高三復(fù)習(xí)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)和經(jīng)典試題的解題方法歸納

數(shù)列知識(shí)點(diǎn)和常用的解題方法歸納一、等差數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：an1and(d為常數(shù))，ana1n1d等差中項(xiàng)：x，A，y成等差數(shù)列2Axy前n項(xiàng)和Sna1annnn12na1d2性質(zhì)：an是等差數(shù)列（1）若mnpq，則amanapaq；（2）數(shù)列a2n1，a2n，kanb仍為等差數(shù)列；Sn，S2nSn，S3nS2n仍為等差數(shù)列；（3）若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為ad，a，ad；（4）若an，bn是等差數(shù)列Sn，Tn為前n項(xiàng)和，則amS2m1；bmT2m1（5）an為等差數(shù)列Snan2bn（a，b為常數(shù)，是關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)）Sn的最值可求二次函數(shù)Snan2bn的最值；也許求出an中的正、負(fù)分界項(xiàng)，即：當(dāng)a10，dan00，解不等式組可得Sn達(dá)到最大值時(shí)的n值。an10當(dāng)a10，d0，由an0an1可得Sn達(dá)到最小值時(shí)的n值。0如：等差數(shù)列an，Sn18，anan1an23，S31，則n（由anan1an233an13，∴an11a1a3·33a21，∴a21又S33211na1anna2an1·n318n27）∴Sn222二、等比數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：an1q（q為常數(shù)，q0），ana1qn1an等比中項(xiàng)：x、G、y成等比數(shù)列G2xy，或Gxyna1(q1)前n項(xiàng)和：Sna11qn1)（要注意!）1(qq性質(zhì)：an是等比數(shù)列（1）若mnpq，則am·anap·aq（2）Sn，S2nSn，S3nS2n仍為等比數(shù)列三、求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法1、公式法2、由Sn求an；（n1時(shí)，a1S1，n2時(shí)，anSnSn1）3、求差（商）法如：an11a212n51滿足a1222nan2解：n1時(shí)，1a1215，∴a1142n2時(shí)，11a21an12n152a122n12212得：1nan2，∴an2n1，∴an14(n1)2n1(n2)2［練習(xí)］數(shù)列an滿足SnSn15an1，a14，求an3（注意到an1Sn1Sn代入得：Sn14SnS14SnSn4nn2anSnSn13·4n1、疊乘法ana13an1nanann1a2·a3an1·2n1an1解：a1a2an123na1na13an3n、等差型遞推公式anan1f(n)a1a0ann2a2a1f(2)a3a2f(3)anan1f(n)ana1f(2)f(3)f(n)ana0f(2)f(3)f(n)［練習(xí)］ana11an3n1an1n2anan13n126、等比型遞推公式ancan1dcdc0c1d0anxcan1xancan1c1x(c1)xdxd1canda1cdcc11∴ancda1d·cn11c1∴ana1dcn1d1c1c［練習(xí)］數(shù)列an滿足a19，3an1an4，求ann1（an841）37、倒數(shù)法比方：a11，an12an，求an，由已知得：1an211an2an12an2an∴111，1為等差數(shù)列，1，公差為1an1an2ana11211n1·11n1，∴an2an22n1三、求數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法1、公式法：等差、等比前n項(xiàng)和公式2、裂項(xiàng)法：把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和，使之出現(xiàn)成對(duì)互為相反數(shù)的項(xiàng)。n1如：an是公差為d的等差數(shù)列，求k1akak1解：由11111d0ak·ak1akakddakak1∴n1n111k1akak1k1dakak11111111da1a2a2a3anan1111da1an1［練習(xí)］1111123123n12anSn21n1、錯(cuò)位相減法：anbnanbnnSnqSnSnqbnSn12x3x24x3nxn11x·Snx2x23x34x4n1xn1nxn2121xSn1xx2xn1nxnxSn1xnnxn1121xxx1Sn123nnn124、倒序相加法：把數(shù)列的各項(xiàng)次序倒寫(xiě)，再與原來(lái)次序的數(shù)列相加。