）平移型：如下左圖，若△ABC≌△DEF，則BC=EF。將△DEF向左平移得到下右圖，則仍有BC=EF，在右圖中，若知BC=EF，則可推出BE=CF。AABCDEFABCDEF（2）旋轉(zhuǎn)型：如下左圖，兩對三角形的全等屬于旋轉(zhuǎn)型，圖形的特點是：圖1的旋轉(zhuǎn)中心為點A，有公共部分∠1；圖2的旋轉(zhuǎn)中心為點O，有一對對頂角∠1=∠2。AABC1EDABCDO12（1）（2）ABDC（1）（2）ABCED（3）翻折型：如右圖，兩個三角形的全等屬于翻折型，其中圖中有公共邊AB全等三角形的性質(zhì)全等三角形的對應邊相等；全等三角形的對應角相等。知識延伸：如果兩個三角形全等，則三角形的對應邊上的中線、高線及對應角的角平分線也相等。4、規(guī)律方法小結(jié)：在尋找全等三角形的對應邊和對應角時，常用的方法有：（1）全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊；（2）全等三角形對應邊所對的角是對應角，兩條對應邊所夾的角是對應角；（3）公共邊一定是對應邊，公共角一定是對應角，對頂角一定是對應角；（4）全等三角形中一對最短的邊（或最小的角）是對應邊（或?qū)牵?。典型例題例1：若把△ABC繞A點順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，就得到△ADE，請寫出圖中所有的對應邊和對應角。BBACDEEABCDO例2：如圖，已知△ABD≌△EABCDOABCDFE例3：ABCDFE例4：如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AC，BC上的點，若△ADB≌△EDB≌△EDC，則∠C的度數(shù)為（）A、150B、200C、250例5：如圖，△ABE和△ADC是△ABC分別沿AB，AC邊翻折1800形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，則求∠α的度數(shù)。例6：如圖所示，△ABC≌△ADE，∠B和∠D對應，∠C和∠E對應，且∠B=25°，∠E=105°，∠DAC=15°，則∠EAC等于多少度？

例7：如圖，已知△ABC≌△DBE，AB⊥CD，DE的延長線交AC于點F，那么DF⊥AC嗎？說明理由．例8：如圖，已知△ABE≌△ACD．且AB=AC，求證：(1)∠BAD=∠CAE;(2)BD=CE.例9.如圖，已知，，，，.求的度數(shù).反饋練習1．如圖，△ABC≌△DCB，若∠l與∠2是一組對應角，則其他的對應角有，，對應邊有，，。2．如圖，△AB≌C△A′B′C′，且點B，B′，C，C′在同一直線上，則BB′=____；若∠A=80o，則∠A′=o，∠B′DC=o。（題1）（題2）（題3）（題4）3．如圖，把△ABC沿直線BC翻折180o，得到△DBC，則△ABC與△DBC的關(guān)系是。4．如圖，把△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)一定的角度得到△AED，那么△ABC△AED，其中對應邊有，，，對應角有，，。5．（南通）已知：如圖，△OAD≌△OBC，且∠O=70o，∠C=25o，則∠AEB=。（題5）（題6）（題7）（題9）6．如圖，△ABD≌△ACD，AB=AC，則∠BAD=∠，BD=，∠ADB=度7．如圖，若△ABC≌△EDC，且∠B=58o，CD=2cm，點B，C，E在同一直線上，則∠E=，BC=cm.8．若△ABC≌△DEF，△DEF的周長為32cm，DE=9cm,EF=12cm，則AB=cm,BC=___cm，AC=9．如圖，直角△ABC沿直角邊BC所在的直線向右平移得到△DEF，則下列結(jié)論中錯誤的是()A.△ABC≌△DEFB.∠DEF=90oC．AC=DFD．EC=CF10.下列說法，(1)形狀相同的兩個三角形是全等三角形；(2)面積相等的兩個三角形是全等三角形；(3)全等三角形的周長相等，面積相等；(4)若△ABC≌△DEF，則∠A=∠D，AB=EF.其中正確的個數(shù)有()A.l個B.2個C．3個D．4個11．如圖所示，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，則下列結(jié)論：①AC=AF;②∠FAB=∠EAB；③EF=BC;④∠EAB=∠FAC.