橢圓的簡單幾何性質(zhì)典型例題

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫橢圓的焦距。若M為橢圓上任意一點(diǎn)，則有。(1)當(dāng)d=2c時(shí)，軌跡是什么？(2)當(dāng)d<2c時(shí)，軌跡又是什么？當(dāng)d<|F1F2|軌跡不存在.3.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程步驟:(1)建系設(shè)點(diǎn)(2)寫出點(diǎn)的集合(3)寫出代數(shù)方程(4)化簡方程(四)方程推導(dǎo),學(xué)會建系121yOxb2b2cxyy2x2坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓方程其中a2=cxyy2x2注意若坐標(biāo)系的選取不同，可得到橢圓的不同的方程橢圓的焦點(diǎn)在y軸上(選取方式不同，調(diào)換x,y軸)焦點(diǎn)則變成F1(0,c),F2(0,c),xy理解：所謂橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，一定指的是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且兩焦點(diǎn)byOx就不能肯定焦點(diǎn)在哪個(gè)軸就不能肯定焦點(diǎn)在哪個(gè)軸ab類比，如a2b2中，由于，所以在x軸上的“截距”更大，因而焦點(diǎn)在x軸上(即看1(焦點(diǎn)在y軸上)。時(shí)表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；當(dāng)m<n時(shí)表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓。416例2一個(gè)橢圓的焦點(diǎn)將其準(zhǔn)線間的距離三等分，求橢圓的離心率．a(chǎn)1c313––含a和c的齊次方程，再化含e的方程，解方程即可．x2|la2+y2=1M2a2MM1+a2xM2a2MM1+a2xy11k=M==，∴a2=4，OMxa24M224的是待定系數(shù)法；(2)直線與曲線的綜合問題，經(jīng)常要借用根與系數(shù)的關(guān)系，來解決弦長、弦中點(diǎn)、弦斜率問題．25911(5)22x12(2)若線段AC的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)為T，求直線BT的斜率k．cca22c14∴AF=a-ex=5-x．1514同理CF=5-x．52∵AF+CF=2BF，且BF=，5 (51)(52)512 (2)因?yàn)榫€段AC的中點(diǎn)為(|4，)|，所以它的垂直平分線方程為 (2)x0y2y2y2y2121122∴y2=9(25x2)1251y9(25x2)2252∴y2y2=9(x+x)(xx)．12251212將此式代入①，并利用x+x=8的結(jié)論得120259∴k==．BT4x40x2y2312x2y2312左準(zhǔn)線l的距離MN是MF與MF的等比中項(xiàng)？若存在，則求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存2解：假設(shè)M存在，設(shè)M(x，y)，由已知條件得1112∵左準(zhǔn)線l的方程是x=4，Nx11112112121∵M(jìn)N2=MF.MF，121(21)(21)111則①與②矛盾，所以滿足條件的點(diǎn)M不存在．①②(1)利用焦半徑公式解?？珊喕忸}過程．(2)本例是存在性問題，解決存在性問題，一般用分析法，即假設(shè)存在，根據(jù)已知條結(jié)論(讀者自己完成)．例6已知橢圓x2+y2=1，求過點(diǎn)P(|1，1)|且被P平分的弦所在的直線方程．2(22)分析一：已知一點(diǎn)求直線，關(guān)鍵是求斜率，故設(shè)斜率為k，利用條件求k．解法一：設(shè)所求直線的斜率為k，則直線方程為y-1=k(|x-1)|．代入橢圓方程，并2(2)2122112212122(x2(x2|1解法二：設(shè)過P(|1，1)|的直線與橢圓交于A(x，y)、 (22)11B(x，y)，則由題意得22①②③④212⑤y-y11將③、④代入⑤得12=-，即直線的斜率為-．x-x222(1)有關(guān)弦中點(diǎn)的問題，主要有三種類型：過定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦；平行弦的中點(diǎn)(2)解法二是“點(diǎn)差法”，解決有關(guān)弦中點(diǎn)問題的題較方便，要點(diǎn)是巧代斜率．韋達(dá)定理應(yīng)用”及“點(diǎn)差法”．有關(guān)二次曲(1)長軸長是短軸長的2倍，且過點(diǎn)(2，-6)；(2)在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的聯(lián)機(jī)互相垂直，且焦距為6．x2y2a2x2y2x2y2y2x2x2y2y2x214837a2b2a2b2①a2b2a2b2x2y2a2b2x2y2x2y2x2y2y2x2x2y2y2x2a2b2a2b2為最小值時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．1分析：本題的關(guān)鍵是求出離心率e=，把2MF轉(zhuǎn)化為M到右準(zhǔn)線的距離，從而得21最小值．一般地，求AM+MF均可用此法．e1解：由已知：a=4，c=2．