Sna1a2an1anSnanan1a2a12Sna1ana2an1a1an［練習(xí)］f(x)x2f(1)1f(3)1f(4)11x2f(2)fff23421f(x)f1x2xx211x1x2121x21x21xf(1)f(2)f1f(3)f1f(4)f123411113122例1設(shè){an}是等差數(shù)列，若a2=3，a7=13，則數(shù)列{an}前8項(xiàng)的和為（）A．128B．80C．64D．56（福建卷第3題）略解：∵a+a7=a1+a8=16，∴{a}前8項(xiàng)的和為64，故應(yīng)選C．2n例2已知等比數(shù)列{an}滿足a1a23，a2a36，則a7（）A．64B．81C．128D．243（全國(guó)Ⅰ卷第7題）答案：A．例3已知等差數(shù)列an中，a26，a515，若bna2n，則數(shù)列bn的前5項(xiàng)和等于（）A．30B．45C．90D．186（北京卷第7題）略解：∵a5-a2=3d=9，∴d=3，b1=a26，b5=a10=30，bn的前5項(xiàng)和等于90，故答案是C．例4記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若S24,S420，則該數(shù)列的公差d（）A．2B．3C．6D．7（廣東卷第4題）略解：∵S4S2S24d12,d3,應(yīng)選B.例5在數(shù)列{an}中，an4n5，a1a2Lanan2bn，nN*,其中a,b為2常數(shù)，則ab．（安徽卷第15題）答案：－1．例6在數(shù)列{an}中，a12，an1anln(11)，則an（）nA．2lnnB．2(n1)lnnC．2nlnnD．1nlnn（江西卷第5題）答案：A．例7設(shè)數(shù)列an中，a12,an1ann1，則通項(xiàng)an___________．（四川卷第16題）此題要點(diǎn)察看由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，抓住an1ann1中an1,an系數(shù)相同是找到方法的打破口．略解：∵a12,an1ann1∴anan1n11，an1an2n21，an2an3n31，K，a3a221，a2a111，a1211．將以上各式相加，得ann1n1nnn1n2n3L21n1n11，故22應(yīng)填n(n1)+1．21例8若(x+)n的張開(kāi)式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，則張開(kāi)式中x4項(xiàng)的系數(shù)為2x( )A．6B．7C．8D．9(重慶卷第10題)答案：B．使用選擇題、填空題形式察看的文科數(shù)列試題，充分考慮到文、理科考生在能力上的差異，重視于基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的察看，命題設(shè)計(jì)時(shí)以教材中學(xué)習(xí)的等差數(shù)列、等比數(shù)列的公式應(yīng)用為主，如，例4以前的例題．例5察看考生關(guān)于等差數(shù)列作為自變量失散變化的一種特別函數(shù)的理解；例6、例7察看由給出的一般數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式的能力；例8則察看二項(xiàng)張開(kāi)式系數(shù)、等差數(shù)列等看法的綜合運(yùn)用．重慶卷第1題，浙江卷第4題，陜西卷第4題，天津卷第4題，上海卷第14題，全國(guó)Ⅱ卷第19題等，都是關(guān)于數(shù)列的客觀題，可供大家作為練習(xí)．例9已知｛a｝是正數(shù)組成的數(shù)列，a1=1，且點(diǎn)（an,an1）（n2+1n的圖象上.(Ⅰ)求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)若數(shù)列｛b｝滿足b=1，b=b+2an，求證：nn1n+1nb·bn+2＜b.（福建卷第20題）n2n+1略解：（Ⅰ）由已知，得a-a=1，又a=1,所以數(shù)列｛a｝是以1為首項(xiàng)，公差為1的n+1n1n等差數(shù)列．