2021-2022學(xué)年上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、填空題1．已知集合，，則__________．【答案】【分析】可求出集合，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．【詳解】解：，1，，，，．故答案為：．2．設(shè)a、b都為正數(shù)，且，則的最小值為_(kāi)_______.【答案】1【分析】把變形為：利用已知，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閍、b都為正數(shù)，所以有：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)，故答案為：3．函數(shù)，則______________.【答案】【解析】3在反函數(shù)的定義域中，它必在原函數(shù)的值域中，因?yàn)榉春瘮?shù)與原函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系相反，故由解得值為所求.【詳解】由解得，所以.故答案為：4．已知且，若，，則_______________.【答案】6【解析】利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，再利用同底數(shù)冪相乘即可.【詳解】，同理：∴故答案為：6【點(diǎn)睛】對(duì)數(shù)運(yùn)算技巧：(1)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化；(2)靈活應(yīng)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；(3)逆用法則、公式；(4)應(yīng)用換底公式，化為同底結(jié)構(gòu)．5．已知函數(shù)，是偶函數(shù)，則的值為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)奇偶定義可建立方程求解即可.【詳解】由題意得，所以，所以.故答案為：6．若冪函數(shù)（為整數(shù)）的定義域?yàn)椋瑒t的值為_(kāi)_____．【答案】或【分析】依題意可得，解得的取值范圍，再由為整數(shù)，求出參數(shù)的值.【詳解】由題意得，解得，又為整數(shù)，所以或.故答案為：或7．用“二分法”求方程在區(qū)間內(nèi)的實(shí)根，首先取區(qū)間中點(diǎn)進(jìn)行判斷，那么下一個(gè)取的點(diǎn)是______．【答案】1.5##【分析】先確定函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)二分法求解即可得解.【詳解】設(shè)函數(shù)，易得函數(shù)為嚴(yán)格增函數(shù)，因?yàn)?，，所以下一個(gè)有根區(qū)間是，那么下一個(gè)取的點(diǎn)是．故答案為：8．已知函數(shù)的最小值為-2，則實(shí)數(shù)a=________.【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置進(jìn)行分類討論求解即可.【詳解】，所以該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為：，當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，因此，顯然符合；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，顯然不符合；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，因此，不符合題意，綜上所述：，故答案為：9．設(shè)方程的實(shí)根，其中k為正整數(shù)，則所有實(shí)根的和為_(kāi)_____．【答案】4【分析】畫出的圖象，由圖象的特征可求.【詳解】令，，所以函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，令，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，因?yàn)榉匠痰膶?shí)根，可以看作函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)橫坐標(biāo).由圖可知方程有4個(gè)實(shí)根，且關(guān)于直線對(duì)稱.所以.故答案為：4.10．設(shè)函數(shù)，，如果對(duì)任意的實(shí)數(shù)，任意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】【分析】分別求出函數(shù)，在上的值域，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式組，求出解集即可【詳解】解：因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以，所以在上的值域?yàn)?，因?yàn)榈膶?duì)稱軸為直線，所以在上為增函數(shù)，所以，所以在上的值域?yàn)?，因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)，任意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，所以，解得，所以或，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題和不等式恒成立問(wèn)題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，解題的關(guān)鍵是求出函數(shù)，在上的值域，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，從而可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍，屬于中檔題二、單選題11．已知x，y是實(shí)數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】由充要條件的定義求解即可【詳解】因?yàn)椋?，則，若，則，即，所以，即“”是“”的充要條件，故選：C.12．如果，那么（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)換底公式可得，再利用單調(diào)性可以判斷C正確.【詳解】因?yàn)?，則，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，那么，故選：C．13．在同一直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)與冪函數(shù)圖像的關(guān)系可能為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)依次分析選項(xiàng)，即可得到答案.【詳解】對(duì)于A，二次函數(shù)開(kāi)口向上，則，其對(duì)稱軸，則，即冪函數(shù)為減函數(shù)，符合題意；對(duì)于B，二次函數(shù)開(kāi)口向下，則，其對(duì)稱軸，則，即冪函數(shù)為減函數(shù)，不符合題意；對(duì)于C，二次函數(shù)開(kāi)口向上，則，其對(duì)稱軸，則，即冪函數(shù)為增函數(shù)，且其增加的越來(lái)越快，不符合題意；對(duì)于D，二次函數(shù)開(kāi)口向下，則，其對(duì)稱軸，則，即冪函數(shù)為增函數(shù)，且其增加的越來(lái)越慢快，不符合題意；故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)圖像的分析，在同一個(gè)坐標(biāo)系中同時(shí)考查二次函數(shù)和冪函數(shù)性質(zhì)即可得解，考查學(xué)生的分析試題能力，數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.14．若函數(shù)與在區(qū)間上都是嚴(yán)格減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由一次函數(shù)及反比例函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖像變換即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱，所以當(dāng)，y隨x的增大而減小，當(dāng)，y隨x的增大而增大.要使函數(shù)在區(qū)間上都是嚴(yán)格減函數(shù)，只需；要使在區(qū)間上都是嚴(yán)格減函數(shù)，只需；故a的范圍為.故選：D三、解答題15．求下列不等式的解集：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)分式不等式及一元二次不等式的解法求解集.（2）應(yīng)用公式法求絕對(duì)值不等式的解集.【詳解】（1），故解集為；（2），故解集為.16．已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明．【答案】(1)是奇函數(shù)，理由見(jiàn)解析(2)在上單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性定義進(jìn)行判斷證明；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義進(jìn)行證明.【詳解】（1）是奇函數(shù)，理由如下：函數(shù)，則定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)?，所以是奇函?shù)；（2）任取，則