其中正確結(jié)論的個數(shù)是()A.l個B.2個C.3個D.4個如圖，在△ABC中，D、E分別是邊AC、BC上的點，若△ADB≌△EDB≌△EDC，則∠C的度數(shù)為()A．15oB．20oC．25oD．30o（題11）（題12）（題13）（題14）（題15）（題16）13．如圖，△ABC≌△CDA，下列各組邊中，不是對應邊的是()A．AB與DCB.AC與CAC.AD與CBD.AD與DC14.如圖，△ABC≌△ADE，點B的對應點是點D．若∠BAD=100o，∠CAE=40o，求∠BAE的度數(shù)．15、如圖所示，△ABC≌△AEC，B和E是對應頂點，∠B=30°，∠ACB=85°，求△AEC各內(nèi)角的度數(shù)．

16、如圖，已知≌，求證：第二講全等三角形的判定（SSS）知識要點1、三角形全等的判定方法一：SSS三邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）。書寫格式：ABCA’B’C’在△ABC和ABCA’B’C’∵∴△ABC≌△A’B’C’（SSS）規(guī)律方法小結(jié)：（1）有的題目可以直接從圖中找到全等的條件，而有的題目的條件則隱含在題設或圖形之中，我們一定要認真讀圖，準確地把握題意，找準所需條件。（2）數(shù)形結(jié)合思想：將“數(shù)”與“形”結(jié)合起來進行分析、研究，這是解決問題的一種思想方法。典型例題例1.在△ABC中，AB=AC，AD是三角形的中線.求證：△ABD≌△ACDBBCDEFA例2．已知：如圖，A、C、F、D在同一直線上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，求證：ABCDEF．例3.如圖，點A，B，C，D在同一直線上，且AD=BC，AE=BF，CE=DF.求證:DF//CE.、例4.如圖，已知△ABE≌△ACD，求證：∠l=∠2.例5.如圖，點A，C，B，D在同一條直線上，且AC=BD，AM=CN，BM=DN.求證：AM∥CN，BM∥DN．例6.已知：如圖，四邊形ABCD中，AB=CB，AD=CD，求證：∠A=∠C．例7．如圖所示，AB=AE．BC=ED，CF=FD．AC=AD，求證：∠BAF=∠EAF.（三）練習：1．如圖，若AB=AC，BD=CD，∠B=62o，則∠BAC=度．2．如圖，已知AB=CD，AD=CB，還有條件，可判定△ABC≌△CDA，其依據(jù)是．（題1）（題2）（題3）3．如圖，在△ABD和△ACE中，已知AB=AC，BD=CE，AD=AE，若∠l=20o，則∠2=．4．如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD交于點0，且AO=BO，CO=DO，AD=BC，則圖中全等三角形有對．5．如圖，已知AB=BC．AD=CD，∠ABC=80o，∠ADC=50o，則∠A=o，∠C=o．（題4）（題5）（題6）6．如圖，已知AB=AC，點D為BC的中點，下列結(jié)論：(1)△ABD≌△ACD；(2)∠B=∠C;(3)AD平分∠BAC;(4)AD⊥BC.其中正確的個數(shù)是()A．1個B．2個C.3個D.4個7．下列說法：(1)周長相等的兩個等邊三角形全等；(2)有三個角對應相等的兩個三角形全等；(3)有三邊對應相等的兩個三角形全等；(4)有底和腰對應相等的兩個等腰三角形全等．其中正確說法的個數(shù)是()A.4個B．3個C．2個D．1個8．下列命題中正確的是()A．有兩條邊對應相等的兩個三角形全等B．兩個等邊三角形全等C．兩個等腰直角三角形全等D．三邊對應相等的兩個三角形的對應角也相等，9．如圖，已知AB=AC，BD=CD．求證：∠l=∠2.10.如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E分別是BC的三等分點，且AD=AE.求證：△ABD≌△ACE.11.如圖，在△ABC和△DCB中，AC和BD相交于點O，AB=DC，AC=BD，求證：OB=OC12.如圖，E、C兩點在線段BF上，BE=CF，AB=DE，AC=DF，求證：△ABC≌△DEF13.如圖16，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC與DB交于點M.(1)求證：△ABC≌△DCB；(2)過點C作CN∥BD，過點B作BN//AC，CN與BN交于點N，試判斷線段∠NBC和∠NCB數(shù)量關(guān)系．