故an=1+(n-1)×1=n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知，an=n，從而bn+1-bn=2n，bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)++（b2-b1）+b1=2n-1+2n-2+n?b-b2=(2nn+2n+12n∴b2nnn+2n+2關(guān)于第（Ⅱ）小題，我們也可以作以下的證明：∵b2=1,bn·bn+2-bn21=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)-bn21=2n+1·bn+1-2n·bn+1-2n·2n+1＝2n（bn+1-2n+1）nnn+1nnnnb-2nnnnn例10在數(shù)列an中，a11，an12an2n．（Ⅰ）設(shè)bnan．證明：數(shù)列bn2n1是等差數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn．（全國(guó)Ⅰ卷第19題）略解：（Ⅰ）bnbn=an1an1=an12an2n=1，則bn為等差數(shù)列，b11，1nnn=n2222bnn，ann2n1．（Ⅱ）Sn1g202g21L(n1)g2n2ng2n1，2Sn1g212g22L(n1)g2n1ng2n．兩式相減，得Snng2n1g2021L2n1ng2n2n1=(n1)2n1．關(guān)于例10第（Ⅰ）小題，基本的思路不外乎推出后項(xiàng)減前項(xiàng)差相等，即差是一個(gè)常數(shù)．可以用迭代法，但不可以由b-b=1，3-b2=1等有限個(gè)的考據(jù)歸納獲得bn為等差數(shù)列的結(jié)論，21犯“以偏蓋全”的錯(cuò)誤．第（Ⅱ）小題的“等比差數(shù)列”，在高考數(shù)列考題中出現(xiàn)的頻率很高，求和中運(yùn)用的“錯(cuò)項(xiàng)相減”的方法，在教材中求等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)給出，是“等比差數(shù)列”求和時(shí)最重要的方法．一般地，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最為重要的內(nèi)容常常其實(shí)不在結(jié)論自己，而在于獲得這一結(jié)論的路徑恩賜人們的有益啟示．例9、例10是高考數(shù)學(xué)試卷中數(shù)列試題的一種常有的重要題型，近似的題目還有浙江卷第18題，江蘇卷第19題，遼寧卷第20題等，其共同特點(diǎn)就是以等差數(shù)列或等比數(shù)列為依賴構(gòu)造新的數(shù)列．主要察看等差數(shù)列、等比數(shù)列等基本知識(shí)，察看轉(zhuǎn)變與化歸思想，察看推理與運(yùn)算能力．考慮到文、理科考生在能力上的差別，與理科試卷重視于理性思想，命題設(shè)計(jì)時(shí)以一般數(shù)列為主，以抽象思想和邏輯思想為主的特點(diǎn)不相同；文科試卷則重視于基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的察看，以察看詳盡思想、演繹思想為主．例11等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a13，前n項(xiàng)和為Sn，為等比數(shù)列,b11，{bn}且b2S264,b3S3960．(Ⅰ)求an與bn；(11L1．（江西卷第19Ⅱ)求和：S2SnS1題）略解：(Ⅰ)設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q，依題意有S2b2(6d)q64,S3b3(93d)q2960.d2,或d6,解之，得5(舍去，為什么？)故an32(n1)2n1,bn8n1．q8;q40.3（Ⅱ）Sn35L(2n1)n(n2)，∴11L1111L11(111111S1S2Sn132435n(n2)232435L11)1(1111)32n32)．nn222n1n242(n1)(n“裂項(xiàng)相消”是一些特別數(shù)列求和常常用的方法．使用解答題形式察看數(shù)列的試題，其內(nèi)容還常常是一般數(shù)列的內(nèi)容，其方法是研究數(shù)列通項(xiàng)及前n項(xiàng)和的一般方法，而且常常不只調(diào)察看數(shù)列，而是與其他內(nèi)容相綜合，以表現(xiàn)出對(duì)解決綜合問(wèn)題的察看力度．?dāng)?shù)列綜合題對(duì)能力有較高的要求，有必然的難度，對(duì)合理區(qū)分較高能力的考生起到重要的作用．例12設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn2an2n（，Ⅰ）求a1,a4；（Ⅱ）證明：a2an1n是等比數(shù)列；（Ⅲ）求an的通項(xiàng)公式．（四川卷第21題）略解：（Ⅰ）∵a1S1,2a1S12，所以a12,S12．由2anSn2n知，2an1Sn12n1an1Sn2n1得，an1Sn2n1①∴a2S1222226,S28，a3S22382316,S324，a4S32440．