小專題復(fù)習(xí)課（五）平面解析幾何

小專題復(fù)習(xí)課（五）平面解析幾何熱點聚焦考情播報熱點一：直線的方程1.以直線的方程，兩條直線的垂直與平行，點到直線的距離公式為主要考查對象，常與圓、圓錐曲線等知識交匯命題2.試題以選擇題、填空題形式出現(xiàn)時，考查學(xué)生的雙基，屬基礎(chǔ)題，以解答題形式出現(xiàn)時，常與圓錐曲線綜合，屬中高檔題熱點二：圓的方程1.圓的方程、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，是高考命題的主要對象，常與直線、圓錐曲線等知識交匯命題2.多以選擇、填空題為主，突出考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，以及函數(shù)與方程思想熱點聚焦考情播報熱點三：圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)1.圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)是每年高考中必考的內(nèi)容，試題可以直接考查根據(jù)圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求范圍、對稱性、離心率等知識，也可以利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程2.多以選擇、填空題形式出現(xiàn)，考查學(xué)生分析問題，解決問題的能力，考查學(xué)生的基本運算能力及數(shù)形結(jié)合思想，有時也出現(xiàn)在解答題的第(1)問中，屬基礎(chǔ)題熱點聚焦考情播報熱點四：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用1.該類試題一般為高考的壓軸題，以圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系為載體，通過直線與圓錐曲線相交得到的弦的弦長，弦中點及與弦端點坐標(biāo)有關(guān)的計算來考查，常與向量、函數(shù)等知識交匯命題2.試題以解答題為主，主要考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力，考查基本運算能力，邏輯推理能力熱點聚焦考情播報熱點五：圓錐曲線的綜合性問題

1.該類試題一般以橢圓或者拋物線為依托，圍繞直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.考查對定點、定值、最值、參數(shù)取值范圍等問題的求解與證明，常與函數(shù)、方程、不等式、平面向量等知識交匯命題2.多以解答題的形式出現(xiàn)，考查學(xué)生綜合運用相關(guān)知識解決問題的能力以及運算能力，屬于高檔題熱點一

直線的方程1.(2013·吉首模擬)已知傾斜角為α的直線l與直線x-2y+2=0平行，則tan2α的值為()【解析】選B.依題意，得：2.(2013·邵陽模擬)點P(2,-1)為圓(x-3)2+y2＝25的一條弦的中點，則該弦所在直線的方程是__________.【解析】點P(2，-1)為圓(x-3)2+y2=25的弦的中點，設(shè)該圓的圓心為C，則該弦所在直線與PC垂直，故弦所在直線的方程為x+y-1=0.答案:x+y-1=03.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B分別為直線x+y=2與x,y軸的交點，C為AB的中點，若拋物線y2=2px(p>0)過點C，則焦點F到直線AB的距離為______.【解析】由題意，得A(2,0),B(0,2),C(1,1)，所以拋物線方程為y2=x，所以焦點為所以點F到直線AB的距離為答案:熱點二

圓的方程1.(2013·常德模擬)已知圓(x-a)2+(y-b)2=r2的圓心為拋物線y2=4x的焦點，且與直線3x+4y+2=0相切，則該圓的方程為()(C)(x-1)2+y2=1(D)x2+(y-1)2=1【解析】選C.拋物線y2=4x的焦點為(1，0)，則a=1,b=0.所以圓的方程為(x-1)2+y2=1.2.(2013·成都模擬)圓心在曲線(x>0)上，且與直線3x+4y+3=0相切的面積最小的圓的方程為()【解析】選A.設(shè)圓心坐標(biāo)為則當(dāng)且僅當(dāng)x=2時取等號，所以半徑最小時圓心為圓方程為3.已知直線ax+by+c=0與圓O:x2+y2=1相交于A，B兩點，且|AB|=則＝__________.【解析】因為直線ax+by+c=0與圓O：x2+y2=1相交于A，B兩點，聯(lián)立得得(a2+b2)x2+2acx+c2-b2=0,令A(yù)(x1,y1),B(x2,y2),則又｜AB|=所以圓心距而答案:熱點三

圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)1.(2013·株洲模擬)已知雙曲線的漸近線為焦點坐標(biāo)為(-4，0)，(4，0),則雙曲線方程為()【解析】選D.由已知設(shè)雙曲線方程為(λ>0),即a2=λ,b2=3λ,∵焦點坐標(biāo)為(-4,0),(4,0),∴c＝4，即c2=a2+b2=4λ=16,∴λ=4,∴雙曲線方程為2.若雙曲線(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，線段F1F2被拋物線y2=2bx(b＞0)的焦點分成7∶5的兩段，則此雙曲線的離心率為()【解析】選C.因為線段F1F2被拋物線y2=2bx的焦點分成7∶5的兩段，所以36b2=4c2,36a2=32c2,∴3.(2013·濟南模擬)以拋物線y2=20x的焦點為圓心，且與雙曲線的兩條漸近線都相切的圓的方程為______.【解析】由已知可以知道，拋物線的焦點坐標(biāo)為(5，0)，雙曲線的漸近線方程為則所求的圓的圓心為(5，0)，利用圓心到直線3x-4y=0的距離為半徑r，則有故圓的方程為(x-5)2+y2=9.答案:(x-5)2+y2=94.(2013·懷化模擬)若橢圓(a＞0,b＞0)的焦點在x軸上，過點作圓x2+y2=1的切線，切點分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點，則橢圓的方程是_____.【解析】因為一條切線為x=1，直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點，所以橢圓的右焦點為(1,0)，即c=1，設(shè)點連接OP，則OP⊥AB，因為所以kAB=-2，又因為直線AB過點(1，0)，所以直線AB的方程為2x+y-2=0，因為點(0，b)在直線AB上，所以b=2，又因為c=1，所以a2=5，因此橢圓的方程為答案:熱點四

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用1.(2013·哈爾濱模擬)已知橢圓(a＞b＞0)的左焦點為點F到右頂點的距離為(1)求橢圓的方程.(2)設(shè)直線l與橢圓交于A，B兩點，且與圓相切，求△AOB的面積的最大值.【解析】(1)由題意得∴b2=a2-c2=1,∴橢圓方程為(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時，l的方程為代入橢圓方程此時|AB|=當(dāng)直線l的斜率為0時，l的方程為代入橢圓方程當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時，設(shè)直線l的方程為y=kx+m.點A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2，y2).由直線l與圓x2+y2=相切得即由方程組消去y得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0.|AB|2=(1+k2)［(x1+x2)2-4x1x2］

當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，此時|AB|max=2.∴△AOB面積的最大值為2.(2013·婁底模擬)已知橢圓(a>b>0),過點A(a,0),B(0,b)的直線傾斜角為原點到該直線的距離為(1)求橢圓的方程.(2)斜率小于零的直線過點D(1，0)與橢圓交于M，N兩點，若求直線MN的方程.(3)是否存在實數(shù)k，使直線y=kx+2交橢圓于P，Q兩點，以PQ為直徑的圓過點D(1，0)？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由.【解析】(1)由得a=b=1,所以橢圓方程是：(2)設(shè)MN:x=ty+1(t<0)代入得(t2+3)y2+2ty-2=0,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),由得y1=-2y2.由得∴t=-1,t=1(舍去).直線MN的方程為：x=-y+1,即x+y-1=0.(3)存在.理由如下：將y=kx+2代入得(3k2+1)x2+12kx+9=0(*)設(shè)P(x3,y3),Q(x4,y4)，PQ為直徑的圓過D(1，0)，則PD⊥QD，即(x3-1,y3)·(x4-1,y4)=(x3-1)(x4-1)+y3y4=0,又y3=kx3+2,y4=kx4+2，得(k2+1)x3x4+(2k-1)(x3+x4)+5=0①又代入①解得此時(*)方程Δ>0,∴存在滿足題設(shè)條件.熱點五圓錐曲線的綜合性問題1.(2013·天津模擬)已知△ABC的兩頂點A，B分別是雙曲線2x2-2y2=1的左、右焦點，且sinC是sinA，sinB的等差中項.(1)求頂點C的軌跡T的方程.(2)設(shè)P(-2,0),M，N是軌跡T上不同的兩點，當(dāng)PM⊥PN時，證明直線MN恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo).【解析】(1)由條件知A(-1,0),B(1,0),且sinA+sinB=2sinC,∴|BC|+|AC|=2|AB|=4,∴點C的軌跡是以A，B為焦點，長軸長2a=4的橢圓(不包括x軸上兩點),∴點C的軌跡T的方程是(x≠±2).(2)設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，直線MN:x=my+b,由得(3m2+4)y2+6mby+3b2-12=0,∴=(x1+2)(x2+2)+y1y2=(my1+b+2)·(my2+b+2)+y1y2=0,整理，得(m2+1)y1y2+m(b+2)(y1+y2)+(b+2)2=0,化簡,得7b2+16b+4=0,解得b=或b=-2(舍去),故直線2.(2013·長沙模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上,焦距為P是橢圓上一動點，△PF1F2的面積最大值為2.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)過點M(1，0)的直線l交橢圓C于A，B兩點，交y軸于點N，若求證：λ1+λ2為定值.【解析】(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a＞0,b＞0).因為焦距為所以當(dāng)點P在