并證明你的結(jié)論．14.已知如圖，A、E、F、C四點共線，BF=DE，AB=CD.⑴請你添加一個條件，使△DEC≌△BFA；⑵在⑴的基礎上，求證：DE∥BF.第三講全等三角形的判定（SAS）（一）知識要點1、三角形全等的判定方法二：SAS兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）。書寫格式：ABCA’B’C’在△ABC和ABCA’B’C’∵∴△ABC≌△A’B’C’（SAS）知識延伸：“SAS”中的“A”必須是兩個“S”所夾的角。例1.如圖所示，直線AD、BE相交于點C，AC=DC，BC=EC.求證：AB=DE例2：如圖，AD⊥AE，AB⊥AC，AD=AE，AB=AC。求證：△ABD≌△ACEAABCDE規(guī)律·方法：證明三角形全等時，一般需要三個條件，如果已知兩對邊，就試著去找第三對邊或這兩對邊的夾角，利用“SSS”或“SAS”來證明兩個三角形全等；例3：如圖，C為BE上一點，點A，D分別在BE的兩側(cè)，AB∥ED，AB=CE，BC=ED。求證：AC=CDAABCDE例4．如圖，已知AB=AC，AD=AE，∠1=∠2.求證：CE=BD．例5：如圖，點E,F在BC上，BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.求證:∠A=∠D例6.如圖，BE、CF分別是△ABC的高．P是BE上一點。且BP=AC，Q是CF延長線上一點，且CQ=AB，求證：AP⊥AQ.（三）練習1．如圖，已知∠l=∠2，AD=AC，則△____≌△，其依據(jù)是。2．如圖，∠l=∠2，AB=AC，AE=AD，則△ABD≌△，依據(jù)是，由此還可得BD=。（題1）（題2）（題3）3．如圖，AC=AB，AD平分∠CAB，點E在AD上，則圖中全等的三角形有____對，它們是。4．（天門）如圖，已知AE=CF，∠A=∠C，要使△ADF≌△CBE，還需添加一個條件（只需寫一個）．5．小明為了測量池塘對岸A，B兩點間的距離，作了如下的操作（如圖）：①取一能夠到達A，B兩點的點D;②連接AD并延長AD于點E，使AD=ED．連接BD并延長BD至C，使BD=CD;③連接CE.那么要知道AB的長度，應測量線段的長度．（題4）（題5）（題6）（題7）6．如圖，已知AD⊥BC于點D，BD=CD，點E在AD上；則圖中全等三角形共有()A.l對B.2對C.3對D.4對7．如圖有下列四個條件：①BC=B′C；②AC=A′C；③∠A′CA=∠B′CB；④AB=A′B′其中任取三個為題設，余下的一個為結(jié)論，則最多可以構(gòu)成正確的命題的個數(shù)是()A.l個B。2個C.3個D.4個8．下列命題中錯誤的是()A．有兩邊對應相等的兩個等腰三角形全等B．有兩邊和一角對應相等的兩個三角形全等C．有兩邊和其中一邊上的中線對應相等的兩個三角形全等D．有一邊對應相等的兩個等邊三角形全等9．下列條件中，可以判定△ABC和△A′B′C′全等的是()A.BC=BA,B′C′=B′A′，∠B=∠B′B．∠A=∠B′，AC=A′B′，AB=B′C′C.∠A=∠A′,AB=B′C′,AC=A′C′D.BC=B′C′,AC=A′B′,∠B=∠C′10.如右圖，已知AB∥CD，AB=CD，BE=DF，則圖中全等三角形的對數(shù)有()A．3對B．4對C．5對D.6對11．如圖，點A，E，B，D在同一直線上，在△ABC與△DEF中，AB=DE,AC=DF,AC∥DF.(1)求證：△ABC≌△DEF;(2)你還可以得到的結(jié)論是（寫出一個即可，不再添加其他線段，不再標注或使用其他字母）．12.如圖13，點C是AB的中點，CD∥BE，且CD=BE，求證：∠D=∠E.13.已知：如圖AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE求證：（1）△ABD≌△ACE（2）∠ADB=∠AEC14、如圖，在中，是上一點，交于點，，，與有什么位置關(guān)系？說明你判斷的理由。第四講全等三角形的判定（ASA及AAS）（一）知識要點1、三角形全等的判定三、四：ASA及AAS兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）。