（Ⅱ）由題設(shè)和①式知，an12anSn2n1Sn2n2n12n2n，∴an12an是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．（Ⅲ）anan2an12an12an2L2n2a22a12n1a1n12n1此題要點(diǎn)察看數(shù)列的遞推公式，利用遞推公式求數(shù)列的特定項(xiàng)，通項(xiàng)公式等．推移腳標(biāo)，兩式相減是解決含有Sn的遞推公式的重要手段，使其轉(zhuǎn)變成不含Sn的遞推公式，從而有針對(duì)性地解決問(wèn)題．在由遞推公式求通項(xiàng)公式時(shí)，首項(xiàng)可否可以被吸取是易錯(cuò)點(diǎn)．同時(shí)，還應(yīng)注意到題目設(shè)問(wèn)的層層深入，前一問(wèn)常為解決后一問(wèn)的要點(diǎn)環(huán)節(jié)，為求解下一問(wèn)指明方向．例13數(shù)列an滿足a10,a22,an2(1cos2n)an4sin2n,n1,2,3,L,22（I）求a3,a4，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)Ska1a3La2k1，Tka2a4La2k，Wk2Sk(kN)，求使Wk1的所有k的值，并說(shuō)明原由．（湖2Tk南卷第20題）略解：（I）a3(1cos2)a14sin22a144,a4(1cos2)a24sin22a24,2一般地,當(dāng)n=2k1(kN)時(shí)，a2k1[1cos2(2k1)]a2k14sin2(2k1)a2k14,即a2k1a2k14.22所以數(shù)列a2k1是首項(xiàng)為0、公差為4的等差數(shù)列，所以a2k14(k1).當(dāng)n=2k(kN)時(shí)，a2k2(1cos22k)a2k4sin22k2a,所以數(shù)列a2k是首項(xiàng)222k為2、公比為2的等比數(shù)列，所以a2k2k.故數(shù)列a的通項(xiàng)公式為nan2(n1),n2k1(kN),n22,n2k(kN).（II）由（I）知，Ska1a3La2k1=04L4(k1)2k(k1),Tka2a4La2k222L2k2k12,Wk2Skk(k1)2Tk2k1.于是，W10,W21,W33,W43,W55,W615.22416下面證明:當(dāng)k6時(shí)，Wk1.事實(shí)上,當(dāng)k6時(shí)，Wk1Wk(k1)kk(k1)k(3k)0,即Wk1Wk.又W61,所以當(dāng)k6時(shí)，2k2k12kWk1.故滿足Wk1的所有k的值為3,4,5.數(shù)列知識(shí)點(diǎn)回顧第一部分：數(shù)列的基本看法1．理解數(shù)列定義的四個(gè)要點(diǎn)⑴數(shù)列中的數(shù)是按必然“次序”排列的，在這里，只重申有“次序”，而不重申有“規(guī)律”．所以，若是組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而次序不相同，那么它們就是不相同的數(shù)列．⑵在數(shù)列中同一個(gè)數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn)．⑶項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n是兩個(gè)根本不相同的看法．⑷數(shù)列可以看作一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集(或它的有限子集)的函數(shù)當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，但函數(shù)不用然是數(shù)列．2．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式一個(gè)數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系，若是用一個(gè)公式an=f(n)來(lái)表示，就把這個(gè)公式叫做數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。若給出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，則這個(gè)數(shù)列是已知的。若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，則Sn與an的關(guān)系是：anS1,n1=Sn1.n。Sn2第二部分：等差數(shù)列1．等差數(shù)列定義的幾個(gè)特點(diǎn)：⑴公差是從第一項(xiàng)起，每一項(xiàng)減去它前一項(xiàng)的差