，因?yàn)?，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減.17．將函數(shù)（且）的圖像向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像．(1)求函數(shù)的解析式(2)設(shè)函數(shù)，若對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)討論關(guān)于x的方程，在區(qū)間上解的個(gè)數(shù)．【答案】(1)(2)(3)答案見(jiàn)解析【分析】(1)由圖象的平移特點(diǎn)可得所求函數(shù)的解析式；(2)求得的解析式，可得對(duì)一切恒成立，再由二次函數(shù)的性質(zhì)可得所求范圍；(3)將方程等價(jià)轉(zhuǎn)化為且，根據(jù)題意只需討論在區(qū)間上的解的個(gè)數(shù)，利用圖象，數(shù)形結(jié)合即可求得答案.【詳解】（1）將函數(shù)且的圖象向左平移1個(gè)單位，得到的圖象，再向上平移2個(gè)單位，得函數(shù)的圖象；（2）函數(shù)，，若對(duì)一切恒成立，則對(duì)一切恒成立，由在嚴(yán)格單調(diào)遞增，得，所以，即的取值范圍是；（3）關(guān)于的方程且，所以只需討論在區(qū)間且x≠0上的解的個(gè)數(shù)．由二次函數(shù)且的圖象得，當(dāng)時(shí)，原方程的解有0個(gè)；當(dāng)時(shí)，原方程的解有1個(gè)；當(dāng)時(shí)，原方程的解有2個(gè)．18．其公司研發(fā)新產(chǎn)品，預(yù)估獲得25萬(wàn)元到2000萬(wàn)元的投資收益，現(xiàn)在準(zhǔn)備擬定一個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)方案：獎(jiǎng)金y（萬(wàn)元）隨投資收益x（萬(wàn)元）的增加而增加，獎(jiǎng)金不超過(guò)75萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)投資收益的20%．(1)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言列出公司對(duì)函數(shù)模型的基本要求；(2)判斷函數(shù)是否符合公司獎(jiǎng)勵(lì)方案函數(shù)模型的要求，并說(shuō)明理由；(3)已知函數(shù)符合公司獎(jiǎng)勵(lì)方案函數(shù)模型要求，求實(shí)數(shù)a取值范圍．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)不符合，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義以及最值的定義，結(jié)合題意中的不等關(guān)系，可得答案；（2）由（1）所得的三個(gè)條件，進(jìn)行檢驗(yàn)，可得答案；（3）利用冪函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題意中的最值以及不等關(guān)系，可得不等式組，利用基本不等式，可得答案.【詳解】（1）滿足的基本要求是：①是定義域上的嚴(yán)格增函數(shù)，②的最大值不超過(guò)75，③在上恒成立；（2），不滿足要求③，故不符合；（3）因?yàn)椋院瘮?shù)滿足條件①，由函數(shù)滿足條件②得，解得，由函數(shù)滿足條件③得，對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．19．已知函數(shù)(1)設(shè)k、m均為實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最大值為1，且滿足此條件的任意實(shí)數(shù)x及m的值，使得關(guān)于x的不等式恒成立，求k的取值范圍；(2)設(shè)t為實(shí)數(shù)，若關(guān)于x的方程恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根且，試將表示為關(guān)于t的函數(shù)，并寫出此函數(shù)的定義域．【答案】(1)(2)，【分析】(1)分離參數(shù)，得，再借助基本不等式求解即可；(2)先得出，再對(duì)，進(jìn)行分類討論.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，故.要使得不等式恒成立，需使，即對(duì)于任意的都成立.因?yàn)?，所?由，得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）所以；（2）由函數(shù)，得，①若，則方程變?yōu)?，即，則，為遞增函數(shù)，，則有；②若，則方程變?yōu)椋?，且，故，于是分別是方程、的兩個(gè)根，則，，即，由于函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，故，，故，且，故此函數(shù)的定義域?yàn)?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于非二次不等式恒成立求參問(wèn)題，一般先分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，進(jìn)而可借助函數(shù)或基本不等式進(jìn)行求解；方程解的個(gè)數(shù)可等價(jià)于兩個(gè)不同函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，分段函數(shù)則需要考慮每一段解析式是否成立.20．對(duì)于定義在D上的函數(shù)，設(shè)區(qū)間是D的一個(gè)子集，若存在，使得函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則稱函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)P．（1）若函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)P，寫出實(shí)數(shù)a、b所滿足的條件；（2）設(shè)c是常數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)P，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)定義判斷出為二次函數(shù)，然后根據(jù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間判斷出的開(kāi)口以及對(duì)稱軸，由此得到滿足的條件；（2）先分析函數(shù)在區(qū)間上為嚴(yán)格增函數(shù)和嚴(yán)格減函數(shù)時(shí)的取值，據(jù)此分析出在區(qū)間上先遞減再遞增時(shí)的取值范圍，由此求解出的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)P時(shí)，由其圖象在R上是拋物線，故此拋物線的開(kāi)口向上（即），且對(duì)稱軸是；于是，實(shí)數(shù)a，b所滿足的條件為：．（2）記．設(shè)，是區(qū)間上任意給定的兩個(gè)實(shí)數(shù)，總有．若，當(dāng)時(shí)，總有且，故，因此在區(qū)間上是