書寫格式：ABCA’B’C’在△ABC和ABCA’B’C’∵∴△ABC≌△A’B’C’（ASA）知識延伸：“ASA”中的“S”必須是兩個“A”所夾的邊。兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）。書寫格式：在△ABC和△A’B’C’中，ABCABCA’B’C’∴△ABC≌△A’B’C’（AAS）知識延伸：“AAS”可以看成是“ASA”的推論。規(guī)律方法小結(jié)：由“角邊角”及“角角邊”可知兩角及一邊對應相等的兩個三角形全等。無論這個一邊是“對邊”還是“夾邊”，只要對應相等即可。(二)例題講解：例1.如圖所示，D在AB上，E在AC上，AB=AC,∠B=∠C.求證：AD=AE例2.如圖，AB⊥BC,AD⊥DC,∠1=∠2.求證：AB=AD練習：如圖所示,點B、F、C、E在同一條直線上，AB∥DF，AC∥DE，ACDE，F(xiàn)C與BE相等嗎？請說明理由.例3．已知：如圖，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分別為D、E，BD、CE相交于點F，求證：BE=CD．AACBDEFABCDA’B’C’D’例4：如圖，已知△ABC≌△A’B’C’，AD，A’D’分別是△ABC和△A’BABCDA’B’C’D’例5．如圖，點E在AC上，∠1=∠2，∠3=∠4.試證明BE=DE.（三）練習1．如圖，已知AB=DC，AD=BC，E，F(xiàn)是DB上的兩點，且BE=DF.若∠AEB=100o，∠ADB=30o．則∠BCF=。2．如圖，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為點D，E，BE，CD相交于點O，∠1=∠2，則圖中的全等三角形共有對．（題1）（題2）（題3）（題4）3．如圖，AC與BD相交于點O，∠1=∠4，∠2=∠3．△ABC的周長為25cm17cm，則AB=.4．（海南）在△ABC和△中，AB=AB，∠A=∠A，要使△ABC≌△ABC，還需添加一個條件，這個條件可以是．5．如圖，∠E=F=∠90o．∠B=∠C，AE=AF.給出下列結(jié)論：①∠l=∠2；②BE=CF;③△ACN≌△ABM；④CD=DN.其中正確的結(jié)論是____（注：將你認為正確的結(jié)論都填上）．6．下列結(jié)論：(1)一個銳角與斜邊對應相等的兩個直角三角形全等；(2)-腰對應相等的兩個等腰直角三角形全等；(3)三個角對應相等的兩個三角形全等；(4)頂角與一腰對應相等的兩個等腰三角形全等，其中正確的個數(shù)有()A．1個B．2個C.3個D.4個7．（成都）如圖，在△ABC與△DEF中，已知AB=DE，要使△ABC≌△DEF，不能添加的一組條件是()A、∠B=∠E，BC=EFB、BC=EF,AC=DFC、∠A=∠D,∠B=∠ED、∠A=∠D,BC=EF.8．下列條件中，能判定兩個三角形全等的是()A．有兩邊及一角對應相等B．有三個角對應相等C．有兩角及一邊對應相等D．有兩條邊對應相等9．如圖，已知△ABC的面積為36，將△ABC沿BC平移可得到△A′B′C′，點B′和C重合，連接AC′交A′C于D，則△C′DC的面積為()A．6B．9C．12D．18（題9）（題10）10.如圖所示，在LAOB的兩邊上截取AO=BO，CO=DO，連接AD，BC交于點P．有下列結(jié)論①△AOD≌△BOC;②△APC≌△BPD；③點P在∠AOB的平分線上．其中正確的是()A．只有①B．只有②C．①②D．①②③11.如圖，已知點E、C在線段BF上，BE=CF,AB∥DE,∠ACB=∠F.求證：△ABC≌△DEF.12.如圖所示，∠l=∠2，∠D=∠C，求證；AC=BD.13、如圖，已知∠A=∠B=∠DCE，CD=CE．

(1)說明△ACD與△BEC全等的理由；(2)請判斷線段AB、AD、BE之間有怎樣的數(shù)量，并說明理由．