(同一常數(shù))，即

d=a

n－an

1

(n≥2)或

d=a

n1－an

(n

N)．⑵要證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，必定對(duì)任意

nN

，an－an1=d(n

≥2)或

d=a

n1－an都成立．一般采用的形式為：①當(dāng)

n≥2

時(shí)，有

an－an1=d(d

為常數(shù))．②當(dāng)

n

N時(shí)，有

an1－an

=d(d

為常數(shù))．③當(dāng)

n≥2時(shí)，有

an1－an

=a

n－an1成立．若判斷數(shù)列

{a

n}不是等差數(shù)列，只要有

a3

－a2≠a2－a1

即可．2．等差中項(xiàng)若a、A、b成等差數(shù)列，即

A=a

b，則

A是

a與

b的等差中項(xiàng)；若

A=a

b，2

2則a、A、b成等差數(shù)列，故A=ab是a、A、b成等差數(shù)列，的充要條件。由于2aaan=n1n1，所以，等差數(shù)列的每一項(xiàng)都是它前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)。3．等差數(shù)列的基本性質(zhì)⑴公差為d的等差數(shù)列，各項(xiàng)同加一數(shù)所得數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差仍為d．⑵公差為d的等差數(shù)列，各項(xiàng)同乘以常數(shù)k所得數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差為kd．⑶若{an}、{bn}為等差數(shù)列，則{an±bn}與{kan＋b}(k、b為非零常數(shù))也是等差數(shù)列．⑷對(duì)任何m、nN，在等差數(shù)列{an}中有：an=am+(n－m)d，特別地，當(dāng)m=1時(shí)，便得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，此式較等差數(shù)列的通項(xiàng)公式更擁有一般性．⑸、一般地，若是l，k，p，，m，n，r，皆為自然數(shù)，且l+k+p+m+n+r+（兩邊的自然數(shù)個(gè)數(shù)相等），那么當(dāng){an}為等差數(shù)列時(shí)，有：al+ak+ap+=am+an+ap+．⑹公差為d的等差數(shù)列，從中取出等距離的項(xiàng)，組成一個(gè)新數(shù)列，此數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差為kd(k為取出項(xiàng)數(shù)之差)．⑺若是{an}是等差數(shù)列，公差為d，那么，an，an1，，a2、a1也是等差數(shù)列，其公差為－d；在等差數(shù)列{an}中，aml－al=amk－ak=md．(其中m、k、lN)⑻在等差數(shù)列中，從第一項(xiàng)起，每一項(xiàng)(有窮數(shù)列末項(xiàng)除外)都是它前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)．⑼當(dāng)公差d＞0時(shí)，等差數(shù)列中的數(shù)隨項(xiàng)數(shù)的增大而增大；當(dāng)d＜0時(shí)，等差數(shù)列中的數(shù)隨項(xiàng)數(shù)的減少而減?。籨＝0時(shí)，等差數(shù)列中的數(shù)等于一個(gè)常數(shù)．⑽設(shè)al，am，an為等差數(shù)列中的三項(xiàng)，且al與am，am與an的項(xiàng)距差之比lm=（≠－1），則am=alan．mn14．等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn=n(a1an)與Sn=na1＋n(n1)d的比較22前n項(xiàng)和公式公式適用范圍相同點(diǎn)Sn=n(a1an)用于已知等差數(shù)列的首項(xiàng)和末項(xiàng)都是等差數(shù)2列的前n項(xiàng)Sn=na1＋n(n1)d用于已知等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差和公式25．等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn的基本性質(zhì)⑴數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn可以寫(xiě)成S=an2+bn的形式(其中a、b為常數(shù))．n⑵在等差數(shù)列{an}中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n(nN*)時(shí)，S偶－S奇=nd，S奇=an；S偶an1當(dāng)項(xiàng)數(shù)為(2n－1)(nN)時(shí)，S偶－S奇=an，S奇=n．S偶n1⑶若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，依舊成等差數(shù)列，公差為n2d．⑷若兩個(gè)等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和分別是Sn、Tn(n為奇數(shù))，則Sn=an12．Tnbn12⑸在等差數(shù)列{an}中，Sn=a，Sm=b(n＞m)，則Smn=nm(a－b)．nm⑹等差數(shù)列{an}中，Sn是n的一次函數(shù)，且點(diǎn)（n，Sn）均在直線y=dxnn2(a1－d)上．2⑺記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．①若a1＞0，公差d＜0，則當(dāng)an≥0且an1≤0時(shí)，Sn最大；②若a1＜0，公差d＞0，則當(dāng)an≤0且an1≥0時(shí)，Sn最?。谌糠郑旱缺葦?shù)列1．正確理解等比數(shù)列的含義⑴q是指從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比，次序不要錯(cuò)，即q=an1(nN)an或

q=

an

(n

≥2)．a(chǎn)n1⑵由定義可知，等比數(shù)列的任意一項(xiàng)都不為0，所以公比q也不為0．⑶要證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列，必定對(duì)任意nan1=q；或an=q(nN，an1an≥2)都成立．2．等比中項(xiàng)與等差中項(xiàng)的主要差別若是G是a與b的等比中項(xiàng)，那么G=b，即G2=ab，G=±ab．所以，aG只要兩個(gè)同號(hào)的數(shù)才有等比中項(xiàng)，而且等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；若是．．A是

a與

b的等差中項(xiàng)，那么等差中項(xiàng)