所以e=，右準(zhǔn)線2MM1說明：本題關(guān)鍵在于未知式AM+2MF中的“2即MF是M到右準(zhǔn)線的距離的一半，即圖中的MQ，問題轉(zhuǎn)化為求橢圓上一點(diǎn)M，使M3直線的距離為2d=22． (3)最小值例10設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率e=3，已知點(diǎn)P(|0，3)|到2(2)這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是7，求這個(gè)橢圓的方程，并求橢圓上的點(diǎn)P的距離等于7分析：本題考查橢圓的性質(zhì)、距離公式、最大值以及分析問題的能力，在求d的最大值時(shí)，要注意討論b的取值范圍．此題可以用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，也可用橢圓的參數(shù)方程，要善于應(yīng)用不等式、平面幾何、三角等知識解決一些綜合性問題，從而加強(qiáng)等價(jià)轉(zhuǎn)換、形數(shù)結(jié)合的思想，提高邏輯推理能力．a(chǎn)2b2c2a2–b2b2由e2===1–可得a2a2a2b31=1–e2=1–=，即a=2b．a(chǎn)424(2)如果b<，則當(dāng)y=–b時(shí)，d2(從而d)有最大值．2 (2)2222222由y=–1及求得的橢圓方程可得，橢圓上的點(diǎn)(|–3，–1)|，點(diǎn)(|3，–1)|到點(diǎn)2(2)(2) (2)abba2a2(a)b31=1–e2=1–=，即a=2b．a(chǎn)42設(shè)橢圓上的點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)P(|0，3)|的距離為d，則 (2) (2)(2) (2b)由題設(shè)得(7)2，由此得b=7-3>1，與b<1矛盾，因此必有1共1 (2)2222b于是當(dāng)sin9=-時(shí)d2(從而d)有最大值．∴所求橢圓的參數(shù)方程是〈ly=sin9．22(2)(2)分析：本題的關(guān)鍵是利用形數(shù)結(jié)合，觀察方程2x2+3y2=6x與橢圓方程的結(jié)構(gòu)一x2+y2-a2b2可見它表示一個(gè)橢圓，其中心在||3，0)|點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且過(0，x2+y2-a2b2 (2)m+1(m>-1)．在同一坐標(biāo)系中作出橢圓及圓，如圖所示．觀察圖形可知，當(dāng)圓過(0，0)點(diǎn)時(shí)，半徑a2b2此要從點(diǎn)的坐標(biāo)、斜率入手．本題的第(2)問中，其關(guān)鍵是根據(jù)什么去列出離心率e滿足列出不等式．這里要求思路清楚，計(jì)算準(zhǔn)確，一氣呵成．(2)設(shè)Q(x，y)a2∵x2=a2_y2b2b2ab2363x2y21k2x2y21k212k9445∴滿足條件的k=4或k=．4例14已知橢圓x2+y2=1上一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)F的距離為b(b>1)，求P到左準(zhǔn)線bb22bb22PF由橢圓第二定義，1=e，d為P到左準(zhǔn)線的距離，d1d1e即P到左準(zhǔn)線的距離為23b．PFc3解法二：∵2=e，d為P到右準(zhǔn)線的距離，e==，d2a22PF23∴d=2=b．2e3a283又橢圓兩準(zhǔn)線的距離為2.=b．c38323∴P到左準(zhǔn)線的距離為b一b=23b．33lysina3lysina3355∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(55例16設(shè)P(x,y)是離心率為e的橢圓x2+y2=1(a>b>0)上的一點(diǎn)，P到左焦00a2b212121020解：P點(diǎn)到橢圓的左準(zhǔn)線l：x=a2的距離，PQ=x+a2，c0cPFPQ10210說明：本題求證的是橢圓的焦半徑公式，在解決與橢圓的焦半徑(或焦點(diǎn)弦)的有關(guān)問9512(1)求PA+PF的最大值、最小值及對應(yīng)的點(diǎn)P坐標(biāo)；13(2)求PA+PF的最小值及對應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．22即代數(shù)方法．二是數(shù)形結(jié)合，即幾何方法．本題若按先建立目標(biāo)函數(shù)，再求最值，則不易解決；若抓住橢圓的定義，轉(zhuǎn)化目標(biāo)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，就能簡捷求解．2222PF+PF=2a=6F(2,0)，22PA+PFPF+PFAF=2aAF=62，等號僅當(dāng)PA=PFAF時(shí)成222222由PAPF+AF，∴PA+PFPF+PF+AF=2a+AF=6+2，等211222222(x+y2=0,5x2+9y2=45建立A、F的直線方程x+y5x2+9y2=4517147142714714PA+PF取最大值6+2．22PF23∴e=．由橢圓第二定義知2=e=，∴PQ=PF，∴3PQ32229準(zhǔn)線方程為x=．2725e22x2y294x2y294的參數(shù)方程表示曲線上一點(diǎn)坐標(biāo)，所求問題便化歸為三角問題．(2)設(shè)橢圓內(nèi)接矩形面積為S，由對稱性知，矩形的鄰邊分別平行于x軸和y軸，設(shè)2值問題，用參數(shù)方程形式較簡便．212(1)求橢圓離心率的取值范圍；a2b2111PFPF2111121111a2b21yPFF繁．112112112111112a2b211