第五講全等三角形的判定（HL）（一）知識要點1、直角三角形全等的判定方法：HLABCA’B’C’斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成ABCA’B’C’書寫格式：在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，∵∴Rt△ABC≌Rt△A’B’C’（HL）規(guī)律方法小結(jié)：證明兩個直角三角形全等的方法：除了證明一般三角形全等的方法SSS，SAS，ASA，AAS以外，還有一個特殊的證明方法：HL（斜邊、直角邊），從表面上看，SSS，SAS，ASA，AAS都是三個條件，其實，HL也是三個條件，除了直角邊、斜邊對應相等這兩個條件以外，還有“必須在Rt△”中才能用這種方法。(二)經(jīng)典例題例1：如圖，在Rt△ABC中，∠A=900，點D為斜邊BC上一點，且BD=BA，過點D作BC的垂線，交ABABCDEBCDEFA例2：已知：BE⊥CD，BEBCDEFA求證：①BECDAE；②DF⊥BC．例3．如圖，CD⊥AB于點D，BE⊥AC于點E，BE，CD交于點O，且AO平分∠BAC.求證：OB=OC.例4.如圖，∠ACB∠=ADB=90o．AC=AD，點E是AB上任意一點．求證：CE=DE.例5.如圖，AD為△ABC的高，E為AC上的一點，BE交AD于F，且有BF=AC，F(xiàn)D=CD．(1)求證：BE⊥AC；(2)若把條件BF=AC和結(jié)論BE⊥AC互換，那么這個命題成立嗎？證明你的論斷．（三）練習1．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，再添加一個條件（只需填一個），就可以判定△ABD≌△ACD.（題1）（題2）（題3）（題4）2．如圖，AB=CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F．若BE=CF，則△ABE≌△，其依據(jù)是.3．已知RtABCA′B′C′,∠C′=∠C=90o,AB=5,BC=4,AC=3,則A′B′C′的周長是，面積是，斜邊上的高為_____．4．如圖，在RtABC中，∠BAC=90o,AB=AC,分別過B，C作經(jīng)過A點的直線的垂線BD，CE.若BD=3cm．CE=4cm，則DE=。5．如圖所示，有兩個長度相等的滑梯(即BC=EF)，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯的水平方向的長度DF相等，則∠ABC+∠DFE=。

（題5）（題7）（題9）（題10）6．兩個直角三角形全等的條件是()A．一銳角對應相等B．一條邊對應相等C．兩銳角對應相等D．兩條邊對應相等7．如圖，已知AB=CD，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，AE=CF，則圖中全等的三角形有()A.l對B．2對C．3對D．4對8．下列命題中，正確的有()①兩直角邊對應相等的兩個直角三角形全等；②兩銳角對應相等的兩個直角三角形全等；③斜邊和一直角邊對應相等的兩個直角三角形全等；④一銳角和一直角邊對應相等的兩個直角三角形全等；⑤一銳角和斜邊對應相等的兩個直角三角形全等．A．5個B．4個C．3個D．2個9．如圖所示，∠C=90o，DE⊥AB于點D，BD=BC，如果AC=6cm，則AE+DE=()A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm10.如圖所示，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC、BD相交于O，如果AC=BD，那么下列結(jié)論：①AD=BC；②∠ABC=∠BAD；③∠DAC∠=CBD;④OC=OD．其中正確的是()．A．①②⑤④B．①②③C．①②D．②③11．已知：如圖,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是垂足,DE=BF.求證：(1)AF=CE；(2)AB∥CD．12.如圖所示，AC⊥CF于點C，DF⊥CF于點F，AB與DE交于點D，且EC=BF，AB=DE．求證：AE=BD.13、如圖，點、、、在同一條直線上，，，，且，求證：14、如圖，、、、在同一條直線上，于，于，，．探究與的關(guān)系，并說明理由．第六講全等三角形的判定綜合ABABCDEFO例1：如圖，已知AB∥CD，OA=OD，AE=DF。求證：EB∥CF例2.如圖,已知;CD⊥AB,于D,BE⊥AC于E,BE、CD交于點O，且AO平分∠BAC.求證:OB=OC.例3．如圖，A、F、C、D四點在同一直線上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE._F_E_D_F_E_D_C_B_A（2）∠CBF=∠FEC.