A唯一地表示為

A=a

b，其中，a與

b2沒(méi)有同號(hào)的限制．在這里，等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)既有數(shù)量上的差別，又有限制條．．件的不相同．3．等比數(shù)列的基本性質(zhì)⑴公比為q的等比數(shù)列，從中取出等距離的項(xiàng)，組成一個(gè)新數(shù)列，此數(shù)列仍是等比數(shù)列，其公比為qm(m為等距離的項(xiàng)數(shù)之差)．⑵對(duì)任何m、nN，在等比數(shù)列{an}中有：an=am·qnm，特別地，當(dāng)m=1時(shí)，便得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，此式較等比數(shù)列的通項(xiàng)公式更擁有寬泛性．⑶一般地，若是t，k，p，，m，n，r，皆為自然數(shù)，且t+k，p，，m+=m+n+r+(兩邊的自然數(shù)個(gè)數(shù)相等)，那么當(dāng){an}為等比數(shù)列時(shí)，有：at．a(chǎn)k．a(chǎn)p．=am．a(chǎn)n．a(chǎn)p．．．⑷若{a

n}是公比為

q的等比數(shù)列，則

{|a

n|}

、{a2n

}、{ka

n}、{

1an

}也是等比數(shù)列，其公比分別為|q|}、{q2}、{q}、{1}．q⑸若是{an}是等比數(shù)列，公比為q，那么，a1，a3，a5，，a2n1，是以q2為公比的等比數(shù)列．⑹若是{an}是等比數(shù)列，那么對(duì)任意在nN，都有an·an2=a2n·q20．⑺兩個(gè)等比數(shù)列各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，且公比等于這兩個(gè)數(shù)列的公比的積．⑻當(dāng)q＞1且a1＞0或0＜q＜1且a1＜0時(shí)，等比數(shù)列為遞加數(shù)列；當(dāng)a1＞0且0＜q＜1或a1＜0且q＞1時(shí)，等比數(shù)列為遞減數(shù)列；當(dāng)q=1時(shí)，等比數(shù)列為常數(shù)列；當(dāng)q＜0時(shí)，等比數(shù)列為搖動(dòng)數(shù)列．4．等比數(shù)列前

n項(xiàng)和公式

Sn的基本性質(zhì)⑴若是數(shù)列

{an

}是公比為

q的等比數(shù)列，那么，它的前

n項(xiàng)和公式是na1,當(dāng)q1時(shí),Sn=n(1q),當(dāng)q1時(shí).a11q也就是說(shuō)，公比為q的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是q的分段函數(shù)的一系列函數(shù)值，分段的界限是在q=1處．所以，使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，必定要弄清公比q是可能等于1仍是必不等于1，若是q可能等于1，則需分q=1和q≠1進(jìn)行談?wù)摚飘?dāng)已知a1，q，n時(shí)，用公式Sn=a1(1qn)；當(dāng)已知a1，q，an時(shí)，用1q公式Sn=a1anq．1q⑶若Sn是以q為公比的等比數(shù)列，則有Snm=Sm＋qSn．⑵⑷若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，依舊成等比數(shù)列．⑸若項(xiàng)數(shù)為3n的等比數(shù)列(q≠－1)前n項(xiàng)和與前n項(xiàng)積分別為S1與T1，次n項(xiàng)和與次n項(xiàng)積分別為S2與T2，最后n項(xiàng)和與n項(xiàng)積分別為S3與T3，則S1，S2，S3成等比數(shù)列，T1，T2，T3亦成等比數(shù)列．二、難點(diǎn)打破1．其實(shí)不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式，一個(gè)數(shù)列有通項(xiàng)公式在形式上也不一定唯一．已知一個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式更不是唯一的．2．等差(比)數(shù)列的定義中有兩個(gè)要點(diǎn)：一是“從第2項(xiàng)起”，二是“每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差(比)等于同一個(gè)常數(shù)”．這里的“從第2項(xiàng)起”是為了使每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)都確實(shí)存在，而“同一個(gè)常數(shù)”則是保證最少含有

3項(xiàng)．所以，一個(gè)數(shù)列是等差

(比)數(shù)列的必要非充分條件是這個(gè)數(shù)列最少含有

3項(xiàng)．3．?dāng)?shù)列的表示方法應(yīng)注意的兩個(gè)問(wèn)題：⑴{an}與an是不相同的，前者表示數(shù)列a1，a2，，an，，此后者僅表示這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)；⑵數(shù)列a1，a2，，an，，與會(huì)集{a1，a2，，an，，}不相同，差別有兩點(diǎn)：數(shù)列是一列有序排布的數(shù)，而會(huì)集是一個(gè)有確定范圍的整體；數(shù)列的項(xiàng)有明確的次序性，而會(huì)集的元素間沒(méi)有次序性．4．注意設(shè)元的技巧時(shí)，等比數(shù)列的奇數(shù)個(gè)項(xiàng)與偶數(shù)個(gè)項(xiàng)有差別，即：⑴對(duì)連續(xù)奇數(shù)個(gè)項(xiàng)的等比數(shù)列，若已知其積為S，則平時(shí)設(shè)，aq2，aq1，a，aq，aq2，；⑵對(duì)連續(xù)偶數(shù)個(gè)項(xiàng)同號(hào)的等比數(shù)列，若已知其積為S，則平時(shí)設(shè)，aq3，aq1，．．a(chǎn)q，aq3，．5．一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列的必要條件是該數(shù)列各項(xiàng)均不為0，所以，在研究等比數(shù)列時(shí)，要注意an≠0，由于當(dāng)an=0時(shí)，雖有a2n=an1·an1成立，但{an}不是等比數(shù)列，即“b2=a·c”是a、b、c成等比數(shù)列的必要非充分條件；比較等差數(shù)列{an}，“2b=a+c”是a、b、c成等差數(shù)列的充要條件，這一點(diǎn)同學(xué)們要分清．6．由等比數(shù)列定義知，等比數(shù)列各項(xiàng)均不為0，所以，判斷一數(shù)列可否成等比數(shù)列，第一要注意特別情況“0”．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式包括著分類談?wù)撍枷?，需分分q=1和q≠1進(jìn)行分類談?wù)摚谠敱M運(yùn)用公式時(shí)，常常因考慮不周而出錯(cuò)．?dāng)?shù)列基礎(chǔ)知識(shí)準(zhǔn)時(shí)練習(xí)題（滿分為100分+附加題20分，共120分；準(zhǔn)時(shí)練習(xí)時(shí)間120分鐘）一、選擇題（本大題共15小題，每題3分，共45分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)吻合題目要求的）1．以下四個(gè)數(shù)中，哪一個(gè)是數(shù)列{n(n1)}中的一項(xiàng)（）（A）380（B）39（C）35（D）232．在等差數(shù)列{a}中，公差d1，a4a8，則a2aa6a的值為（）n17420（A）40（B）45（C）50（D）553．一套共7冊(cè)的書(shū)計(jì)劃每2年出一冊(cè)，若各冊(cè)書(shū)的初版年份數(shù)之和為13979，則出齊這套書(shū)的年份是（）（A）1997（B）1999（C）2001（D）20034．一個(gè)項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)的等比數(shù)列，它的偶數(shù)項(xiàng)的和是奇數(shù)項(xiàng)和的2倍，又它的首項(xiàng)為1，且中間兩項(xiàng)的和為24，則此等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（）（A）12（B）10（C）8（D）65．已知1是a2與b2的等比中項(xiàng)，又是1與1的等差中項(xiàng)，則ab的值是（）aba2b2（A）1或1（B）1或1（C）1或1（D）1或122336．首項(xiàng)為－24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)開(kāi)始為正，則公差d的取值范圍是（）（A）d8（B）d3（C）8≤d3（D）8d≤33337．若是-1，a,b,c,-9成等比數(shù)列，那么（）（A）b=3,ac=9