例4：在直角三角形ABC中,AC=BC,∠C=90°,D是AB邊上任一點,AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD的延長線于F,CH⊥AB于H,交AE于G,求證:BD=CG.例5.如圖.已知AB=DC,∠A=∠D,求證:∠ABC=∠DCB.二．課后練習：1、如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DE⊥AB、DF⊥AC，垂足為E、F，求證：EB=FC2、已知：如圖12，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F(xiàn)是垂足，DE=BF。ADECBFADECBF（2）AE=CF。3、如圖，已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分別過B，C向經(jīng)過點A的直線EF作垂線，垂足為E，F(xiàn)。（1）證明：EF與斜邊BC不相交時，則有EF=BE+CF（如圖1）。（2）如圖2，EF與斜邊BC相交時，其他條件不變，你能得到什么結(jié)論？請給出證明。(8分)4、已知：如圖,D、E分別是△ABC的邊AB,AC的中點,點F在DE的延長線上,且EF=DE．求證：(1)BD=FC(2)AB∥CF5、已知，△ABC和△ECD都是等邊三角形，且點B，C，D在一條直線上求證：BE=ADEDEDCAB第七講角的平分線的性質(zhì)ABABCDEOP1、角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊距離相等。符號語言：如圖，已知OC是∠AOB的角平分線，點P是OC上一點，PD⊥OA于點D，PE⊥OB于E，則PD=PE。2、角的平分線的性質(zhì)的推導：已知，如上右圖，OC是∠AOB的角平分線，點P是OC上一點，PD⊥OA于點D，PE⊥OB于E，求證：PD=PE。證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴∠ODP=∠OEP=900（垂直的定義）又∵OC平分∠AOB（已知）∴∠AOC=∠BOC（角的平分線定義）在Rt△DOP和Rt△EOP中ABABCDEOP∴Rt△DOP≌Rt△EOP（AAS）∴PD=PE（全等三角形的對應邊相等）2、角的平分線的逆應用（角平分線的判定）角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。CABED如右圖，點P在∠AOB內(nèi)部的一條射線OC上，并且PD⊥OA于點D，PECABED（二）典型例題例1：在△ABC中，∠C=900，AD是∠BAC的平分線，若DC=6，則D點到AB的距離是_______________。OABCDE例2：如圖，已知OE平分∠OABCDE求證：EA=EB例3.如圖，在△ABC中，∠A=90o，AC=AB，BD是∠ABC的平分線，DE⊥BC于點E，已知BC=10cm，求△EDC的周長．ABCDEOABCDEO12求證：∠1=∠2ABDPOMN例5：如圖所示，已知OD平分ABDPOMN規(guī)律·方法：運用腳平分線的性質(zhì)解題時，應注意兩點：（1）應注意交代清楚角平分線及角平分線上的點到角兩邊的距離這兩個方面，既不允許心里想到而不書寫其過程，更不允許在條件不具備時而得到線段相等的結(jié)論；（2）運用角平分線時，可以省去證明三角形全等的過程，可以直接得到線段相等，以免走回頭路。ABCDEFO例6：如圖，AD是△ABC中ABCDEFO例7：如圖，在四邊形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC。ABCD求證：∠A+∠ABCD(三)練習1．如圖，在△ABC中，已知∠C=90o，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么點D到直線AB的距離是cm．2．如圖，已知∠BAC與∠ACD的平分線交于點D．OE⊥AC于點E，且OE=2cm，則點D到AB，CD的距離之和是____．3．如圖，已知點C是∠AOB平分線上的一點，點P，P′分別在OA，OB上，若要得到OP=OP′，需要添加以下條件(1)∠OCP=∠OCP′；(2)∠OPC=∠OP′C;(3)PC=P′C;(4)PP′⊥OC中的某一個即可，請你寫出所有可能的結(jié)果序號：．4．如圖，已知點P到BE，BD．