(B)b=-3,

ac=9

(C)

b=3,ac=-9

(D)

b=-3,

ac=-98．在等差數(shù)列｛

an｝中，已知

a1=2,a2

+a3=13，則

a4

+a5+a6等于（

）9．已知某等差數(shù)列共有

10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為

15，偶數(shù)項(xiàng)之和為

30，則其公差為（

）C.3

D.210．若互不相等的實(shí)數(shù)

a,b,c

成等差數(shù)列，

c,a,b

成等比數(shù)列，且

a3b

c

10，則

a（）A．4

B

．2

C

．－2

D．－411．在等比數(shù)列｛

an｝中，a1＝1，a10＝3，則

a2a3a4a5a6

a7

a8a9=

（

）A.81

B.27

5

27

C.

3

D.24312．在等比數(shù)列

an

中,

a1

2,前

n項(xiàng)和為

Sn,若數(shù)列

an

1

也是等比數(shù)列

,則Sn等于（）(A)2n1

2

(B)

3n

(C)

2n

(D)

3n

1【談?wù)摗看祟}察看了等比數(shù)列的定義和求和公式，重視察看了運(yùn)算能力。13．設(shè)an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a1a2a315，a1a2a380，則a11a12a13（）A．120B．105C．90D．7514．設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S735，則a4（）A．8B．7C．6D．5S31S615．設(shè)Sn是等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，若S＝3，則S＝（）612（）3（）1（）1（）1A10B3C8D9二、填空題（本大題共5小題，每題3分，共15分.把答案填在題中橫線上）1．在數(shù)列{a}中，an1，且S9，則n．nnn1n2．等比數(shù)列{an}的前三項(xiàng)為x，2x2，3x3，則a43．若數(shù)列an滿足：a11,an12an.n1，2，3.則a1a2an.4．設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S4＝14，S10－S7＝30，則S9＝.5．在數(shù)列{an}中，若a11，an1an2(n1)，則該數(shù)列的通項(xiàng)an。三、解答題（本大題共4小題，每題10分，共40分）1．已知an為等比數(shù)列，a32,a2a420，求an的通項(xiàng)式。32．設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，S41,S817,求通項(xiàng)公式an?3．已知正項(xiàng)數(shù)列2且a1,a3,a15成等比數(shù)列，求數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和Sn滿足10Sn=an+5an+6{an}的通項(xiàng)an.4．?dāng)?shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn,a11,an12Sn1n1（Ⅰ）求an的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）等差數(shù)列bn的各項(xiàng)為正，其前n項(xiàng)和為T(mén)n，且T315，又a1b1,a2b2,a3b3成等比數(shù)列，求Tn本小題主要察看等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，以及推理能力與運(yùn)算能力。滿分12分。1.A解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得ac＝（－1）×（－9）＝9，b×b＝9且b與奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同，故b＝－3，選B解：在等差數(shù)列an中，已知a12,a2a313,∴d=3，a5=14，a4a5a6=3a5=42，選B.5a120d15d3，應(yīng)選C.10.D解：25d305a1解：由互不相等的實(shí)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列可設(shè)a＝b－d，c＝b＋d，由a3bc10可得b＝2，所以a＝2－d，c＝2＋d，又c,a,b成等比數(shù)列可得d＝6，所以a＝－4，選D解：由于數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，且a1＝1，a10＝3，所以a2a3a4a5a6a7a8a9＝（a2a9）（a3a8）（a4a7）（a5a6）＝（a1a10）4＝34＝81，應(yīng)選A【剖析】因數(shù)列an為等比，則an2qn1，因數(shù)列an1也是等比數(shù)列，(an11)2(an1)(an21)an122an1anan2anan2anan22an1則an(1q22q)0q1即an2，所以Sn2n，應(yīng)選擇答案C?！酒饰觥縜n是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a1a2a315，a1a2a380，則a25，aa(5d)(5d)16，∴d=3，aa10d35，a11a12a13105，選B.1