AC的距離都相等，則點P的位置：(1)在∠B的平分線上；(2)在∠DAC的平分線上；(3)在∠ECA的平分線上；(4)恰是∠B，∠DAC，∠ECA三條角平分線的交點，則上述結(jié)論中，正確的有____個．（題4）（題5）（題6）（題7）（題8）5．如圖，點P是∠BAC的平分線AD上的一點，PE⊥AC于點E，已知PE=3，則點P到AB的距離是()A．3B．4C．5D．66．如圖所示，點P是∠BAC的平分線上一點．PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，則下列結(jié)論(1)PM=PN;(2)AM-AN=0．(3)△APM和△APN的面積相等；(4)∠PAN+∠APM=90o中，正確的個數(shù)有()A.1個B.2個C.3個D．4個7．如圖所示，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC．DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，則下列四個結(jié)論(1)BD=CD且AD=BC;(2)∠BDE=∠CDF;(3)AD上任意一點到線段BC兩端點距離相等；(4)AD上任意一點到AB，AC的距離相等．其中正確的有()A．0個B．1個C．2個D．3個8．如圖，AB=AD，∠ABC=ADC=90o，則①AC平分∠BAD，②CA平分∠BCD，③AC平分BD，④BD平分∠ADC中，正確的結(jié)論有()A．①②B．①②③C．①②③④D．只有①9．如圖，△ABC中，AB=AC，M為BC的中點，MD⊥AB于D，ME⊥AC于E求證：MD=ME.10.如圖，是的角平分線，，，垂足分別是。連接，交于點。說出與之間有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論。11.如圖，是的外角的平分線上一點，于，于，且交的延長線于。求證：。第八講全等三角形復習測試題一、填空題．（30分）1．下列條件能確定△ABC的形狀和大小的是()A.AB=4,BC=5,∠C=60oB.AB=6,∠C=60o,∠B=70o。C.∠C=60o,∠B=70o,∠A=50oD.AB=4,BC=5,AC=102．（無錫）如圖，△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)80o得到△OCD，已知∠AOB=45o，則∠AOD=()A．55oB．45oC．40oD．35o(2題)（3題）（5題）（6題）3．如圖，AD是△ABC的中線，E，F(xiàn)分別是AD和AD延長線上的點，且DE=DF.連接BF，CE，下列說法(1)CE=BF；(2)△ABD和△ACD的面積相等；(3)BF∥CE;(4)△BDF≌△CDE中正確的有()A.l個B.2個C.3個D．4個4．現(xiàn)有長為3cm，4cm，6cm，8cm的木條各兩根，小明與小剛分別取了3cm和4cm的木條各一根，要使兩人所取的三根木條能組成三角形且組成的兩個三角形全等，則他倆取的第三根木條應為()A．一個人取6cm的木條，一個人取8cm的木條B．兩人都取6cm的木條C．兩人都取8cm的木條D.B、C兩種取法都可以5．如圖，已知∠l=∠2，AC=AD，有下列條件：①AB=AE;②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E，添加其中一個能使△ARC≌△AED的條件有()A.4個B．3個C．2個D．1個6．如圖，AB=AC，BE⊥AC于點E，CF⊥AB于點F，BE，CF交于點D，則(1)△ABE≌△ACF;(2)△BDF≌△CDE;(3)點D在∠BAC的角平分線上．其中正確的結(jié)論有()A.(1)B.(2)C.(1)與(2)D.(1)(2)(3)7．下列條件不一定能使兩個三角形全等的是()A．兩邊一角對應相等B．兩角及其中一角的對邊對應相等C．三邊對應相等D．兩邊及其夾角對應相等8．如圖，△ABC中BC邊上的高為h，△DEF中DE邊上的高為h，下列結(jié)論正確的是()（8題）（9題）（10題）9．如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在CD、BC邊上，且BF=CE，連接BE、AF相交于G，則下列結(jié)論錯誤的是()A.BE=AFB．∠DAF=∠BECC.∠AFB+∠BEC